高一数学新教材知识讲学 数学 必修1专题07 函数的概念及表示(知识精讲)(解析版)

专题七函数的概念及表示知识精讲
一知识结构图
内容考点关注点
函数概念及其表示函数的概念函数的定义及三要素函数的定义域使解析式有意义
函数的解析式定义域
分段函数自变量的取值范围
二.学法指导
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
3．函数求值的方法
（1）已知f x的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f a的值.
（2）求f g a的值应遵循由里往外的原则.
4.对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．
5.函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.
6.作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．
7.求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.
8.分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．9．已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内
三.知识点贯通
知识点1 函数的概念
1.定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

2.三要素：对应关系，定义域，值域。

例1.下列各组函数中是相等函数的是()
A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
【答案】B
【解析】A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.
知识点二函数的定义域
1.求函数定义域的常用方法：
1若f x是分式，则应考虑使分母不为零.
2若f x是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
3若f x是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
4若f x是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
5若f x是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
例题2：求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋
3
x－2；
(2)f(x)＝(x－1)0＋
2
x＋1；
(3)f(x)＝3－x·x－1；
(4)f(x)＝x＋12
x＋1－1－x.
【答案】(1){x|x≠2} (2){x|x>－1且x≠1} (3){x|1≤x≤3}
(4){x|x≤1且x≠－1}
【解析】(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数f (x )＝2＋
3
x －2
有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}． (2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≠0，2
x ＋1≥0，
x ＋1≠0，
解得x >－1且x ≠1，
所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}． (3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧
3－x ≥0，
x －1≥0，解得1≤x ≤3，
所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧
x ＋1≠0，
1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，
即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．
知识点三 求函数的解析式
1.求函数解析式的四种常用方法
1
待定系数法：若已知f
x 的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊
值确定相关的系数即可.
2换元法：设t ＝g x ，解出x ，代入f g
x
，求f
t
的解析式即可. 3
配凑法：对f
g
x
的解析式进行配凑变形，使它能用g
x
表示出来，
再用x 代替两边所有的“g
x ”即可.
4
方程组法
或消元法
：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互
为倒数关系时，可构造方程组求解.
例题3 .(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；
(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【答案】(1)f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．(2)f (x )＝2x ＋8
3或f (x )＝－2x －8.
(3)f (x )＝2
3x －1
【解析】(1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)2x ＋83或－2x －8 (3)2
3x －1 [(1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．
法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．
(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8， 即⎩⎨⎧
a 2＝4，a
b ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝8
3
或⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝－8. 所以f (x )＝2x ＋8
3或f (x )＝－2x －8.
(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎨
⎧
f x －2f －x ＝1＋2x ，f
－x －2f
x ＝1－2x ，
消去f (－x )可得f (x )＝2
3x －1.]
知识点四 分段函数的求值问题
1.如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
例题4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤－2，
x 2
＋2x ，－2<x <2，
2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；
(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．
【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－5
2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.
∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322
＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝9
4－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 五 易错点分析
易错一 函数的定义域
例题5.将函数y ＝3
1－1－x 的定义域用区间表示为________．
【答案】(－∞，0)∪(0,1]
【解析】由⎩⎨⎧
1－x ≥0，
1－1－x ≠0，
解得x ≤1且x ≠0，
函数的定义域用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．． 误区警示
求函数的定义域应使得解析式有意义，式子有意义的几条准则应考虑全面。

易错二 集合中元素的互异性
例题6.已知f (x )＝x －4x ，则f (x )＝________；
【答案】f (x )＝x 2－4x (x ≥0)．
【解析】令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，代入原式有f (t )＝t 2－4t ，f (x )＝x 2－4x (x ≥0)． 错误区警示
求函数的解析式，应注意函数的定义域，换元法求解析式时，应注意新元的取值范围就是所求函数的定义域。

易错三 忽略端点值的取舍
例题7.函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？
【解析】能．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2，x ≥2，2－x ，x <2.
函数f (x )的图象如图所示．
错误警示
去掉解析式中绝对值，应讨论绝对值号内部式子的正负，而不是自变量的正负。