不等式——线性规划
线性规划、不等式
3．简单分式不等式的解法 (1)gfxx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)gfxx≥0(≤0)⇔fgxxg≠x0≥. 0≤0，
【题型分析】
1．若 a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )
A．a－1 b>1a C．|a|>b
B．1a>1b D．a2>b2
解析 解法一：∵a<b<0，－b>0，∴a<a－b<0， ∴a－1 b<1a，故 A 错误． 解法二：(特殊值法)令 a＝－3，b＝－2，则 a－b＝－1， a－1 b＝－1，1a＝－13，∴a－1 b<1a，A 错误；1a＝－13>1b＝－12， B 正确；|a|＝3>b＝－2，C 正确；a2＝9>b2＝4，D 正确．故 选 A.
3．设 x>－1，则函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为 ____9____．
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，∴y＝x＋x5＋x1＋2
＝
x2＋7x＋10 x＋1
＝
x＋12＋5x＋1＋4 x＋1
＝
x
＋
1
＋
4 x＋1
＋
5≥2 x＋1·x＋4 1＋5＝9，当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1
时取“＝”(由于 x>－1，故 x＝－3 舍去)，∴y＝x＋x5＋x1＋2
2．利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和 为定值或乘积为定值，主要有两种思路：
(1)通过变形直接利用基本不等式解决． (2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求” 寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使 之能运用基本不等式．常见的转化方法有：
33. 不等式与线性规划的关系是什么？
33. 不等式与线性规划的关系是什么？33、不等式与线性规划的关系是什么？在数学的广袤领域中，不等式和线性规划是两个重要的概念，它们之间存在着紧密而又独特的关系。
首先，让我们来理解一下不等式。
不等式是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）来表示两个数或者表达式之间的大小关系的数学式子。
比如说，“x ＞5”，“y ≤ 2x ＋3”等等。
不等式反映了现实生活中数量之间的各种大小限制和范围。
那么线性规划又是什么呢？简单来说，线性规划是一种数学方法，用于在一定的约束条件下，找到一个目标函数的最优解。
这些约束条件通常就是由一系列的线性不等式组成的。
不等式为线性规划提供了约束的框架。
在线性规划问题中，我们需要在满足一系列不等式所限定的条件下，来优化某个目标。
例如，一个工厂生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品每个需要 2 小时的加工时间和 3 单位的原材料，生产 B 产品每个需要 3 小时的加工时间和 2 单位的原材料。
总加工时间不能超过20 小时，原材料总量不超过15 单位。
我们可以用不等式来表示这些限制条件：2x ＋3y ≤ 20（加工时间限制），3x ＋2y ≤ 15（原材料限制），这里的 x 代表产品 A 的数量，y代表产品 B 的数量。
这些不等式就构成了线性规划问题的约束条件。
反过来，线性规划也可以帮助我们解决不等式的相关问题。
通过建立线性规划模型，我们可以找到在给定不等式约束下的最优解或者可行解的范围。
比如，给定一组不等式，我们想知道在这些条件下，某个变量的最大值或者最小值是多少，就可以将其转化为线性规划问题来求解。
从几何角度来看，不等式所表示的区域通常是在平面直角坐标系中的一个半平面或者区域。
例如，不等式 x ＋ y ＜ 5 表示的就是直线 x ＋ y ＝ 5 下方的区域。
而线性规划问题中的可行域，就是由多个这样的不等式所确定的区域的交集。
目标函数在这个可行域内进行优化，找到最优解所在的点。
线性不等式与线性规划的解法
线性不等式与线性规划的解法线性不等式和线性规划是数学中常见的问题类型，它们在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性不等式与线性规划的定义、解法和一些应用示例。
一、线性不等式的定义和解法线性不等式是指一个或多个变量的线性函数与一个常数之间的不等关系。
其表达形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b其中，a₁, a₂, ..., aₙ是系数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量，b是常数。
要解决线性不等式，我们需要确定变量的取值范围，使得不等式成立。
常用的解法有以下几种：1. 图形法：将线性不等式转化为几何图形，通过观察图形与坐标轴的交点来确定解集。
2. 代入法：将线性不等式转化为等式，找到其中一个变量的解，代入到不等式中求解其他变量。
重复此过程直至得到所有解。
3. 增减法：通过增减变量值来确定解集的上下界，进而找到满足不等式的解集。
二、线性规划的定义和解法线性规划是指在一定约束条件下，通过线性函数的优化求解最大值或最小值的问题。
其表达形式为：Maximize (or Minimize) f(x₁, x₂, ..., xₙ) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙsubject to:a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b₁d₁x₁ + d₂x₂ + ... + dₙxₙ ≤ b₂e₁x₁ + e₂x₂ + ... + eₙxₙ ≥ b₃...x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)是目标函数，表示需要最大化或最小化的线性函数；约束条件由不等式给出，b₁, b₂, b₃是常数。
线性规划的解法主要有以下两种：1. 几何法：将约束条件转化为几何图形，通过观察图形与目标函数的相对位置关系，找到最优解。
2. 单纯形法：通过转化为标准形式，并利用单纯形表来进行迭代计算，逐步逼近最优解。
三、线性不等式和线性规划的应用示例线性不等式和线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。
第四讲 不等式与简单的线性规划
第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲求z的取值范围需得(x，y)所在区域 和z的几何意义 ⇨ (推理)画出不等式组表示的区域，确立目标 函数z的几何意义 ⇨ (结论)数形结合寻找其最大值和最小值． (2)(分析)欲得求解目标需要变量满足的条件和目标解析式 ⇨ (推理)设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y，列出x，y满足 的不等式组，用x，y表示种植总利润z ⇨ (结论)按照一般线性 规划的解法求解其最大值．
第4讲│ 要点热点探究
(2)函数g(x)＝2x，g(a)g(b)＝2a·b＝2a b＝16，所以a＋b＝ 2 4.
4 1 4 1 1 1 4b a 1 方法1： a ＋ b ＝ (a＋b) a＋b ＝ 5＋ a ＋b ≥ 4 4 4 4b a 8 4b a 9 ＝ ，等号当且仅当 a ＝ b ，即a＝2b，即a＝ ， 5＋2 3 a · 4 b 4 b＝ 时取得． 3
第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲判断各个选项是否成立需考虑不 等式能够成立的条件 ⇨ (推理)如果条件是充分的则不等式成 立，否则不成立 ⇨ (结论)根据各选项作出判断． 4 1 (2)(分析)欲求 a ＋ b 的最小值需要a，b的关系 ⇨ (推理)根 据g(a)g(b)＝16确定a，b关系，进行常数代换 ⇨ (结论)应用 基本不等式得最值．
专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用 第4讲 不等式与简单的线性 规划 第5讲 导数在研究函数性质 中的应用
第4讲
不等式与简单的线 性规划
第4讲 │ 云览高考
[云览高考]
第3讲 不等式及线性规划
第3讲不等式及线性规划本资料分享自千人教师QQ 群323031380 期待你的加入与分享「考情研析」 1.对不等式的性质及不等式解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质等相结合命题，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中． 2.基本不等式主要渗透在其他知识点中求最值． 3.简单的线性规划常以选填题形式呈现，一般难度不大.核心知识回顾1．不等式的一些常用性质(1)a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒.(2)a>b，c>d⇒a＋＋d.(3)a>b>0，c>d>0⇒.(4)a>b>0，n∈N*⇒a n.(5)a>b>0n∈N，n≥2)．(6)a>b，ab>0a<0<b a>b>0，d>c>02．不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法f(x) g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．基本不等式ab≤a＋b 2(1)(2) 4．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2a ，b ∈R )；(2)b a ＋ab ≥a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值P ，x ＋y 2P .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值P ，xy 大值是P 24.(简记：和定积最大)6．二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 中，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线哪一侧的平面区域．说明：直线同侧同号，异侧异号.热点考向探究考向1 不等式的性质及解法例1 (1)(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1b B ．若0<a <1，则a 3<a C ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2 答案 BC解析 A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立；B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，因此正确；C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，正确；D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0，而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不正确．故选BC ．(2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，若对于任意实数k ，不等式|k a ＋t b |>1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞C ．(3，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞答案 B解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝7，∴a ·b ＝－1，又|k a ＋t b |>1，∴(k a ＋t b )2>1，即k 2a 2＋t 2b 2＋2kt a ·b ＝k 2＋4t 2－2kt >1对于任意实数k 恒成立，∴k 2－2kt ＋4t 2－1>0对于任意实数k 恒成立，∴Δ＝(－2t )2－4(4t 2－1)<0，∴t <－33或t >33，故选B ．(3)(2020·四川省成都模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.答案 (－3,0)∪(3，＋∞)解析 设x <0，则－x >0，由题意可得f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∴f (x )＝－x 2－2x ，故当x <0时，f (x )＝－x 2－2x . 由不等式f (x )>x ，可得⎩⎨⎧ x >0，x 2－2x >x 或⎩⎨⎧x <0，－x 2－2x >x ，求得x >3或－3<x <0.即不等式f (x )>x 的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．(1)利用不等式的性质解决问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)一元二次不等式的常见解法是利用“三个二次”之间的关系，借助二次函数图象得到其解集．1．(多选)(2020·海南省高三三模)设a ，b ，c 为实数且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．1a >1b B ．2020a －b >1 C ．ln a >ln b D ．a (c 2＋1)>b (c 2＋1)答案 BD解析 对于A ，若a >b >0，则1a <1b ，所以A 错误；对于B ，因为a －b >0，所以2020a －b >1，故B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为c 2＋1>0，所以a (c 2＋1)>b (c 2＋1)，所以D正确．故选BD．2．(多选)(2020·山东省淄博模拟)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A．10 B．3C．－4.5 D．－5答案BC解析不等式[x]2＋[x]－12≤0可化为([x]＋4)·([x]－3)≤0，解得－4≤[x]≤3，又[x]表示不小于实数x的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以满足不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为B，C．故选BC．3．定义：区间[a，b]，(a，b]，(a，b)，[a，b)的长度均为b－a，若不等式1x－1＋2x－2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A．当m>0时，l＝m2＋2m＋9mB．当m>0时，l＝3 mC．当m<0时，l＝－m2＋2m＋9mD．当m<0时，l＝－3 m答案 B解析①当m＞0时，∵1x－1＋2x－2≥m⇔mx2－(3＋3m)x＋2m＋4(x－1)(x－2)≤0，令f(x)＝mx2－(3＋3m)x＋2m＋4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则m(x－x1)(x－x2) (x－1)(x－2)≤0，且x1＋x2＝3＋3mm＝3＋3m.∵f(1)＝m－3－3m＋2m＋4＝1＞0，f(2)＝4m－6－6m＋2m＋4＝－2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，∴不等式的解集为(1，x 1]∪(2，x 2]， ∴l ＝x 1－1＋x 2－2＝x 1＋x 2－3＝3＋3m －3＝3m . ②当m <0时，由(1)知f (1)>0，f (2)<0， 可得x 1<1<x 2<2.∴不等式的解集为(－∞，x 1]∪(1，x 2]∪(2，＋∞)． ∴解集中所有区间的长度之和无穷大． 综上，故选B ．考向2 基本不等式的应用例2 (1)(2020·四川省内江市、广安市等九市二诊)在△ABC 中，点P 为BC的中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC→(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的最小值为( ) A ．54 B ．2 C ．3 D ．72答案 B解析 如图，连接AP ，∵P 为BC 的中点，AM→＝λAB →，AN →＝μAC →，且λ>0，μ>0，∴AP→＝12AB →＋12AC →＝12λAM →＋12μAN →，且M ，P ，N 三点共线，∴12λ＋12μ＝1，∴λ＋μ＝(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋12μ＝12＋λ2μ＋μ2λ＋12≥1＋2λ2μ·μ2λ＝2，当且仅当λ2μ＝μ2λ，即λ＝μ＝1时取等号，∴λ＋μ的最小值为2.故选B ．(2)若曲线y ＝x 3－2x 2＋2在点A 处的切线方程为y ＝4x －6，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m >0，n >0)上，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．6＋4 2D ．8 2答案 C解析 设A (x 0，y 0)，则y ′＝3x 2－4x ⇒3x 20－4x 0＝4，∴x 0＝2或x 0＝－23，分别将x 0的值代入方程y ＝x 3－2x 2＋2，得⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2227.因为A (x 0，y 0)在y ＝4x －6上，所以⎩⎨⎧x 0＝2，y 0＝2，即2m ＋2n －1＝0，m ＋n ＝12，从而1m ＋2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥2⎝⎛⎭⎪⎫3＋2n m ·2m n ＝6＋42，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－12，n ＝2－22时取等号，即1m ＋2n 的最小值为6＋42，故选C ．(3)(2020·江苏省七市高三第三次调研)已知x >1，y >1，xy ＝10，则1lg x ＋4lg y 的最小值是________.答案 9解析 因为x >1，y >1，xy ＝10，所以lg x ＋lg y ＝1，则1lg x ＋4lg y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg x ＋4lg y (lg x ＋lg y )＝5＋lg y lg x ＋4lg xlg y ≥5＋2lg y lg x ·4lg x lg y ＝9，当且仅当lg y lg x ＝4lg xlg y ，即lg y＝2lg x 且xy ＝10，即x ＝310，y ＝3100时取等号．利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值．(2)有些题目并不满足直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式，常用方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．1．设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y 有( )A ．最大值27B ．最小值27C ．最大值54D ．最小值54答案 D解析 因为x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝236＝54，当且仅当x ＝32，y ＝3时，9x ＋3y 有最小值54.2．(2020·湖南省郴州市高三一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －1＝0，则3a a －1＋4b b －2的最小值为( )A ．7B ．7＋4 3C ．5＋4 3D ．7＋2 3答案 B解析 ∵f (x )＝x ＋sin x ，∴f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，∵正实数a ，b 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －1＝0，∴1a ＋2b ＝1，∴b ＝2a a －1>0，∴a >1，则3a a －1＋4b b －2＝7＋3a －1＋8b －2＝7＋3a －1＋82a a －1－2＝7＋3a －1＋4(a －1)≥7＋43，当且仅当4(a －1)＝3a －1，即a ＝1＋32时取等号，所以3a a －1＋4bb －2的最小值为7＋4 3.故选B ．3．(2020·山东威海模拟)若∀x ∈(0，＋∞)，4x 2＋1x ≥m ，则实数m 的取值范围为__________.答案 (－∞，4]解析 因为x >0，则4x 2＋1x ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ，即x ＝12时取等号，因为4x 2＋1x ≥m ，所以4≥m ，即实数m 的取值范围为(－∞，4]．考向3 线性规划问题例3 (1)(2020·安徽六安一中3月模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y ＋2x的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103B ．(－∞，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞答案 D解析原不等式组可以等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≥0，x －y －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <0，x ＋y ＋1≥0.画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中点A (－1,0)，点B (3,2)，而z ＝2x ＋y ＋2x ＝2＋y ＋2x 的几何意义为区域内的点(x ，y )与点M (0，－2)连线的斜率k 加上2，结合图形可知k ≥43或k ≤－2，因此z ≥43＋2＝103或z ≤－2＋2＝0.即z 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞，故选D ．(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.答案 －5解析 解法一：(图解法)由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．平移直线3x －2y ＝0可知，目标函数z ＝3x －2y 在A 点处取最小值， 由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，即A (－1,1)，所以z min ＝3×(－1)－2×1＝－5. 解法二：(界点定值法)由题意知，约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域为三角形及其内部，三角形的顶点分别为(－1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.将三点的坐标分别代入z ＝3x －2y ，得z min ＝－5.(3)(2020·广州市综合检测)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y ＋2≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y ＋2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，y ＝－2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－2.故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，所以－m ≥－32，解得m ≤32.作出直线x －2y ＝2，由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－53，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－53，因为存在点P (x 0，y 0)，使得x 0－2y 0－2＝0，即直线x －2y －2＝0与平面区域有交点，则需满足－m ≥－43，所以m ≤43，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43.二元一次不等式表示的平面区域的判断方法方法一：特殊点法只需在直线的某一侧任取一点(x 0，y 0)，根据Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C >0(或<0)表示直线的哪一侧区域．若直线不过原点(即C ≠0)，常把原点(0,0)作为特殊点．若直线经过原点(即C ＝0)，常选(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)等特殊点代入判断．方法二：一般式(A >0)，大为右，小为左当A >0时，Ax ＋By ＋C >0表示直线右方区域；Ax ＋By ＋C <0表示直线左方区域．方法三：一般式，“同”为上，“异”为下观察B 的符号与不等式的符号，若B 的符号与不等式的符号“相同”，则表示直线上方的区域；若B 的符号与不等式的符号“相异”，则表示直线下方的区域．1．(2020·湖南长郡中学第二次适应性考试)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则点(x ，y )构成平面区域的面积是( )A ．3B ．52 C ．2D ．32答案 A解析 根据题意作出不等式组所表示的平面区域，分别求得A (2,2)，B (4，－2)，C (1,1)，求出点B 到直线y ＝x 的距离d ＝|4－(－2)|12＋(－1)2＝32，AC ＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，∴S △ABC ＝12AC ·d ＝12×2×32＝3.故选A ．2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y ≥2，且z ＝ax －y 的最小值为－1，则实数a 的值为________.答案 2解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a ≥3，则直线z ＝ax －y 经过点B (1,2)时，z 取得最小值，由a －2＝－1，得a ＝1，与a ≥3矛盾；若0<a <3，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)时，z 取得最小值，由2a －5＝－1，解得a ＝2；若a ≤0，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)或C (3,2)时，z 取得最小值，此时2a －5＝－1或3a －2＝－1，解得a ＝2或a ＝13，与a ≤0矛盾．综上可知，实数a 的值为2.3．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时，生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案216000解析设生产产品A x件，产品B y件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，设生产产品A、产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(如图中阴影区域内的整点)，易知最优解为⎩⎨⎧x＝60，y＝100(满足x∈N，y∈N)，则E max ＝216000.真题押题『真题检验』1．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12 B ．2a －b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤ 2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD ．2．(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 ∵a ，b ，c ∈(0,1)，a b ＝log 53log 85＝lg 3lg 5·lg 8lg 5＜1(lg 5)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 82lg 52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 24lg 252＜1，∴a ＜b .由b ＝log 85，得8b ＝5，由55＜84，得85b ＜84，∴5b ＜4，可得b ＜45.由c ＝log 138，得13c ＝8，由134＜85，得134＜135c ，∴5c ＞4，可得c＞45.综上所述，a ＜b ＜c .故选A ．3．(2020·浙江高考)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x －a )·(x －b )(x －2a －b )≥0在x ≥0上恒成立，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0答案 C解析 因为ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0，设f (x )＝(x －a )·(x －b )(x －2a －b )，则f (x )的零点为x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝2a ＋b .当a ＞0时，x 2＜x 3，x 1＞0，要使f (x )≥0，必有2a ＋b ＝a ，且b ＜0，即b ＝－a ，且b ＜0，所以b ＜0；当a ＜0时，x 2＞x 3，x 1＜0，要使f (x )≥0，必有b ＜0.综上可得b ＜0.故选C ．4．(2020·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________.答案 1解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z ，平移直线y ＝－17x ，由图可得当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时，目标函数z ＝x ＋7y 取得最大值．联立直线方程，得⎩⎨⎧2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得A (1,0)，所以z max＝1＋7×0＝1.5．(2020·江苏高考)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________.答案 45解析 ∵5x 2y 2＋y 4＝1，∴y ≠0且x 2＝1－y 45y 2.∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号．∴x 2＋y 2的最小值为45.6．(2020·天津高考)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，又ab ＝1，∴12a ＋12b ＋8a ＋b ＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b ＝4，即a ＝2－3，b ＝2＋3，或a ＝2＋3，b ＝2－3时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.『金版押题』7．已知函数f (x )＝|lg (x －1)|，若1<a <b 且f (a )＝f (b )，则实数2a ＋b 的取值范围是( )A ．[3＋22，＋∞)B ．(3＋22，＋∞)C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)答案 A解析 作出函数f (x )＝|lg (x －1)|的图象如图所示．∵1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b ＞2,1＜a ＜2，∴－lg (a －1)＝lg (b －1)，即1a －1＝b －1， 可得ab －a －b ＝0，则a ＝b b －1. 2a ＋b ＝2b b －1＋b ＝(2b －2)＋2b －1＋b －1＋1＝(b －1)＋2b －1＋3≥22＋3，当且仅当b ＝2＋1时取等号．满足b ＞2，故选A ．8．定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值．若函数y ＝2x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A ．2－ 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．2＋ 2答案 B解析 作出函数y ＝2x 的图象，它的图象在[1,2]上的两个端点分别为A (1,2)，B (2,1)．所以直线AB 的方程为x ＋y －3＝0， 设M (x ，y )是曲线y ＝2x 上的一点，x ∈[1,2]， 其中x ＝λ×1＋(1－λ)×2＝2－λ， 故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，22－λ.由ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，可知A ，B ，N 三点共线， 所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x ＋y －3＝0，又OA→＝(1,2)，OB →＝(2,1)，则ON →＝(λ＋2(1－λ)，2λ＋(1－λ))， 故N 点的坐标为(2－λ，λ＋1)． M ，N 两点的横坐标相等， 故|MN |＝|22－λ－(λ＋1)|，结合图象， 知|MN |＝λ＋1－22－λ. 因为1≤2－λ≤2，所以0≤λ≤1. 故|MN |＝λ＋1－22－λ＝－(2－λ)－22－λ＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－λ)＋22－λ＋3≤－22＋3. 故当且仅当2－λ＝22－λ，即λ＝2－2时等号成立． 故|MN |≤3－22恒成立．所以该函数的线性近似阈值是3－2 2.故选B ．专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．(2020·四川省凉山州高三第三次诊断检测)若a ，b ∈R ，则“a －b >0”是“⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝(a －b )24>0，即⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ；若⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝(a －b )24>0，则a －b >0或a －b <0，所以若a ，b ∈R ，则“a －b >0”是“⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22>ab ”的充分不必要条件．故选A ． 3．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．4 B ．92 C ．5 D ．112答案 A解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0，当且仅当x ＝2y 时取等号．设x ＋2y ＝t ＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)·(t －4)≥0，∴t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4.故选A ．4．(2020·陕西省汉中二模)已知直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．4D ．6 答案 B解析 由题意，得圆的圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)上，∴－2a －2b ＋2＝0(a >0，b >0)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.故选B ．5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)答案 C解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.6．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x ≤a ，且目标函数z ＝ax －2y 的最大值为1，则实数a 的值是( )A ．2－1B ．1C ．2＋1D ．3答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (0,1)，B (a,1－a )，C (a,1＋a )．对z ＝ax －2y 变形，得y ＝a 2x －z2，由图知a >0，当直线y ＝a 2x －z 2经过点B 时，z 取得最大值，所以a 2－2(1－a )＝1，解得a ＝－3(舍去)或a ＝1，故选B ．7．(2020·山东济南模拟)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为( )A ．1B ．2C ．3D ． 3答案 D解析 由题意，可得P A ＝PB ＝AB ＝4，故圆锥的高PO ＝23，∠APO ＝30°，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则PD ＝23－h ，故r 23－h ＝13，所以h ＝23－3r ，圆柱侧面积S ＝2πrh ＝2πr ·(23－3r )＝23πr ·(2－r )≤23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋2－r 22＝23π，当且仅当r ＝2－r ，即r ＝1时取得最大值，此时h ＝ 3.故选D ．8．(2020·杭州期末)已知不等式2ax 2＋ax －3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ，不等式mx 2＋(m －1)x －m >0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ，则有( )A ．A ⊆∁R BB ．A ⊆BC ．B ⊆∁R AD ．B ⊆A 答案 D解析 令f (a )＝(2x 2＋x )a －3，则关于a 的一次函数必单调，则⎩⎨⎧f (3)>0，f (1)>0，解得x <－32或x >1，即A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)．m (x 2＋x －1)>x 对任意的x ∈[1,3]恒成立⇒m >x x 2＋x －1对任意的x ∈[1,3]恒成立，又y ＝x x 2＋x －1＝1x －1x ＋1(1≤x ≤3)单调递减，故y max ＝1，故m >1，即B ＝(1，＋∞)．综上B ⊆A ，故选D ．二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．若1a <1b <0，则下列不等式正确的是( )A ．1a ＋b<1ab B ．|a |＋b >0 C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析 由1a <1b <0，可知b <a <0.A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<1ab ，故A 正确；B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故C 正确；D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．故选AC ．10．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是( )A．由图1和图2面积相等可得d＝a＋b abB．由AE≥AF可得a2＋b22≥a＋b2C．由AD≥AE可得a2＋b22≥21a＋1bD．由AD≥AF可得a2＋b2≥2ab答案BCD解析由题图1和题图2面积相等，得ab＝(a＋b)d，则d＝aba＋b，A错误；由题意知题图3面积为12ab＝12a2＋b2·AF，AF＝aba2＋b2，AD＝12BC＝12a2＋b2，设题图3中正方形的边长为x，由三角形相似，得a－xx＝xb－x，解得x＝ab a＋b ，则AE＝2aba＋b，可以化简判断B，C，D正确．故选BCD．11．(2020·武汉部分学校联考)若0<a<b<c，且abc＝1，则()A．2a＋2b>4 B．lg a＋lg b<0C．a＋c2>2 D．a2＋c>2答案BC解析解法一：因为0<a<b<c，abc＝1，所以0<a<1，c>1，a＋b>0,0<ab<1，对于A,2a＋2b≥22a＋b>2×1＝2，所以A错误；对于B，lg a＋lg b＝lg ab<0，所以B正确；对于C，a＋c2≥2ac2>2abc＝2，所以C正确；对于D，因为0<a<b<c，abc ＝1，所以0<a b <1，c ＝1ab ，所以a 2＋c ≥2a 2c ＝2a b ，因为2a b <2，所以D错误．故选BC ． 解法二：(特殊值法)因为0<a <b <c ，abc ＝1，令a ＝12，b ＝1，c ＝2，则212＋21＝2＋2<4，A 错误；令a ＝23，b ＝1，c ＝32，则⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋32＝3518<2，D 错误．故选BC ．12．(2020·山东部分重点中学联考)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln (b －a )>0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c >⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c 答案 BD解析 解法一：对于A ，设函数g (x )＝x －1x ，x ∈(－∞，－1)，则g ′(x )＝1＋1x 2>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数，所以当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，故A 错误；对于B ，设函数f (x )＝x ＋1x ，x ∈(－∞，－1)，则f ′(x )＝1－1x 2，因为x ∈(－∞，－1)，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，－1)上为增函数，所以当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，故B 正确；对于C ，因为a <b ，所以b －a >0，但不能确定b －a 与1的大小关系，故ln (b －a )与0的大小关系不能确定，故C 错误；对于D ，由a <b <－1可知a b >1,0<b a <1，而c >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c >1>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c >0，故D 正确．故选BD ．解法二：(利用取特殊值法)令a ＝－3，b ＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为B ，D ．三、填空题13．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________.答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0，∴－3<α－|β|<3.14．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2－1＋3x －1＝(x －1)(x ＋1)＋3x －1＝x ＋1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2(当且仅当x ＝1＋3时取“＝”)，即函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是23＋2.15．设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 a ≤－2解析 令t ＝cos x ∈[－1,1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1,1]恒成立，因此⎩⎨⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 16．已知A (－2,1)，B (2,2)，C (1,4)．若点P (x ，y )在△ABC 区域(包含边界)内运动，则x 2＋y 2＋2x 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤817，19 解析 点P 所在平面区域如图中阴影部分所示．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，其中(x ＋1)2＋y 2＝[x －(－1)]2＋(y －0)2，表示点P (x ，y )到点Q (－1,0)的距离的平方．令t ＝x 2＋y 2＋2x ，则t ＝|PQ |2－1.由图可知|PQ |max ＝|QC |＝(1＋1)2＋42＝2 5.由A (－2,1)，B (2,2)知直线AB 的方程为x －4y＋6＝0，所以|PQ |min ＝d ＝517，其中d 表示点Q 到直线AB 的距离，所以t max ＝(25)2－1＝19，t min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5172－1＝817，所以x 2＋y 2＋2x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤817，19.。
不等式解法及线性规划
不等式的解法一元二次不等式解法步骤：1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)；2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断∆，当0∆≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法）利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 分式不等式的解法1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()f xg x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1. 故原不等式的解集为{x |x ＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．[审题视点] 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.x =0x x ≥0x x -<综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a.当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0. 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a －2a ＋3＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，所以a ＞2. 故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]． 练习1．(人教A 版教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)解析 ∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2.故原不等式的解集为(1,2)．答案 D2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 D 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13 D ．R解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.答案 B4．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.答案 C5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1.答案 [0,1]考向二 绝对值不等式1．对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤5 B ．－1<a ≤5 C ．－1≤a <5D ．－1<a <5[答案] A11．(2010·南京调研)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，则不等式f (x )>3的解集为________．[答案] (－∞，0)∪(3，＋∞)[解析] 当x <1时，有f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x .由f (x )>3得3－2x >3，解得x <0； 当1≤x ≤2时，有f (x )＝x －1＋2－x ＝1.此时，不等式f (x )>3无解； 当x >2时，有f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3.由f (x )>3得2x －3>3，解得x >3. 故不等式f (x )>3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．[点评] 可画出数轴如图，∵|AB |＝1，∴|PB |>1，|QA |>1，故由图可得x >3或x <0.13．(2010·福建南平一中)若函数f (x )＝2|x ＋7|－|3x －4|的最小值为2，则自变量x 的取值范围是________．[答案] [－12，5][解析] 依题意知，2|x ＋7|－|3x －4|≥2，∴|x ＋7|－|3x －4|≥1，当x >43时，不等式化为x ＋7－(3x －4)≥1.解得x ≤5，即43<x ≤5；当－7≤x ≤43时，不等式化为x ＋7＋(3x －4)≥1，解得x ≥－12，即－12≤x ≤43；当x <－7时，不等式化为－x －7＋(3x －4)≥1，解得x ≥6，与x <－7矛盾．∴自变量x 的取值范围为－12≤x ≤5.15．(2010·福建理)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] 解法一：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 考向三 分式不等式例1 解不等式 ＜0.分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0 令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0 可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考≤0的等价变形.例2 解不等式＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.解：原不等式等价变形为：－1＞0通分整理得：＞0等价变形为：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.练习：1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3) 3.4.5. 6.7.8. (1，2)9. 10.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.1.(2008全国高考卷Ⅰ,13)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥+3,x 00,3y -x 0,y x 则z ＝2x-y 的最大值为_____________.2．(文)(2010·西安中学)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．4．(文)(09·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.345(2010·重庆市南开中学)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．36．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－17．(文)(2010·厦门一中)已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x x ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．18．(文)(2010·厦门一中)已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1。
专题三第1讲基本不等式与线性规划
第1讲 基本不等式与线性规划高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 302.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________.解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，133.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1，所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A .因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2，所以tan B tan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t (t >0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号. 故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案 8考 点 整 合1.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).2.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2017·苏州调研)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________.解析 (1)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)设x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，m >2，n >1， 则m ＋n ＝x ＋2＋y ＋1＝4，4x ＋2＋1y ＋1＝4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 4＝54＋n m ＋m 4n ≥54＋2n m ·m 4n ＝94，当且仅当n m ＝m 4n ，m ＝83，n ＝43时取等号，故4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案 (1)8 (2)94探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练1】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.∵1a ＋2b＝ab，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2. 答案 (1)4 (2)2 2热点二 简单的线性规划问题 [命题角度1] 求线性目标函数的最值【例2－1】 (1)(2017·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案 (1)3 (2)－5[命题角度2] 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则y x 的取值范围是________.解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝yx ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3，2)时取得最大值23，故yx 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23[命题角度3] 线性规划中的含参问题【例2－3】 (2017·南京师大附中模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________.解析 约束条件对应的可行域是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形及其内部.当a ≥－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(1，1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(2，2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. 答案 －2探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练2】 (1)(2017·山东卷改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x＋2y 的最大值是________.(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m ＝________.解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)5 (2)11.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.一、填空题1.(2017·全国Ⅱ卷改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15.答案 －152.若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析 因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号. 答案 233.(2017·海门中学检测)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________.解析 由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号. 答案 44.(2017·宿迁调研)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值是________.解析 由xy ＋3x ＝3可得y ＋3＝3x ，又0<x <12，则y ＋3>6，y >3，所以3x ＋1y －3＝y＋3＋1y －3＝(y －3)＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4时取等号，故3x ＋1y －3的最小值是8.答案 85.(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________.解析 平面区域M 是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线y ＝kx －2，即k ＝y ＋2x 表示区域M 内的点(x ，y )与点(0，－2)连线的斜率.当经过点(2，2)时，k 取得最小值2；当经过点(1，3)时，k 取得最大值5，故实数k 的取值范围为[2，5]. 答案 [2，5]6.已知x ，y ∈R ，且x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围是________.解析 因为2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，所以6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y22，所以x 2＋4y 2≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，又因为(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，所以z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上可得4≤x 2＋4y 2≤12. 答案 [4，12]7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1.∴2xy ≤x ＋y ＝1，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ，所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎨⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎨⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 二、解答题9.设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围. 解 先根据约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)， 要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.(1)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求3x ＋27y ＋2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值.解 (1)由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，所以3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥23x ·33y ＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20， 当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy ， 所以2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy ， 所以3xy －2xy －5≥0， 所以(xy ＋1)(3xy －5)≥0， 所以xy ≥53，即xy ≥259，当且仅当x ＝y ＝53时取等号，故xy 的最小值是259.11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大. 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。
不等式与线性规划
1．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：（同向可加性）如果a b c d >>，，则a c b d +>+．性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 推论1：如果00a b c d >>>>，，则ac bd >．推论2：如果0a b >>，则*(1)n n a b n n >∈>N ，． 推论3：如果0a b >>*(1)n n a b n n >∈>N ， 2．均值不等式：如果a ，b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +，当且仅当a b =时，等号成立．对于任意两个正实数a ，b ，数2a b+叫做a ，b ab a ，b 的几何平均值． 均值不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．<教师备案>在利用均值不等式求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变量的各项的和或积必须是定值；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．⑷如果多次使用均值不等式，则等号成立的条件必须同时成立．3．简单的线性规划用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：⑴ 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ⑵ 设0z =，画出直线0l ． ⑶ 观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解． ⑷ 最后求得目标函数的最大值及最小值．知识点睛第10讲不等式与 线性规划考点：不等式性质 【例1】 ⑴ 若a b c d >>，，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．a d b c +>+B ．ac bd >C ．a bc d> D ．d a c b -<-⑵ 若a b >且c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a c b c ->-B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．22a b > ⑶ 已知a b c ，，满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是（ ）A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22ac ab <D ．()0ac a c -> ⑷ 下列命题中正确的命题是_________． ①若a b ∈R ，且22ac bc >，则a b >；②若a b ∈R ，且a b >，则11a b<；③若a b ∈R ，且a b >，则44a b >； ④若00a b c d >>>>，，则ac bd >.【解析】 ⑴ D⑵ A ⑶ A ⑷ ①③④【备选】试写出同时满足0a cb d＞＞，ad bc ＜的一组():a b c d ，，， ． 【解析】 (2111)--，，，考点：不等式恒成立【例2】 ⑴ 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切x ∈R 恒成立， 则实数a 的取值范围是______⑵ 不等式2(2)2(2)40a x a x -+-->对一切[)1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是_____ ⑶ 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是_________．【解析】 ⑴ (]2,2-⑵ 8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶ ()(),14,-∞-+∞考点：均值不等式 【例3】 ⑴ 已知a b ，是两个正数，则下列不等式中错误的是（ ）A ．232a a +>B ．222a b ab +≥C ．2a bb a+≥ D．2a b +⑵ 已知a b +∈R ，且21a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．19经典精讲⑶ 已知正数a b ，满足1ab =，则2a b +的最小值是_______； ⑷ 设实数a b ，满足0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最大的是（ ）A ．22a b +B ．2abC ．aD ．12【解析】 ⑴ D⑵ C ⑶⑷ A尖子班学案1 【拓1】 ⑴ 函数221xy x =+在0x >的最大值为________． ⑵ 已知1(2)2m a a a =+>-，212n x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则m n ，之间的大小关系为________． 【解析】 ⑴ 1⑵ m n ≥目标班学案1【拓2】 已知正数a ，b ，且2244a b +=，则y =的最大值是 ；【解析】 54【例4】 ⑴ 已知0a >，0b >，a b ，的等差中项为12，且1a a α=+，1b bβ=+，则αβ+的最小值是________；⑵ 已知a b ，是正常数，x y +ÎR ，，且10a b +=，1a bx y+=，x y +的最小值为18，求a b ，的值． 【解析】 ⑴ 5⑵ 2a =，8b =或8a =，2b =．【例5】 已知0a >，0b >，1a b +=，证明下列不等式．．⑴ 11122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤；⑵ 12133a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤；⑶2【解析】 ⑴ 法一：()1111322244a b ab a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，122a b +=，所以111312244a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．法二：∵111222a b a b ⎛⎫⎛⎫+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112212a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即11122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．⑵ ∵121233a b a b ⎛⎫⎛⎫+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123312a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即12133a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．⑶∵2212a b +=++=，1=2．2a b +的理解与运用：2a b +中要求,a b +∈R，而2a b +对任意x ∈R 均成立； 在需要使用均值不等式时，一般的处理方式是先观察待求式与已知条件，找到什么时候为定值，之后再使用具体的不等式，化简的到最终结果．本题的⑴和⑵2a b+； ⑶中观察得到平方和为定值，求两数和的最大，从而用2a b +【备选】 已知2x y xy ++=，且0x >，0y >，求x y +的最小值．【解析】 x y +的最小值为2．考点：线性规划 尖子班学案2【铺1】 已知二次函数2()f x ax bx =+，1(1)1f --≤≤，3(1)5f ≤≤．⑴ 求a b ，的取值范围； ⑵ 求(2)f 的取值范围． 【解析】 ⑴ [13]a ∈，，[13]b ∈，，⑵ 8(2)16f ≤≤．【例6】 ⑴ 不等式组20210x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，≤≥0≥表示的区域为D ，z x y =+是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为 ；z 的最大值为 ．⑵ 已知1324a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____，ab的取值范围是_____. ⑶ 在直角坐标系中，若不等式组0(1)y y y k x ìïïïïíïï?ïî≥≤，则实数k 的值为________ 【解析】 ⑴ 252，5⑵ (24)-，；1342⎛⎫⎪⎝⎭，⑶-目标班学案2【拓2】 定义max{}a a b a b b a b ìïï=íï<ïî，≥，，，设实数x y ，满足约束条件2244x y ìïïíïïî≤≤，则m a x {43}z x y x y=+-，的取值范围为________【解析】 []710-，定义在R 上的函数()y f x =是增函数，且为奇函数，若实数s t ，满足不等式22(2)(2)f s s f t t ---≥，则当14s ≤≤时，求3t s +的取值范围．【解析】 ∵函数()f x 为奇函数，则2222(2)(2)(2)(2)f s s f t t f s s f t t ---?-≥≥，又函数()f x 为增函数，则2222s s t t --≥，即()(2)0s t s t -+-≥ ∵14s ≤≤，则若s t <，则有20s t +->，与()(2)0s t s t -+-≥∴s t ≥，即s t ，满足的约束条件为02014s t s t s ì-ïïïï+-íïïïïî≥≥≤≤，画出可行域如图，则点(42)A -，，(44)B ，，(11)C ，，当目标函数3z t s =+过点A B ，时，取到最值，即min 2z =-，max 16z =，即3t s +的取值范围为[]216-，．已知,,a b c 是不完全相等的任意实数．若2x a bc =-，2y b ac =-，2z c ab =-，则,,x y z 的值（ ）A ．都大于0B ．至少有一个大于0C ．至少有一个小于0D ．都不小于0【解析】 B大千世界222x y z a b c ab ac bc ++=++---222222222222a b ab a c ac c b bc+-+-+-=++()()()222111222a b a c c b =-+-+-， 因为a b c ≠≠，则0x y z ++>， 所以x y z ，，中至少有一个大于0．。
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不等式（线性规划）
知识点：
1.由关于x 、y 的 形成的约束条件叫 .
2.由关于两个变量 的函数叫线性目标函数.
3.在 下，求线性目标函数的 叫线性规划问题.
4.可行解为 .
5.可行域为 .
6.最优解为 .
7.建立线性规划问题的数学模型一般按一下步骤进行（1）
；（2） ；（3） .
考点一：求目标函数的最大值和最小值
[ 例 1 ] （2008·广东高考题）若变量x ，y 满足
240,250,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩ 则32z x y =+ 的最大值是（ ）。
练：若实数x ，y 满足20,4,y 5,x y x +-≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
则s y x =- 的最小值为 。
[例 2]已知20,40,250,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
求：
（1）221025z x y y =+-+ 的最小值； （2）21
1
y z x +=
+ 的范围.
2.设x,y 满足条件50,0,
3.x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
（1）求22u x y =+的最大值与最小值； （2）求5
y
v x =
-的最大值与最小值
考点二：已知目标函数的最值求参数
[例 3]已知变量x 、y 满足约束条件14x y ≤+≤，22x y -≤-≤。
若目标函数
z ax y =+（其中0a >）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围为
[例 4]（2009·陕西）若x 、y 满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
目标函数2z ax y =+仅在
点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）。
练：已知实数x 、y 满足1,21,x y ,y y x m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实
数m 等于（ ）。
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
考点三：实际问题
[例 5]某公司的仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现把7吨、8吨和5吨货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
4.(2009·陕西)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往领近的乡镇。
现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。
每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。
若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）。
A．2000元
B．2200元
C．2400元
D．2800元
[例6]要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
钢板类型A规格B规格C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？
1.已知x ，y 满足约束条件50,x y 0,x 3,x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则24z x y =+的最小值为（ ）。
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10
2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（ ）。
体积（3m /箱）
质量（50kg/箱） 利润（210元/箱）
甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运能力
24
13
A ．4，1
B ．3，2
C ．1，4
D ．2，4
3.在ABC ∆中，三个顶点A(2，4)、B(-1，2)、C(1，0)，点P(x ，y)在ABC ∆内部及边界上运动，则z x y =-的最大值是（ ）。
A.1 B.-3 C.-1 D.3
4.如图3-3-22，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB （含边界）。
若
24,35C ⎛⎫
⎪⎝⎭ 是该目标函数z ax y =-的最优解，则a 的取值范围是（ ）。
A.105,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B.123,510⎛⎫
-- ⎪⎝⎭ C.312,105⎛⎫
⎪⎝
⎭ D.123,510⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B
y
1 O
1 A
x
24,35C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
图
3-3-22
5.已知x ，y 满足约束条件0x 4,0y 3,x 2y 8,≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+≤⎩ 则25z x y =+的最大值为 。
6.线性目标函数z x y =+，在线性约束条件30,20,x y x y y a +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
下取得最大值时的最
优解只有一个，则实数a 的取值范围是 。
1.若0x ≥，0y ≥，且1x y +≤，则z x y =-的最大值为（ ）。
A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2
2.已知x 、y 满足约束条件50,
0,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则24z x y =+的最小值为（ ）。
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10 3.设z x y =-，式中变量x 和y 满足条件30,
20,x y x y +-≥⎧⎨
-≥⎩
则z 的最小值为（ ）。
A ．-1
B ．1
C ．3
D ．-3
4.若01
0221x y y x ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≥⎩
，则224z y x =-+的最小值为（ ）。
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 5.下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2
2，且位于1010
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）。
A ．(1,1)
B ．(-1,1)
C ．(-1,-1)
D ．(1,-1)
6.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车。
某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z =（）。
A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元
7.如果点P在平面区域
220
210
20
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪+-≤
⎩
上，点Q在曲线22
(y2)1
x++=上，那么PQ
的最小值为（）。
A ．51-
B ．41
5
-C ．221-D ．21-。