2015福建省高考压轴卷 理科数学 含答案
2015年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）（2015•福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B 等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．ϕ考点：虚数单位i及其性质；交集及其运算．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．解答：解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•福建）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x考点：函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）（2015•福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9C．5D．3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解答：解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出y（万元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．解答：解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）（2015•福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2 C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）（2015•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．解答：解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．点评：本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．解答：解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）（2015•福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．解答：解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）（2015•福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：创新题型；导数的概念及应用．分析：根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．解答：解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015•福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．解答：解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r+1=•x5﹣r•2r，令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）（2015•福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．解答：解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．点评：本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）（2015•福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．考点：定积分的简单应用；几何概型．专题：导数的综合应用；概率与统计．分析：分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．解答：解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）（2015•福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2，故答案为：（1，2]．点评：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．15．（4分）（2015•福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．考点：通讯安全中的基本问题．专题：创新题型；新定义．分析：根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．解答：解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．点评：本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1=，P（X=2==，P（X=3==，所以X的分布列为：X 1 2 3PEX=1×+2×+3×=．点评：本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）（2015•福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE 来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．解答：解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．点评：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）（2015•福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．直线与圆锥曲线的综合问题．考点：专圆锥曲线中的最值与范围问题．题：分析：解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．解答：解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m 2+2）y 2﹣2my ﹣3=0，∴y 1+y 2=，y 1y 2=，从而==+y 1y 2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB 为锐角． 故点G在以AB 为直径的圆外．点评： 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题． 19．（13分）（2015•福建）已知函数f （x ）的图象是由函数g （x ）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f （x ）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程f （x ）+g （x=m ）在[0，2π）内有两个不同的解α，β （i ）求实数m 的取值范围； （ii ）证明：cos （α﹣β）=﹣1．考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题： 创新题型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 分析：（1）由函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律可得：f （x ）=2sinx ，从而可求对称轴方程． （2）（i ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f （x ）+g （x ）=sin （x+j ）（其中sinj=，cosj=），从而可求||＜1，即可得解．（ii）由题意可得sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+j），当﹣＜m＜1时，可求α﹣β=3π﹣2（b+j），由cos（α﹣β）=2sin2（β+j）﹣1，从而得证．解答：解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x ﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=）依题意，sin（x+j）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．（ii）因为α，β是方程sin（x+j）=m在区间[0，2π）内有两个不同的解，所以sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=π﹣2（β+j）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=3π﹣2（β+j）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+j）=2sin2（β+j）﹣1=2（）2﹣1=．点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）（2015•福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，求导得到F′（x）＜0，说明F（x）在（0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．解答：（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，则有F′（x）=﹣1=﹣，∵x＞0，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞g（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g （x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln （1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．综上，k=1．点评：本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015•福建）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．解答：解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．点评：本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015•福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．解答：解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y﹣m=0．（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．考点：一般形式的柯西不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．解答：解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理第I卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}234,,,A i i i i=（i是虚数单位），{}1,1B=-，则A BI等于 ( ) A．{}1- B．{}1 C．{}1,1- D．φ【答案】C【解析】试题分析：由已知得{},1,,1A i i=--，故A B=I{}1,1-，故选C．考点：1、复数的概念；2、集合的运算．2．下列函数为奇函数的是( )A．y x= B．siny x= C．cosy x= D．x xy e e-=-【答案】D考点：函数的奇偶性．3．若双曲线22:1916x yE-=的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线E上，且13PF=，则2PF等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a-==，即236PF-=，解得29PF=，故选B．考点：双曲线的标准方程和定义．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )]A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B考点：线性回归方程．5．若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B -时，z 取到最小值，最小值为152(1)22z =⨯--=-，故选A ． 考点：线性规划．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．1- 【答案】C 【解析】试题分析：程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．考点：程序框图．7．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年A ．6 B．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 考点：等差中项和等比中项．9．已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】AxyBCAP考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．若定义在R上的函数()f x满足()01f=-，其导函数()f x'满足()1f x k'>>，则下列结论中一定错误的是（）A．11fk k⎛⎫<⎪⎝⎭B．111fk k⎛⎫>⎪-⎝⎭C．1111fk k⎛⎫<⎪--⎝⎭D．111kfk k⎛⎫>⎪--⎝⎭【答案】C考点：函数与导数．第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．()52x+的展开式中，2x的系数等于．（用数字作答）【答案】80【解析】更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年试题分析：()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．考点：二项式定理．12．若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅=103=，所以3sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．13．如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】512【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．考点：几何概型．14．若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年取值范围是 ． 【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．15．一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= ．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 ． 【答案】5．考点：推理证明和新定义．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2015年福建省高考数学试卷(理科)最新修正版
2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4•+t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．【解答】解；∵f′（0）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1，g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0，g（x）在R上递增，k＞1，对选项一一判断，可得C错．故选：C．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r=•x5﹣r•2r，+1令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2] ．【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递减，f（x）=3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：EX=1×+2×+3×=．【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=），从而可求||＜1，即可得解．（ii ）由题意可得sin （α+φ）=，sin （β+φ）=．当1≤m ＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣＜m ＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos （α﹣β）=2sin 2（β+φ）﹣1，从而得证．【解答】解：（1）将g （x ）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx 的图象，再将y=2cosx 的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos （x ﹣）的图象，故f （x ）=2sinx ，从而函数f （x ）=2sinx 图象的对称轴方程为x=k （k ∈Z ）．（2）（i ）f （x ）+g （x ）=2sinx +cosx=（）=sin （x +φ）（其中sinφ=，cosφ=） 依题意，sin （x +φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m 的取值范围是（﹣，）． （ii ）因为α，β是方程sin （x +φ）=m 在区间[0，2π）内的两个不同的解， 所以sin （α+φ）=，sin （β+φ）=． 当1≤m ＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）； 当﹣＜m ＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos （α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin 2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=． 【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求导得到F′（x）≤0，说明F（x）在[0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x ∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g （x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f （x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，满足t＞0的实数t存在．【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，则有F′（x）=﹣1=﹣，∵x≥0，∴F′（x）≤0，∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时，有F（x）＜F（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，N（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1．【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
2015年福建省高考数学试卷(理科)
2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i ，i 2，i 3，i 4}（i 是虚数单位），B={1，﹣1}，则A ∩B 等于（ ）A ．{﹣1}B ．{1}C ．{1，﹣1}D ．∅2．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）A ．y=√xB ．y=|sinx |C ．y=cosxD ．y=e x ﹣e ﹣x3．（5分）若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．34．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程y =b x +a ，其中b =0.76，a =y −b x ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0则z=2x ﹣y 的最小值等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．−32D ．−526．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣17．（5分）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l ∥α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px +q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 9．（5分）已知AB →⊥AC →，|AB →|=1t ，|AC →|=t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB→|AB →|+4AC →|AC →|，则PB →⋅PC →的最大值等于（ ） A ．13 B ．15 C ．19 D ．2110．（5分）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f′（x ）满足f′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．f(1k )＜1kB ．f(1k )＞1k−1C ．f(1k−1)＜1k−1D ．f(1k−1)＞k k−1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x +2）5的展开式中，x 2的系数等于 ．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，则BC 等于 ．13．（4分）如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4），函数f （x ）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．14．（4分）若函数f （x ）={−x +6，x ≤23+log a x ，x ＞2（a ＞0且a ≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是 ．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2⋯x n (n ∈N ∗)，其中x k （k=1，2，…，n ）称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 ．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：GF ∥平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．18．（13分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）过点(0，√2)，且离心率e 为√22． （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线x=my ﹣1（m ∈R ）交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G (−94，0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知函数f （x ）的图象是由函数g （x ）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度． （1）求函数f （x ）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程f （x ）+g （x ）=m 在[0，2π）内有两个不同的解α，β （i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：cos （α﹣β）=2m 25﹣1． 20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k 的所有可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=(2143)，B=(110−1) （1）求A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求矩阵C ，使得AC=B ．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+3cost y =−2+3sint （t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为√2ρsin （θ﹣π4）=m ，（m ∈R ） （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |+c 的最小值为4．（1）求a +b +c 的值；（2）求14a 2+19b 2+c 2的最小值．2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i ，i 2，i 3，i 4}（i 是虚数单位），B={1，﹣1}，则A ∩B 等于（ ）A ．{﹣1}B ．{1}C ．{1，﹣1}D ．∅【解答】解：∵A={i ，i 2，i 3，i 4}={i ，﹣1，﹣i ，1}，B={1，﹣1}，∴A ∩B={i ，﹣1，﹣i ，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C ．2．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）A ．y=√xB ．y=|sinx |C ．y=cosxD ．y=e x ﹣e ﹣x【解答】解：A ．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数．B ．f （﹣x ）=|sin （﹣x ）|=|sinx |=f （x ），则f （x ）为偶函数．C ．y=cosx 为偶函数．D ．f （﹣x ）=e ﹣x ﹣e x =﹣（e x ﹣e ﹣x ）=﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，故选：D3．（5分）若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3【解答】解：由题意，双曲线E ：x 29−y 216=1中a=3． ∵|PF 1|=3，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF 2|﹣|PF 1|=6，∴|PF 2|=9．故选：B ．4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程y =b x +a ，其中b =0.76，a =y −b x ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解答】解：由题意可得x =15（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10， y =15（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8， 代入回归方程可得a ^=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为y ^=0.76x +0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B ．5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0则z=2x ﹣y 的最小值等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．−32D ．−52 【解答】解：由约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A （﹣1，12）． ∴z=2x ﹣y 的最小值为2×（﹣1）﹣12=−52． 故选：D ．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos π2，i=2不满足条件i＞5，S=cos π2+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos π2+cosπ+cos3π2，i=4不满足条件i＞5，S=cos π2+cosπ+cos3π2+cos2π，i=5不满足条件i ＞5，S=cos π2+cosπ+cos 3π2+cos2π+cos 5π2=0﹣1+0+1+0=0，i=6 满足条件i ＞5，退出循环，输出S 的值为0，故选：C ．7．（5分）若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l ∥α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”可能“l ∥α”也可能l ⊂α，反之，“l ∥α”一定有“l ⊥m”，所以l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m”是“l ∥α”的必要而不充分条件．故选：B ．8．（5分）若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px +q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：由题意可得：a +b=p ，ab=q ，∵p ＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得{2b =a −2ab =4①或{2a =b −2ab =4②． 解①得：{a =4b =1；解②得：{a =1b =4． ∴p=a +b=5，q=1×4=4，则p +q=9．故选：D ．9．（5分）已知AB →⊥AC →，|AB →|=1t ，|AC →|=t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →=AB→|AB →|+4AC →|AC →|，则PB →⋅PC →的最大值等于（ ） A ．13 B ．15 C ．19 D ．21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （1t，0），C （0，t ）， ∵AP →=AB →|AB →|+4AC →|AC →|，∴P （1，4）， ∴PB →=（1t﹣1，﹣4），PC →=（﹣1，t ﹣4）， ∴PB →⋅PC →=﹣4（1t ﹣4）﹣（t ﹣1）=17﹣（4t +1t）， 由基本不等式可得1t+4t ≥2√1t ⋅4t =4， ∴17﹣（4t +1t）≤17﹣4=13， 当且仅当4t=1t 即t=12时取等号， ∴PB →⋅PC →的最大值为13，故选：A ．10．（5分）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f′（x ）满足f′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．f(1k )＜1kB ．f(1k )＞1k−1C ．f(1k−1)＜1k−1D ．f(1k−1)＞k k−1【解答】解；∵f′（0）=lim x→0f(x)−f(0)x−0f′（x ）＞k ＞1，∴f(x)−f(0)x ＞k ＞1，即f(x)+1x ＞k ＞1，当x=1k−1时，f （1k−1）+1＞1k−1×k=k k−1，即f （1k−1）＞kk−1﹣1=1k−1故f （1k−1）＞1k−1，所以f （1k−1）＜1k−1，一定出错，另解：设g （x ）=f （x ）﹣kx +1， g （0）=0，且g′（x ）=f′（x ）﹣k ＞0， g （x ）在R 上递增，k ＞1，对选项一一判断，可得C 错． 故选：C ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x +2）5的展开式中，x 2的系数等于 80 ．（用数字作答）【解答】解：（x +2）5的展开式的通项公式为T r +1=C 5r •x 5﹣r •2r ， 令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x 2项的系数为C 53⋅23=80，故答案为：80．12．（4分）若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，则BC 等于 7 ． 【解答】解：因为锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，所以12×5×8×sinA =10√3，所以sinA=√32，所以A=60°， 所以cosA=12，所以BC=√52+82−2×5×8×12=7．故答案为：7．13．（4分）如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4），函数f （x ）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于512．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为∫21(4−x 2)dx =（4x ﹣13x 3）|12=53， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512； 故答案为：512．14．（4分）若函数f （x ）={−x +6，x ≤23+log a x ，x ＞2（a ＞0且a ≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是 （1，2] ．【解答】解：由于函数f （x ）={−x +6，x ≤23+log a x ，x ＞2（a ＞0且a ≠1）的值域是[4，+∞），故当x ≤2时，满足f （x ）=6﹣x ≥4．①若a ＞1，f （x ）=3+log a x 在它的定义域上单调递增，当x ＞2时，由f （x ）=3+log a x ≥4，∴log a x ≥1，∴log a 2≥1，∴1＜a ≤2． ②若0＜a ＜1，f （x ）=3+log a x 在它的定义域上单调递减， f （x ）=3+log a x ＜3+log a 2＜3，不满足f （x ）的值域是[4，+∞）． 综上可得，1＜a ≤2，故答案为：（1，2]．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2⋯x n (n ∈N ∗)，其中x k （k=1，2，…，n ）称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 5 ．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x 1=0，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1， 从而由校验方程组，得x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠1； ②若k=2，则x 1=1，x 2=0，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1， 从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠2； ③若k=3，则x 1=1，x 2=1，x 3=1，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=1， 从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠3； ④若k=4，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=0，x 5=1，x 6=0，x 7=1， 从而由校验方程组，得x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=1，故k ≠4； ⑤若k=5，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=0，x 6=0，x 7=1，从而由校验方程组，得x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0， 故k=5符合题意；⑥若k=6，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=1，x 7=1， 从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠6； ⑦若k=7，则x 1=1，x 2=1，x 3=0，x 4=1，x 5=1，x 6=0，x 7=0， 从而由校验方程组，得x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1，故k ≠7； 综上，k 等于5． 故答案为：5．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P （A ）=56×45×34=12．（2）有可能的取值是1，2，3又则P （X=1）=16，P （X=2）=56×15=16，P （X=3）=56×45=23，所以X 的分布列为：X 123P16 16 23EX=1×16+2×16+3×23=52．17．（13分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点． （1）求证：GF ∥平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，∵G 是BE 的中点，∴GH ∥AB ，且GH=12AB ，又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形，∴DF ∥AB ，且DF=12AB ，即GH ∥DF ，且GH=DF ，∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF ∥DH ，又∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴GF ∥平面ADE ． （2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ ∥CE ， ∵BE ⊥EC ，∴BQ ⊥BE ，又∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BQ ，以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （0，0，2），B （0，0，0），E （2，0，0），F （2，2，1） ∵AB ⊥平面BEC ，∴BA →=(0，0，2)为平面BEC 的法向量，设n →=（x ，y ，z ）为平面AEF 的法向量．又AE →=（2，0，﹣2），AF →=（2，2，﹣1）由垂直关系可得{n →⋅AE →=2x −2z =0n →⋅AF →=2x +2y −z =0，取z=2可得n →=(2，−1，2)． ∴cos ＜n →，BA →＞=n →⋅BA→|n →||BA →|=23∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，又G 是BE 的中点，可知GM ∥AE ，且GM=12AE又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ，∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF ∥AD ． 又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ∥平面ADE ． 又∵GM ∩MF=M ，GM ⊂平面GMF ，MF ⊂平面GMF ∴平面GMF ∥平面ADE ，∵GF ⊂平面GMF ，∴GF ∥平面ADE （2）同解法一．18．（13分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）过点(0，√2)，且离心率e 为√22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线x=my ﹣1（m ∈R ）交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G (−94，0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解法一：（1）由已知得{b =√2c a =√22a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =c =√2，∴椭圆E 的方程为x 24+y 22=1． （2）设点A （x 1y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为H （x 0，y 0）． 由{x =my −1x 24+y 22=1，化为（m 2+2）y 2﹣2my ﹣3=0，∴y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−3m 2+2，∴y 0=mm 2+2．G (−94，0)，∴|GH |2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516． |AB|24=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24=(m 2+1)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]4=(m 2+1)(y 02−y 1y 2)， 故|GH |2﹣|AB|24=52my 0+(m 2+1)y 1y 2+2516=5m 22(m +2)﹣3(m 2+1)m +2+2516=17m 2+216(m +2)＞0．∴|GH|＞|AB|2，故G 在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A （x 1y 1），B （x 2，y 2），则GA →=(x 1+94，y 1)，GB →=(x 2+94，y 2)．由{x =my −1x 24+y 22=1，化为（m 2+2）y 2﹣2my ﹣3=0，∴y 1+y 2=2m m +2，y 1y 2=−3m +2，从而GA →⋅GB →=(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2 =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=5m 22(m +2)﹣3(m 2+1)m +2+2516=17m 2+216(m +2)＞0． ∴GA →⋅GB →＞0，又GA →，GB →不共线， ∴∠AGB 为锐角．故点G (−94，0)在以AB 为直径的圆外．19．（13分）已知函数f （x ）的图象是由函数g （x ）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数f （x ）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程f （x ）+g （x ）=m 在[0，2π）内有两个不同的解α，β （i ）求实数m 的取值范围； （ii ）证明：cos （α﹣β）=2m 25﹣1． 【解答】解：（1）将g （x ）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx 的图象，再将y=2cosx 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos （x ﹣π2）的图象，故f （x ）=2sinx ，从而函数f （x ）=2sinx 图象的对称轴方程为x=k π+π2（k ∈Z ）．（2）（i ）f （x ）+g （x ）=2sinx +cosx=√5（√5sinx +√5cosx ）=√5sin （x +φ）（其中sinφ=√5，cosφ=√5）依题意，sin （x +φ）√5在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当|√5|＜1，故m 的取值范围是（﹣√5，√5）．（ii ）因为α，β是方程√5sin （x +φ）=m 在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin （α+φ）=√5，sin （β+φ）=√5．当1≤m ＜√5时，α+β=2（π2﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣√5＜m ＜1时，α+β=2（3π2﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos （α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin 2（β+φ）﹣1=2（√5）2﹣1=2m 25−1．20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ） （1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k 的所有可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2．【解答】（1）证明：令F （x ）=f （x ）﹣x=ln （1+x ）﹣x ，x ≥0， 则有F′（x ）=1x+1﹣1=﹣xx+1， ∵x ≥0， ∴F′（x ）≤0，∴F （x ）在[0，+∞）上单调递减，∴当x ∈（0，+∞）时，有F （x ）＜F （0）=0， ∴x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：令G （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ln （1+x ）﹣kx ，x ∈（0，+∞）， 则有G′（x ）=1x+1﹣k=−kx+(1−k)x+1，当k ≤0时，G′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴G （x ）＞G （0）=0，故对任意正实数x 0均满足题意．当0＜k ＜1时，令G′（x ）=0，得x =1−k k =1k −1＞0．取x 0=1k−1，对任意x ∈（0，x 0），恒有G′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，x 0）上单调递增，G （x ）＞G （0）=0，即f （x ）＞g （x ）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有M′(x)=k−11+x−2x=−2x2+(k−2)x+k−11+x，故当x∈(0，k−2+√(k−2)2+8(k−1)4)时，M′（x）＞0，M（x）在[0，k−2+√(k−2)2+8(k−1)4）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有N′(x)=11+x−k−2x=−2x2−(k+2)x−k+11+x，故当x∈(0，−(k+2)+√(k+2)2+8(1−k)4)时，N′（x）＞0，N（x）在[0，−(k+2)+√(k+2)2+8(1−k)4）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与−(k+2)+√(k+2)2+8(1−k)4中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有H′(x)=1−11+x−2x=−2x2−x1+x，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=(2143)，B=(110−1) （1）求A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求矩阵C ，使得AC=B ．【解答】解：（1）因为|A |=2×3﹣1×4=2，所以A −1=(32−12−4222)=(32−12−21)； （2）由AC=B 得（A ﹣1A ）C=A ﹣1B ，故C =A−1B =(32−12−21)(110−1)=(322−2−3)．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =1+3cost y =−2+3sint （t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为√2ρsin （θ﹣π4）=m ，（m ∈R ） （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【解答】解：（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为（x ﹣1）2+（y +2）2=9，由√2ρsin （θ﹣π4）=m ，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0， 所以直线l 的直角坐标方程为：x ﹣y +m=0．（2）依题意，圆心C （1，﹣2）到直线l ：x ﹣y +m=0的距离等于2，即√2=2，解得m=﹣3±2√2．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |+c 的最小值为4．（1）求a +b +c 的值；（2）求14a 2+19b 2+c 2的最小值． 【解答】解：（1）因为f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |+c ≥|（x +a ）﹣（x ﹣b ）|+c=|a +b |+c ， 当且仅当﹣a ≤x ≤b 时，等号成立，又a ＞0，b ＞0，所以|a +b |=a +b ，所以f （x ）的最小值为a +b +c ，所以a +b +c=4；（2）由（1）知a +b +c=4，由柯西不等式得，（14a 2+19b 2+c 2）（4+9+1）≥（a 2•2+b 3•3+c•1）2=（a +b +c ）2=16， 即14a 2+19b 2+c 2≥87当且仅当12a 2=13b 3=c 1，即a=87，b=187，c=27时，等号成立． 所以14a 2+19b 2+c 2的最小值为87．。
2015年福建省高考数学试卷(理科)_最新修正版
2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x3．（5分）若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）最新修正版A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4•+t），由基本不等式可得．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．【解答】解；∵f′（0）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1，g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0，g（x）在R上递增，k＞1，对选项一一判断，可得C错．故选：C．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r=•x5﹣r•2r，+1令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2] ．【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递减，f（x）=3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：EX=1×+2×+3×=．【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=），从而可求||＜1，即可得解．（ii ）由题意可得sin （α+φ）=，sin （β+φ）=．当1≤m ＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣＜m ＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos （α﹣β）=2sin 2（β+φ）﹣1，从而得证．【解答】解：（1）将g （x ）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx 的图象，再将y=2cosx 的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos （x ﹣）的图象，故f （x ）=2sinx ，从而函数f （x ）=2sinx 图象的对称轴方程为x=k （k ∈Z ）．（2）（i ）f （x ）+g （x ）=2sinx +cosx=（）=sin （x +φ）（其中sinφ=，cosφ=） 依题意，sin （x +φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m 的取值范围是（﹣，）． （ii ）因为α，β是方程sin （x +φ）=m 在区间[0，2π）内的两个不同的解， 所以sin （α+φ）=，sin （β+φ）=． 当1≤m ＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）； 当﹣＜m ＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos （α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin 2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=． 【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求导得到F′（x）≤0，说明F（x）在[0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x ∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g （x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f （x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，满足t＞0的实数t存在．【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，则有F′（x）=﹣1=﹣，∵x≥0，∴F′（x）≤0，∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时，有F（x）＜F（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，N（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x ﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1．【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
15年高考真题——理科数学(福建卷)-推荐下载
x2 18．（本小题满分 13 分）已知椭圆 E ： a2
率 e 2 2 。⑴求椭圆 E 的方程；⑵设直线 l ： x my 1m R交椭圆 E 于 A, B 两点，
判断点 G 9 4 , 0与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由。
y2 b2
19．（本小题满分 13 分）已知函数 f x的图像是由函数 g x cos x 的图像经如下变
出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，
发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码
是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进 E
行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被
锁定。⑴求当天小王的该银行卡被锁定的概率；⑵设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ，
（A） 1
（B） 1
2．下列函数为奇函数的是（ ）
（A） y x
3．若双曲线
| PF1 | 3 ，则| PF2 | 等于（
（D）3
E
:
x2 9
（B） y | sin x |
y2 16
（C）1, 1
1的左右焦点分别为
） （A）11
4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得
3
loga
x
x x
2 2（
a
15．一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2 xn n N * ，其中 xk k 1, 2,, n称
为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由
0 变为 1，或者由 1 变为 0）。已知某种二元码 x1x2 x7 的码元满足如下校验方程组：
15年高考真题——理科数学(福建卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}234,,,A i i i i =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（ ）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）∅2．下列函数为奇函数的是（ ）（A）y = （B ）|sin |y x = （C ）cos y x = （D ）x xy e e -=- 3．若双曲线22:1916x y E -=的左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（ ） （A ）11 （B ）9 （C ）5 （D ）34．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表。
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中ˆ0.76b =，ˆˆay bx =-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） （A ）11 （B ）9 （C ）5 （D ）35．若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（ ）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）26．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-7．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）99．已知AB AC ⊥，||1AB t =，||AC t =，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ） （A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）2110．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）（A ）11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案写在答题卡相应位置上） 11．()52x +的展开式中，2x 的系数等于________。
2015学年高考理科数学年福建卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）⨯-=个.即77445【答案】9【解析】由OA AB ⊥，得0OA AB =，即()0OA OB OA -=，3OA =，2||9OA AB OA ∴==.【考点】平面向量数量积的运算 【答案】2个.AB=，）圆，||2AB=，，M ）圆心又||2α(cos,sin2-1)]PB PC，又BC AC PA PB221299n -⎛⎫ ⎪⎝⎭1299n -⎛⎫⎪⎝⎭.1n -，n b =2341111113579(21)22222n n -+++++-， 23411111111357(23)(21)222222n n n n -+++++-+- 234211111123(21)32222222n n nn n -+++--=- 23n +PC CB C=，所以⊂平面PBC=，所以EF⊥，DE FE E⊥平面PBC，PB⊥平面是一个鳖臑，其四个面的直角分别为（Ⅱ）如图，在面BPC内，延长=，所以PD PB P⊥，DG DFBDF是面DEF==，1DC轴的正半轴，建立空间直角坐标系，(,1,PB λ=，0,DE ⎛= 于是0PB DE =，即又已知EF ⊥，而EDEF E =，所以因(0,1,1)PC =-，0DE PC =，则⊥平面DEF 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，所以(0,0,DP =，所以(,BP λ=-31=DEFE E =，的四个面都是直角三角形，确定的交线，利用直线平面的垂直判断出，所以(0,0,1)DP=所以(,BPλ=-【答案】（Ⅰ）见解析因此，()81600.3102000.5108000.29708E Z=⨯+⨯+⨯=.由题意得2MD DN=，且||||1DN ON==，22)1y+=22x x t-=-⎧111111⎛⎫+= ⎪⎝⎭2121212212b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭3233223133143b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 1212(1)n nnb b b n a a a =+②下面用数学归纳法证明②，时，=左边右边，②成立.22(kk b k a =+11k a +，2112121121(k k k k k k k k b b b b b b k a a a a a a ++++==+时，②也成立.11212312112()1122334(1)nn n b b b b b bb b b b b b n n n ++++++++≤+++++⨯⨯⨯+211111(1)2334(1)(1)nb b n n n n n n ⎤⎡⎤++++++++⎥⎢⎥+⨯⨯++⎦⎣⎦12111121112n n b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-<+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L L 1211e e e nn n a a a a n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭。
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第5题图
KS5U2015福建省高考压轴卷理科数学
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U N
M =ð ( )
A ．{}|21x x -≤<
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|01x x <≤
D ．{}|1x x <
2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()t a n f x x =；③()s in .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）
A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个
3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，
则sin 2θ 等于（ ） A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）
A.1007
B.1008
C.2013
D.2014
6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，
以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,
[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,
所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）
7.已知曲线1C :13
22
=+y x 和2C :122=-y x ，且曲线1C 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．都有可能
8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )
A ．20 B.22 C.24 D. 36 9．已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b =，则()()a b c a c +++的最大值为（ ） A ．123+ B. 322+ C. 25+ D. 222+
俯视图
侧视图
正视图
2
22
2
10．设12,,
,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的
数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,
1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩
则下列说法正确的个数是( )
①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅;
②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;
④数阵中所有的2
n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2
n 个数字之和不大于2
1n n -+.
A ．5 B. 4 C ．3 D. 2
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）
11．已知4
23401
2342421111
(1)()()(),a a a a a a a x
x x x x
-=+++++=则___ ． 12. 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b ，则方程2b
a x x
=-有实数根的概率是___ ．
13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_________.
14．若x a x x a 21sin ≤≤对任意的]2
,
0[π
∈x 都成立，则12a a -的最小值
为 ．
15．如图，A 是两条平行直线之间的一定点，且点A 到两条平行直线的距离分别为
1,3AM AN ==。
设ABC ,AC AB ⊥,且顶点B 、C 分别在两条平行直线上运动，
则13
AB AC
+
的最大值为_______.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分13分）
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出
.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，
(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；
(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x ，求x 的分布列和均值.。