人教版·数学Ⅰ_§1.3.1函数的奇偶性
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
人教版高一数学必修一函数的奇偶性课件PPT
总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
函数的奇偶性教学设计
《函数的奇偶性》教学设计五华县高级中学叶双霞教材来源：人教版高中数学必修一一、教材分析“奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
尝试画出和的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。
三、教学目标【知识与技能】1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义；2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。
【过程与方法】通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。
【情感、态度与价值观】1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力；2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
四、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。
难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。
五、教学方法引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。
六、教学手段PPT课件。
七、教学过程（一）情境导入、观察图像出示一组轴对称和中心对称的图片。
设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。
师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？”生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。
”师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下和的图像，并一起探究几个问题。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
人教版数学高一-人教A必修1 1.3函数奇偶性应掌握哪几种判断方式
函数奇偶性应掌握哪几种判断方式山东省利津县第一中学 胡彬 257400在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度的思考概念，变换函数奇偶性定义成等价形式，寻求简捷的解题方法，从而培养思维的广阔性。
下面举例说明之。
函数奇偶性的定义是：如果对于函数的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-（或()()x f x f =-），那么函数)(x f 就叫做奇函数（或偶函数）。
函数奇偶性的定义反映在定义域上：若)(x f 是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个x ，都有D x ∈-。
即定义域是关于原点对称的。
函数的奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。
例1.判断函数()2212-+-=x x x f 奇偶性 解:因为⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-022012x x 可得函数的定义域为:[)(]1,00,1⋃-,于是 ()xx x x x f 221221-=-+-= 显然()()x f x f -=-,故()x f 为奇函数.下面引导学生变换函数奇偶性的定义成另一种等价形式，寻求比较简便的判别方法。
1．相加判别法。
对于函数定义域内的任意一个x ，若 )()(x f x f +-0=，则)(x f 是奇函数；若)(2)()(x f x f x f =+-，则)(x f 是偶函数。
用等价定义判别例1如下：∈x [)(]1,00,1⋃-；∈-∴x [)(]1,00,1⋃-；=-+)()(x f x f 01122=---xx x x 所以()2212-+-=x x x f 是奇函数。
显然，此判定方法简捷。
2．相减判别法。
对于函数定义域内任意一个x ，若=--)()(x f x f )(2x f ，则)(x f 是奇函数；若0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数。
例2，判别212)(x x x g x +-=的奇偶性。
解：R x ∈ ；R x ∈-∴；)212()212()()(x x x x x g x g x x +-----=--- x x x x ---=12)12(0=-=x x ． )(x g ∴偶函数。
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
点击题目，即可下载对应的资料
高中数学 高中物理 高考专题
更多精彩资料，请下载点击下方文字/图案 更多资料
更多精彩内容，weixingongzhonghao：学霸兔
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
新人教版高一年级数学必修1.3.2《函数的奇偶性》教学课件
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(3) f (x) x 1 x
解： (1) f(x)的定义域为R
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f (x) (x)4 x4 f (x)
∴f(x)为偶函数 (3) f(x)的定义域为{x|x≠0}
∵ 对定义域内的每一个x，都有
f (x) (x) 1 (x 1) f (x)
(3) f (x) x 1
(4) f (x) x
(5) f (x) 5
(6) f (x) 0
函数f(x)=0 (定义域关于原点对称) 既是奇函数 又是偶函数.
本课小结:
1. 偶函数、奇函数的定义； 2. 偶函数、奇函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的方法.
作业:
教材 P36练习第1题
函数定义域关于原点对称.
-b
-a o a
bx
具有奇偶性的函 数，其定义域在数轴
上有怎样的特点？
当堂训练2：
1.如图是奇函数f(x)图像的一部分，你能画出它 在y 轴左边的图像吗？
当堂训练2：
2. 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
y
o
x
自学 P 例5，时间4分钟， 35 总结定义法判断函数奇偶性的步骤.
检查自学效果（一）：
1. 偶函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
图像特征: 关于y轴对称.
f(x)=x2
f(x)=2-|x|
检查自学效果（二）：
2.奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
函 数 的 奇 偶 性
函数的奇偶性邵一中杜海光一、教学背景分析1、教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第一章第三节第二课《1.3.2奇偶性》。
奇偶性是函数的重要性质之一:一方面,奇偶性是初中学习的图象对称性内容的延伸, 另一方面,学习性质也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备。
而奇偶性是在学生学习了函数的有关概念和单调性的基础上，对函数知识进一步深入和拓广。
2、学情分析：我所教学的学生是我校高一的学生，学生还处在适应期，大部分学生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱，所以在授课时注重从具体的例子出发，即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感性认识,然后在这个基础上形成概念.教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
二、教学目标1、知识与技能：（1）建立奇偶性的概念通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。
然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
（2）掌握函数奇偶性的判别方法。
通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，进一步形成判断的方法步骤，从而能应用到例题中去。
（3）函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。
在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。
2、过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用几何画板、实物投影仪等辅助教学，激发学生积极主动地参与教学活动。
使学生学会数学思考，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
本节课,通过动手实践,观察图象创设问题情境引导学生概括出图象特点并抽象出奇偶性的概念；通过典型例子，学生探索质疑，加深对奇偶性概念实质的理解；接着就奇偶性概念的特点，概括出判断的方法步骤，最后通过例子练习加深巩固。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新课教学
课堂小结
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函 数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和 图象法，用定义法判断函数的奇偶性时， 必须注意首先判断函数的定义域是否关于 原点对称． 单调性与奇偶性的综合应用是本节的 一个难点，需要学生结合函数的图象充分 理解好单调性和奇偶性这两个性质. 思考：是否存在即是奇函数又是偶函 数的函数
新课教学
函数的奇偶性定义
• 注意： • 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇 偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； • 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇 偶性的一个必要条件是，对于定义域内的 任意一个x，则－x也一定是定义域内的一 个ห้องสมุดไป่ตู้变量（即定义域关于原点对称）．
新课教学
具有奇偶性的函数的图象的特征
f x1 f x 2 f x1 f x 2
奇函数 f x 在 , 0 上是增函数
新课教学
函数的奇偶性与单调性的关系
• 规律： • 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相 反； 说明：因为偶函数的图象关于y轴对称 • 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一 致． 说明：因为奇函数的图象关于原点对称
函数的奇偶性
高一数学组 王 洲
课题引入
实践操作
• 取一张纸，在其上画出平面直角坐标系， 并在第一象限任画一可作为函数图象的 图形，然后按如下操作并回答相应问题： • 1、 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背 面（即第二象限）画出第一象限内图形 的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中 的图形；
课题引入
实践操作
新课教学
课后作业
• • 书面作业：课本P39 习题1．3（A组） 第6题， 补充作业：判断下列函数的奇偶性：
2x 2x
2
f (x)
x 1
f ( x) a, ( x R )
x (1 x ), x 0 f ( x) x (1 x ), x 0
课题引入
实践操作
• 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的 图象，并且它的图象关于原点对称； • （2）若点（x，f(x)）在函数图象上， 则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图 象上，即函数图象上横坐标互为相反数 的点，它们的纵坐标也一定互为相反 数． • 观察思考（教材P34、P35观察思考）
新课教学
函数的奇偶性定义
• 象上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数 即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函 数即是奇函数． • 偶函数（even function） • 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． • 仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 • 奇函数（odd function） • 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
• 偶函数的图象关于y轴对称； • 解释：偶函数具有f(-x)=f(x),即函数图象 上同时存在点(x,f(x))与(-x,f(x))它们的 横坐标互为相反数纵坐标相等。 • 奇函数的图象关于原点对称； • 解释：奇函数具有f(-x)=-f(x),即函数图 象上同时存在点(x,f(x))与(-x,-f(x))它们 的横、纵坐标互为相反数。
• 问题：将第一象限和第二象限的图形看 成一个整体，则这个图形可否作为某个 函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象 具有什么特殊的性质？函数图象上相应 的点的坐标有什么特殊的关系？
课题引入
实践操作
• 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的 图象，并且它的图象关于y轴对称； • （2）若点（x，f(x)）在函数图象上， 则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象 上，即函数图象上横坐标互为相反数的 点，它们的纵坐标一定相等．
新课教学
判断函数奇偶性的格式步骤：
① 首先确定函数的定义域，并判断其定义 域是否关于原点对称； ② 确定f(－x)与f(x)的关系； ③ 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0， 则f(x)是奇函数．
课题引入
实践操作
• 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折 痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限） 画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸 展开，观察坐标系中的图形： • 问题：将第一象限和第三象限的图形看 成一个整体，则这个图形可否作为某个 函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象 具有什么特殊的性质？函数图象上相应 的点的坐标有什么特殊的关系？
新课教学
函数的奇偶性与单调性的关系
• 例2．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函 数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
解： 设 x1 , x 2 0 , , 且 x1 x 2
则 x1 , x 2 , 0 且 x 1 x 2
f x 在 0 , 上是增函数
f x 是奇函数
f x1 f x 2
f x1 f x1
,
f x2 f x2
补充：若函数f(x)为奇函数，且定义域包含0，则 f(0)=0
新课教学
函数的奇偶性规律
• 设函数f(x)、g(x)在公共区域上具有奇偶 性。则有如下规律： • 奇+奇=奇 偶+偶=偶 • 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇 • 若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是 关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是 奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数； • u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一 偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
新课教学
典型例题
• 例1．判断函数的奇偶性
(1) f ( x ) x
4
(2) f ( x ) x
1 x
2
5
(3) f ( x ) x
1 x
(4) f ( x)
• 巩固练习：（教材P36 练习1）
新课教学
典型例题
• 说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定 义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应 应首先判断函数的定义域是否关于原点对称， 若不是即可断定函数是非奇非偶函数． • 利用函数的奇偶性补全函数的图象 • 规律：偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． • 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据． • 巩固练习：（教材P36练习2）