概率论课件
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概率论课件 第一节 随机试验与随机事件
-5
•
D C A
0
•
3
•
9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
•
9
•
B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e
•
D C A
0
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3
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9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
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9
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B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e
概率论课件第二章
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
例1. 抛硬币试验中S {H,T}, 样本点H与T不是数量。
例2. 测试灯泡寿命试验, S={e}={t|t≥0},样本点本身 是数量。
定义 : 设随机试验E的样本空间是S，若 X : S R为单值实范数，则称X为随机变量 （random variable, 简记为r.v.) 。
2. 特例: (1,) 是参数为的指数分布. （=1） 3. 伽玛函数的性质: (i) (+1)= ();
1 (iii)( ) . 2
(ii) 对于正整数n, (n+1)=n!;
§5. 随机变量的函数的分布
一、 X为离散型r.v. 例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
(二) 贝努利试验
(二项分布)
定 义 : 设 试 验E只 有 两 个 可 能 结 果 A与 A , 且 P( A ) p ( 0 p 1), 将 试 验E独 立 重 复 地 进 行 n次 , 这 样 的 试 验 称 为 贝 努 利 试 验.
设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 则X 是一个随机变量, 于是
§4. 连续型随机变量及其概率密度
F(x) , 存在非负函 1.定义 : 对于r.v.X的分布函数 数f(x) , 使对于任意的实数 x, 有
则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数, 简称概率密度. 连续型r.v.的分布函数是连续函数.
F(x ) f(t)dt
x
2.概率密度 f(x)的性质:
25
标准正态分布的上分位点:
设X ~ N(0,1), 若z 满足条件
概率论绪论PPT课件
也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空 间就由这9个样本点构成 .
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. —— 其起源与博弈问题 有关.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
A1, A2,..., An 构成一个完备事件组.
举例
例1：掷一颗骰子的试验，观察其出现的点 数：事件A表示{出现奇数点}；事件B表示 {出现点数小于5}；事件C表示{出现小于5 的偶数点}。用列举法表_示_ 事件：
Ω ,A+B,A-B,B-A,AB,AC, A B
例2：设A、B、C为三个随机事件，表示下列 事件：
序论
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：《概率论》是数理统计学的基础，数理统
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. —— 其起源与博弈问题 有关.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
A1, A2,..., An 构成一个完备事件组.
举例
例1：掷一颗骰子的试验，观察其出现的点 数：事件A表示{出现奇数点}；事件B表示 {出现点数小于5}；事件C表示{出现小于5 的偶数点}。用列举法表_示_ 事件：
Ω ,A+B,A-B,B-A,AB,AC, A B
例2：设A、B、C为三个随机事件，表示下列 事件：
序论
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：《概率论》是数理统计学的基础，数理统
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
精品课程《概率论》ppt课件(全)
2. 频率的基本性质：
(1)
(2)
0 f（ A ） 1 ； （非负性） n f n (S ) 1; （规范性）
（3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.
(二) 随机事件 样本空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。
E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。
基本事件:由一个样本点组成的单点集. 必然事件: 样本空间S是自身的子集，在 每次试验中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。
起源：
17世纪中叶法国贵族梅勒 赌博问题 帕斯卡(1623-1662)
成为数学分支：
瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705)
费马(1601-1665)
荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年<<论赌博中的计算>>
这一时期称为组合概率阶段
大数定理(LLN) 成为数学分支
Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济学杂志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941---) 马志明(1948----)，陈木法 (1946---)
《概率论讲义》课件
线性回归
介绍线性回归模型的基本原理和应用案例。
多元非线性回归
探讨多元非线性回归分析的方法和实际应用。
蒙特卡罗方法
1
简介和基本概念
介绍蒙特卡罗方法的基本思想和使用领域。
2
模拟方法
说明蒙特卡罗方法的模拟过程和实际应用。
3
抽样方法
讨论蒙特卡罗方法中的抽样技术和抽样步骤。
应用案例
金融风险管理
探讨概率论在金融风险管理中的应用和重要性。
2
弱大数定律
探讨具体的弱大数定律和其适用性。
3
中心极限定理
详细解释中心极限定理及其在概率论中的重要性。
统计推断
1 点估计
介绍点估计的概念和方法，以及其在概率论中的应用。
2 区间估计
说明区间估计的原理和步骤，并讨论其实际应用。
3 假设检验
讲解假设检验的基本思想和步骤，以及其在统计学中的作用。
回归分析
《概率论讲义》PPT课件
概率论讲义PPT课件大纲
简介
介绍概率论的基本概念和应 用领域，初步了解概率论的 历史和发展。
随机变量
定义随机变量，离散型和连 续型随机变量及其概率分布。
概率分布
二项分布，泊松分布和正态 分布。
大数定律与中心极限定理
1
定义大数定律和中心极限定理
深入了解大数定律和中心极限定理的概念和应用。
人口统计学
展示概率论如何应用于人口统计学数据的分析和预测。
物理学和天文学
介绍概率论在物理学和天文学研究中的关键作用。
结论
总结所学内容，展望概率论的未来发展和应用前景。
参考文献
推荐阅读经典著作和相关文献
提供经典著作和相关文献，供学习和研究参考。
《概率论基础》课件
《概率论基础》PPT课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
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总结和回顾
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连续概率分布
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条件概率树
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掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
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概率的基本概念
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条件概率
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常见的概率模型
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2
n1 2
t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n) 0
x
请看演示 t 分布
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形. E(X)=0; D(X)=n / (n-2) , 对n >2
由图可知，当n充分大(n>30)时，t 分布近似 N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分 布相差很大. t分布的临界值:
2 2
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 均值, S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
则有
(2)
X Y ( 1 2 ) ( n1 1) S ( n2 1) S n1 n2 2
2 1 2 2
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
S S n
2 1
2 2
~ t ( 2n 2 )
(三)两个正态总体的样本方差比定理
1.F分布 2 2 ~ ( n ), ~ ( n2 ),ξ1与ξ2相互 定义: 设 1 1 2 独立，则称随机变量
1 n1 ~F(n1,n2) F 2 n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自 由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
2b源自0
x b 2 2 dx ln b x 0 b2 x 2
随着 的增大,概率 P X 是否变化 为什么? 解: 保持不变.
B组: 设随机变量X服从正态分布 N ,
2
P X P X
2
X i ~ N 0 ,
2
n1 1 n2 1
( n2 1 )S 2
2
S1
=
2
2
1
2
2
S2
~ F n1 1, n2 1
2
2
例:设总体X ~ N 0 , 2 , (X1,X2)是总体的一个 样本,求 2 X1 X 2 Y 2 的概率密度函数. X1 X 2 解: X ~ N 0 ,
1
证明:
由定理: ( n1 1 )S1 ~ 2 n1 1 2
2
1
Y ,Y ,Y 是总体X ~ N , 的一个样本.
1 2 n2
2 2 2
同理:
( n2 1 )S 2
2
2
2
~ n2 1
2
由F分布的定义可知:
( n1 1 )S1
F=
2
1
2 2
1.753
t0.05 25 2.06 t0.001 30 3.646
2.602
2 设 X , X ,…, X 是取自正态总体 定理 N ( , ) 1 2 n
的样本, X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有 X
2
T
分析:
S
n
~ t ( n 1)
X X T S n S2 / n
若 ~ F 12,15 α λ1 F0.05 12,15 那么:
1
~ F 15,12
α λ2 F0.05 15,12
1.随机变量倒数的临界值不等于临界值的倒数. 1 ? 2.F临界值的倒数 F0.05 12,15
设: ~ F 12,15 由F临界值的定义:
证明: 由题可知 X Y ( 1 2 )
(1)
即:
n1 n2
2
2
~ N 0,1
X Y ( 1 2 ) 1 1 n1 n2
~ N 0,1
(2) n1 1 S ~ 2 n 1 1 2
2 1
n2 1 S
2 2 2
若P λ称为 2 n分布的临界值
2
2
已知α的值可查表求 临界值λ.
-λ
λ
t 0.01 9 3.250
0.01, n 9
即:已知两边之外的面积求临界值.
练习: 设X服从自由度为15的 t 分布,求
1. P Y 2.602 0.02 2. P Y 1.074 0.70 3. P Y 0.866 0.2 4. P Y 0.05
1 2 , Y2 ( X 7 X 8 X 9 ) ~ N 3 3
那么: 而:
Y1 Y2 ~
2 N 0 , 2
Y1 Y2 ~ N 0,1 / 2
9 9 1 1 2 2 2 S X i Y2 Xi X 2 i 7 3 1 i 7 3 1S 2 ~ 2 2 是X ,X ,X 的样本方差. 7 8 9 2
F分布的临界值有如下重要的倒数性质:
1 1 1 =0.357 例如: F0.95 12,9 F1 n1 , n2 F n2 , n1 F0.05 9,12 2.8
2.两个正态总体样本方差比的分布定理
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
46.96
三.其他分布
(一) t 分布 定义: 设ξ～N(0,1) , η～ 独立，则
(,n)且ξ与η相互
2
T ~ t n n
服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
说明: 1.注意T的表达形式.
2.注意分子与分母的分布.
t分布的密度函数为： 记为X～t(n).
[( n 1) 2] x f ( x; n) (1 ) n ( n 2 ) n
2
2 n 1 S 2 2
~ t (n1 n2 2)
整理: ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 1 1 2 2 若: n1 n2
则有:
1 1 n1 n2 2 n1 n2 X Y ( 1 2 )
~ t ( n1 n2 2)
2 1 1 =0.6826
复习:
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，则有 (1) U X ~ N 0,1 / n 2 2 ( n 1) S (2) W n 1 ~ 2
2
( n 1) S
2
X ~ t n 1 S n
S2
1 1 ( X 1 X 2 X 6 ) , Y2 ( X 7 X 8 X 9 ) 6 1 9 3
2
2 X Y i 2 , 证明: i 7
例:设X1,X2,….Xn是正态总体X的样本,Y1=
2 2
~ n2 1
2
n1 1 S n2 1 S
2 1
2
2
~ n1 n2 2
2
由t分布的定义:
X Y ( 1 2 )
2 n 1 S 1 1 2
1 1 n1 n2
n1 n2 2 X Y ( 1 2 )
练习: 设Y服从自由度为27的 2 分布,求
1. P Y 46.96 0.01 2. P Y 18.1 0.90 3. P Y 12.88 1-0.99 =0.01 4. P 12.88 Y 46.96 0.98
2 0.025 11 21.9 2 0.975 11 3.82
Y1 Y2 ~ N 0,1 / 2
所以: T=
2S
2
2
~
2
2
Y1 Y2 / 2
2S
2
2 Y1 Y2 ~t(2) S
2 Y1 Y2 ~ t 2 即: Z S
2
2
(二)两正态总体样本均值差的分布
定理: 设 X ~ N ( 1 , 12 )，Y ~ N ( 2 , 22 )， 且X与Y独立,
1 2 n2 由定义可见， ~F(n2,n1) F 1 n1
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
n1 n2 ( ) n1 n1 n1 2 n1 ( )( x ) 1 x x 0 n n n n 2 f ( x ; n1 , n2 ) ( 2 ) ( 22 ) 2 2 0 x 0 1 1 1 n1 n2 2
2 Y1 Y2 服从t(2)分布 Z S 分析: 要证Z ~t(2) 只需说明Z是标准正态与 χ2分布之比即可.
2 X ~ N ( , ) 证明:设 X ~ N ( , ) 则. i
2
2 1 Y1 ( X 1 X 2 X 6 ) ~ N , 6 6
X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是 取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本 均值, 则有
(1)
X Y ( 1 2 )
n1 n2
2 1
2 2
~ N 0,1
定理:
设X ~ N ( 1, )，Y ~ N ( 2 , )， 且X与Y独立, X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
P F0.05 12,15 0.05
1 1 1 那么: P ~ F 15,12 0.05 这里 : F 12,15 0.05 1 1 1 F0.95 15,12 故: P 0.95 即 : F 12,15 F0.05 12,15 0.05
n1 2
t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n) 0
x
请看演示 t 分布
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形. E(X)=0; D(X)=n / (n-2) , 对n >2
由图可知，当n充分大(n>30)时，t 分布近似 N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分 布相差很大. t分布的临界值:
2 2
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 均值, S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
则有
(2)
X Y ( 1 2 ) ( n1 1) S ( n2 1) S n1 n2 2
2 1 2 2
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
S S n
2 1
2 2
~ t ( 2n 2 )
(三)两个正态总体的样本方差比定理
1.F分布 2 2 ~ ( n ), ~ ( n2 ),ξ1与ξ2相互 定义: 设 1 1 2 独立，则称随机变量
1 n1 ~F(n1,n2) F 2 n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自 由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
2b源自0
x b 2 2 dx ln b x 0 b2 x 2
随着 的增大,概率 P X 是否变化 为什么? 解: 保持不变.
B组: 设随机变量X服从正态分布 N ,
2
P X P X
2
X i ~ N 0 ,
2
n1 1 n2 1
( n2 1 )S 2
2
S1
=
2
2
1
2
2
S2
~ F n1 1, n2 1
2
2
例:设总体X ~ N 0 , 2 , (X1,X2)是总体的一个 样本,求 2 X1 X 2 Y 2 的概率密度函数. X1 X 2 解: X ~ N 0 ,
1
证明:
由定理: ( n1 1 )S1 ~ 2 n1 1 2
2
1
Y ,Y ,Y 是总体X ~ N , 的一个样本.
1 2 n2
2 2 2
同理:
( n2 1 )S 2
2
2
2
~ n2 1
2
由F分布的定义可知:
( n1 1 )S1
F=
2
1
2 2
1.753
t0.05 25 2.06 t0.001 30 3.646
2.602
2 设 X , X ,…, X 是取自正态总体 定理 N ( , ) 1 2 n
的样本, X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有 X
2
T
分析:
S
n
~ t ( n 1)
X X T S n S2 / n
若 ~ F 12,15 α λ1 F0.05 12,15 那么:
1
~ F 15,12
α λ2 F0.05 15,12
1.随机变量倒数的临界值不等于临界值的倒数. 1 ? 2.F临界值的倒数 F0.05 12,15
设: ~ F 12,15 由F临界值的定义:
证明: 由题可知 X Y ( 1 2 )
(1)
即:
n1 n2
2
2
~ N 0,1
X Y ( 1 2 ) 1 1 n1 n2
~ N 0,1
(2) n1 1 S ~ 2 n 1 1 2
2 1
n2 1 S
2 2 2
若P λ称为 2 n分布的临界值
2
2
已知α的值可查表求 临界值λ.
-λ
λ
t 0.01 9 3.250
0.01, n 9
即:已知两边之外的面积求临界值.
练习: 设X服从自由度为15的 t 分布,求
1. P Y 2.602 0.02 2. P Y 1.074 0.70 3. P Y 0.866 0.2 4. P Y 0.05
1 2 , Y2 ( X 7 X 8 X 9 ) ~ N 3 3
那么: 而:
Y1 Y2 ~
2 N 0 , 2
Y1 Y2 ~ N 0,1 / 2
9 9 1 1 2 2 2 S X i Y2 Xi X 2 i 7 3 1 i 7 3 1S 2 ~ 2 2 是X ,X ,X 的样本方差. 7 8 9 2
F分布的临界值有如下重要的倒数性质:
1 1 1 =0.357 例如: F0.95 12,9 F1 n1 , n2 F n2 , n1 F0.05 9,12 2.8
2.两个正态总体样本方差比的分布定理
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
46.96
三.其他分布
(一) t 分布 定义: 设ξ～N(0,1) , η～ 独立，则
(,n)且ξ与η相互
2
T ~ t n n
服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
说明: 1.注意T的表达形式.
2.注意分子与分母的分布.
t分布的密度函数为： 记为X～t(n).
[( n 1) 2] x f ( x; n) (1 ) n ( n 2 ) n
2
2 n 1 S 2 2
~ t (n1 n2 2)
整理: ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 1 1 2 2 若: n1 n2
则有:
1 1 n1 n2 2 n1 n2 X Y ( 1 2 )
~ t ( n1 n2 2)
2 1 1 =0.6826
复习:
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，则有 (1) U X ~ N 0,1 / n 2 2 ( n 1) S (2) W n 1 ~ 2
2
( n 1) S
2
X ~ t n 1 S n
S2
1 1 ( X 1 X 2 X 6 ) , Y2 ( X 7 X 8 X 9 ) 6 1 9 3
2
2 X Y i 2 , 证明: i 7
例:设X1,X2,….Xn是正态总体X的样本,Y1=
2 2
~ n2 1
2
n1 1 S n2 1 S
2 1
2
2
~ n1 n2 2
2
由t分布的定义:
X Y ( 1 2 )
2 n 1 S 1 1 2
1 1 n1 n2
n1 n2 2 X Y ( 1 2 )
练习: 设Y服从自由度为27的 2 分布,求
1. P Y 46.96 0.01 2. P Y 18.1 0.90 3. P Y 12.88 1-0.99 =0.01 4. P 12.88 Y 46.96 0.98
2 0.025 11 21.9 2 0.975 11 3.82
Y1 Y2 ~ N 0,1 / 2
所以: T=
2S
2
2
~
2
2
Y1 Y2 / 2
2S
2
2 Y1 Y2 ~t(2) S
2 Y1 Y2 ~ t 2 即: Z S
2
2
(二)两正态总体样本均值差的分布
定理: 设 X ~ N ( 1 , 12 )，Y ~ N ( 2 , 22 )， 且X与Y独立,
1 2 n2 由定义可见， ~F(n2,n1) F 1 n1
若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
n1 n2 ( ) n1 n1 n1 2 n1 ( )( x ) 1 x x 0 n n n n 2 f ( x ; n1 , n2 ) ( 2 ) ( 22 ) 2 2 0 x 0 1 1 1 n1 n2 2
2 Y1 Y2 服从t(2)分布 Z S 分析: 要证Z ~t(2) 只需说明Z是标准正态与 χ2分布之比即可.
2 X ~ N ( , ) 证明:设 X ~ N ( , ) 则. i
2
2 1 Y1 ( X 1 X 2 X 6 ) ~ N , 6 6
X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是 取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本 均值, 则有
(1)
X Y ( 1 2 )
n1 n2
2 1
2 2
~ N 0,1
定理:
设X ~ N ( 1, )，Y ~ N ( 2 , )， 且X与Y独立, X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
P F0.05 12,15 0.05
1 1 1 那么: P ~ F 15,12 0.05 这里 : F 12,15 0.05 1 1 1 F0.95 15,12 故: P 0.95 即 : F 12,15 F0.05 12,15 0.05