【2020】高三数学二轮复习1 2 3不等式线性规划课时巩固过关练理新人教
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc
限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 二十一 选修4-4 Word版含解析
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课时巩固过关练二十一
坐标系与参数方程
(建议用时分钟)
.(·全国卷Ⅱ)在直角坐标系中,圆的方程为().
()以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程.
()直线的参数方程是(为参数)与交于两点,求的斜率. 【解析】()整理圆的方程得,
由
可知圆的极坐标方程为ρρθ.
()由题意可得直线过原点且斜率存在.
记直线的斜率为,则直线的方程为,
由垂径定理及点到直线距离公式知:
,
即,整理得,则±.
【加固训练】(·合肥二模)在直角坐标系中,曲线
:(α为参数),在以为极点轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线:ρθρθ.
()若,判断直线与曲线的位置关系.
()若曲线上存在点到直线的距离为,求实数的取值范围.
【解析】()曲线的直角坐标方程为:()(),是一个圆;
直线的直角坐标方程为,
圆心到直线的距离,
所以直线与圆相切.
()由已知可得:圆心到直线的距离
≤,
解得≤≤.
.(·全国卷Ⅲ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲
线的极坐标方程为ρ.
()写出的普通方程和的直角坐标方程.
()设点在上,点在上,求∣∣的最小值及此时的直角坐标.。
高三数学二轮复习 1.2.3 不等式、线性规划课时巩固过关练 理 新人教版
课时巩固过关练五不等式、线性规划(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·邯郸二模)已知a<b<0,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.<1C.a<1-bD.<【解析】选C.因为a<b<0,所以a2>b2,>1,>,a+b<1.因此A,B,D不正确,C正确.2.(2016·北京高考)若x,y满足则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5【解析】选C.作出可行域如图所示,平移2x+y=0过点(1,2)时,2x+y取得最大值4.【加固训练】(2016·蚌埠一模)已知x,y满足时,z=x-y的最大值为( ) A.4 B.-4 C.0 D.2【解题导引】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,联立得A(6,2),化目标函数z=x-y为y=x-z,由图可知,当直线y=x-z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为4.3.(2016·武汉二模)设m>1,x,y满足约束条件且目标函数z=x+my的最大值为2,则m的取值为( )A.2B.1+C.3D.2+【解题导引】根据m>1,可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间上,由此判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此可得关于m的方程,从而求得m值. 【解析】选B.因为m>1,由约束条件作出可行域如图,直线y=mx与直线x+y=1交于,目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直, 且在处取得最大值,由题意可知=2,又因为m>1,解得m=1+.4.(2016·宿州一模)已知x,y满足时,z=+(a≥b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为( )A.4+2B.4-2C.9D.8【解题导引】由约束条件作出可行域,结合z=+(a≥b>0)的最大值为2可得+=1,然后利用基本不等式求最值.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,联立解得A(2,6),化目标函数z=+为y=-x+bz,由图可知,当直线y=-x+bz过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为+=2,即+=1.所以a+b=(a+b)=4++≥4+2=4+2.当且仅当即a=+1,b=3+时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·张掖一模)设不等式组表示的平面区域为M,若直线l:y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是________.【解题导引】作出不等式组对应的平面区域,根据直线和区域的关系即可得到结论.【解析】作出不等式组对应的平面区域,直线y=k(x+2)过定点D(-2,0),由图象可知当直线l经过点A时,直线斜率最大,当经过点B时,直线斜率最小,由解得即A(1,3),此时k===1,由解得即B(1,1),此时k==,故k的取值范围是.答案:【加固训练】已知不等式组所表示的平面区域为D,直线l:y=3x+m不经过区域D,则实数m的取值范围是( )A.[-3,1]B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)【解析】选D.由题意作平面区域如图,当直线l过点A(1,0)时,m=-3;当直线l过点B(-1,0)时,m=3;结合图象可知,实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).6.(2016·廊坊一模)已知正数a,b,c满足b+c≥a,则+的最小值为________.【解题导引】先由题意变形可得+≥+=+-=+-,再由基本不等式可得到结果.【解析】因为正数a,b,c满足b+c≥a,所以+≥+=+-=+-≥-.当且仅当=时取等号.答案:-三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·黄山二模)x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,求+的最小值.【解题导引】作出可行域,得到目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最优解,从而得到3a+4b=7,利用基本不等式求解即可.【解析】因为x,y满足约束条件目标函数z=ax+by(a>0,b>0),作出可行域:由图可得,可行域为△ABC区域,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)经过可行域内的点C时,取得最大值(最优解).由解得即C(3,4),因为目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,所以3a+4b=7(a>0,b>0),所以+=(3a+4b)·=≥=×49=7(当且仅当a=b=1时取“=”).所以,+的最小值为7.【加固训练】(2016·汕头一模)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,求实数a的取值范围.【解题导引】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围.【解析】由约束条件作可行域如图,联立解得C.联立解得B(2,1).在x-y-1=0中取y=0得A(1,0).要使1≤ax+y≤4恒成立,则解得1≤a≤.所以实数a的取值范围是.8.(2016·太原三模)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的利益分别为0.3万元和0.2万元.设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟.(1)用x,y列出满足条件的关系式,并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域.(2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,最大收益是多少? 【解析】(1)该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,则x,y满足的关系式为即作出二元一次不等式组所表示的平面区域:(2)设公司的收益为z元,则目标函数为:z=3000x+2000y,所以y=-x+.由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最大,即z最大.解方程组得A(100,200),所以z max=3000×100+2000×200=700000.答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大,最大收益是70万元.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列不等式中,与不等式<2解集相同的是( )A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.x+8<2(x2+2x+3)C.<D.>【解析】选B.因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,x+8可能是正数、负数或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)可得<2,所以与不等式<2解集相同的是x+8<2(x2+2x+3).2.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( ) A. B. C.1 D.2【解题导引】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a. 【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=.3.已知实数x,y满足约束条件若y≥kx-3恒成立,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(-∞,0]∪D.∪[0,+∞)【解题导引】由题意作出可行域,把y≥kx-3恒成立转化为可行域内两个特殊点A,B的坐标满足不等式y≥kx-3成立,代入点的坐标后求解不等式组得答案.【解析】选A.由约束条件作可行域如图,联立解得B(3,-3).联立解得A.由题意得解得-≤k≤0.所以实数k的数值范围是.4.若实数x,y满足则z=x+y的最大值是( )A. B. C. D.1【解题导引】画出满足条件的平面区域,求出特殊点的坐标,从而求出z的最大值即可. 【解析】选C.画出满足条件的平面区域,如图所示:由z=x+y得y=-x+z,显然直线y=-x+z和圆相切时z最大,由点O向y=-x+z作垂线,垂足是B,因为OB=1,∠BOx=,所以B,将B代入z=x+y得z=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知a>0,b>0,ab=32,则当a的值为________时log2a·log2(2b)取得最大值.【解析】log2a·log2(2b)≤=(log2(2ab))2=(log264)2=9.当a=2b时取等号,结合a>0,b>0,ab=32,可得a=8,b=4.答案:8【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.【加固练习】不等式-x2-3x+4>0的解集为__________.(用区间表示)【解析】由-x2-3x+4>0得-4<x<1,所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4,1).答案:(-4,1)6.已知实数x,y满足约束条件若目标函数z=2x+ay仅在点(3,4)处取得最小值,则a的取值范围是________.【解析】不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为A(1,0),B(0,1),C(3,4),所以z A=2,z B=a,z C=6+4a.所以解得a<-2.答案:(-∞,-2)三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示.木料(单位m3)产品第一种第二种圆桌0.18 0.08衣柜0.09 0.28每生产一张圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多,利润最多为多少?【解题导引】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元;从而可得z=6x+10y,利用线性规划求解.【解析】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元，则所以z=6x+10y;作其平面区域如下,则由y=800-2x,x=700-3.5y得,x=350,y=100.z max=6×350+10×100=3100.所以应生产圆桌350张,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大,利润最多为3100元.【加固训练】某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,求该企业每天可获得的最大利润.甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,则利润z=3x+4y,由题意可得其表示如图阴影部分区域:当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值z=3×2+4×3=18.所以当生产2吨甲产品,3吨乙产品时,该企业每天可获得最大利润,且最大利润为18万元.8.已知实数x,y满足x2+y2≤1,求|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值.【解析】由x2+y2≤1可得:2x+y-4<0,6-x-3y>0,则│2x+y-4│+│6-x-3y│=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10,令z=-3x-4y+10,得y=-x-+,如图,要使z=-3x-4y+10最大,则直线y=-x-+在y轴上的截距最小,由z=-3x-4y+10,得3x+4y+z-10=0.则z=10-3x-4y与圆相切时取得最大值, 故d==1,所以z=5(舍去)或15, 故该目标函数的最大值为15.。
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课时巩固过关练五不等式、线性规划(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·邯郸二模)已知a<b<0,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.<1C.a<1-bD.<【解析】选C.因为a<b<0,所以a2>b2,>1,>,a+b<1.因此A,B,D不正确,C正确.2.(2016·北京高考)若x,y满足则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5【解析】选C.作出可行域如图所示,平移2x+y=0过点(1,2)时,2x+y取得最大值4.【加固训练】(2016·蚌埠一模)已知x,y满足时,z=x-y的最大值为( ) A.4 B.-4 C.0 D.2【解题导引】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,联立得A(6,2),化目标函数z=x-y为y=x-z,由图可知,当直线y=x-z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为4.3.(2016·武汉二模)设m>1,x,y满足约束条件且目标函数z=x+my的最大值为2,则m的取值为( )A.2B.1+C.3D.2+【解题导引】根据m>1,可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间上,由此判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此可得关于m的方程,从而求得m值.【解析】选B.因为m>1,由约束条件作出可行域如图,。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 一 1.1.1 Word版含解析
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课时巩固过关练一集合、常用逻辑用语(分钟分)一、选择题(每小题分,共分).(·天津高考)已知集合{}{∈},则∩( ) .{} .{} .{} .{}【解析】选.因为,所以∩.【加固训练】(·邯郸一模)已知集合{≤}{>},则集合∩( ).{≤≤} .{≤<}.{<≤} .{<<}【解析】选.已知集合{≤}{≤≤},集合{>}{>},则集合∩{<≤}..(·长春一模)设，是两个命题，若(∨)是真命题，那么( )是真命题且是假命题是真命题且是真命题是假命题且是真命题是假命题且是假命题【解析】选.因为 (∨)是真命题，则∨为假命题，因此是假命题且是假命题..(·山东高考)设集合{∈}{<},则∪( ).() .().(∞) .(∞)【解析】选.因为{∈}{<},所以集合表示大于的实数,而集合表示在与之间的实数,所以∪(∞).【加固训练】(·广州一模)若全集,集合{<<}{>},则∩( ).{<≤} .{<<}.{<<} .{≤<}【解题导引】先求出集合,进而求出,由此能求出∩.【解析】选.因为全集{>}{>},所以{≤},所以∩{<<}∩{≤}{<≤}..(·蚌埠二模)已知命题∧()是真命题,则下列命题中也是真命题的是( ) .()∨∨∧.()∧()【解析】选.命题∧()是真命题,则为真命题也为真命题,可推出为假命题为假命题,故为真命题的是∨..(·浙江高考)已知全集{},集合{}{},则()∪( )。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 三 1.2.1 Word版含解析
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课时巩固过关练三
函数的图象与性质
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.(·合肥一模)函数的定义域是( )
.[)∪(,]
.()∪(,)
.[)∪(]
.()∪()
【解析】选.⇔
⇔⇔
即≤<或<≤.所以的定义域为[)∪(,].
.(·福州一模)(≤≤)的最大值为( )
.
【解析】选.令()()(),而且≤≤,由此可得函数()的最大
值为,故(≤≤)的最大值为.
.(·承德二模)若°,则的大小关系是 ( )
<< <<
<< <<
【解题导引】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与的大小得答案.
【解析】选.因为><°,所以<<.
.(·宝鸡一模)下列函数中,在区间(∞)上为增函数的是 ( )
()
【解析】选在区间(∞)上为减函数是减函数,在()上是减函数,在(∞)上为增函数()在区间(∞)上为增函数,所以不符合题意.
.(·全国卷Ⅲ)已知
,则 ( ) << <<
<< <<。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式教案 理-人教版高三
第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。
高考数学(文)二轮复习课时巩固过关练(三) 不等式、线性规划A组
课时巩固过关练(三) 不等式、线性规划A 组一、选择题1．(·上海浦东期末)如果a >b >0，那么下列不等式中不正确的是( ) A.a ab >b ab B.1a >1b C ．ab >b 2 D ．a 2>ab解析：∵a >b >0，∴ab >b 2，a 2>ab ，a ab >b ab ，1b >1a，故选B.答案：B2．(·福建宁德期中)已知集合M ＝{x |x 2－2 014x －2 015>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 015,2 016]，则( )A ．a ＝2 015，b ＝－2 016B ．a ＝－2 015，b ＝2 016C ．a ＝2 015，b ＝2 016D ．a ＝－2 015，b ＝－2 016解析：化简得M ＝{x |x <－1或x >2 015}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 015，2 016]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 016}，即－1,2 016是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．∴b ＝－1×2 016＝－2 016，－a ＝－1＋2 016，即a ＝－2 015.答案：D3．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)知a <0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－4＋1＝－b a ，－4×1＝ca，即b ＝3a ，c ＝－4a ，故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a >0，即3x 2＋x －4<0，解得－43<x <1.答案：A4．(·山东淄博期中)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －3≥0，则目标函数z ＝x －2y的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －3≥0作出可行域如图，化目标函数z ＝x －2y 为y ＝12x －z2，由图可知，当直线y ＝12x －z2过C ⎝⎛⎭⎫2，12时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大．∴z max ＝2－2×12＝1.故选A.答案：A5．(·贵州遵义二联)过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋a ≥0，x ＋y ＋2≤0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－8，则实数a等于( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．2解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋a ≥0，x ＋y ＋2≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋a ＝0，x －y ＝－2，解得A (－2－a ，－a )，化z ＝x ＋2y ，得y ＝－x 2＋z 2.由图可知，当直线y ＝－x 2＋z2过A 时，z 有最小值为－8，即－2－a －2a ＝－8，解得a ＝2.故选D.答案：D6．(·北京西城期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m ，若z ＝x ＋3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m 等于( )A.32 B ．－32 C.14 D ．－14解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，解得A (1,2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y －x ＝1，解得B (m －1，m )，化z ＝x ＋3y ，得y ＝－x 3＋z 3.由图可知，当直线y ＝－x 3＋z3过A 点时，z 有最大值为7，当直线y ＝－x 3＋z3过B 点时，z 有最小值为4m －1，由题意，得7－(4m －1)＝7，解得m ＝14.故选C.答案：C7．(·广东惠州二调)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0，则x ＋y ＋3x ＋2的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤2，52 B.⎣⎡⎦⎤54，52 C.⎣⎡⎦⎤45，52 D.⎣⎡⎦⎤54，2 解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0所对应的区域(如图阴影)，变形目标函数可得x ＋y ＋3x ＋2＝x ＋2＋y ＋1x ＋2＝1＋y ＋1x ＋2，表示可行域内的点与A (－2，－1)连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B (2,0)时，目标函数取最小值为1＋0＋12＋2＝54；当直线经过点C (0,2)时，目标函数取最大值为1＋2＋10＋2＝52，故答案为⎣⎡⎦⎤54，52答案：B8．(·云南师大附中月考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，103B.⎣⎡⎦⎤13，52 C.⎣⎡⎦⎤2，52 D.⎣⎡⎦⎤2，103 解析：设k ＝y x ，则z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k，作出不等式组对应的平面区域如图．k 的几何意义为过原点的直线的斜率．由图象知OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，即C (3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，则k OA ＝2，k OC ＝13，则13≤k ≤2，z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k 在13≤k ≤1上为减函数，在1≤k ≤2上为增函数，则最小值为z ＝1＋1＝2，当k ＝13时，z ＝13＋3＝103，当k ＝2时，z ＝2＋12＝52<103，则z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k 的最大值为103，则2≤z ≤103.答案：D9．(·黑龙江哈尔滨模拟)若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋22C ．最大值6D ．最小值6解析：由题意可得x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝1＋2＋x 2y 2＋2y 2x 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2，即x ＝±42y 时，等号成立，故x 2＋2y 2有最小值为3＋22，故选B. 答案：B10．(·黑龙江实验中学月考)设x ，y ∈R ＋且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1)解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时等号成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍去)．∴x ＋y 的最小值为2＋22，故答案为A.答案：A 二、填空题11．(·山东临沂模拟)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则(x －y )(x 2－xy ＋y 2)__________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵0<a <1且a x <a y ，∴x >y ，又x 2－xy ＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －y 22＋3y 24>0，∴(x －y )(x 2－xy ＋y 2)>0.答案：>12．(·河南商丘二模)若函数y ＝e x －a (e 为自然常数)的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，y ＋1≥0，x －y ≥0，则实数a 的取值范围是_________________________________．解析：由题意作平面区域如下，当函数y ＝e x－a 与直线y ＝x 相切时，切点恰为(0,0)，故此时0＝1－a ，故a ＝1；当函数y ＝e x －a 过点(5，－1)时，－1＝e 5－a ，故a ＝e 5＋1；结合图象可知，1≤a ≤e 5＋1.故答案为[1，e 5＋1]．答案：[1，e 5＋1]13．(·江西吉安期中)点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，y ≤3，x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x －y ＋m ≥0总成立，则m 的取值范围是__________．解析：若2x －y ＋m ≥0总成立，则m ≥y －2x 总成立，设z ＝y －2x ，即求出z 的最大值，作出不等式组对应的平面区域如图．由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z ，平移直线y ＝2x ＋z ，由图象可知当直线经过点C (0,3)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最大，此时z ＝3－0＝3，∴m ≥3.答案：[3，＋∞)14．(·天津五校联考)已知a ，b 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则3a ＋b 的最小值为__________．解析：∵log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，∴9a ＋b ＝ab ，即1a ＋9b ＝1，∴(3a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝3＋9＋b a ＋27a b ≥12＋2b a ·27a b ＝12＋63，当且仅当a ＝1＋3，b ＝3(3＋3)时，取“＝”，即3a ＋b 的最小值为12＋6 3.答案：12＋6315．(·广东东莞石竹附中期中)已知x >0，y >0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y恒成立，则m 的最大值为__________．解析：∵x >0，y >0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，又⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋x y ≥6＋29y x ·x y ＝12.当且仅当9y x ＝xy即x ＝3y 时取等号，∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ·(x ＋3y )的最小值为12，由恒成立可得m ≤12，即m 的最大值为12，故答案为12.答案：12B 组一、选择题1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析：∵S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－1)＝73<3，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<1，S 3＝⎠⎛12e x d x＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e (e －1)>3，则S 2<S 1<S 3.故选B .答案：B2．(·安徽安庆一模)当0≤x ≤2时，不等式18(2t －t 2)≤x 2－3x ＋2≤3－t 2恒成立，则t 的取值范围是( )A ．[1－3，1]B ．[－1,1]C ．[－1,1－3]D ．[－1,1＋3]解析：令y ＝x 2－3x ＋2,0≤x ≤2，∵y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14，∴y 在0≤x ≤2上取得最小值为－14，最大值为2，若18(2t －t 2)≤x 2－3x ＋2≤3－t 2在0≤x ≤2上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧18(2t －t 2)≤－14，3－t 2≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －2≥0，t 2－1≤0，∴⎩⎨⎧ t ≤1－3，－1≤t ≤1或⎩⎨⎧t ≥1＋3，－1≤t ≤1，∴t 的取值范围为[－1,1－3]．答案：C3．(·山东聊城期中)已知点M(a ，b)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，则点N(a ＋b ，a －b)所在平面区域的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：令s ＝a ＋b ，t ＝a －b ，则P(a ＋b ，a －b)为P(s ，t)，由s ＝a ＋b ，t ＝a －b ，可得2a ＝s ＋t,2b ＝s －t ，因为a ，b 是正数，且a ＋b ≤2.有⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ≥0，s －t ≥0，s ≤2，以s 为横坐标，t 为纵坐标在直角坐标系上画出P(s ，t)所在平面区域(图中阴影部分)，即可得点N(a ＋b ，a －b)所在平面区域的面积为4，故选C .答案：C4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C . 5D ．2解析：画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A(2,1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，∴25－2a ＝b ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a)2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m(a)＝5a 2－85a ＋20(0<a<5)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－(85)24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4，故选B .答案：B5．(·河北南宫期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A .⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0,5]C ．[0,5)D .⎣⎡⎭⎫53，5解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴A(2，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝⎛⎭⎫13，23.令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A(2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u<5，∴z ＝|u|∈[0,5)．故选C .答案：C6．(·天津蓟县期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，5 D ．(－∞，3)解析：由图可知，当x >0时，导函数f ′(x )>0，原函数单调递增，∵两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，∴0<2a ＋b <4，∴b <4－2a,0<a <2，画出可行域如图．k ＝b ＋1a ＋1表示点Q (－1，－1)与点P (a ，b )连线的斜率，当P 点在A (2,0)时，k 最小，最小值为13；当P 点在B (0,4)时，k最大，最大值为5.取值范围是⎝⎛⎭⎫13，5.故选C.答案：C7．(·浙江温州联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －4≤0，x ≥0，则|3x ＋y －4|＋|x ＋2y ＋8|的最小值是( )A ．11B ．12C ．16D ．18解析：当3x ＋y －4≥0时，可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为z ＝4x ＋3y ＋4，显然z 在A (1,1)处取得最小值11.当3x ＋y －4<0时，z ＝－2x ＋y ＋12，作出可行域(图略)易知z 在坐标原点处取得最小值12.所以所求目标函数的最小值为11.答案：A8．(·河南郑州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy2的最大值是( )A.116B.18C.14D.12解析：xz y 2＝xz (x ＋2z )2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18，当且仅当x z ＝4z x，即x ＝2z 时取等号．答案：B9．(·广东广州期中)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B.233C.263D.433 解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∵Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2，又a >0，可得Δ>0.∴x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：D 二、填空题10．(·河北期中)给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则2(a 2＋b 2)≥a ＋b ； ②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2；④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2≥3. 其中正确的命题是__________．解析：对于①，要证原不等式成立，只需证(2(a 2＋b 2))2≥(a ＋b )2，化简得(a －b )2≥0，显然成立，①正确；对于②，当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，②不正确；对于③，举反例可得，如取a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4，ab >4，则由条件推不出a >2，b >2，③不正确；对于④，2(a ＋b ＋c )2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＋4ab ＋4ac ＋4bc ≥6ab ＋6ac ＋6bc ＝6，则(a ＋b ＋c )2≥3，④正确．综上，①④正确．答案：①④11．(·江西南昌模拟)设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫xm －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：依据题意得x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫1x ＋13 2＋43在x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立．即⎝⎛⎭⎫1m 2－4m 2≤⎝⎛⎭⎫－3x 2－2x ＋1min ，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，∴1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≥32或m ≤－32，∴实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪m ≥32或m ≤－32.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞12．(·福建南平期中)已知点O 为坐标原点，点M (2,1)，点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y －2≥0，x ≤4，则OM →·ON →的最大值为__________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y －2≥0，x ≤4表示的平面区域如下图阴影部分所示.OM →·ON →＝2x ＋y ；解⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0，x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即A (4,3)．设2x ＋y ＝z ，∴y ＝－2x ＋z .∴z 为直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图看出当该直线过点A 时，截距最大，即z 最大．∴3＝－8＋z ，z ＝11.∴z 的最大值为11，即OM →·ON →的最大值为11.答案：1113．(·浙江温州十校联合体初考)若直线ax ＋by ＝4与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＋8≥0，2x ＋y －4≤0，x ＋2y ＋4≥0表示的平面区域无公共点，则a ＋b 的取值范围是__________．解析：由已知不等式组可画出其所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，并分别联立直线方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5y ＋8＝0，2x ＋y －4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＋8＝0，x ＋2y ＋4＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋2y ＋4＝0并计算得到点A ，B ，C 的坐标为(1,2)，(－4,0)，(4，－4)．要使直线ax ＋by ＝4与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＋8≥0，2x ＋y －4≤0，x ＋2y ＋4≥0表示的平面区域无公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －4>0，－4a －4>0，a －b －1>0(无解)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －4<0，－4a －4<0，a －b －1<0，点(a ，b )所在平面区域如图中阴影所示：同理可解得点M (－1，－2)，N (2,1)．令直线t ＝a ＋b ，即b ＝－a ＋t ，当直线b ＝－a ＋t 过点M 时，t 有最小值为－3；当直线t ＝a ＋b 过点N 时，t 有最大值为3，所以t ＝a ＋b 的取值范围是(－3,3)．故应填(－3,3)．答案：(－3,3)14．(·江西期中)正实数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则4y －x ＋6xy的最小值为__________．第11页 共11页 解析：∵正实数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，∴4x ＋2y ＝6，则4y －x ＋6xy ＝4y －x ＋4x ＋2y xy＝3⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1y ＋2x ＝5＋2x y ＋2y x ≥5＋2×2x y ·y x＝9，当且仅当x ＝y ＝1时取等号．∴则4y －x ＋6xy的最小值为9.故答案为9. 答案：915．(·浙江温州联考)已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则u ＝1＋z 2xyz的最小值为__________．解析：∵1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ，∴u ＝1＋z 2xyz ≥1＋z (1－z 2)z ＝1(1－z )z ≥4，当且仅当z ＝12，x ＝y ＝64时，等号成立． 答案：4。
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课时巩固过关练 五 不等式、线性规划(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(20xx·邯郸二模)已知a<b<0,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.<1C.a<1-bD.<【解析】选C.因为a<b<0,所以a2>b2,>1,>,a+b<1.因此A,B,D不正确,C正确.2.(20xx·北京高考)若x,y满足则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5【解析】选C.作出可行域如图所示,平移2x+y=0过点(1,2)时,2x+y取得最大值4.【加固训练】(20xx·蚌埠一模)已知x,y满足时,z=x-y的最大值为( )A.4B.-4C.0D.2【解题导引】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,联立得A(6,2),化目标函数z=x-y为y=x-z,由图可知,当直线y=x-z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为4.3.(20xx·武汉二模)设m>1,x,y满足约束条件且目标函数z=x+my的最大值为2,则m的取值为( )A.2B.1+C.3D.2+【解题导引】根据m>1,可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间上,由此判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此可得关于m的方程,从而求得m值.【解析】选B.因为m>1,由约束条件作出可行域如图,直线y=mx与直线x+y=1交于,目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在处取得最大值,由题意可知=2,又因为m>1,解得m=1+.4.(20xx·宿州一模)已知x,y满足时,z=+(a≥b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为()A.4+2B.4-2C.9D.8【解题导引】由约束条件作出可行域,结合z=+(a≥b>0)的最大值为2可得+=1,然后利用基本不等式求最值.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,联立解得A(2,6),化目标函数z=+为y=-x+bz,由图可知,当直线y=-x+bz过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为+=2,即+=1.所以a+b=(a+b)=4++≥4+2=4+2.当且仅当即a=+1,b=3+时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(20xx·张掖一模)设不等式组表示的平面区域为M,若直线l:y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是__ ______.【解题导引】作出不等式组对应的平面区域,根据直线和区域的关系即可得到结论.【解析】作出不等式组对应的平面区域,直线y=k(x+2)过定点D(-2,0),由图象可知当直线l经过点A时,直线斜率最大,当经过点B时,直线斜率最小,由解得即A(1,3),此时k===1,由解得即B(1,1),此时k==,故k的取值范围是.答案:【加固训练】已知不等式组所表示的平面区域为D,直线l:y=3x+m不经过区域D,则实数m的取值范围是( )A.[-3,1]B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)【解析】选D.由题意作平面区域如图,当直线l过点A(1,0)时,m=-3;当直线l过点B(-1,0)时,m=3;结合图象可知,实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).6.(20xx·廊坊一模)已知正数a,b,c满足b+c≥a,则+的最小值为________.【解题导引】先由题意变形可得+≥+=+-=+-,再由基本不等式可得到结果.【解析】因为正数a,b,c满足b+c≥a,所以+≥+=+-=+-≥-.当且仅当=时取等号.答案:-三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(20xx·黄山二模)x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,求+的最小值.【解题导引】作出可行域,得到目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最优解,从而得到3 a+4b=7,利用基本不等式求解即可.【解析】因为x,y满足约束条件目标函数z=ax+by(a>0,b>0),作出可行域:由图可得,可行域为△ABC区域,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)经过可行域内的点C时,取得最大值(最优解).由解得即C(3,4),因为目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,所以3a+4b=7(a>0,b>0),所以+=(3a+4b)·=≥=×49=7(当且仅当a=b=1时取“=”).所以,+的最小值为7.【加固训练】(20xx·汕头一模)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,求实数a的取值范围.【解题导引】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围.【解析】由约束条件作可行域如图,联立解得C.联立解得B(2,1).在x-y-1=0中取y=0得A(1,0).要使1≤ax+y≤4恒成立,则解得1≤a≤.所以实数a的取值范围是.8.(20xx·太原三模)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的利益分别为0.3万元和0.2万元.设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟.(1)用x,y列出满足条件的关系式,并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域.(2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,最大收益是多少?【解析】(1)该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,则x,y满足的关系式为即作出二元一次不等式组所表示的平面区域:(2)设公司的收益为z元,则目标函数为:z=3000x+20xxy,所以y=-x+.由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最大,即z最大.解方程组得A(100,200),=3000×100+20xx×200=700000.所以zmax答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大,最大收益是70万元.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列不等式中,与不等式<2解集相同的是( )A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.x+8<2(x2+2x+3)C.<D.>【解析】选B.因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,x+8可能是正数、负数或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)可得<2,所以与不等式<2解集相同的是x+8<2(x2+2x+3).2.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( )A. B. C.1D.2【解题导引】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=.3.已知实数x,y满足约束条件若y≥kx-3恒成立,则实数k的取值范围是( )A.B.C.(-∞,0]∪D.∪[0,+∞)【解题导引】由题意作出可行域,把y≥kx-3恒成立转化为可行域内两个特殊点A,B的坐标满足不等式y≥kx-3成立,代入点的坐标后求解不等式组得答案.【解析】选A.由约束条件作可行域如图,联立解得B(3,-3).联立解得A.由题意得解得-≤k≤0.所以实数k的数值范围是.4.若实数x,y满足则z=x+y的最大值是( )A. B. C.D.1【解题导引】画出满足条件的平面区域,求出特殊点的坐标,从而求出z的最大值即可.【解析】选C.画出满足条件的平面区域,如图所示:由z=x+y得y=-x+z,显然直线y=-x+z和圆相切时z最大,由点O向y=-x+z作垂线,垂足是B,因为OB=1,∠BOx=,所以B,将B代入z=x+y得z=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知a>0,b>0,ab=32,则当a的值为________时log2a·log2(2b)取得最大值.【解析】log2a·log2(2b)≤=(log2(2ab))2=(log264)2=9.当a=2b时取等号,结合a>0,b>0,ab=32,可得a=8,b=4.答案:8【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.【加固练习】不等式-x2-3x+4>0的解集为__________.(用区间表示)【解析】由-x2-3x+4>0得-4<x<1,所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4,1).答案:(-4,1)6.已知实数x,y满足约束条件若目标函数z=2x+ay仅在点(3,4)处取得最小值,则a的取值范围是________.【解析】不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为A(1,0),B(0,1),C(3,4),所以zA =2,zB=a,zC=6+4a.所以解得a<-2.答案:(-∞,-2)三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56 m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如表所示.木料(单位m3)产品第一种第二种圆桌0.18 0.08衣柜0.09 0.28每生产一张圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多,利润最多为多少?【解题导引】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元;从而可得z=6x+10y,利用线性规划求解.【解析】由题意,设生产圆桌x张,衣柜y个,获得利润为z元，则所以z=6x+10y;作其平面区域如下,则由y=800-2x,x=700-3.5y得,x=350,y=100.z=6×350+10×100=3100.max所以应生产圆桌350张,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大,利润最多为3100元.【加固训练】某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,求该企业每天可获得的最大利润.甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,则利润z=3x+4y,由题意可得其表示如图阴影部分区域:当直线3x+4y-z=0过点A(2,3)时,z取得最大值z=3×2+4×3=18.所以当生产2吨甲产品,3吨乙产品时,该企业每天可获得最大利润,且最大利润为18万元.8.已知实数x,y满足x2+y2≤1,求|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值.【解析】由x2+y2≤1可得:2x+y-4<0,6-x-3y>0,则│2x+y-4│+│6-x-3y│=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10,令z=-3x-4y+10,得y=-x-+,如图,要使z=-3x-4y+10最大,则直线y=-x-+在y轴上的截距最小,由z=-3x-4y+10,得3x+4y+z-10=0.则z=10-3x-4y与圆相切时取得最大值,故d==1,所以z=5(舍去)或15,故该目标函数的最大值为15.。