练习-线性规划与基本不等式
高中数学线性规划各类习题精选5
2．已知点 P( x , y) 在不等式组 ⎨ y - 1 ≤ 0 表示的平面区域内运动，则 z = x - y 的最大 ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 3．若实数 x, y 满足 ⎨ x + y ≥ 0，则 z = 3x +2 y 的最大值是（）5．设变量 x, y 满足约束条件 ⎨ y ≥ 3x ，若目标函数 z = x + y 的最大值为 14，则 a 值⎪x + ay ≤ 7 A ．1B ． 1 6．已知实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≤ 0 ，则 2 x - y 的最大值为（）1高中数学线性规划各类习题精选 5学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设 ， 满足约束条件，若目标函数 的最大值为 12，则A ．B ．的最小值为（ ）C ．D ．4⎧ x - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩值是（）A ． -1B ． -2C ．2D ．3⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎪ ⎩x ≤ 0A ．13B ．9C ．1D ．34．已知实数 ， 满足，如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3⎧x ≥ 0 ⎪⎩为（）1 1 1 或C ．D ．2 32 3⎧ x + y - 1 ≤ 0 ⎪⎪ ⎩ x ≥ 01⎪ y ≥ 09．若实数 x, y 满足条件 ⎨ y - x ≤ 2 ，则 z = x - 2 y 的最小值为（ ） ⎪ y ≥ 0 A ．-1 B ．-2 C ． - 5 12．已知 a > 0 ， x, y 满足约束条件 { x + y ≤ 3 ，若 z = 2 x + y 的最大值为 ，y ≥ a (x - 2) A ． 113．已知 x 、y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 0 则 z = x + 2 y 的最大值为（ ）14．已知 x, y 满足 ⎨ x + y ≤ 4记目标函数 z = 2 x + y 最大值为 a ，最小值为 b ，则⎪x - y - 2 ≤ 0⎧ x - y ≥ 0 ⎪2 x + y ≤ 27．若不等式组 ⎨ ，表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ ）⎪⎩ x + y ≤ a4 4 4A ．a≥B ．0＜a≤1C ．1 ≤a≤D ．0＜a≤1 或 a≥3338．设 x ，y 满足约束条件，则 z=2x-3y 的最小值是（ ）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-3⎧ y + x ≤ 1 ⎪⎩7D ． -2 2⎧ x ≤ 0 ⎪ y ≥ 010．已知由不等式 ⎨ 确定的平面区域 Ω 的面积为 7，则 k 的值（）⎪ y - kx ≤ 2 ⎪⎩ y - x - 4 ≤ 0A ． -2B ． -1C ． -3D ． 211．如果实数 x 、y 满足关系，则 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[2，3]C ．D ．x ≥ 1112则 a = （ ）1 B ．C ．1D ．242⎧ x + y - 1 ≤ 0 ⎪⎪ ⎩x ≥ 0A 、﹣2B 、﹣1C 、1D 、2⎧ x ≥ 1⎪⎪⎩ y ≤ 2 217．若 x, y 满足约束条件 ⎨ y ≥ 0 ，则目标函数 z = 2 x + 3 y 的最大值为________ ． ⎪2x + y ≤ 2 18．若实数 x ， y 满足 ⎨ x + y ≥ 0 ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是_______． ⎪ x ≤ 0 19．实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≥ 1 ，则目标函数 z = x + y - 3 的最小值是______．⎪ x - 2 y ≤ 2 21．已知变量 x, y 满足 ⎨ x + y - 4 ≤ 0 ，则点 (x, y )对应的区域面积是 __________， ⎪ x ≥ 1 （ ya +b =A ．1B ．2C ．7D ．8⎧ x + y - 2 2 ≥ 0 ⎪⎪15．已知不等式组 ⎨ x ≤ 2 2 表示平面区域 Ω ，过区域 Ω 中的任意一个点 P ，⎪作圆 x 2 + y 2 = 1的两条切线且切点分别为 A ，B ，当 ∆PAB 的面积最小时，cos ∠APB的值为（ ）A ． 7 1 3B ．C ．D ．8 2 43 2二、填空题16．2011•宝坻区一模）设 x ， 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为 ．⎧ x ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧2x + y ≤ 4 ⎪⎩20．在直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为 ， ， ，动点△是内的点（包括边界）．若目标函数的最大值为 2，且此时的最优解所确定的点是线段上的所有点，则目标函数 的最小值为．⎧ x - 4 y + 3 ≤ 0⎪⎩x 2 + y 2 u = 的取值范围为__________．xy22．若实数 x ，y 满足 ⎨x > 0，则 的取值范围是_________ ．⎪ y ≤ 224．已知实数 x, y 满足 ⎨ y ≥ x ，则 z =x - y2 的最大值为 ．⎪2 x + y - 6 ≥ 0 y 1 ⎪ 26．设 x ， y 满足约束条件： ⎨ y ≥x 的可行域为 M ，若存在正实数 a ，使函数 2y = 2a sin( + )cos( + ) 的图象经过区域 M 中的点，则这时 a 的取值范围M (a, b )在由不等式 ⎨ y ≥ 0 确定的平面区域内，则点 N (a - b , a + b )所 ⎪x + y ≤ 2 ⎨ x ≤ 2 ⎪ x + y - 1 ≥ 0 29．设 z = x + y ，其中实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≤ 0 ，若 z 的最大值为12 ，则 z 的最小值⎪0 ≤ y ≤ k⎧x - y + 1 ≤ 0 ⎪y x ⎩x + y ≤ 723．已知点 P (x, y ) 满足{ y ≥ x，过点 P 的直线与圆 x 2 + y 2 = 50 相交于 A ， B 两 x ≥ 2点，则 AB 的最小值为．⎧ x ≥ 0 ⎪⎩25．设 x ， 满足约束条件，向量， ，且，则m 的最小值为_____．⎧ x ≥ 1⎪⎪⎪⎩2 x + y ≤ 10x π x π2 4 2 4是．27．已知点⎧ x ≥ 0 ⎪⎩在的平面区域面积是．⎧ x - 2 y + 1 ≥ 0 ⎪28．已知不等式组⎩ 表示的平面区域为 D ，若函数 y =| x - 1| +m 的图像上存在区域 D 上的点，则实数 m 的取值范围是________．⎧ x + 2 y ≥ 0⎪⎩为．30．已知实数 x ， y 满足约束条件 ⎨ y ≤ x,时，所表示的平面区域为 D ，则 ⎪2x + y - 9 ≤ 0⎧x ≥ 0, ⎪⎩z = x + 3 y 的最大值等于，若直线 y = a( x + 1) 与区域 D 有公共点，则 a 的取值范围是．试题分析：画出不等式组 ⎨ y - 1 ≤ 0 表示的可行域如图， z = x - y 即 y= x-Z ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 参考答案1．A【解析】试题分析：作出 ， 满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点取得最大值 12，即，亦即，所以＝，当且仅当，即时等号成立，故选 A ．考点：1、简单的线性规划问题；2、基本不等式．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知 ﹙ ﹚求的最小值，通常转化为＝ （ )，展开后利用基本不等式求解．2．C【解析】⎧ x - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩即 t 增大，由图象得，当直线 y = - x + 过点 A(0,1) 时， t 取得最大值 2 ，即 z = 3x +2 y 的Z 的几何意义是直线 y= x-Z 在 y 轴上的截距的相反数，画直线 y= x ，平移直线 y= x ，当过点 B （2，0）时 z 有最大值 2．故选：C ．考点：简单的线性规划及利用几何意义求最值．【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题，要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令 z= 0 ，画出直线 y = x ，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题．3．B【解析】试题分析：设 t = x + 2 y ，将 t = x + 2 y 化成 y = - 1 tx + ，作出可行域与目标函数基准线2 21 1 t y = - x （如图所示）当直线 y = - x +2 2 2 t向右上方平移时，直线在 y 轴上的截距 增大，21 t2 2最大值是 32 = 9 ；故选 B ．考点：1．简单的线性规划；2．指数运算．.（ （【易错点睛】本题考查简单的线性规划问题以及指数运算，属于中档题；利用简单的线性规划知识求有关线性目标函数的最值时，一般是先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行求解，容易忽视的是不能准确目标函数直线与可行域边界的倾斜程度（通过比较目标函数直线的斜率和某条边界的斜率的大小），导致寻找最优解出错．4．B【解析】试题分析：由下图可得 在 处取得最大值，由，故选 B.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型 考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤： 1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域； 2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标； 4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大（小）值.5．C【解析】试题分析：首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数z = x + y 的最大值为 14，此时目标函数经过点 A(0, 7 ) ，所以14 = 0 + a 7 1，所以 a = ，故应选 C ．a 2试题分析：作出不等式组 ⎨2x + y ≤ 2 表示的平面区域，如图 ∆OAB （内部含边界），再作 ⎪ y ≥ 0 B考点：1、简单的线性规划问题．6．A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域，由图可知当目标函数z = 2 x - y 经过可行域内的点1 1 1 1 1A( , ) 时有最大值 z = 2 ⨯ - = ，故选 A ．2 2 2 2 2BAO考点：线性规划．7．D【解析】⎧ x - y ≥ 0 ⎪⎩直线 l : x + y = 0 ，过 A ， 作与 l 平行的直线 l , l ，由图可知当直线 x + y = a 夹在直线 l 与 l1 21之间或在直线 l 上方时，题设不等式组表示的区域是三角形，计算得0 < a ≤ 1 或 a ≥ 2选 D ．4 3．故考点：二元一次不等式组表示的平面区域．8．B【解析】试题分析：由么时候纵截距所求．得，作出可行域如图，平移直线，看什最大，即最小，所以由图可知，过点C时，所得值即为考点：线性规划问题．9．D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.⎪⎪ ⎧ y = x + 2 z = x - 2 y 取得最小值，由 ⎨ 得： ⎨ ，所以点 A 的坐标为 - , ⎪ ，所 ⎪ y = 3 - 3 = - 试题分析：作出不等式组 ⎨ y ≥ 0所表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域 ⎪ y - x - 4 ≤ 0 ⎧ y - kx = 2 2 4k - 2 1 2作直线 l : x - 2 y = 0 ，再作一组平行于 l 的直线 l : z = x - 2 y ，当直线 l 经过点 A 时，0 0⎧1 x =-2 ⎛ 13 ⎫ ⎩ y = - x + 1⎝ 2 2 ⎭ ⎪⎩ 2以 z 1 7min = - 2 2 ，故选 D ．考点：线性规划．10．B【解析】⎧ x ≤ 0 ⎪⎩是等腰直角三角形且面积为 8 ．由于直线 y = kx + 2 恒过点 B(0, 2) ，且原点的坐标恒满足y - kx ≤ 2 ，当 k = 0 时，y ≤ 2 ，此时平面区域 Ω 的面积为 6 ，由于 6 < 7 ，由此可得 k < 0 ．由⎨可得 D( , ) ，依题意应有 ⨯ 2⨯ | |= 1 ，解得 k = -1 或 k = 3 ⎩ y - x - 4 = 0k - 1 k - 1 2 k - 1 （舍去），故选 B ．考点：简单的线性规划问题．11．D【解析】试题分析：由题意得，画出不等式组表示的可行域（如图所示），又范围，其中，当取点大值．，此时可看出可行域内点与点时，目标函数取得最小值；当取点之间的连线的斜率的取值时，目标函数取得最考点：二元一次不等式组表示的平面区域及其应用．【思路点晴】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域及其应用求最值，属于基础题，解答的关键是把目标函数化简为，转化为可行域内点和点12．C之间的连线的斜率的取值，其中认真计算是题目的一个易错点．目标函数z=2x+y经过点A ⎛2a+3a⎫,⎝a+1a+1⎭2⨯2a+3+=，解得a=1，故选C．【解析】试题分析：根据题意作出x,y满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当a11 a+1a+12⎪11时取得最大值，所以2考点：简单的线性规划问题．13．D【解析】试题分析：根据约束条件可作出可行域如图，作出直线y=-1x，经过平移得当直线过点2A(0,1)时，z取到最大值2．考点：线性规划．14．D【解析】(⎪⎩y≤2212+12=2，OA=1，OA⊥AP，所以∠APO=30︒,∠APB=2∠APO=60︒，试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，由图易得目标函数z=2x+y在A(3,1)处取得最大值7，在B1,-1)处取得最小值1，则a+b=8，故答案为D．考点：线性规划的应用．15．B【解析】⎧x+y-22≥0⎪⎪试题分析：不等式⎨x≤22表示平面区域Ω为下图所示的∆DEF边界及内部的点，⎪由图可知，当点P在线段DE上，且OP⊥DE时，∆P AB的面积最小，这时OP=-22所以cos∠APB=12，故选B．y DB OPAFE x考点：1．线性规划；2．直线与圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查的是线性规划以及直线与圆的位置关系，属中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．16．2【解析】试题分析：先画出对应的可行域，结合图象求出目标函数取最大值时对应的点，代入即可求出其最值．解：约束条件对应的可行域如图：由图得，当z=2x+y位于点B（1，0）时，z=2x+y取最大值，此时：Z=2×1+0=2．故答案为：2．（考点：简单线性规划．17．6【解析】试题分析：如图画出可行域，目标函数 z = 2 x + 3 y 平移到 (0, 2)处有最大值 0 + 3⨯ 2 = 6 ．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最有解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．18． [0,2]【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线 x - y + 1 = 0, x + y = 0, x = 0 围成的三角形及其内部，顶点为 (0,0 ), (0,1), - 1 , 1 ⎫，当 z = x + 2 y 过点 (0,0 )时取得最小值 0，过点 (0,1)(0, -1), (2,0 ), ⎛ 5 , 2 ⎫⎪ ，当 z = x + y - 3 过点 (0, -1) 时取得最小值 -4⎢⎣2, 3 ⎥⎦⎝ 2 2 ⎭时取得最大值 2，所以其范围是[0,2]考点：19． -4【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线2 x + y = 4, x - y = 1, x - 2 y = 2，顶点为⎝ 3 3 ⎭考点：线性规划问题20．【解析】试题分析：先根据约束条件画出可行域，设 z=ax+by ，将最大值转化为 y 轴上的截距，当直线 ax+by=z 与可行域内的边 BC 平行时，z=ax+by 取最大值时的最优解有无数个，将 等价为斜率， 数形结合，得，且 a×1+b×0=2，∴a=2，b=1，z=2x+y当直线 z=2x+y 过点 B 时，z 取最小值，最小值为-2考点：简单线性规划的应用21．8⎡ 10 ⎤ 5【解析】A B x y y x x 13 x t 13试题分析：不等式组表示的可行域是如图所示的三角形 ABC 边界及其内部，（1，3），（1，1），C (13 7 5, 5 1 13 8 y ) 故所求面积为 ⨯ (3 - 1)⨯ ( - 1) = ， u = + ，其中 表示可行域上任2 5 5 x一点与原点连线的斜率， 函数性质得 u ∈ [2, 10]3y 7 y 1 7∈ [k , k ] = [ ,3] ， t = , u = t + , t ∈ [ ,3] 故根据对勾 OC O A考点：线性规划，对勾函数．22． [2, +∞)【解析】试题分析：作出实数 x ，y 满足的平面区域，如图所示，由图知，斜率 y的取值范围是[2, +∞) ．x考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以便确定在哪个端点处，目标函数取得最大值；在哪个端点处，目标函数取得最小值．23． 2 21【解析】试题分析：作出约束条件 ⎨ y ≥ x表示的可行域如图阴影部分（含边界）， ⎪2 x + y - 6 ≥ 0 联立 ⎨，解得 A （2，2）， 2 x + y - 6 = 0-x + y ≤ 7试题分析：不等式组{ y ≥ x 所表示的平面区域为如下图所示的 ∆DEF ，且 ∆DEF 在圆x ≥ 2x 2 + y 2 = 50 的内部，在 ∆DEF 区域内，其中点 D 到圆心 O 的距离最远，所以过点 D 且垂直于 OD 的弦 AB 最短，考点：1．线性规划;2．直线和圆的位置关系．【名师点睛】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误．24．－2【解析】⎧ x ≥ 0 ⎪⎩⎧ y = x⎩ 化目标函数 z = x - 2 y 为 y = x z，2 2由图可知，当直线y=x z-过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×2=﹣222．考点：简单的线性规划问题．25．-6【解析】试题分析：先根据平面向量共线（平行）的坐标表示，得m=2x-y，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m=2x-y过可行域内的点A时，从而得到m值即可．由向量向量，，且，得，根据约束条件画出可行域，设，将m最小值转化为y轴上的截距，当直线经过点（，）时，m最小，最小值是：2×1-8=-6．故答案为：-6．考点：平面向量共线的坐标表示；简单的线性规划26．[1,+∞)．2cos1【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，即可行域，而xπxπy=2a sin(+)cos(+)=2424π1a sin(x+)=a cos x，故可知问题等价于点(1,)不在函数y=a cos x的上方，即22111a cos1≥⇒a≥,+∞)．22cos12cos1，∴正实数a的取值范围是[试题分析： M (a, b )在由不等式 ⎨ y ≥ 0 确定的平面区域内， ⎪x + y ≤ 2 ⎧a ≥ 0 ⎪⎪ 2 ∴ ⎨b ≥ 0 ，设 x = a - b , y = a + b ，则 ⎨ ⎪a + b ≤ 2 ⎪b = y - x ⎪⎩ 2 ⎩ ≥ 0 ，即 ⎨ y - x ≥ 0 ⎪ y ≤ 2 作出不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为等腰直角三角形 AOB ，则 ⎨，y = 2 同理 B (- 2,2)，则 ∆AOB 的面积为 S = ⨯ 4 ⨯ 2 = 4 ．⎧考点：1．三角函数的图象和性质；2．线性规划的运用．27．4【解析】⎧ x ≥ 0 ⎪ ⎩⎪ ⎩⎧ y - x = 0⎩ 得 ⎨ x = 2 ⎩ y = 21 2考点：简单的线性规划．28．[-2,1]．【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的平面区域，考虑极端情况，函数图象经过点(2,-1)，此时m=-2，函数图象经过点(1,1)，此时m=1，∴实数m的取值范围是[-2,1]．考点：线性规划的运用．29．-6【解析】试题分析：可行域如图：⎧ ∴由 ⎨ x - y ≤ 0 得 A (k, k ) ，目标函数 z = x + y 在 x = k. y = k 时取最大值，即直线 z = x + y ⎩ y = k在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12 = k + k ， k= 6 ∴得 B (-12,6 )，目标函数 z = x + y 在x = -12, k = 6 时取最小值，此时， z 的最小值为 z = -12 + 6 = -6考点：简单的线性规划3 30．12 ， (-∞, ] ． 4【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的可行域，作直线 l ： x + 3 y = 0 ，平移 l ，即可知，当 x = y = 3 时，z 3 的取值范围是 (-∞, ] ． 4 max = 3 + 9 = 12 ，直线 y = a( x + 1) 恒过点 (-1,0) ，∴可知实数 a考点：线性规划的运用．。
第十章 线性规划与基本不等式
第十章 线性规划与基本不等式1.利用线性规划求目标函数的最值【背一背基础知识】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说方法：是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．(直线定界，点定区域)3. 线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.求目标函数的最值步骤：（1）.作图—画出约束条件表示的平面区域；（2）. 平移—利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）.求值—求出目标函数的最值. 【讲一讲基本技能】求目标函数最值对目标函数的处理主要有三种方法：（1）截距型by ax z +=：先令0=z ，作出0=+by ax 直线，在平面可行域中平移扫描。
（2）斜率型ax by z --=：用直尺以),(b a 为固定点，在可行域中旋转扫描。
（3）距离型c by y ax x z +-+-=2222：以),(b a 为固定点，像水波纹的形式四处扩散。
【典型例题】例1变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2zx y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2例2若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-的最小值为( )A 、1- B 、0 C 、1 D 、2 【练一练趁热打铁】1. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 2. 已 x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z+-=2的最大值是（ ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）12.基本不等式【背一背基础知识】1. 基本不等式ab ≤a ＋b2①基本不等式成立的条件：a>0，b>0.②等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2. 几个重要的不等式①.ab b a 222≥+(a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．②.),(2)2(222R b a b a b a ab ∈+≤+≤ 3. 算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4. 利用基本不等式求最值问题 :已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是42p .(简记：和定积最大) 【讲一讲基本技能】1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b≥2ab ，ab ≤2)(2b a +，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2a b 逆用就是ab ≤222b a +；a ＋b2≥ab (a ，b>0)逆用就是ab ≤2)(2b a +(a ，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 【典型例题】例1. 若实数,a b 满足12ab a b +=，则ab 的最小值为( )A 、2 B 、2 C 、22 D 、4例2若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例3.若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）A ．524 B ．528 C ．5 D ．6【练一练趁热打铁】1. 设函数)0(112)(<-+=x xx x f 则)(x f （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 2.若2x >，则12x x +-的最小值为_______ ．3.已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1.则1a ＋1b 的最小值为________．【测一测，彰显自我】1. 已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7) B ．(－7,24) C ．），（），（∞+∞247-- D ．），（），（∞+∞742-- 2.设变量xy ，满足约束条件： ，则32z x y =-+的最小值为( ) A ．-2 B ．-4 C ．-6 D ．-83.若实数b a ,满足22=+b a 则b a 39+的最小值是（ ） A ．18 B ．6 C ．23 D ．2434.若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是( ) A 、12 B 、26 C 、28 D 、335. 若x,y 满足约束条件：x 2y 22x y 44x y 1+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数z=3x y -的取值范围是( ) A 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ， B 213⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ， C []16- ， D 362⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ， 13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩6. 若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3zx y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.27. 若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的最小值是（ ）3.A B. 0C. 32 D.38．已知0<x ，函数4y x x=+的最大值是 （ ）A.22 B.4 C.-4 D.-22 9． 函数)1(122>-+=x x x y 的最小值是（ ）A ．232+ B ．232-C ．32 D ．2 10.若直线2y x =上存在点(x ，y )满足约束条件30 230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．211. 已知0a >,,x y 满足约束条件 ,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ） 12. A ．41 B ．21C ．1D ．2 12．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA ·OM的取值范围是 ( )A ．]0,1[- B ．]1,0[ C ．]2,0[ D ．]2,1[-13. 不等式224x x-<的解集为________.14. 若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 ______. 15. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为______ 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 16. 若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 ______.222y xx y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥。
高考数学(理)二轮专题练习【专题1】(2)不等式与线性规划(含答案)
第 2 讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考取主要考察利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考察求最值问题，线性规划主要考察直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与会合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式表现，属中档题．1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2＋bx＋ c>0( a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与 x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法①变形 ?f x>0(<0) ? f(x)g(x)>0(<0) ；g x②变形 ?f x≥ 0( ≤?0)f( x)g(x) ≥ 0( ≤且0)g(x) ≠ 0.g x(3) 简单指数不等式的解法①当 a>1 时， a f(x)>a g(x)? f(x)>g(x)；②当 0< a<1 时， a f(x) >a g(x)? f(x)<g(x)．(4)简单对数不等式的解法①当 a>1 时， log a f(x)>log a g(x) ? f(x)>g(x)且 f( x)>0 ， g(x)>0；②当0< a<1 时， log a f( x)>log a g(x)? f(x)<g(x)且 f(x)>0，g(x)>0.2．五个重要不等式(1)|a| ≥0，a2≥ 0(a∈R )．(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R )．a＋ b(3)2≥ ab(a>0， b>0)．a＋ b 2(4) ab≤(2) (a， b∈R)．(5)a2＋ b2 a＋ b2ab(a>0， b>0) ．2≥2≥ ab≥a＋ b3．二元一次不等式(组 )和简单的线性规划(1)线性规划问题的相关观点：线性拘束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实质背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②依据线性目标函数的几何意义确立最优解；③求出目标函数的最大值或许最小值．4．两个常用结论(1) ax2a>0，＋ bx＋ c>0( a≠0)恒建立的条件是<0.2a<0，(2) ax＋ bx＋ c<0( a≠0)恒建立的条件是<0.热门一一元二次不等式的解法例 1(1)(2013 安·徽 )已知一元二次不等式f(x)<0 的解集为x|x<－1或x>1，则 f(10x)>0 的解集2为 ()A ． { x|x<－ 1 或 x>－ lg 2}B ． { x|－ 1<x<－ lg 2}C． { x|x>－ lg 2}D ． { x|x<－ lg 2}(2) 已知函数f(x)＝ (x－ 2)(ax＋ b)为偶函数，且在 (0，＋∞)单一递加，则 f(2－ x)>0 的解集为 ()A ． { x|x>2 或 x<－ 2}B ． { x|－ 2< x<2}C． { x|x<0 或 x>4} D ． { x|0<x<4}思想启示答案(1)D (1) 利用换元思想，设(2)C10x＝ t，先解f(t)>0.(2) 利用f(x)是偶函数求b，再解f(2 －x)>0.分析(1) 由已知条件0<10x<12，解得x<lg 12＝－ lg 2.(2)由题意可知 f(－ x)＝ f(x)．即 (－ x－ 2)(－ ax＋ b) ＝ (x－2)(ax＋b) ，(2a－ b)x＝ 0 恒建立，故 2a－b＝ 0，即 b＝ 2a，则 f(x)＝ a(x－ 2)(x＋ 2)．又函数在 (0，＋∞)单一递加，所以 a>0.f(2 －x)>0 即 ax(x－ 4)>0 ，解得 x<0 或 x>4.应选 C.思想升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热门，“三个二次”的相互转变表现了转变与化归的数学思想方法．(1)不等式x－1≤0的解集为 ()2x＋ 1A ． (－12， 1]1B ．[－2，1]1C ． (－∞，－ 2)∪ [1，＋ ∞)1D ． (－∞，－ 2]∪ [1，＋ ∞)(2) 已知 p ：? x 0∈ R ， mx 02＋1≤0，q ：? x ∈ R ， x 2＋ mx ＋ 1>0.若 p ∧ q 为真命题，则实数 m 的取 值范围是 ()A ． (－∞，－ 2)B ． [－ 2,0)C ． (－2,0)D ． [0,2]答案 (1)A (2)C分析(1) 原不等式等价于 (x － 1)(2x ＋ 1)<0 或 x －1＝ 0，即－ 1<x<1 或 x ＝ 1，2 所以不等式的解集为 (－ 1， 1]，选 A.2(2) p ∧ q 为真命题，等价于 p ，q 均为真命题．命题 p 为真时， m<0；命题 q 为真时， 2＝ m －4<0 ，解得－ 2<m<2. 故 p ∧ q 为真时，－ 2<m<0. 热门二 基本不等式的应用例 2(1)(2014 ·湖北 )某项研究表示：在考虑行车安全的状况下，某路段车流量 F( 单位时间内经过丈量点的车辆数，单位：辆 /时) 与车流速度 v(假定车辆以同样速度 v 行驶，单位：米 /秒 )、均匀车长 l(单位：米 )的值相关，其公式为 F ＝ 276 000v.v ＋ 18v ＋ 20l①假如不限制车型， l ＝ 6.05，则最大车流量为 ________辆 /时；②假如限制车型， l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增添 ________辆 /时．(2)(2013 山·东 )设正实数 x ，y ，z 知足 x 2－ 3xy ＋ 4y 2－z ＝0，则当xy获得最大值时，2＋ 1－2的最zx yz大值为 ( )9A ．0B ．1C.4 D ．3思想启示(1) 把所给 l 值代入，分子分母同除以 v ，结构基本不等式的形式求最值； (2) 重点是找寻xyz 获得最大值时的条件．答案(1) ① 1 900 ② 100 (2)B76 000v分析 (1) ① 当 l ＝ 6.05 时， F ＝ v 2＋ 18v ＋ 121＝76 000≤76 000＝76 000＝ 1 900.v ＋121＋ 182121＋ 1822＋ 18v v ·v当且仅当 v ＝ 11 米 /秒时等号建立，此时车流量最大为1 900 辆 /时．② 当 l ＝ 5 时， F ＝ 2 76 000v＝76 000 ≤ 76 000＝76 000＝ 2 000.v ＋ 18v ＋ 10010010020＋ 18v ＋ v ＋ 18 2 v ·v ＋ 18当且仅当 v ＝ 10 米/ 秒时等号建立， 此时车流量最大为 2 000 辆 /时．比 ①中的最大车流量增添100 辆 /时．(2) 由已知得 z ＝ x 2－ 3xy ＋ 4y 2， (*)则xy＝ 2 xy2＝1≤1，当且仅当 x ＝ 2y 时取等号，把 x ＝ 2y 代入 (*) 式，得 z ＝ 2y 2，z x － 3xy ＋ 4yx4yy ＋ x － 3所以 2＋1－ 2＝ 1＋1－12 ＝－1－1 2＋ 1≤1，x y z y y yy所以当 y ＝ 1 时， 2x ＋ 1y － 2z 的最大值为 1.思想升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑 ”等技巧，使其知足基本不等式中 “正 ”(即条件要求中字母为正数 )、 “定 ”(不等式的另一边一定为定值 )、 “等 ”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(1) 若点 A(m ， n)在第一象限，且在直线x＋ y ＝ 1 上，则 mn 的最大值为 ________．3 42(2) 已知对于 x 的不等式 2x ＋ x － a ≥7在 x ∈ (a ，＋ ∞)上恒建立，则实数 a 的最小值为 ()35A ．1 B.2 C ．2 D.2答案 (1)3 (2)B分析(1) 由于点 A(m ， n)在第一象限，且在直线x ＋ y＝ 1 上，所以 m ， n>0 ，且 m ＋n＝ 1.3434m n m ＋ nm n13m n 1所以3 4 2， n ＝2 时，取等号 )．所以·≤( 2 ) ( 当且仅当3＝＝ ，即 m ＝ ·≤ ，即 mn ≤3，3 442 23 4 4 所以 mn 的最大值为 3.2＝ 2(x － a)＋ 2 ＋ 2a(2)2x ＋ x － ax － a≥2·x － a2＋ 2a ＝ 4＋ 2a ，x － a3由题意可知4＋ 2a ≥7，得 a ≥ ，2即实数 a 的最小值为 3，应选 B.2热门三简单的线性规划问题例 3(2013 ·湖北 )某旅游社租用A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅游， A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1600 元 /辆和 2400 元 /辆，旅游社要求租车总数不超出 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为 ()A ．31 200 元B．36 000 元C． 36 800 元D．38 400 元思想启示经过设变量将实质问题转变为线性规划问题．答案C分析设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为 z 元，x＋ y≤21y－x≤7则 z＝ 1 600x＋ 2 400y, x、 y 知足36x＋ 60y≥900，x，y≥0， x、 y∈N画出可行域如图直线 y＝－2x＋z过点 A(5,12) 时纵截距最小，3 2 400所以 z min＝ 5×1 600＋ 2 400 ×12＝ 36 800，故租金最少为36 800 元．思想升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是确立目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形联合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要正确地设出变量，确立可行域和目标函数．x>0(1) 已知实数 x， y 知足拘束条件4x＋3y≤4，则 w＝y＋1的最小值是 ()y≥0xA．－2 B．2 C．－1 D．12x－y＋ 1>0 ，(2)(2013北·京 )设对于 x、 y 的不等式组 x＋m<0，表示的平面地区内存在点P(x0， y0)，y－m>0知足 x0－ 2y0＝ 2，求得 m 的取值范围是 ()A.－∞，4 B. －∞，133C. －∞，－2D. －∞，－533答案 (1)D (2)C分析(1) 画出可行域，如下图．y ＋ 1表示可行域内的点(x ， y)与定点 P(0，－ 1)连线的斜率，察看图形可知PA 的斜率最小w ＝ x为 －1－0＝ 1，应选 D.0－1(2) 当 m ≥0 时，若平面地区存在， 则平面地区内的点在第二象限， 平面地区内不行能存在点 P(x 0，y 0)知足 x 0－ 2y 0＝ 2，所以 m<0.如下图的暗影部分为不等式组表示的平面地区．1要使可行域内包括y ＝ 2x － 1 上的点，只要可行域界限点11 2(－ m ，m)在直线 y ＝ 2x － 1 的下方即可，即 m<－2m － 1，解得 m<－ 3.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转变为整式不等式 (组 )来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单一性进行转变．2．基本不等式的作用二元基本不等式拥有将“积式 ”转变为 “和式 ”或将 “和式 ”转变为 “积式 ”的放缩功能，经常用于比较数 (式 )的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒建立问题．解决问题的重点是弄清分式代数式、函数分析式、不等式的结构特色，选择好利用基本不等式的切入点，并创建基本不等式的应用背景，如经过“代换 ”、“拆项 ”、 “凑项 ”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意 “一正、二定、三相等 ”的条件，三个条件缺一不行．3．线性规划问题的基本步骤(1) 定域 —— 画出不等式 (组)所表示的平面地区， 注意平面地区的界限与不等式中的不等号的对应；(2) 平移 —— 画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l ，平行挪动直线， 让其与平面地区有公共点，依据目标函数的几何意义确立最优解，注意要娴熟掌握最常有的几类目标函数的几何意义；(3) 求值 —— 利用直线方程组成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值 .真题感悟1． (2014·山东 )已知实数x y) x， y 知足 a <a (0<a<1) ，则以下关系式恒建立的是 (A. 21 >21 B ． ln(x2＋1)>ln( y2＋ 1) x＋ 1y＋1C． sin x>sin y33 D ． x >y答案D分析由于 0<a<1，a x<a y，所以 x>y.采纳赋值法判断， A 中，当 x＝ 1，y＝ 0 时，1<1，A 不行2立． B 中，当 x＝ 0，y＝－ 1 时， ln 1<ln 2 ，B 不建立． C 中，当 x＝ 0，y＝－π时， sin x＝ sin y ＝ 0， C 不建立． D 中，由于函数y＝ x3在R上是增函数，应选 D.x＋ 2y－ 4≤0，2． (2014 ·浙江 )当实数 x，y 知足 x－ y－ 1≤0，时， 1≤ax＋ y≤4恒建立，则实数 a 的取值范x≥1围是 ________．答案[1，3 ] 2分析画可行域如下图，设目标函数 z＝ ax＋ y，即 y＝－ ax＋z，要使 1≤z≤4 恒建立，则 a>0，1≤2a＋ 1≤4，即可，解得33数形联合知，知足1≤a≤ .所以 a 的取值范围是1≤a≤ .1≤a≤422押题精练1．为了迎接2014年3 月8 日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件 (生产量与销售量相等 )与促销花费 x 万元知足 P＝ 3－2，已知生产该产品还需投入成本 (10 x＋ 1＋ 2P)万元 (不含促销花费 )，产品的销售价钱定为(4＋20P )万元 /万件．则促销花费投入万元时，厂家的收益最大？()A ．1B．1.5C． 2 D ． 3答案A分析设该产品的收益为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋ 2P) 万元，所以y＝P10＋ 2P)×P－ 10－2P－ x ＝4－ x(x>0) ，所以 y ＝ 17 － (4＋ x ＋ 1)≤17 －2×(P16 －x＋1x＋1244＝ x＋ 1，即 x＝ 1 时取等号 )，所以促销花费投入 1 万元x＋ 1×x＋＝ 13(当且仅当x＋1时，厂家的收益最大，应选 A.3x－ y≤0，2．若点 P(x，y)知足线性拘束条件x－ 3y＋ 2≥0，点 A(3， 3)，O 为坐标原点，则→ →OA·OPy≥0，的最大值为 ________．答案6分析→→→ →由题意，知 OA＝ (3， 3)，设 OP＝ (x， y)，则 OA·OP＝ 3x＋ 3y.令 z＝ 3x＋ 3y，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线 y＝－3x＋33z 经过点 B 时， z 获得最大值．3x－ y＝ 0，解得x＝ 1，3)，故 z 的最大值为3×1＋3× 3＝ 6.由即 B(1，x－ 3y＋ 2＝0，y＝ 3，→→即 OA·OP的最大值为 6.(介绍时间： 50 分钟 )一、选择题1． (2014 ·四川 )若 a>b>0 ，c<d<0，则必定有 ()a b a bA. c>dB. c<da b a bC.d> cD. d<c答案D分析令 a＝ 3，b＝ 2， c＝－ 3， d＝－ 2，则ac＝－ 1，bd＝－ 1，所以 A ，B 错误；a＝－ 3，b＝－2，d 2 c 3a b所以 d <c ，所以 C 错误．应选 D.2．以下不等式必定建立的是()21 A ． lg x＋4 >lg x(x>0)1B ． sin x ＋sin x ≥ 2(x ≠k π， k ∈ Z )C ． x 2＋ 1≥2|x|(x ∈ R )1D.x 2 ＋ 1>1( x ∈ R ) 答案 C分析应用基本不等式： x ， y>0，x ＋y2 ≥ xy(当且仅当 x ＝ y 时取等号 ) 逐一剖析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当 x>0 时， x 2＋11＝ x ，≥··42所以 lg2＋ 1，应选项 A 不正确；x 4 ≥lg x( x>0) 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 x ≠k π， k ∈ Z 时， sin x 的正负不定，应选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；1当 x ＝ 0 时，有 x 2＋ 1＝ 1，应选项 D 不正确．3． (2013 ·重庆 )对于 x 的不等式 x 2－ 2ax － 8a 2<0(a>0) 的解集为 (x 1， x 2) ，且 x 2－ x 1＝ 15，则 a 等于 ()5 7 A. 2B. 215 15 C. 4D. 2答案 A分析由 x 2 － 2ax － 8a 2<0 ，得 (x ＋ 2a)( x － 4a)<0，因 a>0，所以不等式的解集为 (－ 2a,4a) ，即x 2＝ 4a ， x 1＝－ 2a ，由 x 2－ x 1＝ 15，得 4a －( －2a)＝ 15，解得 a ＝ 52.4． (2014 ·重庆 )若 log 4(3a ＋4b)＝ log 2 ab ，则 a ＋ b 的最小值是 ( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C．6＋4 3D．7＋43答案Dab>0 ，a>0，分析由题意得ab≥0，所以b>0.3a＋4b>0，又 log 4(3a＋ 4b)＝ log 2 ab，所以 log 4(3a＋ 4b)＝ log4ab，43所以 3a＋ 4b＝ ab，故＋＝1.所以 a＋b＝ (a＋ b)(4＋3)＝ 7＋3a＋4ba b b a3a 4b≥7＋2· ＝7＋43，b a当且仅当3ab＝4ba时取等号．应选D.x＋ y－5≤05．已知变量 x， y 知足拘束条件x－ 2y＋ 1≤0，则 z＝x＋ 2y－ 1 的最大值为 ()x－ 1≥0A ．9B ． 8C． 7 D ． 6答案Bx＋ y－ 5≤0分析拘束条件x－2y＋ 1≤0所表示的地区如图，x－ 1≥0由图可知，当目标函数过A(1,4) 时获得最大值，故z＝ x＋ 2y－ 1 的最大值为1＋ 2×4－ 1＝ 8.二、填空题6．已知f(x)是R 上的减函数，A(3，－ 1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1 ＋ln x)|<1 的解集是 ________．答案(1，e2) e分析∵ |f(1＋ ln x)|<1，∴ － 1<f(1＋ ln x)<1 ，∴ f(3)< f(1＋ ln x)<f(0)， 又 ∵ f(x) 在 R 上为减函数，∴ 0<1 ＋ln x<3， ∴ － 1<ln x<2，12∴ e <x<e .x － y ≤0，7．若x ， y 知足条件x ＋ y ≥0，且 z ＝ 2x ＋ 3y 的最大值是5，则实数a 的值为 ________．y ≤a ，答案1分析 画出知足条件的可行域如图暗影部分所示，则当直线z ＝ 2x ＋ 3y 过点 A( a ， a)时， z ＝2x＋ 3y 获得最大值 5，所以 5＝ 2a ＋ 3a ，解得 a ＝1.8． 若点 A(1,1)在直线 2mx ＋ ny － 2＝0 上，此中 mn>0，则 1＋ 1的最小值为 ________．m n答案32＋ 2分析∵ 点 A(1,1)在直线 2mx ＋ ny － 2＝0 上，∴ 2m ＋ n ＝ 2，∵ 1 ＋ 1＝ ( 1 ＋ 1)2m ＋ n ＝ 1(2＋2m ＋ n＋ 1)m n m n 22n m1 2m n 3＋ 2，≥ (3＋2n· )＝2m 2当且仅当2m ＝ n，即 n ＝ 2m 时取等号，n m∴ 1＋ 1的最小值为3＋ 2.m n2三、解答题9．设会合 A 为函数 y ＝ln( － x 2－ 2x ＋8) 的定义域，会合B 为函数 y ＝ x ＋1的值域，会合 Cx ＋ 11为不等式 ( ax － a )(x ＋ 4) ≤0的解集．(1) 求 A ∩B ；(2) 若 C? ?R A ，求 a 的取值范围．解 (1)由－ x 2－ 2x ＋8>0 得－ 4< x<2，即 A ＝ (－ 4,2)．y＝ x＋1＝(x＋1)＋1－1，x＋ 1x＋ 1当 x＋ 1>0，即 x>－ 1 时 y≥2－ 1＝ 1，此时 x＝0，切合要求；当 x＋ 1<0，即 x<－ 1 时， y≤－ 2－ 1＝－ 3，此时 x＝－ 2，切合要求．所以 B＝ (－∞，－ 3]∪ [1，＋∞)，所以 A∩B＝ (－ 4，－ 3]∪ [1,2) ．1(2)(ax－a)( x＋ 4)＝ 0 有两根1 x＝－ 4 或 x＝ a2.1当 a>0 时， C＝{ x|－ 4≤x≤a2} ，不行能C? ?R A；当 a<0 时， C＝{ x|x≤－ 4 或 x≥a 12} ，若 C? ?R A，则121，a2≥2，∴a≤2∴ －22， 0)．2≤a<0.故 a 的取值范围为 [ －2132处获得极大值，在x＝ x2处获得极小值，且10．已知函数 f( x)＝ ax－bx＋ (2－ b)x＋ 1 在 x＝x130<x1<1< x2<2.(1)证明： a>0；(2)若 z＝ a＋ 2b，求 z 的取值范围．(1)证明求函数 f(x)的导数f′(x)＝ ax2－ 2bx＋ 2－ b.由函数 f(x)在 x＝ x1处获得极大值，在 x＝ x2处获得极小值，知 x1、 x2是 f′(x)＝0 的两个根，所以 f′(x)＝ a(x－ x1)(x－ x2) ．当 x<x1时， f(x)为增函数， f′(x)>0，由 x－ x1<0，x－ x2<0 得 a>0.f，(2) 解在题设下， 0<x1<1<x2<2 等价于 f，f，2－ b>0，即a－ 2b＋ 2－ b<0，4a－ 4b＋2－ b>0 ，化简得2－ b>0，a－ 3b＋ 2<0，4a－ 5b＋2>0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上的三条直线：2－ b ＝0， a － 3b ＋ 2＝ 0,4a － 5b ＋ 2＝0 所围成的 △ ABC 的内部，其三个极点分别为4 6 A 7，7 ， B(2,2)， C(4,2)．16z 在这三点的值挨次为， 6,8.所以 z 的取值范围为 (16， 8)．711．某工厂生产某种产品，每天的成本C(单位：万元 )与日产量 x(单位：吨 )知足函数关系式C＝ 3＋ x ，每天的销售额 S(单位：万元 )与日产量 x 的函数关系式S ＝ k＋ 5， 0<x<6，3x ＋ x － 814， x ≥ 6. 已知每天的收益 L ＝ S － C ，且当 x ＝ 2 时， L ＝ 3.(1) 求 k 的值；(2) 当天产量为多少吨时，每天的收益能够达到最大，并求出最大值．(1)由题意可得 L ＝ k＋2， 0<x<6，解2x ＋ x － 811－x ， x ≥6.k由于当 x ＝ 2 时， L ＝ 3，所以 3＝ 2×2＋＋ 2，解得 k ＝18.(2) 当 0<x<6 时， L ＝ 2x ＋ 18＋ 2，所以x － 818＋ 18＝－ [2(8 － x)＋18－ x18＋ 18＝6，L ＝ 2(x － 8)＋x － 88－ x ] ＋ 18≤－ 28－ x当且仅当 2(8－ x)＝ 18，即 x ＝ 5 时获得等号．8－x 当 x ≥6 时， L ＝11－ x ≤5.所以当 x ＝ 5 时 L 获得最大值 6.所以当天产量为 5 吨时，每天的收益能够达到最大，最大值为 6 万元．。
高三数学一轮复习微专题线性规划与基本不等式第7节利用基本不等式求最值试题(2021学年)
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第7节 利用基本不等式求最值【基础知识】常见结论:1、 如果,R a b ∈,那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 推论：22ab 2a b +≤(,R a b ∈) 2、 如果0a >，0b >，则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“＝＂）。
推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）;222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+ 【规律技巧】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.注意:形如y ＝ｘ+＼f （a,x ）（a ＞０)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解.om【典例讲解】【例１】 解答下列问题：(1)已知a >０,b ＞0，且4a ＋b =1，求ａb 的最大值;(2)若正数ｘ，y 满足x +3ｙ＝5xy ，求3ｘ+4y 的最小值；（３)已知ｘ<错误!,求f (x )＝4x －2+错误!的最大值;(4)已知函数ｆ（x )=４x +＼ｆ（a,ｘ)(x ＞0，ａ>０)在x ＝３时取得最小值，求a 的值．(2)由ｘ＋3y=5xy,得错误!+错误!＝5(x＞０,ｙ>0),则3ｘ＋4y＝错误!（3ｘ＋4y)错误!=＼ｆ(１,５)错误!≥错误!错误!=＼f（1，5)(1３+12）＝5,当且仅当错误!=错误!，即ｘ=2ｙ时，等号成立,此时由错误!解得错误!【规律方法】（１)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.②条件变形,进行“１”的代换求目标函数最值．(２）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．【变式探究】(1)设ａ＞０,若关于x的不等式ｘ＋ａｘ≥４在x∈(0，+∞）上恒成立,则ａ的最小值为（）A．4 Ｂ.2 Ｃ.１6 Ｄ.1(2)设0＜x<＼ｆ(５,2)，则函数y＝4x（５-2ｘ）的最大值为＿__＿_＿.(3)设x＞－１,则函数y＝错误!的最小值为＿＿____＿_．【解析】(1）因为x＞０，a＞０，所以x+＼f(a,ｘ)≥2a,要使x＋错误!≥4在ｘ∈(０,+∞)上恒成立,则需2错误!≥４，所以a≥4,从而ａ的最小值为4，故选Ａ．(2)因为0<ｘ＜＼f(５,2），所以5-2x＞0,所以y=4x(５-2x）＝2×２x(5-2x)≤2错误!错误!＝错误!,当且仅当2x=５－2x,即x=错误!时等号成立，故函数y=４x(5－２x)的最大值为错误!。
不等式与线性规划问题试题
基本不等式1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_____________．4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．65． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14题型一 利用基本不等式证明简单不等式例1已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.题型二 利用基本不等式求最值例2(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.92D.112题型三 基本不等式的实际应用1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A．18 B．27 C．20 D．162．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·陕西)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )3． 设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) 4． 已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．6． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． ．7． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______． ．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是( )A ．正数B ．非负数C ．实数D ．不存在2． 如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P3． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．5． 已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．6．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．线性规划【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． ．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义． 角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．23．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．角度三：求线性规划中的参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．3410．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1。
27基本不等式 线性规划
1．(2012²天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．32．(2011²浙江高考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．193．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，y ≤3，ax －y －a ≤0，且x 2＋y 2的最大值等于34，则正实数a 的值等于( )A.35B.34C.53D.434．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A ．0，13B ．－∞，13C ．－13，0D ．－∞，－135．若z ＝mx ＋y 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，2y －x ≥0，x ＋y －3≤0上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．0D ．0或±16．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝yx的最大值为2，则实数m ＝________.8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．9．(2011²全国新课标高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．10．若点P 在区域⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．11．已知x 、y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值；(2)x 2＋y 2的最大值和最小值．12．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲产品每单位质量可获利10元，生产乙产品每单位质量可获利12元，甲、乙两种产品的生产都要经过厂里完成不同任务的三个车间，每单位质量的产品在每个车间里所需要的加工的总时数如下表：如何安排生产，才能使本月获得利润最大？13．(2012²江苏高考)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，求b a的取值范围．1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．(2013²合肥模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值223．(2012²山东淄博一中高三检测)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →²AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．194．若－4＜x ＜1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值－1D ．最大值－15．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．326．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q7．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．8．(2011²江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．9．已知函数f (x )＝ax ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，点A 关于直线y ＝x 对称的点在直线mx ＋ny ＋1＝0，若m ＞0，n ＞0，则1m ＋2n的最小值为________．10．(1)设x >－1，求函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值；(2)求y ＝x (a －2x )0<x <a2，且a 为常数的最大值．11．已知a ，b >0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b.12．(文)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．(理)(2012²苏北四市联考)某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？13．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．。
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
高考文科数学 刷题小卷练24 基本不等式及简单的线性规划
刷题小卷练24 基本不等式及简单的线性规划小题基础练○24一、选择题 1．[2019·山东临汾一中月考]不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案：C 解析：由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案：B解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．[2019·长春质量监测(一)]已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案：B解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.4．若直线mx ＋ny ＋2＝0(m >0，n >0)被圆(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1截得的弦长为2，则1m ＋3n 的最小值为( )A ．4B ．6C ．12D ．16 答案：B解析：由题意，圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，即－3m －n ＋2＝0,3m ＋n ＝2.所以1m ＋3n ＝12(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋3n ＝126＋n m ＋9m n ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2n m ×9m n ＝6，当且仅当n m ＝9m n时取等号，因此1m ＋3n 的最小值为6，故选B.5．[2019·湖南永州模拟]已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 答案：C解析：∵c sin B ＋b sin C ＝2a ，由正弦定理可得，2sin A ＝sin C sin B ＋sin Bsin C ≥2sin C sin B ·sin B sin C ＝2，即sin A ≥1，∴sin A ＝1，当且仅当sin C sin B ＝sin B sin C ，即B ＝C 时，等号成立，∴A ＝π2，b ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形，故选C.6．[2019·开封模拟]已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132B.116 C ．32 D ．64 答案：C解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当直线u ＝x －2y 经过点A (1,3)时，u 取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.解法二 由题易知z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y取得最大值32，故选C.7．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －3y －8≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx－y 的最大值为12，最小值为0，则实数k ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．3 答案：D解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝kx －y 可化为y ＝kx －z ，若k ≤0，则z 的最小值不可能为0，若k >0，当直线y ＝kx －z 过点(1,3)时，z 取最小值0，得k ＝3，此时直线y ＝kx －z 过点(4,0)时，z 取得最大值12，符合题意，故k ＝3.8．[2019·云南红河州统一检测]设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为2，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．25B ．19C ．13D ．5 答案：A解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时等号成立，所以2a ＋3b 的最小值为25，故选A.二、非选择题9．已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案：1解析：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．[2019·广东清远模拟]若x>0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．答案：16解析：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋y x ≥10＋29x y ·y x＝16，当且仅当9x 2＝y 2，即y ＝3x ＝12时等号成立．故x ＋y 的最小值是16.11．[2018·全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z＝3x ＋2y 的最大值为________．答案：6解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2 过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 12．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案：216 000 解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．课时增分练○24一、选择题 1．[2019·河北卓越联盟联考]已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：A解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24.故选A.2．[2019·甘肃诊断]已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A.53B.83 C ．8 D ．24 答案：C解析：因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当x＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y 的最小值为8，故选C.3．若正数x ，y ，a 满足ax ＋y ＋6＝xy ，且xy 的最小值为18，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．9 答案：B解析：正数x ，y ，a 满足ax ＋y ＋6＝xy ，且ax ＋y ≥2axy ，当且仅当ax ＝y 时等号成立，所以xy ≥6＋2axy .令t ＝xy ，则t 2－2at －6≥0，由xy 的最小值为18得t ≥32，所以32为方程t 2－2at －6＝0的一个解，则18－62a －6＝0，得a ＝2.故选B.4．[2019·山东济宁模拟]已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4 答案：A解析：∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1即a ＝4，b ＝43时等号成立，故选A.5．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．4D ．2 答案：A 解析：因为函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，所以2a ＋b ＝1.又a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a 时取等号，所以1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥λ，若z ＝x ＋4y 的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为( )A ．3 B.73 C.32 D ．1 答案：A解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥λ所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (1,4)，B (λ－3，λ)．由z ＝x ＋4y ，得y ＝－14x ＋z4，作出直线y ＝－14x ，并平移，知当该直线经过点A 时，z 取得最大值，且最大值为1＋4×4＝17；当该直线经过点B 时，z 取得最小值，且最小值为λ－3＋4λ＝5λ－3.因为z ＝x ＋4y 的最大值与最小值之差为5，所以17－(5λ－3)＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.7．[2019·太原模拟]已知点(x ，y )所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为( )A ．4 B.14 C.53 D.35 答案：D解析：因为目标函数z ＝ax ＋y ，所以y ＝－ax ＋z ，易知z 是直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距．分析知当直线y ＝－ax ＋z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时－a ＝225－21－5＝－35，即a ＝35，故选D.8．[2019·湖北联考]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥7－3x ，x ＋3y ≤13，x ≤y ＋1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x－3y ＋4|的最小值为( )A.128B.132C.148D.164 答案：D解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m ＝2x －3y ＋4，在直线2x －3y ＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A 处m 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝7－3x ，x ＋3y ＝13，解得x ＝1，y ＝4，此时m min ＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m |max ＝6，在直线2x －3y ＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m 的值为正数，在点C 处m 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝7－3x ，x ＝y ＋1，解得x ＝2，y ＝1，即C (2,1)，此时m max ＝5，|m |max ＝5，故|m |max ＝6，故z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x －3y ＋4|在点A (1,4)处取得最小值，最小值为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，故选D.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x＋y 的最大值为________．答案：9解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.10．[2019·郑州模拟]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．答案：13解析：区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k＋1，解得k ＝13.11．设函数f (x )＝x ＋a x ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1≥22－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号，所以f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，任取0≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1). 因为0<a <1，(x 1＋1)(x 2＋1)>1，所以1－a (x 1＋1)(x 2＋1)>0， 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在[0，＋∞)上为增函数．所以f (x )min ＝f (0)＝a .。
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某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房。经初步估计得知，如果将楼房建为x（x 12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
11．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则 的最小值为(源自)A. 2B. 1C. D.
12． 设 的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
二、填空题
13．若xy>0,则 的最小值是。
14．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．
15．已知a，b都是正数，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为__________．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ )
A．1 B．2 C．4 D．
9．已知在正项等比数列 中，存在两项 ， 满足 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
10某公司招收男职员x名，女职员y名，x,y满足约束条件. 则 的最大值是（）
A.80 B.85 C.90 D.95
24．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
参考答案
【答案】Ａ
【答案】Ｄ
3．C
【答案】A
5．D
6．B
【答案】Ｂ
8．C
9．A
10．C
11．C
12．D
13．2.
14．
15．2
16．lg4.
17．64.
18．9.
19．18
20．
21．2
22．
23．每天应服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊满足维生素的需要量，且能得到最大量的维生素 为33mg
线性规划与基本不等式
1．若 则目标函数 的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．已知 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．若变量x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y－4的最大值为( )
A．－4 B．－1C．1 D．5
4．已知目标函数 中变量 满足条件 则（ ）
Ａ． Ｂ． ，无最小值
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）
26．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b＝1：2.
当且仅当 上式取”=”……….11分
因此，当 时， 取得最小值5000(元).
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，
每平方米的平均综合费最小值为5000元……….12分
法二： ………8分
11分
26．(1)由题可得：xy＝1800， ，则
(2)
＝1832－480＝1352，
当且仅当 ，即x＝40米，y＝45米时，
三、解答题
23．某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素 ， ， ， 和最新发现的 ．甲种胶囊每粒含有维生素 ， ， ， ， 分别是1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙种胶囊每粒含有维生素 ， ， ， ， 分别是3mg，2mg，1mg，3mg，2mg．
如果此人每天摄入维生素 至多19mg，维生素 至多13mg，维生素 至多24mg，维生素 至少12mg，那么他每天应服用两种胶囊多少才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素 ．
Ｃ． ，无最大值Ｄ． 无最大值，也无最小值
5．【2017安徽阜阳二模】若 满足约束条件 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
6．【2017重庆二诊】在平面直角坐标系 中，不等式组 所表示的平面区域的面积为（）
A． B． C． D．
7．给出平面区域如图所示，若使目标函数 取得最大值的最优解有无穷多个，则 的值为（ ）
16．若x＋y＝4，x＞0，y＞0，则lgx＋lgy的最大值是。
17．若x>0,y>0且 ，则xy的最小值是；
18．已知： ， 则 的最大值是＿＿＿
19．若 且 则 的最小值为。
20．当 时， 的最小值是.
21．已知 均为正数，且2是 与 的等差中项，则 的最大值为．
22．若 ，则 的最小值是______．
S取得最大值1352平方米．
24．解： 设生产甲产品 吨，生产乙产品 吨，
则有：
目标函数 ………………………………５分
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：……9分
作直线 ： ，平移，观察知，；当 经过点 时， 取到最大值
解方程组 得 的坐标为
25．解：设楼房每平方米的平均综合费为 元，依题意得
……..5分
法一: ……….9分