第五章约束优化方法
管理会计应用指引第504号——约束资源优化
附件4：管理会计应用指引第504号——约束资源优化第一章总则第一条约束资源优化，是指企业通过识别制约其实现生产经营目标的瓶颈资源，并对相关资源进行改善和调整，以优化企业资源配置、提高企业资源使用效率的方法。
约束资源，是指企业拥有的实际资源能力小于需要的资源能力的资源，即制约企业实现生产经营目标的瓶颈资源，如流动资金、原材料、劳动力、生产设备、技术等要素及要素投入的时间安排等。
第二条约束资源优化一般适用于企业的投融资管理和营运管理等领域。
第二章应用环境第三条企业应用约束资源优化工具方法，约束资源的缺口一般应相对稳定。
第四条企业应用约束资源优化工具方法，相关数据一般应完整并可获取，必要时提供信息技术的支持。
第三章应用程序第五条企业应用约束资源优化工具方法，一般按照识别约束资源、寻找突破方法、协同非约束资源、评价实施效果等程序进行。
第六条企业应用约束资源优化工具方法，应识别出管理过程中制约既定目标实现的约束资源，并对约束资源进行定量分析。
在约束资源难以进行定量分析时，可以通过内部评审法、专家评价法等，识别出管理过程中的约束资源。
内部评审法，是指企业通过内部组织开展评议、审查识别约束资源的方法。
企业通常应组建满足约束资源识别所需的，由财务部门、生产部门和其他相关部门人员组成的内部评审小组或类似评审组织，通过集中研讨等方式，识别出管理过程中的约束资源。
专家评价法，是指利用专家的经验、知识等识别约束资源的方法。
对于企业既定目标的实现形成重大制约影响的约束资源，企业通常采用此方法进行综合评判。
第七条在识别约束资源的基础上，企业应比较约束资源的资源能力差距，搜集约束资源的相关数据等信息，系统分析约束资源形成的原因和涉及的实施责任主体，制定约束资源优化的实施方案，建立实现约束资源优化的长效机制，促进约束资源的资源能力提升。
（一）当约束资源是流动资金时，通常采取企业资金内部调剂、缩短应收账款回收周期、加快存货周转、延长付款周期等方法消除流动资金缺口，也可以通过外部融资扩大企业的资金来源，如债务融资、权益融资等。
第五章+约束优化计算方法讲解
机械优化设计
二.初始复合形的构成
机械优化设计
1. 复合形顶点数K的选择
建议: n 1 K 2n
n 小取大值, n 大取小值
* 1) 为保证迭代点能逼近极小点, 应使
间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来 解的一种方法。
由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方 法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。 因而在机械优化设计得到广泛的应用。
间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。
直接解法的基本思想：
在由m个不等式约束条件gu(x)≤0所确定的可行域φ内，选择 一个初始点x(0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当的步 长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可行的新点 x(1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程， 每次均按如下的基本迭代格式进行计算：
机械优化设计
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
机械优化设计
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
m
l
x, 1, 2 f x 1G g j x 2H hk x
hj ( x) 0 ( j 1,2, , p)
机械优化设计
上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻 优方法，但在实际工程中大部分问题的变量取值都有 一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。
与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值 是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定 的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行 域必是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解 就是全域最优解。否则，将由于所选择的初始点的不 同，而探索到不同的局部最优解上。在这种情况下， 探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局 最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至 要改换几次。
约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
最优化方法第5章
第5章 Newton 型方法(Newton-type Method)§5.1 Newton 法对于正定二次函数 1212()(,)TT f X f x x X AX b X c ==++（A 正定矩阵）要具有二次终结性，即在处沿0X )(00X f p −∇=到))((0001X f X X −∇+=λ，再沿某方向直达最优点1p 111*p X X λ+=，则方向具有性质：在处沿方向进行精确一维搜索有，说明与正交，可令1p 1X 1p 010=Ap p T0p 1Ap 1()1f X Ap −∇=，得，或。
111()p A f X −=−∇2111[()](p f X f −=−∇∇1)X 事实上，方向可以理解为从出发沿经一次精确一维搜索便得最优点。
1p 1X 1p 6656556对于一般函数()f X ，记，，有2(),()g f X G f X =∇=∇2(),(k k k g f X G f X =∇=∇)k )()()(21)()()(2k k k k k Tk k X X o X X G X X X X g X f X f −+−−+−+=)()(21)()()(k k T k k Tk k X X G X X X X g X f X −−+−+=ψ)()(X X f ψ≈一、Newton 法定理5-1-1：正定⇒k G )(X ψ有唯一极小值点证明：正定k G ⇒)(X ψ严格凸)(X ψ⇒有唯一极小值点定理5-1-2：正定⇒k G )(X ψ的极小值点11k k k k X X G g −+=−X 极小值点k k k k k k g G X X g X X G X 10)(0)(−−=⇒=+−⇒=∇⇒ψ 注：对于正定二次型，用方向一次到达最优点。
1()()kk k 1k k G g −=−p G X f X −=−∇定义：牛顿方向(Newton direction)1k k k p G g −Δ−注：①一般情况下不一定正定，甚至也不一定可逆；②不正定时不一定下降方向；③步长k G k G k G k p 1≠k λ，可以是不断变化的；④只在的附近有效。
凸优化问题的约束处理算法研究
凸优化问题的约束处理算法研究第一章引言1.1 背景凸优化问题是数学优化领域的重要研究方向之一。
在现实生活中，很多问题都可以归结为凸优化问题，因此研究凸优化问题的算法具有重要的实际意义。
然而，很多问题在实际应用中都会存在一些约束条件，这就需要研究如何处理凸优化问题的约束，从而更好地解决实际问题。
1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题的约束处理算法进行深入研究，分析不同算法的优缺点，探讨其适用范围和改进方法，为实际问题的求解提供指导。
第二章基本概念和定义2.1 凸优化问题的定义凸优化问题是指目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸函数具有良好的性质，可以通过求解凸优化问题来获得全局最优解。
2.2 凸集和凸函数的定义凸集和凸函数是凸优化问题理论的基础。
凸集是指对于任意两个点在集合内的线段也在集合内。
凸函数是指函数的定义域是凸集，并且对于任意两个点在定义域内的线段，函数值不大于线段的端点的函数值之和。
第三章线性规划问题的约束处理算法3.1 单纯形算法单纯形算法是解决线性规划问题的经典算法之一。
它通过不断移动顶点来搜索最优解。
然而，单纯形算法对于大规模问题计算复杂度较高，且可能出现循环和退化等问题。
3.2 内点算法内点算法是另一种解决线性规划问题的有效算法。
它通过在可行域内搜索的方式逼近最优解。
内点算法相对于单纯形算法具有更好的数值稳定性和收敛性能，在处理约束条件时也更加灵活。
第四章非线性规划问题的约束处理算法4.1 无约束问题的优化算法在处理非线性规划问题之前，首先需要解决无约束问题。
常用的无约束问题的优化算法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。
这些算法可以找到函数的局部最优解，但对于全局最优解的搜索能力有限。
4.2 有约束问题的优化算法对于非线性规划问题，有约束问题的优化算法可以分为等式约束问题和不等式约束问题两类。
针对等式约束问题，可以使用拉格朗日乘子法或者内点法进行求解。
而对于不等式约束问题，可以使用罚函数法或者投影法来处理。
Ch5_综合的约束与优化
`第五章综合的约束与优化综合的一个很重要的概念就是：单纯的映射是远远不够的，更重要的是设计的整体优化。
一方面设计工程师为综合规定必要的约束，例如对面积、速度、功耗的要求等，从而使优化有所依据；另一方面选择合适的综合器是优化程度的决定性因素。
同一个设计使用不同的综合器所得到的优化结果可以相差3～5倍。
第一节综合约束5-1-1 概述综合约束是对可测量的电路特性所定义的设计目标，比如面积、速度和电容等。
如果没有这些约束，Design Compiler工具将不能有效地对你的设计进行最优化。
在对设计进行优化时，Design Compiler支持两种类型的约束：●设计规则约束（Design rule constraints）●最优化约束（Optimization constraints）设计规则约束是固有的，在工艺库里定义；这些约束条件是为了保证设计的功能正确性，适用于使用工艺库的每一个设计；可以使这些约束比最优化约束更为严格。
最优化约束是外在的，由设计者自己定义；最优化约束描述设计指标，在整个dc_shell 工作期间应用于当前设计；它们必须接近于现实情况。
D esign Compiler试图同时满足设计规则约束和最优化约束，但设计规则约束必须首先被满足。
设计者可以以命令行形式交互式的指定约束或者在一个约束文件里指令约束。
图5.1显示了主要的设计规则约束和最优化约束，以及如何用dc_shell界面命令来设置这些约束。
图5.1 Major Design Compiler Constraints第二节设置设计规则约束这一节将讨论最常用的设计规则约束：•转换时间（Transition time）•扇出负载（Fanout load）•电容（Capacitance）Design Compiler给设计对象赋予属性来表示这些设计规则约束。
表5.1列出了每一个设计规则约束对应的属性名。
表5.1 设计规则属性Design Rule Constraint Attribute NameTransition time max_transitionFanout load max_fanoutCapacitance max_capacitancemin_capacitanceCell degradation cell_degradationConnection class connection_class 设计规则约束是工艺库里指定属性，你也可以明确地、随意地指定这些约束。
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
第五章 无约束优化方法
由（5.3）得 X (1) X (0) [H ( X (0) )]1 F ( X (0) ) 0 3 1
S (0) 1 4,10T 0.3714 ,0.9285 T 10.770329
2 2 例 5-3 试用牛顿法求例5-1给出的目标函数 f ( X ) x1 x2 x1 x2 4x1 10x2 60的极小值， ( 0) T 设初始点 X (0) [ x1(0) , x2 ] [0，0]。 2 f 2 f
f ( X ) f ( X ) T 解： f ( X ( 0) ) , 4,10 x 2 x1
(0)
6 8
H 1F
X (k ) X*
X
X (1) 6 8
T
(1)
X
S
( 0)
x1(1) 0 0.3714 0.3714 0.9285 (1) 0 0 . 9285 x2
f ( X ) f ( X ) T 解： f ( X ) , 2 x1 x 2 4,2 x 2 x1 10 x 2 x1 2 2 f ( X ( 0) ) f ( X ( 0) ) ( 0) 2 2 f ( X ) x x (4) (10) 10.770329 1 2
即为最优点，只迭代一次就达到了X*。
图5.8牛顿法的修正
• 5.3.2 牛顿法的特点
由上述可见，当目标函数为二次函数时，收敛很快，属于二阶收敛，是目前算法中最快的 一种。即使目标函数不是二次函数，当初始点选得好时，也会很快收敛。但如果目标函数 非凸，初始点选择不当有可能远离极小点或导致不收敛（图5.8）。基于这种原因，为保 证每次迭代下降，对古典的牛顿法要做些修改，于是便出现了修正牛顿法。其修正方法是 在 X ( k ) 沿牛顿方向做一次一维搜索，避免远离极小点 X (k 1) X (k ) k [H ( X (k ) )]1 F ( X (k ) )
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* T n
约束最优解和无约束最优解无论是在数学模型上还是几何 意义上均是不同的概念
2
无约束最优解解： 无约束最优解解：等值线的共同中心.
数学模型: 数学模型
2 m F(X) = x2 + x2 −4x +4 in 1 1
F(x)
X =[ x x2 ] ∈Rn 1
T
等值线
x2
(2,0)
第二篇 机械优化设计
第五章 约束优化方法
5.1 约束优化问题的最优解 5.2 约束优化问题极小点的条件 5.3 常用的约束优化方法
5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.5 约束坐标轮换法 约束随机方向法 复合形法 惩罚函数法
1
5.1 约束优化问题的最优解
约束优化问题
最优点 X = x x ... x 最优解 最优值 m F(X) = F(X*) in
(1) X4
(2) X1
X
(2)
X ←
(2) 2
X(3)
(2) X3
x 1
12
特点: 特点
约束坐标轮换法具有算法明 了、迭代简单、便于设计者 迭代简单、 掌握运用等优点。 掌握运用等优点。 但是，它的收敛速度较慢， 但是，它的收敛速度较慢， 对于维数较高的优化问题( 对于维数较高的优化问题( 例如10维以上)很费机时。 10维以上 例如10维以上)很费机时。 另外，这种方法在某些情况 另外， 下还会出现“死点” 下还会出现“死点”的病态 伪最优点。 导致输出伪最优点 ，导致输出伪最优点。 避免输出伪最优点的办法: 避免输出伪最优点的办法: 伪最优点的办法 1、输入不同的初始点 2、用不同的步长多次计算;αe1 α
(2) X1
检查
(3) 可行性: X2 ∈D? (×) 可行性
适用性: 适用性
(3) X(3) ←X1
X
(2)
X ←
(2) 2
X(3)
沿e2方向 α ←α0
(4) X1 = X(0) +αe2
(2) X3
检查
(4) 可行性: 可行性 X1 ∈D?
o
x 1
x 1
等值线族的中心
3
约束最优解
数学模型: 数学模型
F(x)
可行域
x2
x 1
4
x2
g (X) 1 g2(X) g3(X)
* 无约束最优点 X1 =[ 2 0] T
* X2
1
T
* 约束最优点 X2 =[ 0.58 1.34]
o
g4(X)
2
* X1
x 1
5
约束优化问题的类型
1. 不等式约束优化问题 型) 不等式约束优化问题(IP型
(2) X1
(1) (1) X(0) X1 X2 (1) X3 →X(1)
约束坐标轮换法与无约束 坐标轮换法的区别： 坐标轮换法的区别： ① 步长 无约束: 无约束: 最优步长 约 束: 加速步长 ② 对每一个迭代点的检查 无约束: 无约束: 检查适用性 约 束: 检查适用性和 o 可行性 ③ 终止准则 无约束: 无约束: 点距准则 约 束: 步长准则
检查
可行性: (1) 可行性 X1 ∈D? (×) 适用性: 适用性
o
(1) X(1) ←X3
x 1
9
沿e2方向 α ←α0
(2) X1 = X(1) +αe2
x2
(2) X1 (1) (1) X(0) X1 X2
检查
检查
(2) 适用性: 适用性 F( X1 ) < F( X(1) ) ? (×) α ←− α (2) X1 = X(1) +αe2 (2) 可行性: 可行性 X1 ∈D? (2) (1) 适用性: 适用性 F( X1 ) < F( X ) ?
i
17
约束随机方向搜索法的特点： 约束随机方向搜索法的特点： 特点 对目标函数的性态无特殊要求， 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简 使用方便。 单，使用方便。在维数较少的情况下是一种 十分有效的方法，适用于小型问题。 十分有效的方法，适用于小型问题。
18
5.3.3 复合形法
基本思想：在可行域中选取K个点作为一复合形（多面体） 基本思想：在可行域中选取K个点作为一复合形（多面体）的K个顶 比较各点函数值的大小，去掉函数值最大所对应的最坏点， 点。比较各点函数值的大小，去掉函数值最大所对应的最坏点，而 代之最坏点的映射点构成新的复合形。不断重复上述过程， 代之最坏点的映射点构成新的复合形。不断重复上述过程，使复合 形不断向最优点移动和收缩，直至满足选代精度为止。 形不断向最优点移动和收缩，直至满足选代精度为止。 x2
X(0) ←X, X = X(0) +αS(1) 检查
个方向都不行,则减小步长:α 若m个方向都不行,则减小步长:α0←0.5α0
终止准则: 终止准则 α0≤ε
15
说明 当在某个转折点处沿m个 预先限定的次数 预先限定的次数)随机方向试探均 当在某个转折点处沿 个(预先限定的次数 随机方向试探均 失败，则说明以此点为中心， 失败，则说明以此点为中心，α0为半径的圆周上各点都不是 适用、可行点。此时，可将初始步长α 缩半后继续试探。 适用、可行点。此时，可将初始步长 0缩半后继续试探。直 个随机方向都试探失败时， 到α0≤ε，且沿 个随机方向都试探失败时，则最后一个成功 ，且沿m个随机方向都试探失败时 如图中的x 就是达到预定精度 要求的约束最优点， 就是达到预定精度ε要求的约束最优点 点 (如图中的 (3))就是达到预定精度 要求的约束最优点 ， 迭 如图中的 代即可结束。 代即可结束。 m是预先规定在某转折点处产生随机方向所允许的最大数目。 是预先规定在某转折点处产生随机方向所允许的最大数目。 是预先规定在某转折点处产生随机方向所允许的最大数目 一般可在50~500范围内选取。 范围内选取。 一般可在 范围内选取 约束随机方向法的搜索方向比坐标轮换法要灵活得多。 约束随机方向法的搜索方向比坐标轮换法要灵活得多。当预 定的随机方向限定数m足够大时，它不会像约束坐标轮换法 定的随机方向限定数 足够大时， 足够大时 那样出现“病态”而导致输出伪最优点。 那样出现“病态”而导致输出伪最优点。
(1) 可行性: 可行性 X2 ∈D?
(1) X3 →X(1)
(1) X4
(2) X1
X(2) X(2) ← 2
(2) α ←2α, X2 = X(0) +αe2
检查
可行性: (2) 可行性 X2 ∈D?
(2) (1) 适用性: 适用性 F( X2 ) < F( X ) ?
(2) X3
(2) α ←2α, X3 = X(0) +αe2 (2) 可行性: 可行性 X3 ∈D? (×) 检查 适用性: 适用性
16
随机搜索方向的产生
是在区间(一 ， 上的两个 设 是在区间 一l，1)上的两个 随机数。 随机数。将它们分别作为坐标轴 上的分量所构成的向量即为相应的二 维随机向量，其单位向量： 维随机向量，其单位向量：
同理， 维问题 随机方向的单位向量： 维问题,随机方向的单位向量 同理，n维问题 随机方向的单位向量：
(2) X3
o
x 1
8
x2
任取一个初始点 X(0) ∈D 取初始步长α0 沿e1方向 α ←α0
(1) X1 = X(0) +αe1
(1) 可行性: X1 ∈D? 可行性
(1) (1) X(0) X1 X2
(1) X3 →X(1)
(1) X4
检查
(1) (0) 适用性: 适用性 F( X1 ) < F( X ) ? α ←2 α 加速步长 (1) X2 = X(0) +αe1 检查 ...... (1) α ←2α, X3 = X(0) +αe1 (1) α ←2α, X4 = X(0) +αe1
14
5.3.2 约束随机方向法
任取一个初始点 取初始步长α0
X(0) ∈D
X
(1)
S(2)
α ←α0
利用随机函数构成随机方向S 利用随机函数构成随机方向 (1)
X = X(0) +αS(1)
S
(1)
X(2)
X(3)
X(0)
检查
可行性: 可行性 X ∈D? (×)
(0) 适用性: 适用性 F( X) < F( X(0) ) ? (×)
x2
(2) X1
(1) (1) X(0) X1 X2 (1) X3 →X(1)
(1) X4
(2) X1
X
(2)
X ←
(2) 2
X(3)
(2) X3
o
13
x 1
5.3.2 约束随机方向法
基本原理：典型的“瞎子爬山”式的数值选代解法。 基本原理 ： 典型的 “ 瞎子爬山 ” 式的数值选代解法 。 在可行 域内， 域内，任选初始点 x(0)， 以给定的步长 a=a0 ，沿按某方 法产生的随机方向 法产生的 随机方向 S(1) 取探索点 x = x(0) + a S(1 ） ， 若 该点同时符合下降性（ 和可行性（ D)则 该点同时符合下降性（F(x)<F(x (0)) )和可行性（x∈D)则 表示x 点探索成功。并以它为新的起始点， 表示 x 点探索成功 。并以它为新的起始点， 继续按上面的 方向上获取新的成功探索点…….. 迭代公式在 S(1）方向上获取新的成功探索点 ..
2. 等式约束优化问题 等式约束优化问题(EP型) 型
3. 一般约束优化问题(GP型) 一般约束优化问题 型
6
5.3 常用的约束优化方法
约束坐标轮换法 直接法： 直接法：约束随机方向法 复合形法
约束优化方法