北师大版数学五年级上册第三单元备课设计

合集下载

北师大版数学五年级上册第三单元《探索活动：3的倍数的特征》教学设计

北师大版数学五年级上册第三单元《探索活动：3的倍数的特征》教学设计一. 教材分析《探索活动：3的倍数的特征》是北师大版数学五年级上册第三单元的一节探究活动课。

本节课主要让学生通过探索发现3的倍数的特征，培养学生的观察、分析、归纳能力。

教材以学生熟悉的三位数为例，引导学生发现3的倍数的特征，为学生提供丰富的操作材料，鼓励学生通过多种方法探索并验证特征。

二. 学情分析五年级的学生已经学习了因数和倍数的概念，对倍数的特征有一定的认识。

但学生对3的倍数特征的认识可能仅限于表面，需要通过本节课的学习，让学生深入理解3的倍数的特征。

此外，学生可能对探究活动的方法还不够熟悉，需要老师在课堂上进行引导和鼓励。

三. 教学目标1.让学生通过探索活动发现3的倍数的特征，培养学生的观察、分析、归纳能力。

2.培养学生合作学习的意识，提高学生的团队协作能力。

3.培养学生运用数学语言表达和交流的能力。

四. 教学重难点1.重难点：发现3的倍数的特征。

2.难点：如何引导学生通过探索活动发现3的倍数的特征。

五. 教学方法1.采用探究活动法，让学生在操作实践中发现3的倍数的特征。

2.采用小组合作学习法，培养学生合作学习的意识，提高团队协作能力。

3.采用引导发现法，教师引导学生观察、分析、归纳，培养学生自主学习能力。

六. 教学准备1.准备数字卡片，方便学生操作。

2.准备计时器，用于记录时间。

3.准备教学课件，辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾因数和倍数的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师呈现三位数，引导学生观察这些数是否是3的倍数，并让学生说出判断的方法。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，每组选择几个三位数，判断它们是否是3的倍数，并总结判断方法。

4.巩固（10分钟）教师出示一些三位数，让学生判断它们是否是3的倍数。

对判断错误的学生进行个别指导，帮助其掌握判断方法。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：能否找出3的倍数的特征？学生分组进行探究，教师巡回指导。

五年级上册数学北师大版第三单元复习教学设计教案

重点
突破
让学生在小组讨论交流中理解各个概念，分析各个概念之间的联系与区别。
难点
判断质数、合数的方法和应用所学知识解决实际问题。
难点
突破
通过生活情境，引导学生在小组中讨论比较，分析判断。
教法
引导小组交流，回顾总结和集体练习。
学法
对话和交流法、动手操作、合作探究法。
课前
准备
教师
教师课件。
学生
练习本。
过程
板书
倍数与因数
用2,5,3的倍数的特征来因数、找质数
教师巡视指导学困生。
学生选小组代表说一说。
【设计意图】通过练习让学生巩固找一个数的因数和倍数的方法。
2．课件出示教材第41页“练习四”第2题。
让学生在稿纸上先画一画，再在表格中填一填。
学生独立试画后填表，并在小组讨论交流汇报。
3．课件出示教材第41页“练习四”第3题。学生先独立在教材找一找，连一连。教师巡视指导学困生。让学生在小组内说一说你是怎么想的。
【设计意图】巩固找因数的个数的练习，加强有序思考的训练。
4．课件出示教材第41页“练习四”第4题。先让学生理解题意后再独立完成。让学生在小组内说一说是怎么想的。质疑：为什么找出6的倍数且不要大于24？让学生在小组内交流、讨论，再让学生汇报。
【设计意图】让学生巩固倍数和因数，同时让学生自主探究出倍数和因数中的公有数，发展学生的思维。
引入
引入：同学们，在这一单元里我们都学习了哪些知识？怎么来判断一个是质数还是合数？什么是偶数，什么是奇数？2,5,3的倍数有哪些特征？你们能背出100以内的质数吗？
【设计意图】以问答的方式，复习本课的知识点，从而让学生明确本课学习的内容。
探新

北师大版数学五年级上册第三单元《倍数与因数》说课稿

北师大版数学五年级上册第三单元《倍数与因数》说课稿一. 教材分析北师大版数学五年级上册第三单元《倍数与因数》是本册教材中的一个重要单元，主要内容包括：因数与倍数的定义、求一个数的因数和倍数的方法、最大公因数和最小公倍数的求法等。

这些内容对于学生理解和掌握数学的基本概念、培养逻辑思维能力具有重要意义。

本单元的内容与学生的生活实际紧密相连，便于学生理解和运用。

通过本单元的学习，学生能够掌握因数与倍数的基本概念，能够运用求因数和倍数的方法解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念有一定的理解能力。

但是，对于倍数与因数这一单元的内容，由于涉及到较为抽象的概念，学生可能存在一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要教师针对学生的实际情况进行引导，帮助学生理解和掌握相关概念。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握因数与倍数的基本概念，能够运用求因数和倍数的方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流的学习过程，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，提高对数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：因数与倍数的基本概念、求一个数的因数和倍数的方法。

2.教学难点：最大公因数和最小公倍数的求法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主探究、合作交流、教师引导相结合的教学方法，引导学生主动参与学习过程，提高学生的学习兴趣和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学辅助手段，帮助学生形象直观地理解因数与倍数的概念。

六. 说教学过程1.导入：通过复习相关知识，引导学生回顾已有知识，为新课的学习做好铺垫。

2.探究因数与倍数：教师引导学生通过自主探究、合作交流的方式，探讨并理解因数与倍数的概念。

3.求一个数的因数和倍数：教师引导学生学习求一个数的因数和倍数的方法，并通过实例进行讲解和练习。

第三单元《倍数与因数》(教学设计)五年级上册数学北师大版

第三单元《倍数与因数》（教学设计）五年级上册数学北师大版一、教学目标1.了解数的倍数和因数的概念；2.掌握找出给定数的倍数及其个数的方法；3.掌握找出给定数的因数及其个数的方法；4.能够分析和解决与倍数、因数有关的问题。

二、教学内容1.数的倍数和因数的概念；2.找出给定数的倍数及其个数的方法；3.找出给定数的因数及其个数的方法；4.倍数与因数的应用。

三、教学重难点1. 教学重点1.数的倍数和因数的概念及其特点；2.找出给定数的倍数及其个数的方法；3.找出给定数的因数及其个数的方法。

2. 教学难点1.倍数与因数的应用；2.解决与倍数、因数有关的问题。

四、教学方法1.情境式教学方法；2.合作学习方法；3.案例分析法。

五、教学步骤1. 导入新知1.引出本单元学习主题——倍数与因数；2.解释数的倍数和因数的概念，并列举一些例子。

2. 独立探究1.让学生自己找出一组数的倍数及其个数，然后总结方法；2.让学生自己找出一组数的因数及其个数，然后总结方法。

3. 合作学习1.学生分组，合作完成练习册上的练习题；2.学生互相交流，解决遇到的问题。

4. 情境教学1.以实际生活中的场景为例子，让学生运用所学知识寻找解决方案；2.让学生通过角色扮演等方式，模拟实际情景，加深对知识点的理解。

5. 归纳总结1.学生针对所学知识点进行归纳总结；2.引导学生归纳总结倍数与因数的规律。

6. 拓展应用1.通过分组比赛、讨论等方式，让学生在实际情境中应用所学知识；2.教师提供一些拓展性的问题，让学生思考、探究。

六、教学评价1.在课堂上进行个人练习，检验掌握情况；2.在课堂上进行小组合作学习，检验合作能力及共同进步；3.在课堂上进行讨论性的问题解答，检验综合运用能力。

北师大版数学五年级上册第三单元《找质数》教学设计

北师大版数学五年级上册第三单元《找质数》教学设计一. 教材分析北师大版数学五年级上册第三单元《找质数》的内容主要包括质数的定义、质数的性质以及如何找出一个数是不是质数。

本节课的教学内容是学生进一步理解数学概念，培养逻辑思维能力的重要环节。

通过学习本节课，学生可以掌握质数的基本概念和判断方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对自然数有一定的了解。

他们在学习过程中善于观察、思考，具备一定的探究能力。

但是，对于质数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和引导，让学生理解和掌握质数的特征。

三. 教学目标1.让学生理解质数的定义，知道质数的性质。

2.培养学生自主探究、合作交流的能力，提高逻辑思维能力。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：质数的定义和性质。

2.难点：如何判断一个数是不是质数，以及运用质数的概念解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引发学生对质数的兴趣，激发学生的学习热情。

2.探究式学习：引导学生自主探究质数的特征，培养学生解决问题的能力。

3.合作交流：小组讨论，分享学习心得，互相学习，共同进步。

4.实践操作：让学生动手操作，加深对质数概念的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示质数的定义、性质和判断方法。

2.学习素材：准备一些实例，让学生更好地理解质数的概念。

3.练习题：设计一些练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实例，如电话号码、身份证号码等，引导学生发现其中的数字有一定的规律。

提问：你们能找出这些数字中的质数吗？从而引出本节课的主题《找质数》。

2.呈现（10分钟）介绍质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫做质数。

通过PPT展示质数的特点，让学生初步了解质数。

3.操练（10分钟）让学生自主探究，尝试找出一些质数。

北师大版小学数学五年级上册教学设计第三单元《倍数与因数》

北师大版小学数学五年级上册教学设计第三单元《倍数与因数》一、教学目标1. 让学生理解因数和倍数的概念，掌握找一个数的因数和倍数的方法。

2. 培养学生利用因数和倍数的知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、自主探究的学习习惯。

二、教学内容1. 因数和倍数的概念。

2. 找一个数的因数和倍数的方法。

3. 利用因数和倍数解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：理解因数和倍数的概念，掌握找一个数的因数和倍数的方法。

2. 教学难点：利用因数和倍数解决实际问题。

四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生自主探究、合作交流。

2. 利用生活实例，激发学生的学习兴趣。

3. 采用多媒体辅助教学，提高教学效果。

五、教学过程1. 导入新课利用多媒体展示生活中的实例，如：小明有12个苹果，他想平均分给几个朋友，每个朋友能分到几个苹果？由此引出因数和倍数的概念。

2. 探究新知（1）引导学生自主探究找一个数的因数的方法。

（2）引导学生自主探究找一个数的倍数的方法。

（3）引导学生通过合作交流，总结因数和倍数的性质。

3. 实践应用（1）设计一些有关因数和倍数的实际问题，让学生独立解决。

（2）分组讨论，让学生互相交流解题方法。

（3）选取典型题目，让学生上台展示解题过程。

4. 总结提升（1）对本节课所学内容进行总结。

（2）引导学生发现因数和倍数在实际生活中的应用。

（3）布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后对学生的作业进行批改，了解学生对本节课知识的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，对上一节课的知识进行提问，检查学生的复习情况。

3. 关注学生在课堂上的表现，及时给予鼓励和指导。

4. 定期进行测试，了解学生的学习进度。

七、教学反思1. 教师在课后要对本节课的教学效果进行反思，总结优点和不足。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和策略。

3. 不断更新教学观念，提高教育教学水平。

4. 注重培养学生的创新思维和实践能力。

北师大版数学五年级上册第三单元《探索活动：2,5的倍数的特征》教学设计

北师大版数学五年级上册第三单元《探索活动：2，5的倍数的特征》教学设计一. 教材分析《探索活动：2，5的倍数的特征》是北师大版数学五年级上册第三单元的教学内容。

本节课主要让学生通过探索活动，发现并理解2和5的倍数的特征。

教材通过生动的例题和丰富的练习，引导学生发现2和5的倍数在个位上的特征，从而能辨识一个数的个位是0，2，4，6，8中的任何一个时，这个数就是2的倍数；一个数的个位是0或5时，这个数就是5的倍数。

二. 学情分析五年级的学生已经学习了因数与倍数的概念，对倍数的理解有一定的基础。

他们在日常生活中也积累了一些关于2和5的倍数的经验，如找零时常用2和5的倍数。

但学生对2和5的倍数的特征的理解还比较肤浅，需要通过探索活动进一步深化。

三. 教学目标1.让学生通过探索活动，发现并理解2和5的倍数的特征。

2.培养学生观察、思考、交流的能力。

3.使学生能运用2和5的倍数的特征解决实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生发现并理解2和5的倍数的特征。

2.教学难点：让学生理解并运用2和5的倍数的特征解决实际问题。

五. 教学方法1.采用探索活动法，让学生在活动中发现规律，培养学生的观察能力和思考能力。

2.采用交流分享法，让学生在小组内交流自己的发现，培养学生的交流能力。

3.采用实践应用法，让学生运用所学的知识解决实际问题。

六. 教学准备1.准备一些2和5的倍数的例子，用于引导学生发现规律。

2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

3.准备一些实际问题，用于引导学生运用所学知识解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）–教师通过向学生提问，引导学生回顾因数与倍数的概念。

–教师出示一些2和5的倍数的例子，如2的倍数：2、4、6、8、10，5的倍数：5、10、15、20，让学生观察并说出它们的特点。

2.呈现（10分钟）–教师引导学生观察上述例子，发现2的倍数的个位都是偶数，5的倍数的个位都是0或5。

–教师通过讲解，引导学生理解2和5的倍数的特征。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

掌握2、5的倍数的特征，并能迅速作出判断
教学准备：
100以内数表多媒体课件
板
书
设
计
２、5的倍数的特征
5的倍数的特征：个位上是0或5
2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
是2的倍数叫偶数，不是2的倍数叫奇数。
学习环节达成的学习目标
本环节所提的核心问题
教师与学生活动
对教学环节的反思及调整
五年级上期三单元单元教学计划
单
元
目
标
1、经历倍数与因数、质数和合数的认识过程，以及2,5,3的倍数特征的探索过程，学会归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。
2、能找出10以内某数在百以内的全部倍数，以及百以内某数的所有因数；知道2,5,3的倍数的特征、奇数和偶数，质数和合数，并能做出相应判断。
3、在认识倍数与因数、探索非零自然数特征的过程中，体会观察、分析、归纳或猜想验证等探索方法，体验数学问题的探索性和挑战性。
（学生回答他们的学号是10、20、30、40，同时验证这些学生的学号是不是10、20、30、40，再引导学生发现这些学号的个位都是0。）组织学生对照百数表验证结论。再找生重复并举例。
教师追问中间的圈填什么？
2、生活中的数学
体育课上五年一班45位同学在操场上做游戏，如果每2位同学一个组，能正好分完吗？如果每5位同学一个组，能正好分完吗？为什么？
（3）、所填的每组数，你能发现什么规律吗？。
（4）、以后再遇到这样的问题怎么样能很快找到每道题中的所有答案？
（5）、增加的这张卡片只能放在后面吗？为什么可以放在不同数位上？
3、（1）、判断老师家的电话号码3261986是不是3的倍数。
师：你能找到更好的方法吗？
（2）、请尝试用“弃3的倍数法”判断下面的数是不是3的倍数。
演示“弃3的倍数法”
生谈本节课的主要学习内容以及学习方法
完成练一练2,3题
学习内容
找因数
学习课时
1课时
学习目标
1、在用小正方形拼长方形的活动中，体会找一个数的因数的方法，提高有序思考问题的能力。
1.在5×7=35中，你能说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？指名交流
2.出示：25×3=75 25×4=100
3．0×2=0，我们能说0是0和2的倍数，0和2是0的因数吗？为什么？（因为0乘任何数都等于0，研究它没有意义。）
1.你能自己写一道乘法算式，并说说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？
2.出示：12×2= 24，24×2= 48
（一）猜一猜：3的倍数有什么特征？
请同学们观察一下，3的倍数个位上是哪些数字？刚才那位同学的猜想正确吗？举例验证：如13、16、19是不是3的倍数？
（二）探索规律、验证猜想
由此看来，如果判断一个数是不是3的倍数，只看个位或十位行吗？
（1）、师：百数表可以帮助我们发现其中的规律。
（2）、请同学们拿出手中的百数图。（课件出示百数图）。
23516 3768 436978 621423
本节课你有什么收获？
完成练一练2,3题
回忆2,5的倍数特征，生回答
口算验证一下。
计算，发现213,231都是3的倍数
（1）预设：个位上是3、6、9的数是3的倍数。
（2）学生举例验证。
明确：个位上是3、6、9的数，不一定是3的倍数。
全班充分交流。
生独立圈出百数表中所有的3的倍数
每一名学生都有学号，请学号是偶数的同学站起来并大声报数，其余同学用心听判断他说的对不对。
（学生起立报数。）
师：坐着的同学你们为什么没有站起来?生回答奇数后，师指出其实我们班的46名学生代表着1—46不同的自然数，看来自然数不是奇数就是偶数。0也是偶数。
师：续做游戏。请学号是5的倍数同学站起来并大声报数。师：老师发现有几名学生起立两次，这是为什么呢？（学生回答他们既是2的倍数又是5的倍数.）师：想一想他们的学号是多少？你发现了什么?
课
时
划
分
《倍数与因数》1课时
《探索活动：2,5的倍数的特征》1课时
《探索活动：3的倍数的特征》1课时
《找因数》1课时
《找质数》（认识质数、合数）1课时
练习四2课时
机动1课时
学习内容
倍数与因数
学习课时
1课时
学习目标
1、结合具体情境，联系乘法认识倍数与因数。
2、探索找一个数的倍数的方法，能在1—100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
师：回忆一下，刚才我们是怎样探究5的倍数特征?
师生共同归纳学习方法——先是在百数表中找出5的倍数，再是观察这些5的倍数，然后猜想5的倍数特征，接着验证猜想，最后得出结论。
师：下面我们就运用这种方法继续在百数表中探究2的倍数特征。要求自己先独立完成，然后在小组内交流自己有价值的发现。学生先独立探究，然后在小组内交流自己有价值的发现，最后教师组织学生大组汇报.汇报时，学生有可能出现双数都是2的倍数。还可能出现个位不是1、3、5、7、9的数都是2的倍数。对于这些答案教师都要加以肯定。同时指出个位不是1、3、5、7、9的数也就是个位上是0、2、4、6、8的数。然后再找学生说说2的倍数特征。
生独立思考，全班交流
今天你有什么收获？能分享一下吗？
学习内容
探索活动：3的倍数的特征
学习课时
1课时
学习目标
1、通过观察、猜测、交流、验证等活动，使学生经历探索3的倍数的特征的过程，理解3的倍数特征，能判断一个数是不是3的倍数。
2、培养学生观察、分析及概括问题的能力，发展学生的抽象思维，培养合作交流意识，提高学生的合情推理能力。
本环节所提的核心问题
学生活动
对教学环节的反思及调整
一、复习旧知激趣引入
二、猜想验证探究新知
三、巩固练习。
四、全课总结。
五、作业布置
1、2的倍数有什么特征？5的倍数有什么特征？
2、123这个数，它是2或5的倍数吗？是3的倍数吗？
师：213、231也是3的倍数，迅速验证老师说的对吗？
今天我们研究3的倍数的特征？
师：2的倍数在我们数学领域里有个名字，谁知道叫什么？（学生回答）教师追问什么叫偶数？（学生会说是2的倍数叫偶数。还可能说偶数都是双数。）
指名举偶数的例子;同桌互相举例子。
师：想一想除了偶数自然数中还有什么数？（生回答奇数）。
师：想一想什么是奇数？你能举一个奇数的例子吗？（学生自由回答）
师：刚才我们一起认识了奇数、偶数。下面我们一起来做一个小游戏。
1、师：大家已经发现和验证了“3的倍数的特征”，你能根据3的倍数的特征，判断下面各数是不是3的倍数？
75 3261 4502 27235 444 70111 8823 111
2、（游戏）任意抽出两张卡片，摆出一个两位数。
（1）、并判断是不是3的倍数？（0——9的数字卡片）
（2）、在上题中组成的每个数后面增加一张数字卡片，使这个三位数成为3的倍数。想一想，有几种填法？
3、让学生体验数学问题的探究性和挑战性，进一步激发学生学习数学的兴趣，并从中获得积极的情感体验。
学习重点
理解和掌握3的倍数的特征，并能熟练地去判断一个数是否是3的倍数。
学习难点
3的倍数的数的特征的归纳过程。
教学准备：
课件
板
书
设
计
3的倍数的特征
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
学习环节达成的学习目标
1、套圈游戏：把下面的数按要求填入圈内。
28 35 36 40 55 10 84 95 72 100 83
书上练一练3,5题
师：出示5和10两张数字卡片，你能用学过的因数、倍数说一句话吗?
师：除了10是5的倍数，想一想5的倍数还有哪些？
预设：学生可能说5，15，20，25，30，35，40……
师：看来5的倍数有很多。现在请同学们拿出百数表找出100以内5的倍数，并用自己喜欢的方式做上记号。（教师巡视）（学生汇报100以内5的倍数。）
预设（1）：一个数，十位上的数和个位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
学生多尝试说说，
（1）、任意说出一个比一百大的3的倍数，把各位上的数相加，看它们的和是不是3的倍数。
（2）任意说一个各位上的数的和是3的倍数的数，笔算验证是否为3的倍数。
生独立回答，全班交流补充
结合学生回答后，出示“各位数相加”方法。
（一）问题情境，引入新知
（二）观察发现，探究新知
（三）运用新知，解决问题（巩固练习）
四、本课小结
五、作业布置
5的倍数有什么特征
1、探究5的倍数特征
2、探究2的倍数特征
3、认识奇数、偶数
让学生在再一次的参与中感悟起立两次的既是2的倍数又是5的倍数，这些学号的个位都有0，并引导学生用百数表验证结论，使全体学生在经历做的过程中加深理解，加深记忆。
3．在算式9×4=36中，我们可以说36是9和4的倍数，同时，我们也可以说9和4是36的因数。师板书课题：倍数与因数
生汇报，
二、探究新知
（一）认一认
研究倍数和因数的范围。“只在自然数（零除外）的范围内研究倍数和因数”。
（二）说一说
因数和倍数是相互依存的关系。
（三）找一找
出示课本31页第4个问题
1.你能准确地判断哪些数是7的倍数？
3、积极参与数学的学习活动，初步养成乐于思考的良好品质。
学习重点
探索找一个数的倍数的方法，能在1—100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
学习难点
教学准备：
倍数与因数关系的理解。
板
书
设
计
倍数与因数
9×4=36 5×7=35
9和4是36的因数
36是9和4的倍数。
研究因数和倍数时，0除外。