立体几何2

立体几何21. (2010 全国I 理)如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，2. AB ∥DC ，AD ⊥DC ，12AB AD DC SD ====，，E 为棱3. SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ． （Ⅰ）证明：2SE EB =；（Ⅱ）求二面角--A DE C 的大小．2. (2010 全国II 理)如图，直棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1A A AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =． （I ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（II ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°， 求二面角111A AC B --的大小． 3. (2010 四川理) （本小题满分12分）已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M 是 棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点． （Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC B -'-'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M OBC -的体积．4. (2010 天津理) 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ，1CC 上的点，2CFAB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =．（Ⅰ）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明AF⊥平面1A ED ；（Ⅲ）求二面角1A ED F --的正弦值． 5. (2006 安徽理) （本小题满分12分）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O ．（1）证明PA BF ⊥；（2）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小． 6. (2006 北京理) （本小题共14分） 如图，在底面为平行四边形的四棱 锥P ABCD -中，AB AC ⊥，SCABEDCAE D C 1BB 1A 1D 'A BCDMOA 'B 'C 'A 1B 1C 1D 1 A BCD EFCAP EDBF O P BCAEDPA ⊥平面ABCD ，且PA AB =， 点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．7. (2006 四川理)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E P ，分别是11BC A D ，的中点，M N ，分别是1AE CD ，的中点，1AD AA a ==，2AB a =．（I ）求证：1ADD MN A 1面∥； （II ）求二面角P AE D --的大小； （III ）求三棱锥P DEN -的体积． 111ABC A B C -8. (2006 全国II 理)如图，在直三棱柱中，AB BC =，D ，E 分别为11BB AC ，的中点．（I ）证明：ED为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（II ）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小．9. (2006 浙江理) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N ，分别为PC PB ，的中点． （Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角．10. (2007 天津理)如图，在四棱锥P ABCD -中 ，PA ⊥底面ABCD ， 60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．11. (2009 全国II 理) （本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC，，D 、E 分别为、的中点，平面．（Ⅰ）证明：=； （Ⅱ）设二面角为，求与平面BCD 所成角的大小．10}2B -=<+A B ={}2|log 2A x x =≤()B a =-∞，A B ⊆a()c +∞，c ={|1}A x x =≤{|}B x x a =≥A B R=aA =-≤B xx =-+≥A B =∅A B ⊆ABCDEA 1 C 1B 1DEC BA12. (2009 海南理)如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形 ，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．13. (2008 全国I 理) （本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．14. (2008 全国II 理)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．15. (2009 湖南理) （本小题满分12分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA =，点D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥．（I ）证明：平面ADE平面；（II ）求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值．16. (2009 江苏) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别是11A B A C ，的中点，点D在11B C 上，11A D B C ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；xx ，≤{}|1x x ≥CDE AB SPDCA BAB CD EA 1B 1C 1D 1 A 1B 1C 1CBA E DACA 1BC EFD（2）111A FD BB C C ⊥平面平面．17. (2009 山东理) 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，2BC CD ==，12AA =，E ，1E ，F 分别为棱AD ，1AA ，AB 的中点．（Ⅰ）证明：直线1EE ∥平面1FCC ； （Ⅱ）求二面角1B FC C --的余弦值．18. (2009 陕西理)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==，60ABC ∠=°．（Ⅰ）证明：1AB A C ⊥；（Ⅱ）求二面角1A A C B --的大小．19. (2009 上海理) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===，AB BC ⊥，求二面角111B AC C --的大小．20. (2009 天津理) 如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD BC FE AB AD M ⊥∥∥，，为EC 的中点，1.2AF AB BC FE AD ====（Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （Ⅱ）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （Ⅲ）求二面角A CD E --的余弦值．21. (2009 重庆理)如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：（Ⅰ）点到平面的距离； （Ⅱ）二面角的大小．{}|()0M x f x =<{}|()0P x f x '=>MP a(1)-，∞(01)，(1)+，∞[)1+，∞|2xxa xxb -<∈->∈R R ，，，⊆3a b +≤||3a b +≥||3a b -≤A 1 D 1C 1B 1BAED CFE 1A CBA 1 C 1B 1A 1B 1C 1CBA FEDCMA BEA DSCB22. (2009 全国I 理) （本小题满分12分） 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=°．（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S AM B --的大小．23. (2008 天津理) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB=，2AD =，2PA =，22PD =，60PAB =∠．（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． 24. (2008 浙江理) 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=，3AD =，2EF =．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60？25. (2007 海南宁夏理)如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （I ）证明：SO ⊥平面ABC ；（II ）求二面角A SC B --的余弦值．26. (2007 全国I 理) 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．27. (2007 全国II 理) （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．28. (2007 陕西理) （本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面SMCB A DA BCDP DABE FCDBCASABCD ．42236PA AD AB BC ====，，，．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P BD A --的大小．29. (2007 四川理) （本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，9012PCB PM BC PM BC ∠===，∥，，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角M AC B --的大小；（Ⅲ）求三棱锥P MAC -的体积．30. (2007 浙江理) （本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．ACBMP。