河南省高考物理总复习讲义 第5章 第1讲 功和功率

第1讲 功和功率考 纲 点击 备 考 指 南1.功和功率Ⅱ 1.准确掌握功、功率、动能、势能、机械能等重要概念及相关物理量的判断和计算．2.理解动能定理的含义，并能熟练应用动能定理解决问题3.理解机械能守恒的条件，掌握机械能守恒定律的应用．4.熟练利用功能关系和能量守恒定律，结合牛顿运动定律、平抛运动和圆周运动、电磁学等相关内容处理综合性的问题2.动能和动能定理Ⅱ3.重力做功与重力势能Ⅱ4.功能关系、机械能守恒定律及其应用Ⅱ实验五：探究动能定理实验六：验证机械能守恒定律知识一 功1．做功的两个要素力和物体在力的方向上发生的位移． 2．公式：W ＝Fl cos α(1)该公式只适用于恒力做功．(2)α是力与位移方向的夹角，l 为物体对地的位移． 3．功的正负的意义(1)功是标量，但有正负之分，正功表示动力对物体做功，负功表示阻力对物体做功． (2)一个力对物体做负功，往往说成是物体克服这个力做功(取绝对值)．(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功．(×) (2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．(√)(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定做负功．(×)知识二 功率1．定义功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义描述做功的快慢． 3．公式(1)P ＝W t，P 为时间t 内的平均功率．(2)P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率．②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率． 4．额定功率与实际功率(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．机车的牵引力与速度方向一致，故机车的功率P ＝F ·v ，其中F 为机车的牵引力而不是机车所受的合外力.1．(多选)如图5－1－1所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速带至高处，在此过程中，下述说图5－1－1法正确的是( )A ．摩擦力对物体做正功B ．摩擦力对物体做负功C ．支持力对物体不做功D ．合外力对物体做正功【解析】 物体P 匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，合外力为零，做功也为零，故A 、C 正确，B 、D 错误．【答案】 AC 2．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是( )A ．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B ．加速时做正功，匀速和减速时做负功C ．加速和匀速时做正功，减速时做负功D ．始终做正功【解析】 考查功的概念．人乘电梯时，无论是加速还是减速、匀速，支持力的方向总是向上，与运动方向相同，所以支持力与位移方向夹角小于90°，总是做正功，选D.【答案】 D3．相同的恒力按同样方式施于静止的物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的位移，恒力对物体做的功和平均功率分别为W 1、P 1和W 2、P 2则( )A ．W 1>W 2 P 1>P 2B ．W 1＝W 2 P 1<P 2C ．W 1＝W 2 P 1>P 1D ．W 1<W 2 P 1＝P 2【解析】 由W ＝Fs cos α可知，两恒力相同，运动相同的位移，W 1＝W 2，但在光滑水平面上的物体，因无摩擦力，走相同的位移用的时间短，由P ＝Wt可知，P 1<P 2，故选B.【答案】 B4．(2008·广东高考)为了响应国家的“节能减排”号召，某同学采用了一个家用汽车的节能方法．在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车后备厢中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽车负载减少．假设汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1 950 N，请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？【解析】v＝72 km/h＝20 m/s，由P＝Fv得P1＝F1v＝Ff1v，P2＝F2v＝Ff2v，故ΔP＝P1－P2＝(Ff1－Ff2)v＝1×103 W.【答案】1×103W考点一 [36] 功的正负判断方法力与位移的夹角在推力F作用下，斜面与物块一起水平运动(1)G对m不做功(2)F N对m做正功(3)F f对m做负功力与瞬时速度的夹角卫星由位置1到2的过程中，F与v的夹角大于90°做负功图5－1－2此法常用于判断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的情况．例如车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图5－1－2中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车做正功．因为绳的拉力使车的动能增加了．又因为M和m构成的系统的机械能是守恒的，M增加的机械能等于m减少的机械能，所以绳的拉力一定对球m做负功．——————[1个示范例]——————图5－1－3(2014·贵阳一中检测)人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图5－1－3中的a点运动到b点的过程中( )A．万有引力对卫星做正功B．万有引力对卫星做负功C．万有引力对卫星先做正功，再做负功D．万有引力对卫星一直不做功【解析】由于图中万有引力与速度方向夹角始终小于90°，故在此过程中万有引力对卫星做正功，A正确．【答案】 A——————[1个预测例]——————图5－1－4(多选)如图5－1－4所示，重球m用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于O点，重球置于一个斜面不光滑的斜劈M上，用水平力F向左推动斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是( )A．M、m间的摩擦力对m不做功B．M、m间的摩擦力对m做负功C．F对M所做的功与m对M所做的功的绝对值相等D．M、m间的弹力对m做正功【审题指导】审题时注意该题中的几个关键条件：(1)斜面不光滑．(2)光滑水平桌面．(3)匀速．【解析】小球在向左摆动过程中，M对m的摩擦力方向与小球m的位移方向间夹角小于90°，故摩擦力对m做正功，A、B均错误；因M匀速向左运动，地面对M的支持力和M 的重力不做功，一定有F对M所做的功与m对M所做的功合功为零，C正确；M对m的弹力方向与m位移方向夹角小于90°，故对m做正功，D项正确．【答案】CD(1)作用力和反作用力虽然等大反向，但由于其分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等．(2)摩擦力并非只做负功，可以做正功、负功或不做功．考点二 [37] 功的计算一、恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算．二、合外力做的功方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功．方法二：先求各个力做的功W1、W2、W2、……，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋……求合外力做的功．三、变力做的功1．应用动能定理求解．2．应用W＝Pt求解，此法适用于变力的功率P不变．3．将变力做功转化为恒力做功，此法适用于力的大小不变，方向与运动方向相同或相反，或力的方向不变，大小随位移均匀变化的情况．——————[1个示范例]——————如图5－1－5所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg ，求这一过程中图5－1－5(1)人拉绳子的力做的功； (2)物体的重力做的功；(3)物体受到的合力对物体做的总功． 【解析】 (1)工人拉绳子的力： F ＝12mg sin θ 工人将料车拉到斜面顶端时，拉绳子的长度：l ＝2L ，根据公式W ＝Fl cos α，得W 1＝12mg sin θ·2L ＝2 000 J.(2)重力做功：W 2＝－mgh ＝－mgL sin θ＝－2 000 J.(3)由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W 合＝0. 【答案】 (1)2 000 J (2)－2 000 J (3)0——————[1个预测例]——————图5－1－6人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m ＝50 kg 的物体，如图5－1－6所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°.当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动l ＝2 m 而到达B 点时，绳与水平方向成30°角．则人对绳的拉力做了多少功？【审题指导】 解答该题应注意：(1)人对绳的拉力方向时刻变化，该力一定是变力．(2)求变力的功要注意应用转化的思想，求人拉绳的功可转化为绳对物体拉力的功． 【解析】 人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F ＝mg .而重物上升的高度h 等于右侧绳子的伸长量Δl ，由几何关系易得：h (cot 30°－cot 60°)＝l ，Δl ＝h sin 30°－hsin 60°，解得Δl ＝1.46m ．人对绳子做的功W ＝mg Δl ＝500×1.46 J＝730 J.【答案】 730 J公式W ＝Fl cos α中位移“l ”的意义：(1)力对平动的物体(可看作质点)做功，“l ”为物体上每一点的位移(即受力质点对地的位移)．(2)若受力物体发生转动或形变，“l ”应取作用点的位移． (3)“l ”的取值一般以大地为参考系．考点三 [38] 功率的计算一、平均功率的计算方法 1．利用P ＝W t.2．利用P ＝F ·v cos θ，其中v 为物体运动的平均速度，F 为恒力．二、瞬时功率的计算方法1．利用公式P ＝F ·v cos θ，其中v 为t 时刻的瞬时速度．2．利用公式P ＝F ·v F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度． 3．利用公式P ＝F v ·v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力．——————[1个示范例]——————(2012·江苏高考)如图5－1－7所示，细线的一端固定于O 点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A 点运动到B 点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )图5－1－7A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．先增大，后减小D ．先减小，后增大【解析】 小球速率恒定，由动能定理知：拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A 项正确．【答案】 A——————[1个预测例]——————甲 乙 图5－1－8如图5－1－8甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，g 取10 m/s 2.求：(1)4 s 末力F 的瞬时功率； (2)4 s 内F 做功的平均功率．【审题指导】 根据物体的运动情况求出物体的加速度，由牛顿第二定律求出拉力F 的大小，再由功和功率的公式进行计算．【解析】 (1)由图象可得，物体的加速度 a ＝24m/s 2＝0.5 m/s 2 由牛顿第二定律2F －mg ＝ma ， 解得F ＝10.5 N4 s 末F 的瞬时功率为：P ＝Fv ＝10.5×2×2 W＝42 W. (2)4 s 内的平均功率P ＝F v ＝10.5×2 W＝21 W.【答案】 (1)42 W (2)21 W求力做功的功率时应注意的问题(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率，对应于某一过程的功率为平均功率，对应于某一时刻的功率为瞬时功率．(2)求功率大小时要注意F 与v 方向间的夹角α对结果的影响．(3)用P ＝F ·v cos α求平均功率时，v 应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率．机车的两种启动模型的分析一、模型综述物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．二、两种模型的比较 两种模型 以恒定功率启动 以恒定加速度启动P －t 图和v －t 图OA段过程分析 v ↑⇒F ＝P 不变v ↓⇒a ＝F －fm ↓a ＝F －F 阻m不变⇒F 不变⇒v ↑P ＝Fv ↑直到P 额＝Fv 1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1aAB 段过程分析 F ＝f ⇒a ＝0⇒f ＝P v mv ↑⇒F ＝P 额v ↓⇒a ＝F －f m↓运动性质以v m 做匀速直线运动加速度减小的加速运动BC 段无F ＝f ⇒a ⇒0⇒ 以v m ＝P 额f匀速运动 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P F min ＝P f(式中F min 为最小牵引力，其值等于阻力f )．(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v ＝PF <v m ＝P f.(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt .由动能定理：Pt －fs ＝ΔE k .此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小.【规范解答】(1)当汽车达到最大速度时汽车的功率为P额，且牵引力与汽车和车厢所受摩擦力大小相等，即F＝F f.(1分)由于在整个运动过程中汽车和车厢始终保持相对静止，所以有P额＝Fv max(1分)由上述三式可知汽车的最大速度为：v max＝P额μm＋M g(2分)(2)要保持汽车和车厢相对静止，就应使车厢在整个运动过程中不脱离地面．考虑临界情况为车厢刚好未脱离地面，此时车厢受到的力为车厢重力和绳索对车厢的拉力F T，设此时车厢的最大加速度为a，则有：水平方向：F T cos θ＝ma(2分)竖直方向：F T sin θ＝mg(2分)由上述两式得：a＝g cot θ(1分)(3)因为汽车做匀加速运动，所以F′－F f＝(M＋m)a(2分)因F f＝μ(m＋M)g(用隔离法同样可得)(1分)则F′＝(μ＋cot θ)(M＋m)g(1分)因为汽车达到匀加速运动的最大速度时，汽车的功率恰好达到额定功率，则有P额＝F′v a(1分)由题意知，汽车一开始就做加速度最大的匀加速运动，匀加速运动的最大速度为v a＝at(1分)则汽车以最大加速度行驶的时间为：t＝P额μ＋cot θ＋m＋M g2cot θ(1分)【答案】(1)P额μm＋M g(2)g cot θ(3)P额μ＋cot θ＋m＋M g2cot θ图5－1－10一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数(1/v)图象如图5－1－10所示．若已知汽车的质量，则根据图象所给的信息，不能求出的物理量是( )A．汽车的功率B ．汽车行驶的最大速度C ．汽车所受到的阻力D ．汽车运动到最大速度所需的时间【解析】 由P ＝F ·v 和F －F f ＝ma 得出：a ＝P m ·1v－F fm，由图象可求出图线斜率k ，则k ＝P m ，可求出汽车的功率P ，由1v ＝0时，a ＝－2 m/s 2，得：－2＝－F fm可求出汽车所受阻力F f ，再由P ＝F f ·v m 可求出汽车运动的最大速度v m ，但汽车做变加速直线运动，无法求出汽车运动到最大速度的时间，故选D.【答案】 D分析机车启动问题时的注意事项(1)机车启动的方式不同，机车运动的规律就不同，因此机车启动时，其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律也不相同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．(2)恒定功率下的加速一定不是匀加速，这种加速过程发动机做的功可用W ＝Pt 计算，不能用W ＝Fl 计算(因为F 是变力)．(3)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W ＝Fl 计算，不能用W ＝Pt 计算(因为功率P 是变化的).⊙功、功率的分析1．物体在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向由坐标原点开始运动，设拉力F 随x 的变化分别如图5－1－11甲、乙、丙所示，其中图甲为一半圆图形，对应拉力做功分别为W 甲、W 乙、W 丙，则以下说法正确的是( )甲 丙 乙图5－1－11A ．W 甲>W 乙>W 丙B ．W 甲>W 乙＝W 丙C ．W 甲＝W 乙＝W 丙D ．无法比较它们的大小【解析】 拉力F 为变力，其对物体做的功一定等于F －x 图线与x 轴所围的面积，由图可以看出，W 甲＝π2F m x 0，W 乙＝12F m x 0，W 丙＝12F m x 0，所以W 甲>W 乙＝W 丙，B 正确．【答案】 B 2.图5－1－12两个完全相同的小球A 、B ，在某一高度处以相同大小的初速度v 0分别沿水平方向和竖直方向抛出，如图5－1－12，下列说法正确的是( )A ．两小球落地时速度相同B ．两小球落地时，重力的瞬时功率相同C ．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同D ．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同【解析】 因A 、B 两小球完全相同，其重力相同，从抛出到落地过程中高度相同，故重力对两小球做功相同，C 正确；由动能定理可知，两球落地时动能相同，速度大小相同，但方向不同，故速度并不相同，A 错；因落地时速度大小相同但方向与重力方向夹角不同，故落地时重力的瞬时功率不同，B 错；由于A 做平抛运动，B 做竖直上抛运动，它们的运动时间不同，故重力的平均功率不同，D 错．故选C.【答案】 C⊙功、功率的计算 3.图5－1－13一个质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ，如图5－1－13所示，则拉力F 所做的功为( )A ．mgL cos θB ．mgL (1－cos θ)C ．FL sin θD ．FL cos θ【解析】 小球从P 点到Q 点时，受重力、绳子的拉力及水平拉力F 作用，因很缓慢地移动，小球速度可视为零，由平衡条件可知：F ＝mg tan θ，随θ的增大，拉力F 也增大，故F 是变力，因此不能直接用公式W ＝Fl cos θ计算．根据动能定理，有：W F －W G ＝0.所以W F ＝W G ＝mgL (1－cos θ)，选项B 正确． 【答案】 B ⊙机车启动模型4．(多选)(2014·哈尔滨师大附中模拟)质量为m 的汽车在平直公路上加速行驶，受到的阻力恒为f .当速度为v 时，汽车发动机输出功率为P ，则此时汽车的( )A ．牵引力为P vB ．牵引力大于P vC ．加速度为fmD ．加速度小于Pmv【解析】 功率、牵引力、速度的关系为P ＝Fv ，A 对，B 错；由牛顿第二定律有F －f＝ma ，F ＝P v ，a <Pmv，C 错，D 对．【答案】 AD⊙功、功率在现实生活中的应用5．(2012·北京高考)摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图5－1－14所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a 是随时间t 变化的．已知电梯在t ＝0时由静止开始上升，a －t 图象如图5－1－15所示．电梯总质量m＝2.0×103 kg.忽略一切阻力，重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求电梯在上升过程中受到的最大拉力F 1和最小拉力F 2；11图5－1－14(2)类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v －t 图象求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图5－1－15所示a －t 图象，求电梯在第1 s 内的速度改变量Δv 1和第2 s 末的速率v 2；(3)求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P ；再求在0～11 s 时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W.图5－1－15【解析】 (1)由牛顿第二定律，有F －mg ＝ma由a －t 图像可知，F 1和F 2对应的加速度分别是a 1＝1.0 m/s 2，a 2＝－1.0 m/s 2，则F 1＝m (g ＋a 1)＝2.0×103×(10＋1.0)N ＝2.2×104 NF 2＝m (g ＋a 2)＝2.0×103×(10－1.0)N ＝1.8×104 N.(2)类比可得，所求速度变化量等于第1 s 内a －t 图线与t 轴所围图形的面积， 可得Δv 1＝0.5 m/s同理可得Δv 2＝v 2－v 0＝1.5 m/sv 0＝0，第2 s 末的速率v 2＝1.5 m/s.(3)由a －t 图象可知，11 s ～30 s 内速率最大，其值等于0～11 s 内a －t 图线与t 轴所围图形的面积，此时电梯做匀速运动，拉力F 等于重力mg ，所求功率P ＝Fv m ＝mg ·v m ＝2.0×103×10×10 W＝2.0×105 W 由动能定理，总功W ＝E k2－E k1＝12mv 2m －0＝12×2.0×103×102 J ＝1.0×105 J. 【答案】 (1)2.2×104 N 1.8×104 N (2)0.5 m/s1．5 m/s (3)2.0×105 W 1.0×105 J。