2019-2020学年高中数学 第一章 第十六课时《计数原理》小结与复习(二)教案 北师大版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-3)教师用书：第1章 计数原理-章末分层突破
章末分层突破[自我校对]①分类加法计数原理②分步乘法计数原理③排列④排列数公式⑤组合数公式⑥组合数⑦二项展开式的通项⑧对称性⑨增减性两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解.(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理.【规范解答】(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种).(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种).(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种).应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.[再练一题]1.如图1-1为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电.图1-1【解析】先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.【答案】8排列、组合的应用排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决.(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【精彩点拨】按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般.【规范解答】(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方法；③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A28种，共有7A28种方法.所以共有不同的派遣方法总数为A48＋3A38＋3A38＋7A28＝4 088种.(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A7＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A4＝24种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种.②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A6＝720种方法.×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝7×6×5×4＝840种.根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种.③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A12种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132种排法.解排列、组合应用题的解题策略1.特殊元素优先安排的策略.2.合理分类和准确分步的策略.3.排列、组合混合问题先选后排的策略.4.正难则反、等价转化的策略.5.相邻问题捆绑处理的策略.6.不相邻问题插空处理的策略.7.定序问题除序处理的策略.8.分排问题直排处理的策略.9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.10.构造模型的策略.简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序.[再练一题]2.(1)一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A.40B.74C.84D.200 (2)(2016·山西质检)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种【解析】 (1)分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个； 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个.由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 5C 14＝74.(2)由题意知，不同的座次有A 2A 4＝48种，故选B. 【答案】 (1)B (2)B二项式定理问题的处理方法和技巧对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.(1)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A.2B.54 C.1D.24(2)已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n (n ∈N ＋)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________.【导学号：62980030】(3)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0的值为________. 【精彩点拨】 (1)、(2)利用二项式定理的通项求待定项； (3)通过赋值法求系数和.【规范解答】 (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 展开式的通项是T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3r ＝C r n x n －4r ，r ＝0,1,2，…，n ， 由于(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有常数项，所以C r n x n －4r ，x C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋1和x 2C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋2都不是常数，则n －4r ≠0，n －4r ＋1≠0，n －4r ＋2≠0，又因为2≤n ≤8，所以n ≠2,3,4,6,7,8，故取n ＝5.(3)令x ＝1，得a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝26＝64.令x ＝－1，得a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)6＝4 096. 两式相加，得2(a 6＋a 4＋a 2＋a 0)＝4 160， 所以a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2 080. 【答案】 (1)C (2)5 (3)2 0801.解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式.2.解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法.[再练一题]3.(1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210(2)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12【解析】 (1)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)512 016＋a ＝(13×4－1)2 016＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 016＋a 能被13整除.【答案】 (1)C (2)D排列、组合中的分组与分配问题n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组再排列.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【精彩点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.【规范解答】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C16种选法，再从余下的5本中选2本有C25种选法，最后余下3本全选有C3种选法.故共有C16C25C3＝60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C3A3＝360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是C26C24C2种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C2种分法中还有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A3种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15(种).(4)有序均匀分组问题.在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A3＝C26C24C2＝90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有C46C12C11A22＝15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A3＝90(种).(7)直接分配问题.甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C4种方法.共有C16C15C4＝30(种).均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.[再练一题]4.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？【解】取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：1 144,2 233,1 234.所取卡片是1 144的共有A4种排法.所取卡片是2 233的共有A44种排法.所取卡片是1 234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44种.所以共有18A44＝432种.1. (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个(x2＋x＋y)之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C13＝30.故选C.【答案】 C2.如图1-2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图1-2A.24B.18C.12D.9【解析】从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条.如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条).所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.【答案】 B3.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________.【解析】先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字.法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和34. (2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________.(用数字填写答案) 【解析】 (2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝ C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10. 【答案】 10。
2020高中数学 第一章 计数原理章末复习讲义
第一章计数原理知识系统整合规律方法收藏1．分类和分步计数原理(1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．（2)分类加法计数原理的特点:类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路"来理解)．(3)分步乘法计数原理的特点:步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少),这件事才算完成(可类比物理中的“串联电路"来理解）．2．解决排列组合应用题的原则解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则、先取后排的原则、正难则反的原则、相邻问题“捆绑”处理的原则、不相邻问题“插空”处理的原则．(1）特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑．（2)正难则反的原则:对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求解．(3）相邻问题“捆绑"处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑"起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列．(4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入．(5）指标问题采用“挡板法”把问题转化为：把n个相同元素分成m个组的分法，这相当于n个相同元素的每两个元素之间共n－1个空，任插m－1个板子的插法数,即C错误!种．（6)先取后排的原则:对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则,即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列．(7）定序问题倍缩、空位插入原则定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理．（8）分排问题直排原则一般地，对于元素分成多排的排列问题,可先转化为一排考虑，再分段研究．(9)小集团问题先整体后局部原则小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理．（10）构造模型原则一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等,可使问题直观理解，容易解决．3．二项式定理及其应用(1）二项式定理：(a＋b）n＝C0n a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k ＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!(k＝0，1,2,…，n)称为二项式系数，第k＋1项C错误!a n－k b k称为通项．(2)二项式系数的性质①对称性．与首末两端“等距离"的两个二项式系数相等，体现了组合数性质C错误!＝C错误!.②增减性与最大值．当k〈错误!时，二项式系数C错误!逐项增大；当k>错误!时，二项式系数C错误!逐项减小．③各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C1n＋C错误!＋…＋C错误!＝2n；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn－1。
【精】高中数学第一章计数原理小结与复习一教案北师大版选修2_3
1 / 6 【精】【精】高中数学第一章计数原理小结与复习一教案北
师大版选修2_3
一、教学目标：1、使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等
内容，并能比较熟练地运用；2、通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问题和解决问题的能力；3、引导养成学生分析过程、
深刻思考、灵活运用的习惯和态度。
二、教学重难点：掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，
并能比较熟练地运用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、知识点：
1、分类加法原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办
法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第
n 类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法。
1m 2
m n m 12n N m m m =+++
2、分步乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步。
高二数学计数原理知识点总结归纳
高二数学计数原理知识点总结归纳1. 排列与组合在数学中，排列与组合是计数原理的基本概念。
排列表示对给定的一组元素进行有序的安排，而组合则表示选取给定集合中的若干元素的无序集合。
2. 排列排列是从一个给定的元素集合中选取出一些元素按照一定的顺序进行排列的算法。
根据排列的性质，可以分为两种类型：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
2.1 有重复元素的排列设有 n 个元素中，其中有 m1个元素相同，m2个元素相同，...，mk 个元素相同。
则排列数 P 的计算公式为：P = n! / (m1! * m2! * ... * mk!)2.2 无重复元素的排列设有 n 个不同的元素要进行排列，选取其中 r 个元素进行排列的方式，计算排列数的公式为：P = n! / (n - r)!3. 组合组合是从一个给定的元素集合中选取出若干元素的无序集合。
与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
根据组合的性质，可以分为两种类型：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
3.1 有重复元素的组合设有 n 个元素中，其中有 m1 个元素相同，m2 个元素相同，...，mk 个元素相同。
则组合数 C 的计算公式为：C = (n + 1)! / (m1! * m2! * ... * mk! * (n - m1 - m2 - ... - mk)!)3.2 无重复元素的组合设有 n 个不同的元素要进行组合，选取其中 r 个元素进行组合的方式，计算组合数的公式为：C = n! / (r! * (n - r)!)4. 二项式定理二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了两个数的二次方的展开式中，各个项的系数与指数之间的关系。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, r) *a^(n-r) * b^r + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, r) 表示了 n 中取 r 的组合数。
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
高中数学知识点总结 计数原理
高中数学知识点总结计数原理一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．2．两个计数原理的区别与联系123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n -个．二、排列1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 特别提醒确定一个具体问题是否为排列问题的方法：(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，否则不是排列问题．(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2．解决排列应用问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．(2)注意对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算． 特别提醒当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．3．排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.特别提醒排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.三、组合1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.特别提醒解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．3．组合数的性质性质1：C C m n m n n-=. 性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n-+=+. 性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.四、二项式定理1．二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n na b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})kn k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k nT a b -+=. 2．二项式系数的性质（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即2131C C C C 2n n n n n -++=++=L L . 特别提醒求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k 的值代回通项求解,注意k的取值范围（0,1,2,,L）.k n（1）第m项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.。
人教版高二数学选修23第一章计数原理《《计数原理》小结与总结复习》
第数原理数原理与复习：高二（）班学号：姓名：一点整理评论：1、两个数原理： （1计数原理：达成一件事，,件事共有N=m 1+m 2+⋯+m n种不一样的方法。
（）数原理：达成一件事，需要分红n ，件事有N=m 1×m 2×⋯×m n种不一样的方法。
2、摆列 （1）摆列：一般地，从n 个不一样的元素中拿出m n ）个元素，并按必排成一列，叫做从n 个 不一样元素中拿出m 个元素的一个摆列。
（2） 摆列数公式： m A nn (n 1) (n 2) (n m1) (n n ! m)! ， 3、组合 （合：一般地，从n 个不一样元素中拿出m 个不一样元素并，叫做从n 个不一样元素中拿出m 个不同元素的一个组合。
（合数公式： （合数公： 性质1: 推论1: 推论2: 4、二项式定理： （1）二项式定理：()011222nnnnrnrrnnabCaCabCabCabCbnnnnn（2）通项是睁开式的第项，即： 2、二项睁开式的特色:（1）项数：共n ＋1项；（2）指数：a 按降幂摆列，b 按升幂摆列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C nr (r ＝0,1,2,⋯，n )二．稳固练习评论：1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，假如两头不站女生且3个女生一定相邻的排法有()。
(A)144种(B)288种(C)432种(D)576种法有16，起码有1名女生当选时的不一样选出3人去观光展览2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选()。
中的女生数量为种，则小组(A)2(B)3(C)4(D)5队，共需10名队球成方员，每个班起码要出1名，不一样的构篮3.(郑年级商州)高中一年级8个班磋构成式的种数是()。
(A)16(B)24(C)28(D)36出4人参加4×100m接力赛，假如甲、乙两人都不跑第一棒，那么不一样的选4.(湖南)从6名短跑运动中员方案有()。
高中数学选修课件第一章计数原理章末优化总结
1 2
二项式展开式的应用
利用二项式展开式求解一些特定数列的和问题。
二项式系数的性质
利用二项式系数的性质求解组合数的问题。
3
二项式定理在概率论中的应用
利用二项式定理求解一些概率问题，如抛硬币、 抽奖等。
概率与统计中的高级计数技巧
分步计数原理与分类计数原理的综合运用
根据问题的实际情况，灵活选择分步或分类计数原理进行求解。
计数原理在概率论、 统计学、计算机科学 等领域具有广泛应用 。
它提供了系统的方法 来确定在特定条件下 不同事件的组合数或 排列数。
计数原理的基本思想
分类计数原理
当完成一件事情有多种方法时，根据方法的种类将事件分为不相交的类别，然 后分别计算每类方法下的可能情况数，最后将各类情况数相加得到总的可能情 况数。
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题目1
将4个相同的小球放进3个不同的盒子中，每个盒子至少 放一个，有多少种不同的放法？
题目2
用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个无重复数字 的三位数？
答案解析
将4个小球分为3组，一组1个，另两组都是1个，然后将3 组小球放入3个不同的盒子中，即C(3,1)=3，所以共有3 种不同的放法。
答案解析
高中数学选修课件第一章计数原理 章末优化总结
汇报人：XX 20XX-01-29
目录
• 计数原理概述 • 计数原理基础知识回顾 • 计数原理在解题中的应用技巧 • 计数原理的拓展与提高 • 计数原理的章末总结与反思 • 练习题精选及解析
01计数Leabharlann 理概述计数原理的定义与重要性
计数原理是数学中的 一个基本概念，用于 解决各种计数问题。
包括加法原理、乘法原理、排列的性 质（如排列的有序性、排列与元素顺 序有关等）、组合的性质（如组合的 无序性、组合与元素顺序无关等）。
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2019-2020学年高中数学 第一章 第十六课时《计数原理》小结与复
习（二）教案 北师大版选修2-3
一、教学目标：1、正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题。
2、会利用二项式定理解决某些整除性问题
二、教学重难点：二项式定理及其运用，二项式系数的性质运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、知识点
1、二项式定理及其特例：（1）
01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++
+++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.
2、二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 。
3、求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4、二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，
当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5、二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,
,}n ，例当6
n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n
C C -=）。
直线2n r =是图象的对称轴。
（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1
2n n C -，1
2n n
C +取得最大值。
（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，
令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ （二）、例题探析：
例1．①计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x
②计算:n n
n n n C C C 242121++++ 分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.
解： ① )1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x ＝11]1)1[(5=-+-x
② n n
n n n C C C 242121++++ ＝(12)n +＝n 3
例3、求证)(983*22N n n n ∈--+能被64整除.
分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有28的式子.因此,可将223+n 化成112)18()3(+++=n n 再进行展开,化简即可证得.
证明：∵22389(8
n n n n ++--=+--＝1221111(18888
)89n n n n n n C C C n +++++++++-- ＝22111888n n n n n C C ++++++＝2221118(88)n n n n n C C --+++
++ ∴多项式展开后的各项含有28∴)(983*22N n n n ∈--+能被64整除。
引伸:①求证1923+能被10整除;②求138除以9的余数。
例4、求52)1()1(x x -+的展开式中3x 的系数。
解:利用通项公式r r n r n r b a C T -+=1,则2)1(x +的通项公式r r r x C T ⋅=+21,}2,1,0{∈r
5)1(x -的通项公式k k k k k k x C x C T 551)1()(-=-⋅=+,}5,4,3,2,1,0{∈k 令3=+r k ,则⎩⎨⎧==2
1r k 或⎩⎨⎧==12r k 或⎩⎨⎧==03r k 从而3x 的系数为53525121
5=-+-C C C C
引伸:求103)1)(1(x x +-的展开式中5x 的系数. ( 答案:207 )
例5、求153)1(x x -的展开式中的常数项和有理项。
解:设
展开式中的常数项为第1+r 项,则653015153151)1()1
()()1(r
r r r r r r r x C x x C T --+⋅⋅-=⋅⋅-= (*)由题意得06
530=-r ,解得6=r ,所以展开式中的常数项为第7项5005)1(6156167=⋅-==+C T T .由题意可得
Z r ∈-6530,即r 是6的倍数,又因为150≤≤r ,所以r =0,6,12故展开式中的有理项为
5501501)1(x x C T =⋅⋅-=,50057=T ,513420-=x T 。
（三）、课堂练习：
1、由数字1、
2、
3、
4、
5、
6、7组成无重复数字的七位数。
（1）求有3个偶数相邻的7位数的个数；（2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数。
2、从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个
不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）A.100种 B.400种 C.480种
D.2400种
3、已知碳元素有3种同位素12C 、13C 、14C ，氧元素也有3种同位素16O 、17O 、18
O ，则不同的原子构成的CO 2分子有（ ）A.81种 B.54种 C.27种 D.9种
（四）、课堂小结 ：1、二项式定理的应用:证明整除问题。
2、通项公式的应用:①通项公式是第1+r 项,而不是第r 项;②运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项。
（五）、课后作业：课本P30页复习题（一）A 组中7、8 B 组中4、5。