测量误差的正态分布
第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
简述随机误差正态分布的主要规律
简述随机误差正态分布的主要规律
随机误差正态分布是指测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律。
其主要规律包括以下几点:
1. 平均数和方差呈正态分布：随机误差的正态分布以测量平均值为重心，其分布形状类似于一个钟形曲线。
随着测量次数的增加，随机误差的方差会趋近于平均值，使得正态分布的曲线更加平缓。
2. 极端值的出现概率较小：正态分布的规律表明，测量结果中极端值的出现概率较小，而大多数测量结果都分布在平均值附近。
3. 误差分布的离散程度与测量次数有关：随着测量次数的增加，随机误差的分布形状不变，但是其离散程度会越来越大。
这主要是因为多次测量的结果会趋近于平均值，使得随机误差的分布更加集中。
4. 误差分布的形状与测量方法有关：不同的测量方法可能会导致误差分布的形状不同。
例如，在回归分析中，残差的正态分布形状取决于回归模型的准确度。
随机误差正态分布的主要规律表明，测量结果的随机误差遵循高斯分布的规律，而随机误差的分布形状、离散程度和形状取决于测量方法和测量次数等因素。
正态分布的物理意义
正态分布的物理意义正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中一种常见的连续型概率分布。
它具有许多重要的物理意义，广泛应用于各个领域，包括物理学、社会科学、金融学等等。
本文将从几个不同的角度探讨正态分布的物理意义。
正态分布在自然界中的许多现象中都有广泛应用。
例如，在物理学中，正态分布可以用于描述微粒子的速度分布。
根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布定律，气体分子的速度服从正态分布。
这意味着在平衡状态下，气体分子的速度在不同方向上的分布呈现出高峰对称的钟形曲线。
这个分布特征在解释气体的物理性质，如温度、压力等方面起着重要作用。
正态分布在测量误差分析中具有重要意义。
在实验测量中，由于各种因素的影响，我们无法完全精确地测量出所需的数值。
而正态分布可以用于描述这些测量误差的分布情况。
根据中心极限定理，当测量误差是由多个独立因素引起的时候，这些误差的总和近似服从正态分布。
因此，通过对测量误差进行正态分布的分析，可以帮助我们评估测量的准确性和可靠性，并进行相应的修正和优化。
正态分布在风险管理和金融领域中也扮演着重要角色。
在金融市场中，股票价格、汇率波动等变动往往呈现出正态分布的特征。
通过对这些变动的正态分布进行建模和分析，可以帮助投资者和金融机构评估风险，制定相应的投资策略和风险管理措施。
正态分布在金融衍生品定价和风险度量等方面也有广泛应用，为金融市场的稳定和发展提供了重要的理论基础和工具支持。
除了以上几个方面，正态分布还在社会科学研究中发挥着重要作用。
例如，身高、体重、智力等许多人类特征往往呈现出正态分布的分布特征。
通过对这些特征的正态分布进行分析，可以帮助我们了解人类群体的分布规律和特征，从而更好地制定相关政策和措施，推动社会的平等和发展。
总结起来，正态分布作为一种常见的概率分布，具有广泛的物理意义。
它在物理学、测量误差分析、金融学和社会科学等领域中都有重要的应用价值。
通过对正态分布的研究和应用，我们可以更好地理解和解释自然界和人类社会中的各种现象，为科学研究和社会发展提供有力的支持。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
第二章误差分析讲解
第三节 有限测量数据的统计处理
一、偶然(随机)误差的正态分布
同一矿石样品的n次测定值：
23
y
测量值的波动符合正态分布
y
1
2
exp
1 2 x源自2
µ -0 +
x(测量值) x-µ(误差)
y 表示概率密度
σ—总体标准偏差，表示数据的离散程度
μ—无限次测量的总体平均值，
即F
s12 s22
s1
s2
P一定时，查 F , f1, f2
注意：f1为大方差的自由度 f2为小方差的自由度
如F F ，则两组数据的精密度不存在显著性差异 ，f1, f2
如F F ，则两组数据的精密度存在显著性差异 ，f1, f2 33
练习
例：在吸光光度分析中，用一台旧仪器测定溶液的
由P 95%, f大 5，f小 3 F表 9.01
F F表 两仪器的精密度不存在显著性差异
34
（二）t检验（准确度显著性检验）
1. x 与µ比较
x
t
n
S
当t≥tα,f 存在显著性差异 当t<tα,f 不存在显著性差异
35
练习
例：采用某种新方法测定基准明矾中铝的百分含量， 得到以下九个分析结果，10.74%，10.77%， 10.77%，10.77%，10.81%，10.82%，10.73%， 10.86%，10.81%。试问采用新方法后，是否 引起系统误差？（P=95%）已知含量为10.77%。
26
2.t一定时，由于f不同， 则曲线形状不同，所包 括的面积不同，其概率 也不同。
27
随机误差统计规律分布特点
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用
正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用正态分布（Normal Distribution）是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布。
在正态分布中，大多数数据集中在均值附近，随着离均值的距离增加，数据分布逐渐降低。
正态分布是一个对称的分布，其图形呈钟形曲线。
正态分布在工程分析中广泛应用，主要用于描述连续型随机变量的概率分布，例如测量误差、产品质量的变异性等。
工程师可以利用正态分布的参数（均值和标准差）来估算和预测潜在的风险和可靠性。
指数分布（Exponential Distribution）是一种连续概率分布，用于描述事件发生的时间间隔。
指数分布的概率密度函数呈指数下降，适用于模拟独立随机事件的时间间隔，例如设备故障、订单到达、等待时间等。
在工程分析中，指数分布经常用于评估时间相关的风险和可靠性，例如设备的平均失效间隔时间、处理任务的平均时间等。
对数正态分布（Lognormal Distribution）是一种连续概率分布，其取对数后的变量呈正态分布。
对数正态分布常用于描述生物学、经济学和金融市场中的一些变量，如股票收益率、货币汇率变动等。
在工程分析中，对数正态分布常用于建模和分析一些无法用常规分布描述的正数随机变量，例如土壤渗透性、环境污染物浓度等。
威布尔分布（Weibull Distribution）是一种连续概率分布，广泛应用于可靠性工程、风险分析和寿命数据分析等领域。
威布尔分布的特点是可以描述不同类型的故障率曲线，包括负指数曲线（逐渐降低）和正指数曲线（逐渐增加）。
在工程分析中，威布尔分布常用于对产品寿命和失效概率进行建模和预测，以评估产品的可靠性和寿命特性。
这些概率分布在工程分析中的应用包括：1.风险评估：通过对输入变量的分布进行建模，可以使用这些概率分布来评估不同风险情景的概率和可能性。
例如，在工程项目中，可以使用正态分布来估算成本、时间和质量方面的风险。
2.可靠性分析：通过使用威布尔分布和指数分布来模拟和分析设备失效时间和寿命数据，工程师可以评估设备的可靠性和耐用性，进而制定相应的维护策略和计划。
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随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
i xi x
( n )
测量误差的分类（续）
• 2.系统误差
– 定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一 量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变， 或在测量条件改变时按一定规律变化的误差， 称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误 差，或值随温度变化的误差。 – 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方 法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等） 影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人 员不良的读数习惯等。 x A0 – 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际 值的程度。系差越小，测量就越准确。
• 在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比
13.2.1有效数字的处理（续）
• 2. 有效数字
• 若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近 似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字 到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。 例如： 3.142 四位有效数字，极限误差≤0.0005 8.700 四位有效数字，极限误差≤0.0005 8.7×103 二位有效数字，极限误差≤0.05×103 0.0807 三位有效数字，极限误差≤0.005
3.1.1 测量误差的分类（续）
• 3.粗大误差：
粗大误差是一种显然与实际值不符的 误差。产生粗差的原因有：
– ①测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错 以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等 。 – ②测量方法不当或错误 如用普通万用表电压 档直接测高内阻电源的开路电压 – ③测量环境条件的突然变化 如电源电压突然 增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量 仪器示值的剧烈变化等。
• 例如，某物理量的测量结果的值为 63.44 ，且该量的测量
不确定度u＝0.4，测量.2.1有效数字的处理（续）
保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。 • （1）加法运算 以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最 少者为准），其余各数可多取一位。例如：
射击误差 示意图
测量结果的表征（续）
• 测量值
x A | | | |
x4 是粗大误差
谢谢！
13.2 测量数据处理
• 13.2.1 有效数字的处理
• 1. 数字修约规则 • 由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。 为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理 时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。 • 数据修约规则： • （1） 小于5舍去——末位不变。 • （2） 大于5进1——在末位增1。 • （3） 等于5时，取偶数——当末位是偶数，末位不变；末 位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。
13.2.1有效数字的处理（续）
• 例：将下列数据舍入到小数第二位。
– 12.4344→12.43 – 0.69499→0.69 – 17.6955→17.70 123.1150→123.12
63.73501→63.74 25.3250→25.32
• 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。
上例中 0.69499 ，正确结果为 0.69 ，错误做 法是： 0.69499→0.6950→0.695→0.70。
13.2.1有效数字的处理（续）
中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加 。开头的零不是有效数字。
测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又 比较少的测量数据，应采用科学计数法，即 a×10n ， a 的 位数由有效数字的位数所决定。
• 测量结果（或读数）的有效位数应由该测 量的不确定度来确定，即测量结果的最末 一位应与不确定度的位数对齐。
• （ 2）减法运算：当两数相差甚远时，原则同加法运算；当 两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此，第一要 尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一 些有效数字。
2
13.1.1 测量误差
测量误差的分类
– 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误 差、系统误差、粗大误差三类。
• 1.随机误差
– 定义 : 在同一测量条件下（指在测量环境、测 量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下 ），多次重复测量同一量值时（等精度测量） ，每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知 的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差 ，简称随差。 – 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相 关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声 干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、
第13章 电工仪表与测量技术
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 测量误差与数据处理 测量结果的不确定度的估算及测量结果表示 电工仪表的基本知识 直接作用模拟指示电测量仪表的组成和原理 磁电系仪表 数字电压表及数字万用表
1
13.1 测量误差与数据处理
13.1.1 测量误差 13.1.2 测量数据处理
• 含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在
测量误差的分类（续）
• 4.系差和随差的表达式 在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随 i x A xi x xi A xi 机误差
各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差 的代数和。
– 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般 都是同时存在的。
测量误差的分类
• 例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。 • 单次测量的随差没有规律， 但多次测量的总体却服从统计规律。 • 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
x1 x2 xn 1 n x xi n n i 1
2 测量结果的表征
• 准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越 高，即测量值与实际值符合的程度越高。 • 精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差 越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布 在平均值附近。
• 精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度 越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机 误差都小。