16.3.2 分式方程的应用(工程问题)
16。3(2)分式方程的应用导学案
（教师备课栏及学生笔记栏）15．3．2 分式方程的应用教学目标：1.会分析题意找出等量关系.2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.3.通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生能用所学的知识服务于我们的生活。
教学重点：利用分式方程组解决实际问题.教学难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.导学过程：一、复习•预习1．解分式方程的步骤有哪些？每一步你最容易出错在哪些方面？2．列方程应用题的五个步骤是：__________；_______；_______;______;_________。
3．我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？(1)行程问题：基本公式：____________.(2) 工程问题基本公式：________________________(3) 顺水逆水问题v顺水=____________; v逆水=________________二、例题探解例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
哪个队的施工速度快？【引导分析】甲队一个月完成总工程的31，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的x1，那么甲队半个月完成总工程的（），乙队半个月完成总工程的（），两队半个月完成总工程的（）。
等量关系是：（）解：（教师备课栏及学生笔记栏）（教师备课栏及学生笔记栏）练习：（1）要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成，如果乙单独做，则要超过规定如期3天才能完成，现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？例4：从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。
用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？引导分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则提速前列车行驶s千米所用的时间为（）小时，提速后列车的平均速度为（）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用的时间为（）小时。
16.3分式方程2
16.３分式方程2主备人：张思维一、教学目标：1.了解分式方程的应用步骤，会找里面的等量关系、数量关系，列出方程.2.工程问题和行程问题在分式方程中的应用.二、教学难点与重点：难点：会列出分式方程.重点：能找出分式方程里的等量关系、数量关系.三、预习提纲：1.解方程解应用题的一般步骤是什么？2.例题分析：工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.那个队的施工速度快？分析：甲队单独一个月完成工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.问题中的等量关系是什么？（用文字语言叙述）解：3.2004年5月某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行使50千米，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的v、s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x千米/时，先考虑下面的填空：提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为千米/时，提速后列车运行千米，用时间为小时。
解：4应用：①农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走过40分钟，其余人乘汽车去，结果同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求两车的速度分别为多少？②小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多53倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？四、当堂检测：A 组：1. 沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为( ) A.b a s +2小时 B.ba s -2小时 C.(b s a s +)小时 D.(ba sb a s -++)小时 2.小强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.211010++x x =13. 甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a 个，甲做m 个所用的天数与乙做n 个所用的天数相等（其中m ≠n ），设甲每天做x 个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（ ） A.n m am -、n m an - B. n m an -、nm am - C.n m am +、n m an + D.m n am -、mn an - B 组：4. 当x= ,方程11x +与11x -互为相反数. 5. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 千米，那么可提前到达________小时.6. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 .C 组：7. 设A=1-x x ，B=1132+-x ，当x 为何值时，A 与B 的值相等？8.两名教师带若干名学生去旅游，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司给的优惠条件是：1名教师按行业统一规定收全票，其余按7.5折收费；乙公司给的优惠条件是：全部按8折收费，经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜321，那么参加旅游的学生的人数是多少？9. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？五、作业：A 组：1.在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A 处向距离150km 的B 地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C 地前进，当蓝方在B 地的部队向 C 地增援后，红方在到达D 地后突然转向B 地进发。
分式方程的应用
分式方程的应用在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，分式方程就是其中一个重要的工具。
它不仅在数学领域中有着重要的地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
先来说说分式方程在行程问题中的应用。
假设小明从家到学校，如果以每分钟 50 米的速度行走，会迟到 3 分钟；如果以每分钟 70 米的速度行走，会提前 5 分钟到校。
那么小明家到学校的距离是多少呢？我们可以设小明按时到校需要 x 分钟。
根据路程相等，我们可以列出分式方程：50(x ＋ 3) ＝ 70(x 5) 。
通过解方程，我们可以求出 x 的值，进而求出小明家到学校的距离。
分式方程在工程问题中也发挥着重要作用。
比如一项工程，甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要 y 天完成。
两人合作需要多少天完成呢？我们知道工作效率＝工作总量÷工作时间。
设工作总量为 1 ，那么甲的工作效率就是 1/x ，乙的工作效率就是 1/y 。
两人合作的工作效率就是 1/x ＋ 1/y ，那么两人合作完成这项工程需要的时间就是 1÷（1/x ＋ 1/y) ，这就是一个分式方程。
在销售问题中，分式方程同样有用武之地。
某商店销售一种商品，进价为 40 元/件。
当售价为 60 元/件时，每天能卖出 100 件。
经过市场调查发现，每件商品售价每降低 1 元，每天就能多卖出 10 件。
如果要使每天的利润达到 2240 元，那么商品的售价应该定为多少呢？我们设商品的售价定为 x 元/件。
那么每件商品的利润就是 x 40 元，每天的销售量就是 100 ＋ 10(60 x) 件。
根据利润＝每件利润×销售量，我们可以列出分式方程：（x 40)100 ＋ 10(60 x) ＝ 2240 。
通过解方程，我们就能求出商品的售价。
再来看一个分式方程在生产问题中的应用。
某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 x 个，由于改进了生产技术，实际每天比原计划多生产 10 个，结果提前 3 天完成了任务。
数学人教版八年级上册分式方程的应用——工程问题
分式方程的应用（1）教学设计一．教学目标：1．知识目标：会分析题意找出相等关系，并能列出分式方程解决实际问题.2．能力目标：通过让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，进一步体会化归思想。
3.情感目标：通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。
二．教学重点﹑难点：1．重点：列分式方程解决实际问题.2．难点：找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化.3．突破方法:设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.三．教学过程：(一)复习提问：1．解分式方程的步骤(1)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根．2．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．3．由学生讨论，工程问题的基本公式是什么？在学生讨论的基础上，基本公式：工作量=工时×工效．本节课我们将学习列分式方程解决实际问题。
(二)探究新知：一、创设情境问题:你能解决如下生活问题吗？某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6小时完成一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1小时完成了后一半任务。
如果设单独采用机械装运x 小时可以完成后一半任务，请找出此题中存在的等量关系.x 满足怎样的方程？二、典例精讲例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
哪个队的施工速度快？（鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究）分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的＋。
16.3.2 分式方程的应用 --
答:提速前列车的平均速度为 千米/时.
练一练 甲乙两人加工同一种玩具,甲加工90
个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用 的时间相等,已知甲乙两人每天共加工35个玩 具,求甲乙两人每天各加工多少个玩具？
解：设甲每天加工x个玩具，由题意得：
90 120 x 35x
解得：x=15
经检验,x=15是原方程的根 .
24 x
24 1.2
x
2
0
解得x=0.2
经检验,x=0.2是原方程的解。
答:原计划平均每天改造道路0.2千米.
小结
列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细. 两次检验是: 5.验:有两次检验. (1)是否是所列方程的解;
提速后运行(s+50)千米所用时间为_s___5_0_小时
列得方程:
s x
s 50 xv
xv
例4 从2004年5月起某列车平均提速v千
米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千 米,提速后比提速前多行驶50千米,提速
前解列:经sx车检的验s平x：x均5速v05s度0v是方为程原多两s方少(边x程?+x同v的)乘解5s=x0xv(。x(s++v5) 0, 得)
答:甲每天加工15个玩具,乙加工20个.
练一练 4. 某帐篷生产企业提高生产效
率,实际每天生产帐篷比原计划多200顶,
已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与
原计划生产2000顶的时间相同.现在该企
业每天能生产多少顶帐篷？
16.3分式方程应用题专题
分式方程应用题专题一、工程问题1、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？2、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。
求原来每天装配的机器数.3、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？4、一件工作．已知甲、乙两人合做要3小时可以完成．而甲单独做比乙单独做少用8小时，问乙独做需要多少小时。
5、某项工程，甲、乙两人先合做4天，剩下的工程由甲再单独做5天完成．已知乙单独完成这项工程比甲单独完成这项工程少5天，求甲单独完成这项工程需多少天?6、某工程队计划铺设煤气管道60千米．开工后每天比原计划多铺1千米，结果提前5天完成任务．问原计划每天应铺管道多少千米？7、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：Ⅰ、甲队单独完成这项工程刚好如期完成；Ⅱ、乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；Ⅲ、若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．(1)(2) 根据题意及表中所得到的信息列出方程想一想：若施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，那么完成此项工程需付多少万元。
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二8、打字员甲的工作效率比乙高%人每分钟各打多少字？9、某施工队负责的修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20％，结果提前两天完成。
求原计划平均每天修绿道的长度。
10、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
第2课时 分式方程的实际应用——工程、行程问题【课课练】八年级上册人教版数学
2
3
4
22.5 m.
解：设甲队每天修路 x m，
依题意，得
＝
，
−
……
1
2
3
4
，x
第2课时 分式方程的实际应用——
工程、行程问题
知识梳理
课时学业质量评价
4. 某市政府切实为残疾人办实事，在区道路改造中为盲人修建一条长3
000 m的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了
C. －
＝
.
D.
－ ＝
.
1
2
3
4
第2课时 分式方程的实际应用——
工程、行程问题
知识梳理
课时学业质量评价
3. 有一道题：“甲队修路150 m与乙队修路100 m所用天数相同，
若……，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，省略号
“……”表示的条件应是
＝
乙队每天修路比甲队的2倍少30 m
及三个量的关系.如：工作时间＝
工作总量
工作效率
，时间＝
路程
速度
.
第2课时 分式方程的实际应用——
工程、行程问题
测评等级(在对应方格中画“√”)
易错题记录
知识梳理
A□
B□
课时学业质量评价
C□
D□
第2课时 分式方程的实际应用——
工程、行程问题
知识梳理
课时学业质量评价
1. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队单独施工，那么180天可盖成；
第十五章
15.3
第2课时
分式
16.3.2分式方程的应用 2
(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2
分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知a1=30元
/千克，a2=20元/千克。现在单价为24元/千克的这种混
合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提 高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出 结果吗？
单价 =
总价格 总质量
课堂小结
解：设提速前的速度为x,提速后为x+v,则
sv 解得 x 50 sv sv 检验 x 时，x(x+v) ≠0, x 是方程的解。 50 50 ： sv 答：提速前列车的平均速度为 千米/小时 50 。
s s 50 x xv
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急 通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队
江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所
用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
解：设水流的速度为x, 则 72 48 20 x 20 x
5、甲、乙两列车分别从相距300 千米的A、B两站同时相向而行。 相遇后，甲车再经过2小时到达B 站，乙车再经过4小时30分到达A
站，求甲、乙两车的速度。
想一想1：
某次测试，初二（5）班55位同学中，80分的 有25位，90分的有30位，班级平均分怎么算？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15
90 120 x 35 x
检验：当x=15时，x（35-x）≠0，所以x=15是原 方程的根 . 35 x 20 本网站版权所有 答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具。
随堂练习
２.四川5.12特大地震受灾地区急需大量赈灾帐篷， 某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入、 提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200 顶，已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计 划生产2000顶的时间相同．现在该企业每天能生 产多少顶帐篷？ 解：设现在该企业每天能生产x顶帐篷， 则原计划每天生产（x－200）顶帐篷． 3000 2000 0 0 解得 x6 由题意，得 x x200 经检验：x=600是原方程的解． ∴原方程的解是x=600. 本网站版权所有 答：现在该企业每天能生产600顶帐篷．
随堂练习
４.在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24 千米的任务。为了减少施工带来的影响，在确保 工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2 倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均改 造道路多少千米？
解：设原计划平均每天改造道路x千米，,根据题意 得 24 24 解这个方程，得x＝0.2
本网站版权所有
随堂练习
１（贵阳市）甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩 具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知 甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工 多少个玩具？
解：设甲每天加工x个玩具，那么乙每天加工 （35－x）个玩具，由题意得：
解得： x
本网站版权所有
例题１．某市为缓解交通拥堵现 象，决定修建一条从市中心到飞 机场的轻轨铁路，为使工程能提 前3个月完成，须将原定的工作 效率提高12%，问原计划完成这 项工程用多少个月？
本网站版权所有
例题２. 市政府打算把一块荒地 建成公园，动用了一台甲型挖土 机，4天挖完了这块地的一半。后 又加一台乙型挖土机，两台挖土 机一起挖，结果1天就挖完了这块 地的另一半。乙型挖土机单独挖 这块地需要几天？
本网站版权所有
例3． 两个工程队共同参与一 项筑路工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同 工作了半个月，总工程全部完 成.哪个队的施工速度快?
本网站版权所有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题４. 一项工程，需要在规 定日期内完成，如果甲队独做， 恰好如期完成，如果乙队独做， 就要超过规定3天，现在由甲、 乙两队合作2天，剩下的由乙队 独做，也刚好在规定日期内完 成， 问规定日期是几天？
x
1.2 x
20
经检验，x＝0.2是原方程的解。
本网站版权所有 答:原计划平均每天改造道路 0.2千米.
随堂练习
5.某工地调来144人参加挖土和运 土，已知3人挖出的土1人恰好能 全部运走．怎样调配劳动力才使 挖出来的土能及时运走且不窝工
本网站版权所有
本网站版权所有
1．一项工程，甲、乙两人合做需m小 时完成，甲独做需n小时完成，那么乙 独做需____________小时完成． 2．甲、乙制作某种零配件，甲每天比 乙多做5个，甲制作75个零件所用的天 数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、 乙每天制作的零件数分别为 ________________．
随堂练习
３.Ａ、Ｂ两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型 机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运 800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬 运多少化工原料？ 解：设 A型机器人每小时搬运化工原料x千克，则 B型机器人每小时搬运（x－20）千克，依题意得： 1000 800 解这个方程得： x 100 x x 20 经检验x＝100是方程的解，所以x－20＝80. 答：Ａ、Ｂ两种机器人每小时分别搬运化工原 本网站版权所有 料100千克和80千克．
本网站版权所有
３.某工厂计划x天内生产120件零件， 由于采用新技术，每天增加生产3件， 因此提前2天完成计划，列方程为（ ）
120 120 120 120 2 B. 3 A． x2 x x x2
120 120 120 120 3 D. 3 C. x x2 x2 x
１６．３．２分式方程的应用
工程问题
本网站版权所有
复习与练习
若分式方程
2 mx 3 2 x2 x 4 x2
有增根，试求m的值．
本网站版权所有
工程问题常用的关系式 工作量=工作时间×工作效率
工作量 工作效率 工作时间 工作量 工作时间 工作效率