2020年河南省新乡市高三数学理科模拟考试卷一
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷(一)(有答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.=（）A. 5B. 5iC. 6D. 6i2.已知集合，，则下列判断正确的是( )A. B.C. D.3.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[499，501]内的概率为（）A. B. C. D.4.设向量，是平面内的一组基底，若向量=-3与=共线，则λ=（）A. B. C. -3 D. 35.已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=x2-3x，则（）A. f（tan70°）＞f（1.4）＞f（-1.5）B. f（tan70°）＞f（-1.5）＞f（1.4）C. f（1.4）＞f（tan70°）＞f（-1.5）D. f（-1.5）＞f（1.4）＞f（tan70°）6.若曲线y=在点（1，）处的切线的斜率为，则n=（）A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线交C于A，B两点（A在B的上方），若A，B到C的一条渐近线的距离分别为d1，d2，且d2=4d1，则C的离心率为（）A.B.C.D.8.已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）+cos（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），若f（x）的最小正周期为π，且f（-x）=-f（x），则f（x）的解析式为（）A. f（x）=-sin2xB. f（x）=sin2xC. f（x）=-cos2xD. f（x）=cos2x9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，S10=30，则S15=（）A. 90B. 125C. 155D. 18010.若圆C：x2+（y-4）2=18与圆D：（x-1）2+（y-1）2=R2的公共弦长为6，则圆D的半径为（）A. 5B. 2C. 2D. 211.某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A.B. 或6C.D. 或12.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A. [1，2]B. [1，2）C. [0，1]D. [0，1）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为______．14.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=3，S13=91，则a1+a11=______．15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE=2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为______．16.某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿4.5吨0.5万元0.4万元那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）的最大值为__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在平面四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=3，AB⊥BC．（1）求BD；（2）若∠BCD=150°，求CD．18.《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．性别入围人数未入围人数总计男生24女生80总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生．（ⅰ）求这11名学生中女生的人数；（ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．附：K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，三棱柱ABC-A1B1C1各条棱长均为4，且AA1⊥平面ABC，D为AA1的中点，M，N分别在线段BB1和线段CC1上，且B1M=3BM，CN=3C1N，（1）证明：平面DMN⊥平面BB1C1C；（2）求三棱锥B1-DMN的体积．20.已知直线l1：y=kx+2与椭圆C：=1交于A，B两点，l1与直线l2：x+2y-4=0交于点M（1）证明：l2与C相切；（2）设线段AB的中点为N，且|AB|=|MN|，求l1的方程．21.已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a ln x．（1）当a=-4时，求f（x）的单调区间；（2）已知a∈（1，2]，b∈R，函数g（x）=x3+bx2-（2b+4）x+ln x．若f（x）的极小值点与g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求．23.已知函数f（x）=||+|x+2a|．（1）若a=1，证明：f（|x|）≥5；（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查元素与集合，集合与集合的关系，并集及其运算，属于基础题．先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，以及元素和集合之间的关系，以及并集运算得出结果．【解答】解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}，B={x|＜2}={x|0≤x＜4}，∴-1.2∉A，∈B，B⊆A，A∪B={x|-1＜x＜5}．故选C．3.答案：B解析：解：这13袋中位于[499，501]的个数为6，故所求概率为．故选：B．由题意，分析茎叶图，找出质量在[499，501]的个数，再求其概率即可．本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属基础题．由题得存在μ∈R，使得，得到关于μ，λ的方程组，解之即得解．【解答】解：∵与共线，∴存在实数μ∈R，使得，即，故μ=-3，-λμ=-1，∴．故选：B．5.答案：A解析：解：当x＞0时，f（x）=（x-1.5）2-1.52，tan70°-1.5＞tan60°-1.5≈0.232，又函数f（x）为偶函数，所以f（-1.5）=f（1.5），1.5-1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f（tan70°）＞f（1.4）＞f（1.5），即f（tan70°）＞f（1.4）＞f（-1.5），故选：A．找出二次函数的对称轴，再根据答案，分析tan70°与1.4与对称轴的距离，判断出大小．本题考查了二次函数的性质以及奇偶性，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意可得y′=，曲线y=在点（1，）处的切线的斜率为，∴=，∴n=5．故选：D．先求其导函数，再将x=1带入其斜率为，可得答案．本题考查了曲线的切线方程，熟悉函数的导函数的几何意义以及求导函数是解题的关键，属于基础题．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于简单题．先求出d1，d2，化简，即得离心率的值．【解答】解：易知A，B的坐标分别为（c，），（c，-），图中对应的渐近线为bx-ay=0，则d1=，d2=，∵d2=4d1，∴3c=5b，∴9c2=25（c2-a2），5a=4c，∴e==．故选：B．8.答案：A解析：解：由辅助角公式可得f（x）=sin（2ωx+φ+），由周期公式T=，得2|ω|===2，因为ω＞0，所以ω=1，则f（x）=sin（2x+φ+）．又因为f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，所以φ+=kπ，k∈Z，即：φ=kπ-，又因为0＜φ＜π，则令k=1，所以φ=，所以f（x）=sin（2x+π）=-sin2x．故选：A．由辅助角公式可得f（x）=sin（2ωx+φ+），根据T=，可求出ω=1，又f（x）为奇函数，可得φ+=kπφ+=kπ，结合φ的范围，即可求得结果．本题考查了三角函数的周期性，奇偶性，诱导公式及辅助角公式，综合性较强，属中档题．其中特别要注意根据0＜φ＜π，解得φ=．9.答案：C解析：解：因为等比数列{a n}的前n项和为S n，根据性质所以S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，S5=5，S10=30，所以S10-S5=25，所以S15-S10=25×5=125，得S15=125+30=155．故选：C．由等比数列的性质，S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比数列，即可求得S15-S10，再得出答案．本题考查了等比数列的性质，若等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n-S n，S3n-S2n 也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题．10.答案：D解析：解：根据题意，圆C：x2+（y-4）2=18与圆D：（x-1）2+（y-1）2=R2，则两圆公共弦的方程为：2x-6y=4-R2，又由圆C的方程为x2+（y-4）2=18，其圆心为（0，4），半径r=3，两圆的公共弦的弦长为6，则点C（0，4）在直线2x-6y=4-R2上，则有2×0-6×3=4-R2，解可得：R2=28，则圆D的半径为2．故选：D．先由题意，求出两圆的公共弦，再求得圆C的直径等于公共弦长为6，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题．11.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱ABC-EFG，右边为四棱锥P-BCGF（或三棱锥P-CFG或三棱锥P-BCF），则或．故选：D．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱ABC-EFG，右边为四棱锥P-BCGF（或三棱锥P-CFG或三棱锥P-BCF），再由棱柱与棱锥的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．12.答案：D解析：解：f（f（x））=，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））=m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．由题，先求出f（f（x））的函数解析式，再画出其图象，由数形结合可得结果．本题考查了函数性质，解析式的求法以及函数的图象，求其解析式以及画出函数图象是解题的关键，属于较难题．13.答案：50解析：解：设中间一组的频率为x，则其他8组的频率为1-x，由题意知x=（1-x），解得x=，所以中间一组频数为．故答案为：50．由题，先求得中间那一组的频率，即可得其频数．本题考查了频率分布直方图认识，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题．14.答案：10解析：【分析】本题考查了等差数列的性质，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题．由等差数列求和的性质可得S13=13a7，求得a7，再利用性质a1+a11=a5+a7可得结果．【解答】解：因为S13=13a7=91，所以a7=7，所以a5+a7=10，故a1+a11=a5+a7=10，故答案为10．15.答案：解析：解：设AB=6，则AF=3，DE=2，∵平面BEF∩平面ABB1A1=BF，平面BEF∩平面DCC1D1=EG，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，∴BF∥EG，故△ABF∽△DEG，即，即，故DG=1，D1G=5．因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以B1G与平面ABCD所成角即为B1G与平面A1B1C1D1所成角，故tan∠GB1D1为B1G与平面ABCD所成角的正切值tan∠GB1D1===．故答案为：．由题先求得点G的位置，由平面ABCD∥平面A1B1C1D1可得B1G与平面A1B1C1D1所成角的正切值为所求答案．本题考查了线面角的求法，主要是利用了面面平行的性质，属于中档题．16.答案：43万元解析：【分析】本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于基础题．设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y 的值即可．【解答】解：设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，由题意可知，一年的种植总利润为z=0.5×5x+0.4×4.5y-x-0.5y=1.5x+1.3y，作出约束条件如下图阴影部分，由,解得A（20，10），平移直线1.5x+1.3y=0，当过点A（20，10）时，一年的种植总利润为z取最大值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：（1）在三角形ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•AD cosA=7，∴BD=．（2）由余弦定理得cos∠ABD===，∵AB⊥BC，∴sin∠CBD=cos∠ABD=，在△BCD中，由正弦定理得=，即，解得CD=1．解析：（1）在三角形ABD中，利用余弦定理直接求得BD的值即可；（2）先利用余弦定理求得cos∠ABD，可得sin∠CBD的值，再在△BCD中，利用正弦定理可得结果．本题考查了正余弦定理解三角形，合理的运用正余弦定理是解题的关键，属于基础题．18.性别入围人数未入围人数总计男生2476100女生2080100总计44156200因为K2的观测值k==＜2.706所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关（2）（ⅰ）这11名学生中，被抽到的女生人数为（ⅱ）因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数，所以这11名学生中女生的平均分的最小值为×（120+121+122+123+124）=122解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与平均数的计算问题，是基础题．（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（ⅰ）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数；（ⅱ）由题意计算所求平均分的最小值．19.答案：（1）证明：取线段MN的中点O，线段BC的中点E，连接DO，AE，OE，由题意可得，OE=（MB+CN）=CC1．因为D为AA1的中点，所以AD=AA1，因为AA1∥CC1，AA1=CC1，所以AD∥OE，AD=OE，所以四边形AEOD为平行四边形，所以DO∥AE．因为点E为BC的中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AE，则AE⊥CC1，因为BC∩CC1=C，所以AE⊥平面BB1C1C，则DO⊥平面BB1C1C，因为DO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面BB1C1C．（2）解：因为B1M=3BM，BB1=4，所以B1M=3．所以△B1MN的面积S===6．由（1）可得，DO=AE==2．故三棱锥B1-DMN的体积为V=V===4．解析：（1）取线段MN的中点O，易证四边形AEOD为平行四边形，再证得AE⊥平面BB1C1C，结论得证；（2）先求得△B1NM的面积S，再利用等体积法V=V可得结果．本题考查了面面垂直的判定定理以及三棱锥的体积的求法，熟悉面面垂直的判定定理和性质定理以及等体积法是解题的方法，属于较为基础题．20.答案：（1）证明：由题意，可将直线l2与椭圆C联立方程，得：消去x，整理得：y2-2y+1=0．∵△=4-4×1×1=0，∴直线l2与椭圆C相切．（2）解：由题意，联立直线l1与直线l2的方程，得：，解得：．∴M点的坐标为（0，2）．由题意，再联立直线l1与椭圆C的方程，得：．消去y，整理得：（4k2+1）x2+16kx+8=0，∵直线l1与椭圆交于A，B两点，∴△=（16k）2-32（4k2+1）=128k2-32＞0，解得：k2＞．由题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），则x1+x2=-，x1x2=，∴x0==-．∵|AB|=|MN|，即，∴，即，解得k2=，满足k2＞．∴k=±，∴直线l1的方程为y=±．解析：（1）将直线和椭圆的方程联立消元后根据所得方程的判别式为0可证得结论成立；（2）由|AB|=|MN|，并结合弦长公式可得关于k的方程，解方程可得k的值，进而得到所求直线方程．本题体现了代数方法在解决解析几何问题中的应用，通过代数运算达到解决位置关系和数量关系的目的．由于在解题中会遇到大量的计算，所以在解题中要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以达到简化运算的目的．21.答案：（1）解：当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）的单调递减区间为（0，1）．（2）证明：f'（x）==，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．因为a∈（1，2]，所以f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，所以p（a）=0，即3a2+（2b+3）a-1=0，即b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b=-3-=a--．因为a∈（1，2]，所以a-≤3-=．故g（x）的极大值不大于．解析：（1）当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．即可得出单调区间．（2）f'（x）=，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．由a∈（1，2]，可得f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，可得p（a）=0，b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）代入利用函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|=2，|OC|==，∴|AM==，|ON|===2，∴==2．解析：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）证明：若a=1，则，f（|x|）=+1+|x|+2=+|x|+3≥2+3=5，当且仅当x=±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，-3a-2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤-1；当-1＜a＜-时，-a＜5a2，则-1＜a＜-；当a≥-时，3a+2＜5a2，则-≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（-∞，-）∪（1，+∞）解析：（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020 年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. （1+i）（2+i）（3+i）=（ ）A. -10iB. 10iC. -10D. 102. 已知集合 A={x|x2-4x＜5}，则（ ）A. -1.2∈AB. 30.9∉AC. log230∈AD. A∩N={1，2，3，4}3. 设向量 ， 是平面内的一组基底，若向量 =-3 与 =共线，则 λ=（ ）A.B.C. -3D. 34. 若 f（x）=a-2+asin2x 为奇函数，则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为（ ）A. -2B. -4C. 2D. 45. 已知函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当 x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于 x 的不等式 f（x）＜-1 的解集为（ ）A. （-∞，-1） B. （-∞，3）C. （-1，3）D. （-1，+∞）6. 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.7. 如图，过双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 作 x 轴的垂线交 C 于 A，B 两点（A 在 B 的上方），若 A，B 到 C 的一条渐 近线的距离分别为 d1，d2，且 d2=4d1，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.第 1 页，共 15 页D.8. 若钝角 α 满足，则 tanα=（ ）A.B.C.D.9. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A.B. 或 6C.D. 或10. 设，，则（）A.B.C.D.11. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 a∈（ ， ），b=1，且 abcosC+ccosA=abc，则 cosB 的取值范围为（ ）A. （ ， ）B. （ ， ）C. （0， ）D. （0， ）12. 在直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 交于 A，B 两点，若∠AOB=120°，则 k= （）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某校有高一学生 n 名，其中男生数与女生数之比为 6：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 的样本，若样本中男生比女生多 12 人，则 n=______．14. 一个球的内接正方体的表面积为 32，则该球的体积为______．15. 已知 a＞0，则当的展开式的常数项（即不含 x 的项）取得最小值时，a=______．16. 某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过 30 亩，投入资金不超过 25 万元，假设种植莴 笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价莴笋 5 吨1 万元0.5 万元西红柿4.5 吨 0.5 万元0.4 万元那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）的最大值为__________．第 2 页，共 15 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在数列{an}中，a1=1，且 an，2n，an+1 成等比数列．（1）求 a2，a3，a4； （2）求数列{a2n}的前 n 项和 Sn．18. 以下是新兵训练时，某炮兵连 8 周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这 8 周中总的命中频率 p0，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的 p0 作为该炮兵连甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发 射 5 次，记命中的次数为 X，求 X 的方差；（3）以（1）中的 p0 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹 同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过 0.99．(lg 0.4＝-0.398)19. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，且 PA=AB=BC=2，．（1）证明：三棱锥 P-ABC 为鳖臑；（2）若 D 为棱 PB 的中点，求二面角 D-AC-P 的余弦值．注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥．第 3 页，共 15 页20. 已知椭圆的短轴长为 2，且椭圆的一个焦点在圆(x-2)2+(y-3)2＝18 上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于 4，过椭圆的左焦点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若，求|AB|．21. 已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若 a≥0，不等式 x2f（x）+a≥2-e 对 x∈（0，+∞）恒成立，求 a 的取值范围．22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（α 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为．（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）过 A 作曲线 C 的切线，切点为 M，过 O 作曲线 C 的切线，切点为 N，求 ．第 4 页，共 15 页23. 已知函数 f（x）=| |+|x+2a|．（1）若 a=1，证明：f（|x|）≥5； （2）若 f（1）＜5a2，求 a 的取值范围．第 5 页，共 15 页1.答案：B-------- 答案与解析 --------解析：解：（1+i）（2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}， ∵0＜log230＜log232=5， ∴log230∈A 故选：C． 根据元素与集合的关系进行判断 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】 本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属基础题．由题得存在 μ∈R，使得，得到关于 μ，λ 的方程组，解之即得解．【解答】解：∵ 与 共线，∴存在实数 μ∈R，使得，即，故 μ=-3，-λμ=-1，∴．故选：B．4.答案：D解析：【分析】 本题考查函数的奇偶性的定义和导数的运用：求切线的斜率，属于基础题． 由奇函数的定义可得 f（0）=0，求得 a=2，求得 f（x）的导数，可得在 x=0 处的切线的斜率． 【解答】 解：f（x）=a-2+asin2x 为奇函数， 可得 f（0）=0，即 a-2=0，可得 a=2，第 6 页，共 15 页则 f（x）=2sin2x， ，为奇函数，符合题意， 其导数为 =4cos2x， 则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为 k=4cos0=4． 故选：D．5.答案：D解析：【分析】 本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据条件可得出 f（-1）=-1，根据 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f（x）＜-1 得出 f（x）＜f（-1），从而 得到 x＞-1，即得出原不等式的解集． 【解答】 解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4； ∴f（-1）=-1； ∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f（x）＜-1 得，f（x）＜f（-1）； ∴x＞-1； ∴不等式 f（x）＜-1 的解集为（-1，+∞）． 故选：D．6.答案：C解析：解：设矩形的长为 2a，则宽为 a，∴该图形的面积为．阴影部分的面积为．故该点取自阴影部分的概率为 P=．故选：C． 设矩形的长为 2a，则宽为 a，分别求出图形面积及阴影部分面积，再由测度比是面积比得答案． 本题考查几何概型概率的求法，正确求出阴影部分的面积是关键，是基础题．7.答案：B解析：【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力，属于简单题． 先求出 d1，d2，化简，即得离心率的值． 【解答】解：易知 A，B 的坐标分别为（c， ），（c，- ），图中对应的渐近线为 bx-ay=0，则 d1= ，d2= ， ∵d2=4d1，∴3c=5b，第 7 页，共 15 页∴9c2=25（c2-a2），5a=4c， ∴e= = ． 故选：B．8.答案：D解析：解：∵钝角 α 满足，∴tanα＜0，且=，求得 tanα=2- ， 故选：D． 由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 tanα 的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基 础题．9.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG， 右边为四棱锥 P-BCGF（或三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），则或．故选：D． 由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG，右边为四棱锥 P-BCGF（或 三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），再由棱柱与棱锥的体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.答案：D解析：【分析】 本题考查对数值的求法，考查计算能力，属基础题． 把已知条件表示为，lg2，lg3 的方程，求解即可． 【解答】 解：∵a=lg6=lg2+lg3，b=lg20=1+lg2，∴，故选 D．第 8 页，共 15 页11.答案：A解析：解：∵b=1，且 abcosC+ccosA=abc，∴abcosC+bccosA=ac，即：ab•+bc•=ac，∴b2=ac=1，从而 c= ，∴cosB==，∵a∈（ ， ），∴当 a= 时，cosB= ；当 a= 时，cosB= ，又 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，故 cosb 的取值范围为（ ， ）． 故选：A． 利用余弦定理化简已知等式可得 c= ，可求 cosB==，结合范围 a∈（ ， ），根据 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，可求 cosb 的取值范围．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了函数的单调性，考查了转化思想和函数思想， 属于中档题．12.答案：A解析：解：y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 联立，可得 x2-4kx-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 x1x2=-4，x1+x2=4k，kOA= = ，kOB= = ，由题意可得 tan60°=|=4| |= ，即有（x1+x2）2-4x1x2=27，可得 16k2+16=27，解得 k=± ．故选：A． 联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，化简整理， 计算可得所求值． 本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，考查 化简运算能力，属于中档题．第 9 页，共 15 页13.答案：1320解析：解：∵样本中男生比女生多 12 人，∴（ - ）× =12，即=12，得 n=1320， 故答案为：1320． 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14.答案：解析：解：设正方体棱长为 a，则 6a2=32，解得 a= ，故球的半径 R= =2，∴球的体积 V= = ．故答案为 ． 求出正方体的棱长，得出球的半径，再计算球的体积． 本题考查了棱柱与球的位置关系，几何体的面积与体积计算，属于中档题．15.答案：解析：解：已知 a＞0，则=（a3-x）[1+ + + • +…+ • ]的展开式的常数项为 a3-9a， 令 f（a）=a3-9a，则 f′（a）=3a2-9，则当 a= 时，f′（a）=0，f（a）=a3-9a 取得最小值， 故答案为： ． 利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项为 f（a）=a3-9a，再利用导数求函数 f（a）的最 小值，可得结论． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，利用导数求函数的最值，属于中档题．16.答案：43 万元解析：【分析】 本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于 基础题． 设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x，y 亩，种植总利润为 z 万元，然后根据题意建立关于 x 与 y 的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的 x 和 y 的值即可． 【解答】 解：设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x， y 亩，种植总利润为 z 万元，由题意可知，第 10 页，共 15 页一年的种植总利润为z=0.5×5x+0.4×4.5y-x-0.5y=1.5x+1.3y，作出约束条件如下图阴影部分，由,解得A（20，10），平移直线1.5x+1.3y=0，当过点A（20，10）时，一年的种植总利润为z取最大值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：（1）在数列{a n}中，a1=1，且a n，2n，a n+1成等比数列，可得4n=a n a n+1，即有a2=4；a3==4，a4==16；（2）由4n=a n a n+1，4n+1=a n+1a n+2，可得=4，即有数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，可得数列{a2n}的前n项和S n==（4n-1）．解析：（1）由等比数列中项性质，可令n=1，2，3，计算可得所求值；（2）由数列的递推式可得数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，由求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：（1）这8周总命中炮数为40+45+46+49+47+49+53+52=381．总未命中炮数为32+34+30+32+35+33+30+28=254，∴p0==0.6．∵＞，∴根据表中数据易知第8周的命中率最高．（2）由题意可知X～B（5，0.6），则DX=5×0.6×（1-0.6）=1.2．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，即1-0.4n＞0.99，得0.4n＜0.01，∴n＞log0.4 0.01==-=≈5.025，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99．解析：（1）根据古典概型概率公式可得；（2）由题意可知X～B（5，0.6），根据二项分布的方程公式可得．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，解得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.答案：（1）证明：∵AB=BC=2，，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，△ABC为直角三角形．∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AB，△PAB，△PAC均为直角三角形．∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，△PBC为直角三角形．故三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）解：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，0，1），则，．设平面ACD的法向量为，则令x=1，则．易知平面PAC的一个法向量为，则．由图可知二面角D-AC-P为锐角，则二面角D-AC-P的余弦值为．解析：（1）证明AB⊥BC，PA⊥BC，PA⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB．说明△PBC为直角三角形．推出三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面ACD的法向量，平面PAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D-AC-P的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，∵椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上，当y=0时，解得x=-1或x=5，∴c=1或c=5，当c=1时，a2=b2+c2=2，此时椭圆方程为+y2=1，当c=5时，a2=b2+c2=26，+y2=1，（2）椭圆的焦距小于4，则2c＜4，则c＜2，故c=1，此时椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，由，消x可得（m2+2）y2-2my-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=，①，y1y2=-，②∵，∴（-1-x1，-y1）=3（x2+1，y2），∴y1=-3y2，③，由①②③可得m2=1，∴|AB|=•=•=•=．解析：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．（1）由题意可得b=1，再根据椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上可得c=1或c=5，分类讨论，即可求出椭圆方程，（2）由题意可得椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，根据韦达定理，以及向量的关系可得m2=1，再根据弦长公式即可求出．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应用，考查推理能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|=2，|OC|==，∴|AM==，|ON|===2，∴==2．解析：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）证明：若a=1，则，f（|x|）=+1+|x|+2=+|x|+3≥2+3=5，当且仅当x=±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，-3a-2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤-1；当-1＜a＜-时，-a＜5a2，则-1＜a＜-；当a≥-时，3a+2＜5a2，则-≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（-∞，-）∪（1，+∞）解析：（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。
河南省新乡市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析
河南省新乡市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．2．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =， 所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.3．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243 B ．70243 C ．80243 D ．38243【答案】C【解析】【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．4．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A ．35B ．45-C ．45D ．35- 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】 解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5f θ=-， 所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D【点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．5．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作34y x =-，平移直线即可求解.【详解】 作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3.故选：B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 6． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】， 由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =， 但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈ ∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件 故选B【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】 ∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜， ∴f （5）＝f[f （1）]＝f （9）＝f[f （15）]＝f （13）＝1．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．8．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ）A ．10B ．32C ．40D ．80【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理通项公式1r r n r r n T C a b -+=可得常数项，然后二项式系数和，可得a ，最后依据1r r n r r n T C a b -+=，可得结果. 【详解】由题可知：515r r r r T C x a -+=当0r =时，常数项为51T a =又()5x a +展开式的二项式系数和为52由5522a a =⇒=所以5152r r r r T C x -+=当2r =时，223235280T C x x ==所以2x 项系数为80故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.9．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题．10．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ．本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D 【解析】【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=. 故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π163 【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积1114π233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=故该几何体的体积123V V V =+=+故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省新乡市2020届高三高考数学(理科)三模试题
抛物线
抛物线x2＝ay的准线为
则 与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切，
所以 ，所以
故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的准线方程，考查抛物线的切线，属于基础题.
4．D
【分析】
先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果.
【详解】
由 ，则
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，排除选项A，C
又 ，排除除选项B
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为 ，套中目标B的概率为 ，假设小华每次投掷的结果相互独立．
16．在直四棱柱 中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且 ，点 在边 上，且满足 ，动点 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹围成的图形的面积为______；当 与平面 所成角最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为_______．
四、解答题
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
A．（﹣1，1）B．（﹣1， ）C．[﹣1，1）D．（﹣ ，1]
3．若抛物线x2＝ay的准线与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切，则a＝（）
A．8B．﹣8C．﹣4D．4
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A．5B．3C．6D．4
6．函数f（x）＝2sin2（ωx﹣ ）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在 上的最小值是（）
河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案
理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x ｜0≤x ≤4}，N ＝{x ｜y ＝3－x ，y ∈M}，则M ∩N ＝A ．[0，3]B ．[0，4]C ．[－1，4]D ．[－1，3]2．若复数z 满足，则z ＝()211i i z ＋＝－ A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判定标准如下表：某小学生的身高为1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是 A ．47 kg B ．51 kg C ．66 kg D ．70 kg4．若x ，y 满足约束条件则z ＝4x ＋3y 的最小值为1133x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥－，＋≤，A ．9 B ．6．5 C ．4 D ．35．已知数列{}是等差数列，且＝3，则＋＋＝n a 9a 4a 8a 122a A ．12 B ．9 C ．6 D ．36．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型y ＝2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该A ．使x 增加1个单位B ．使x 增加2个单位C ．使x 增加到原来的2倍D ．使x 增加到原来的10倍7．已知O 是△ABC 的重心，且，则实数λ＝ 20OAOB BC λ ＋＋＝A ．3 B ．2 C ．1 D ． 128．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK ＋CK 的最小值为A B C ．D 9．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋1）是偶函数，f （x －1）是奇函数，则下列说法正确的个数为①f （7）＝0；②f （x ）的一个周期为8；③f （x ）图像的一个对称中心为（3，0）；④f （x ）图像的一条对称轴为x ＝2019．A ．1B ．2C ．3D ．410．将函数图像上所有的点按照向量m ＝（a ，0）（a ≠0）平移得到函()sin 3f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋数g （x ）的图像，若，则｜a ｜的最小值为 3355f g ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ A ． B ． C ． D ． 415π1330π1315π1715π11．如图所示，直线l 与双曲线E ：（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于A ，22221x y a b－＝B 两点，若·＝－4，且△AOB 的面积为，则E 的离心率为OA OBA B C ．2 D12．已知函数若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为 ()1212log 18212x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，≤＜，＝，≤≤，A ．B ． CD ．1 1412二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中x 2y 4项的系数为__________． 6122x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋14．曲线y ＝（x 2＋2）e x 在点（0，2）处的切线方程为__________．15．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －2）2＝4，直线l ：x ＋ay －1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝__________．16．已知数列{}是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且＝1，＝7．若n a n n S 1a 3S 关于的不等式＜的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是n n S 22log n k a ＋________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． tan tan a A b B （Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若a ：b ：c ＝1 ：x ：y ，且△ABC ，求y 的值．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的 频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子? （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥S －ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SA ＝SD ．（Ⅰ）若∠BAD ＝120°，证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）若3BD ＝6AC ＝8SA ，求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设椭圆C ：（a ＞1）的左顶点为A ，右焦点为F ，已知｜AF ｜＝ 2221x y a＋＝2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）抛物线y 2＝2px （p ＞0）与直线x ＝2交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2lnx （a ≠0）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若存在a ∈（0，＋∞），对任意的x ∈（0，＋∞），不等式恒成 ()422x f x bx ≤＋立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C的参82x ty ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝数方程为（s 为参数）．23x s y ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且abc ＝1，证明：（Ⅰ）（2a ＋1）（2b ＋1）（2c ＋1）≥27； （Ⅱ）．()()()22211134a b c b a c c a b ＋≤＋＋＋理科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.［答案］A［命题意图］本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．［解析］依题意得O罢王3-x罢王4，解得一l,;.;;x罢王3，即N=!xi -1,;.;;x，；二剖，所以M门N=i x l O，；三Z罢王3f.2. ［答案］D【命题意图］本题考查复数的基本运算．【解析】z＝电子＝呜±il＝一1+ i.3.［答案］C［命题意图］本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想．［解析］由题意得，体重＝BMI×身高2，因为此人属于超标，所以BMI e [24 ,29. 9］，所以此学生的体重范围为[24 X 1. 52 ,29. 9×1. 52 J，即［54,67.275］，故正确答案为C.4.［答案］D［命题意图］本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想．［解析］不等式组所表示的可行域为下图中的LABC，当目标函数对应的直线经过点B(O,l）时，z取得最小值3.y5.［答案］A［命题意图］本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］因为I a. i是等差数列，所以a4+ a8 + 2a12 = 2a6 + 2a12 = 4a9 = 12.6.［答案］D［命题意图］本题考查回归模型的概念．［解析］y =2lg z，则y+ 2 = 21g X + 2 = 2 (lg X + 1 ) = 21g lOx，所以应该使z增加到原来的10倍．7. ［答案］C［命题意图］本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］芮＋20主＋λ亘古二日＋2而＋λ（而－OB）二日＋(2 －λ）而＋λ苟＝0，因为0是LABC的重心，『2λ＝1.所以J’解得λ＝1.lλ＝ 1,8.［答案］B［命题意图］本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力．［解析］将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如。
2020届河南省新乡市高三第三次模拟测试数学(理)试题(解析版)
2020届河南省新乡市高三第三次模拟测试数学（理）试题一、单选题1．（）A．B．C．D．【答案】B2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C3．设向量，是平面内的一组基底，若向量与共线，则（）A．B．C．D．【答案】B4．若为奇函数，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D5．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A6．某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】C7．如图，过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点F 作x 轴的垂线交C 于,A B两点（A 在B 的上方），若,A B 到C 的一条渐近线的距离分别为12,d d ，且214d d =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．54C ．3D ．34 【答案】B 8．若钝角满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】化简已知得，解方程舍去正根即得解.【详解】 因为，所以，又为钝角，所以，则，解得（正根舍去）.故选：D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和二倍角的正切公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9．某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A．B．或C．D．或【答案】B10．设，，则（）A．B．C．D．【答案】D11．在中，角所对的边分别是，已知，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A12．在直角坐标系中，直线与抛物线交于两点，若,则（）A．B．C．D．【答案】A二、填空题13．某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．【答案】14．一个球的内接正方体的表面积为，则该球的体积为_______．【答案】15．已知，则当的展开式的常数项（即不含的项），取得最小值时，____．【答案】16．某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿 4.5吨0.5万元0.4万元那么，该农户一年种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）的最大值为____万元【答案】三、解答题17．在数列中，，且成等比数列，（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）利用等比中项的性质列方程，然后求得的值.（2）利用（1）的结论，判断数列是等比数列，由此求得数列的前项和.【详解】（1）∵，，成等比数列，∴.∵，∴，同理得，.（2）∵，∴，则数列是首项为4，公比为4的等比数列，故.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查利用等比数列的定义判断数列为等比数列.属于基础题.18．以下是新兵训练时，某炮兵连周中炮弹对同一目标的命中的情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这周中总的命中频率，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的作为该炮兵连甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射次，记命中的次数为，求的方差；（3）以（1）中的作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过（取）【答案】(1)p0=0.6, 第周的命中频率最高. (2)1.2（3）枚【解析】（1）先求出这周总命中炮数和总未命中炮数，再求这周中总的命中频率，比较第7周和第8周的命中率得到第8周的命中频率最高；(2)利用二项分布求的方差；（3）解不等式得解.【详解】解：（1）这周总命中炮数为，总未命中炮数为，，，根据表中数据易知第周的命中频率最高.（2）由题意可知，则（3）由，即，得，，故至少要用枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过【点睛】本题主要考查频率的计算，考查二项分布的方差的计算，考查指数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．如图，在三棱锥中，平面，且,（1）证明：三棱锥为鳖臑；（2）若为棱的中点，求二面角的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由条件已经知道，均为直角三角形，只需证为直角三角形即可得证.（2）利用空间向量求得两个面的法向量，求得即可.【详解】（1）∵，，∴，∴，为直角三角形.∵平面，∴，，，均为直角三角形.∵，∴平面.又平面，∴，为直角三角形.故三棱锥为鳖臑.（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，则，.设平面的法向量为，则令，则.易知平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四面体是否为鳖臑的判断与求法，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查空间向量的应用，是中档题．20．已知椭圆的短轴长为，且椭圆的一个焦点在圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若，求【答案】（1）或.（2）【解析】（1）由题意可知：b＝1，由焦点在圆上，可求得c，进而求得a，即可求得椭圆方程；（2设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标的关系，利用向量转化的纵坐标的关系，求得直线方程，利用弦长公式可得所求．【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以，则.圆与轴的交点为，，故或，从而或，故椭圆的方程为或.（2）设，，由，得.因为椭圆的焦距小于，所以椭圆的方程为，当直线的斜率为0时，AF=,BF=,不满足题意，所以将的方程设为，代入椭圆方程，消去，得，所以，，将代入，得.故.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．21．已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）若，不等式对恒成立，求取值范围.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)【解析】（1）对a分和两种情况讨论求函数的单调性；（2）对恒成立，再构造函数求出函数的最小值为，再构造函数【详解】解：（1）的定义域为，，若，因为，所以，所以，所以在上单调递减，若，令，得，当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2），即对恒成立，令，则，令，得，当时，；当时，，所以的最小值为，令，则，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以当时，的最小值为；当时，的最小值为故的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为)2,3(π.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线C 的切线，切点为N ，求ON AM.【答案】（1）24cos 6sin 120ρρθρθ--+=（2）2【解析】（1）曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）由圆的切线长公式，先求AC ，OC ，再利用勾股定理求得AM ON ，，作比即可. 【详解】（1）由23x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩，得()()22231x y -+-=，即2246120x y x y +--+=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=. （2）由（1）知，曲线C 表示圆心为()2,3C ，半径为1的圆. 因为A （0，3），所以2AC =， 所以2213AM =-=.因为13OC =所以13123ON =-=.故2ON AM=.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、切线长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1）若，证明：；（2）若，求的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）利用基本不等式证明；（2）即解不等式，再利用分类讨论法解不等式得解. 【详解】 解：（1）证明：若，则，当且仅当时，等号成立，从而 （2）由，得， 当时，，即恒成立，则；当时，，则； 当时，，则或，综上，的取值范围为【点睛】本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
【全国市级联考】河南省新乡市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题
新乡市2020届高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=RC A B I （ ） A ．{|25}x x <≤ B ．{|5}x x ≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞U C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞U6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b r r 满足||3a =r ，且()()4a b a b +-=r r r r g，则||b =r．14.设P 为曲线224x y =+上一点，(5,0)A -，(5,0)B ，若||2PB =，则||PA = ． 15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为86π，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为45+，求ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =u u u r u u u r ，BD DC =u u u r u u u r.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n ii ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB u u u u r u u u rg 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB g . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤I .2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n rr n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =L ，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U .6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A 22(1)x y -+(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-22(2)(1)x y -+-(,)M x y 到点(2,1)A 的距离，所以2222(2)(1)(1)x y x y -+--+(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即2222min ((2)(1)(1)3x y x y -+--+=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a =--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.5∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=r r r r r r r g ，∴||5b =r14. 4由224x y =+得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又34863R ππ=，∴6R =，∵222425AC =+=，∴'5AO =，'1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则10cos cos cos 10225PBA BAC θ=∠∠=⨯=g . 故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=， 又22153652c a ac ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列. （2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则5a c =， 则(45)45a b c c ++=+=+，即1c =.从而223155 cos2136 A+-==⨯⨯，则11sin6A=.故ABC∆的面积111sin24S bc A==.18.（1）证明：因为AB AC=，BD DC=u u u r u u u r，所以AD BC⊥，又PA⊥平面ABC，则PA BC⊥，因为AD PA A=I，所以BC⊥平面PAD.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAD.（2）因为1119333224P ABDV PA-=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA=.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,3,0)C，(0,1,0)E，33(,,0)22D，(0,0,3)P，L 则31(,,0)22ED=u u u r，(0,1,3)PE=-u u u r.设平面PDE的法向量为(,,)n x y z=r，则n EDn PE⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rgr u u u rg，即312230x yy z⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，令1z=，得(1,3,1)n=-r，平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m=u r，则311cos ,1111m n <>==u r r ， 故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为31111. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元 故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB u u u u r u u u rg 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--u u u u r u u u r g .若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于202(,)PM x x y =-u u u u r ，101(,)PB x x y =-u u u r，则212120012()PM PB x x x x x x y y •=-+++u u u u r u u u r 2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++2220002(485)31243x x k x k --+-=+因为PM PB u u u u r u u u r g 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =.21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x --=-=，当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增. 当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-， 由（1）知，()f x 在1[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e =. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e -=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e >，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-， 当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将1222x ty t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=，则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==g .23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<， 则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x-≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n +=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016nmm n m n m n m n +=++=++≥+= 当且仅当9nmm n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4}，若A ={0,2，3}，B ={2,3，4}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. ⌀B. {1}C. {0,2}D. {1,4}2. 已知复数z 1=1+i ，z 2=2−i ，则z 1z 2i= ( )A. 1−3iB. −1+3iC. 1+2iD. 1−2i3. 若tanα+1tanα=52，α∈(π4,π2)，则sin (2α−π4)的值为( )A. 7√210B. √210C. −√210D. −7√2104. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( )A. 6B. 4C. 3D. 25. 已知实数x ，y 满足{2x +y −7≥0x +2y −5>0x ∈N y ∈N，则3x +4y 的最小值是( )A. 19B. 17C. 16D. 14 6. 在等差数列{a n }中，a 2=1，S 5=15，则a 4等于( )A. 3B. 5C. 6D. 87. 将函数f (x )=sin 2x −12的图像向右平移π6个单位后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y =g(x)的图像，则g (−7π6)等于( )A. −12B. 12C. −√32D. √328. 按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是( )A. 3B. 4C. 5D. 69.设函数f(x)=3|x|−11+x2，则使f(x)>f(2x−1)成立的x的取值范围是()A. (13,1) B. (−∞,−13)∪(1,+∞)C. (−13,13) D. (−∞,−13)∪(13,+∞)10.如图，网络纸上正方向小格的边长为1，图中粗线画出的是三棱柱的三视图，则该几何体的表面积为()A. 8+4√5B. 12+2√3C. 4+4√5D. 1211.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点.在此几何体中，给出下面结论： ①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面; ③直线EF//平面PBC.其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 312.已知离心率e=√52的双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为()A. 2√2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为θ，且a⃗=(3,3),2b⃗ −a⃗=(−1,1)，则___________．14.在区间[0,π]上随机取一个实数x，则sin2x≥12的概率为______．15.已知正项等比数列{a n}的前n项和，若S3=13，S6=364，则a n=______16.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，点M(−p2,9)，N(−p2,−1)，连接OM，ON，分别交抛物线于A，B两点，若A，B，F三点共线，则p的值为_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b=acosC+csinA且CD=√2．(1)求A；(2)求△ABC面积的最大值．18.电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．观看方式电视网络年龄(岁)[15,45)150250[45,65]12080求：(I)假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；(II)根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：K2=2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB的中点，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点到直线l：y=x的距离分别为√62，√22．(1)求椭圆C的离心率；(2)过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆的两条切线PM和PN分别与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．21.已知函数f(x)=ae x lnx在x=1处的切线方程与直线x+2ey=0垂直．(1)求a的值；(2)证明：xf(x)>1−5e x−1．22.选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l:{x=ty=√33t(t为参数)，曲线C1:{x=3+3cosθy=3sinθ(θ为参数)，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的方程为ρ=−2sinθ+ 2√3cosθ．(I)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(II)设直线l交曲线C1于O，A两点，直线l交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当a=b=1时，解不等式f(x)>x+2；(2)若f(x)的值域为，求证1a+1+1b+1⩾1．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】考查列举法表示集合的概念，以及补集、交集的运算．进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∁U A={1,4}，∁U B={0,1}；∴(∁U A)∩(∁U B)={1}．故选B．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．结合复数的运算即可求解．【解答】解：复数z1=1+i，z2=2−i，则z1z2i =(1+i)(2−i)i=(3+i)·ii·i=1−3i，故选A．3.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数的求值.运用三角函数的基本关系式以及倍角公式，求出2α的正弦和余弦，利用差角公式可求．【解答】解：因为tanα+1tanα=52，所以sinαcosα+cosαsinα=52，整理得到，所以sin2α=45又α∈(π4,π2)，则2α∈(π2,π)，所以cos2α=−35，所以sin(2α−π4)=√22sin2α−√22cos2α=√22×45+√22×35=7√210，故选A ．4.答案：C解析： 【分析】本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础． 根据分层抽样的定义直接计算即可． 【解答】解：∵男生36人，女生18人， ∴男生和女生人数比为36：18=2：1，∴抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为12+1×9=13×9=3， 故选：C ．5.答案：C解析： 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z =3x +4y 的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 【解答】解：作出不等式组{2x +y −7≥0x +2y −5>0x ∈Ny ∈N 对应的平面区域如图中的点： 设z =3x +4y ，由z =3x +4y 得 y =−34x +14z ，平移直线y =−x +z ，由图象可知当直线y =−x +z 经过点A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，由图可得A(4,1)， 此时z =12+4=16． 故选C ．。
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2020年河南省新乡市高三数学理科模拟考试卷一第I 卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1.函数()f x =3333A.{|}B.{|}C.{|2}D.{|2}2222x x x x x x x x x x ≠>≠≠≥≠且且2.复数z=(a+i)(2i-1)是纯虚数，则实数a 的值为A.2B.-2C.1D.-13.为得到函数sin cos y x x =-的图像，只需将()(,0)2y f x a π==r 的图像按向量平移即可，则()f x 的解析式为A.()sin cosB.()sin cosC.()sin cosD.()2sin cos f x x x f x x x f x x x f x x x =+=-+=--=4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若首项1a <0，且56S S =，则下列判断错误的是 A.480a a +=B.680a a =C.45S S >D.120S =5.点A 、B 在圆226120x y x ky +-++=上，且A 、B 关于直线10x y --=对称，则|AB|可以是 A.2B.3C.4D.56.若2000()1()0,00f x ax bx x f x ab x =++=><且存在使则是的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7.若球的表面积为16π.若某平面截球所得圆的面积为3π，则球心到该平面的距离为A.1 8.有8个大小相同的球，上面分别标有1、2、3、4、5、6、7、8，现任取三个球，则其中恰有两球邻号的概率为A.1328B.1128 C.1528 D.17289.已知向量(1,2),(2,4),||0,()a b c a c a b c =-=-=+⋅o r r r r r r r r若与的夹角为12则的值为B. D.10.531())x a x-的展开式中，2x 的系数为-31，则a 的值为A.-1B.1C.2D.-211.函数1()xf x x-=的反函数为1()f x -，若-2<x<-1时，恒有1()f x m -<,则m 的范围是 A.(-1,+∞) B.[-1,+∞] C.(0,+∞) D.[0,+∞) 12.过抛物线24(0)y px p =>焦点F 的直线依次交抛物线与圆222()x p y p -+=于A 、B 、C 、D 四点，则 A.|AB||FC|>|BF||CD| B.|AB||FC||BF||CD|= C.|AB||FC||BF||CD|< D. |AB||FC||BF||CD|与的大小不确定 第II 卷 二、填空题（共4小题，每小题4分，共计16分）13.已知x y 、满足约束条件200()2x ay x y a R x --≥⎧⎪+≥∈⎨⎪≤⎩,目标函数3z x y =+只有当20x y =⎧⎨=⎩时取到最大值，则a 的取值范围是___________14.函数24cos sin y x x =+的最小正周期与y 的最大值的和为_____________ 15.已知数列111220071{}0,2,2,n n n na a a n N a a a a a ++≠=∈+==L 满足对一切有则____________ 16.Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则222111h a b =+.如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，若PA=1，PB=PC=2，则PO=____________三、解答题（共6小题，共计74分） 17.（本题满分12分）已知集合3221{|2520},{|0}.{|3}2A x x x xB x x ax b x x =++->=-+≤<≤I 若A B= ( I )求a 、b 的关系； (II)求22a b +的取值范围.甲、乙两人进行5场兵乓球比赛，在不考虑其它因素时，甲胜乙的概率是13，但甲、乙两人都清楚双方实力，则甲因对对手产生畏惧导致自己的实力降低20%，而乙却因自大轻敌导致自己只能发挥出60%的水平. ( I )此时甲胜乙的概率； (II)比赛进行了3场后，甲乙两人同时都发挥出自己的真正实力且保持下去，问ξ场比赛后，甲胜场数的期望.19.（本题满分12分）四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥面ABCD ，AB=5，BC=3，PA=2，PC=( I )求证:PC ⊥BC ；(II)求异面直线AC 与PB 的夹角；(III )若PA=x ，则当x 为何值时，△BPD 为直角三角形.20.（本题满分12分）数列{}n a 满足2B 2n a An n =++（A 、B 为常数），n S 表示{}n a 前n 项和.某同学算得12346,18,36,68S S S S ====，后经另一位同学验证，发现其中一项计算错误而其它三项正确。
( I )判断1234S S S S 、、、中哪个数计算错误并求{}n a 通项公式; (II)记n n 112111111T ,Q 482n n a a a +=+++=+++L L ,试比较n n T Q 与大小.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定点A(1,0).设点B 在一三象限角平分线上，点C 轨迹为10x y +-=,若对于任意a R ∈,点B 满足OC (12)OA OB()R ααα=-+∈u u u r u u u r u u u r ( I )求点B 的坐标;(II)设点C 的轨迹与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有交点且交点为E 、F ，若双曲线22221x y b a -=过点(1,1)，求OE OF ⋅u u u r u u u r 的值.22.（本题满分14分） 已知函数32()2(0)32a b f x x x abx a b =+->、比存在两个极值点12x x 和，且满足1211||||x x + ( I )求a 、b 之间的关系; (II)若b N +∈，求()f x 的解析式;(III )在(II)的条件下，()()2ln ,()()'g x x x F x g x f x =-=+，求当(0,4]x ∈时，()F x 的最大值.273(ln 2)404<<[参考答案]一、选择题1~4 DBAD 5~8ABAC 9~12 CABB 二、填空题 13. (0,+∞) 14. 12π+三、解答题2211221117.{|(1)(2)()0}{|21}221{|3}3021930012117()039222(1)0x x x x x x x x x x ax b a b x x ax b x a b b a a a b ++->=>-<<-<≤∴-+=∴-+=-+=-≤≤∴-+≤=-∴≤-++≥Q I 解:(I) A=或 A B= 为的一个根设为另一根，则 又 222222222min 2222max 39273922277292781(II)(93)10548110()8110()101010107812()2102781727()max{10(2),10()1010210b a a a b a a b a a a a a a a a b a b =-∴≥∴-=≤≤+=+-=-+=-+-=-+≤≤∴+=+=--+-Q 又 且 228129}1028129[,]102a b +=∴+ 取值范围为 1245(I) 0.414233535(II) .1~(3,0.4) ~(2,)31 30.42E E E ξξξξξ⨯=⨯+⨯∴∴=+=⨯+⨯121318.解：甲胜乙的概率为由于前三场比赛中，每场比赛甲胜乙的概率为0.4;1后两场比赛中，每场比赛甲胜乙的概率为3可看成两个二项分布，2831528.15=∴甲胜场数的期望为19.AC 4AC BC 11MN=,AC=222⊥∴⊥∴=⊥∴⊥Q Q Q Q证明：(I )PA 平面ABCD PA AC又 又PC 在面ABCD 上射影为AC PC BC(II)分别取PA 、AB 、BC 中点M 、N 、Q ，连结MN 、NQ 、MQ22222MQ=MN+NQ-2MN NQ cos77294cos cos44(III)BPD PB+PDθθθθπ∠⋅⋅=+-∴=-记MNQ=,则故异面直线AC与PB所成的角为△为直角三角形时22222=BD2594(33)3x xx+++=++∴=,即1122334420.A+B+2 S=A+B+24A+2B+2 S=5A+3B+29A+3B+2 S=14A+6B+216A+4B+2 S=30A+10B+2aaaa====解：(I)12343A 1B 3 S(1)(2)1111111111 (II) T233445(1)(2)2334121122nnS S S Sa n nn n n n n===++=++++=-+-++-⨯⨯⨯++++=-+L L分别假设、、、错误最终可得，，计算错误故2111111112142212112222n nnnn nQnnT Q+++-=⋅=--+<∴-<-+∴<易证22222221.(I)(,)12102201(1,1)(II)1(1,1)111ccc cB m m x my mx y m mBx yb aa bααααα=-+=+-=∴-=∴=-=∴-=-解：易知故双曲线过11221212121212122222222221212222(,),(,).(1)(1)2()1112111()102112E x yF x yOE OF x x y y x x x x x x x xyxy x x xa b a b b bx x x xb bOE OFb⋅=⋅+=⋅+--=-++=--=-+--=∴+=⋅=+∴⋅=+u u u r u u u ru u u r u u u r设将代入得22213b-+=122212121212121222.(I)()2,28011||||4(1) 4(1)bf x ax bx ab x x x x b b a bax xx x x xb a a b a a-=+-+=-=-=+>-∴+====-∴=-解：则而△显然成立平方整理得()22322(II)0 4(1)0 (0,1)14(1)(1)1,1,21()6211(III)'() 1 ()12ln22h x=a b a a ab a a a a b N b axf x x xf x x x F x x x x x+>∴->∴∈=-≤+-=∈∴==∴=+-∴=+-∴=+--⋅QQ、且()/'()122ln12ln'(1)021,(0,2)'()(24)'()(0,1)'()0,(1,2)'()0'(4)412ln434ln20F x x x x x Fh x x F x x F xxx F x x F xF=+--=--==-∈∈∴∈>∈<=--=->Q显然则当时，单调递减;当，时，单调递增时，时，()()0000max(2,4)'0(,4)'0,(2,)'()0(0,1)(,4)()()max{(1),(4)}1(1),(4)118ln41116ln211162x F xx x F x x x F xx F xF x F FF F∴∈=∴∈>∈<∴∴===-=-<-⨯Q存在一点，使时，时，在和上时递增270.2(1)401().(1)2FF x x=<∴=的最大值为此时。