必修五不等式及线性规划
高中数学必修五第三章《不等式》3.3.2简单的线性规划问题 第1课时
跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、 可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润， 甲、乙两种货物应各托运的箱数为_4_,_1_.
货物
甲 乙 托运限制
体积 (m3/箱)
5 4 24
重量 (50 kg/箱)
2 5 13
利润 (百元/箱)
20 10
解析 答案
达标检测
y≤2x， 1.若变量 x，y 满足约束条件x＋y≤1，
y≥－1，
则 x＋2y 的最大值是
A.－52
B.0
√C.53
5 D.2
12345
解析 答案
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示. 设 z＝x＋2y，即 y＝－12x＋12z，平行移动直线 y ＝－12x＋12z，当直线 y＝－12x＋2z过点 B13，32时， z 取最大值53，所以(x＋2y)max＝53.
第三章 3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 线性规划的有关概念及图解法
学习目标
1.了解线性规划的意义. 2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本 概念. 3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实 际问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
x＋2y≤8，
3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利 用数形结合方法可迅速解决相关问题.
本课结束
例 1 已知 x，y 满足约束条件4y≤12， x≥0， y≥0，
该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y的最大值.
解答
反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤 (1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域； (3)平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或 哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点 的位置； (4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求 出目标函数的最值.
线性不等式与线性规划的解法
线性不等式与线性规划的解法线性不等式和线性规划是数学中常见的问题类型，它们在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性不等式与线性规划的定义、解法和一些应用示例。
一、线性不等式的定义和解法线性不等式是指一个或多个变量的线性函数与一个常数之间的不等关系。
其表达形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b其中，a₁, a₂, ..., aₙ是系数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量，b是常数。
要解决线性不等式，我们需要确定变量的取值范围，使得不等式成立。
常用的解法有以下几种：1. 图形法：将线性不等式转化为几何图形，通过观察图形与坐标轴的交点来确定解集。
2. 代入法：将线性不等式转化为等式，找到其中一个变量的解，代入到不等式中求解其他变量。
重复此过程直至得到所有解。
3. 增减法：通过增减变量值来确定解集的上下界，进而找到满足不等式的解集。
二、线性规划的定义和解法线性规划是指在一定约束条件下，通过线性函数的优化求解最大值或最小值的问题。
其表达形式为：Maximize (or Minimize) f(x₁, x₂, ..., xₙ) = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙsubject to:a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b₁d₁x₁ + d₂x₂ + ... + dₙxₙ ≤ b₂e₁x₁ + e₂x₂ + ... + eₙxₙ ≥ b₃...x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)是目标函数，表示需要最大化或最小化的线性函数；约束条件由不等式给出，b₁, b₂, b₃是常数。
线性规划的解法主要有以下两种：1. 几何法：将约束条件转化为几何图形，通过观察图形与目标函数的相对位置关系，找到最优解。
2. 单纯形法：通过转化为标准形式，并利用单纯形表来进行迭代计算，逐步逼近最优解。
三、线性不等式和线性规划的应用示例线性不等式和线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域。
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
高中数学新课标人教A版必修5课件线性规划
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性目标函数在满足一组线性约束条件下的最优解。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，即目标函数和约束条件中的变量和常数都是线 性的。
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值，同时满足所有的 约束条件。
线性规划在资源分 配中的应用
资源分配问题的定 义和分类
线性规划在资源分 配问题中的求解方 法
线性规划在资源分 配问题中的实际应 用案例
投资目标：最大化投资收 益
投资约束：资金有限、风 险控制等
投资策略：分散投资、风 险对冲等
投资效果评估：投资回报 率、风险调整后收益等
运输问题：在满足一定约束条件下，寻找最优的运输方案，以最小化运输成本或最大化运输 收益
确定约束条件的类 型，如等式约束、 不等式约束等
确定约束条件的 范围，如 x1+x2≤5等
确定约束条件的 数量，如 x1+x2+x3=5等
目标函数是线性规 划的核心，需要明 确表示出要优化的 目标
目标函数通常表示 为最大化或最小化 某个线性函数
目标函数中的变量 需要与约束条件中 的变量一致
目标函数中的系数 需要是常数，不能 含有变量
线性规划是研究线性约束条件下的优化问题的数学方法
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过几何图形来 直观地表示和解决问题
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的 效率和准确性
人教版高中数学必修五第三章 不等式第3节《线性规划的实际应用》课件
例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站 两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万 吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤 矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/ 吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的 运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应 怎样编制调运方案，能使总运费最少?
DOaAPC Nhomakorabea目标函数为：z=a+3b
B
由图形知：-11/3≤z≤1
即 -11/3≤a+3 b≤1
解线性计划应用问题的一般步骤： 1、理清题意，列出表格； 2、设好变元，列出线性束缚条件（不 等式组） 与目标函数； 3、准确作图； 4、根据题设精度计算。
件的解(x，y)叫可行解； 2x+y=3 可行域 ：由所有可行解组
2x+y=12
成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性计划问题的最优解。
可行域
(1,1)
(5,2)
复习线性计划
解线性计划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 的最大值或最小值。
探索结论
例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生 产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子 棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、 二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是 600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元， 工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗 一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过 250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确 到吨)，能使利润总额最大?
资源
产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限 （吨）x （吨）y 额（吨）
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
高中数学必修5线性规划课件
线性规划在实际中的应用
——生活中的最优化问题
解应用题的步骤：
1、设 2、列：列线性约束条件（即x、y满足的不等式组）
目标函数（要求最值的式子） 3、画：画可行域、需要平移的目标直线，找出最优的 （画两条：一条是过原点的，一条是平移的最终位置,都用虚线） 4、解：联立方程，求交点（最优点）的坐标 5、求：将交点坐标代入式子，算出最值 6、答
33
令z=0,作过原点的直线2x+3y=0， 对直线进行平移，可知直线经过M点时截距最大，z最大
由 x x 2 4 y 80 得 x y 4 2 ,故 M （ 4 ， 2 ）
故zmax=2×4+3×2 =14（万元） 答：生产4件甲产品和2件乙产品时，获利最大， 最大利润为14万元
实战演练 （选自2010年广东高考文数）
解：设工产 厂x件 品 每， 天y 乙 生 件产 产 ，品 甲 每z万 天元 利， 润 则
4 x 16
4 x
y
2
12 y
8
即
x 4
y 3
x
2y
8
x
N
x
N
y N
y N
目标函数为：z=2x+3y
作出可行域为：
因为z=2x+3y,故y= 2 x z 故直线的截距最大时z最大
作业：
1、
x y 若实数x、y满足 x
4 y2
y 3
（1）求 y 的取值范围 x
（2）求z 2x y的最大值和最小值
2、学案P22页例1的第（3）问
可行域为： 答：为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
作业： 1、课本P91第2题 2、学案P22页例1的第（3）问 3、预习：课本P89-P90 例6
不等式解法及线性规划
不等式的解法一元二次不等式解法步骤：1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)；2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断∆，当0∆≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法）利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 分式不等式的解法1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()f xg x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1. 故原不等式的解集为{x |x ＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．[审题视点] 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.x =0x x ≥0x x -<综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a.当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0. 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a －2a ＋3＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，所以a ＞2. 故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]． 练习1．(人教A 版教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)解析 ∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2.故原不等式的解集为(1,2)．答案 D2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 D 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13 D ．R解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.答案 B4．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.答案 C5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1.答案 [0,1]考向二 绝对值不等式1．对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤5 B ．－1<a ≤5 C ．－1≤a <5D ．－1<a <5[答案] A11．(2010·南京调研)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，则不等式f (x )>3的解集为________．[答案] (－∞，0)∪(3，＋∞)[解析] 当x <1时，有f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x .由f (x )>3得3－2x >3，解得x <0； 当1≤x ≤2时，有f (x )＝x －1＋2－x ＝1.此时，不等式f (x )>3无解； 当x >2时，有f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3.由f (x )>3得2x －3>3，解得x >3. 故不等式f (x )>3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．[点评] 可画出数轴如图，∵|AB |＝1，∴|PB |>1，|QA |>1，故由图可得x >3或x <0.13．(2010·福建南平一中)若函数f (x )＝2|x ＋7|－|3x －4|的最小值为2，则自变量x 的取值范围是________．[答案] [－12，5][解析] 依题意知，2|x ＋7|－|3x －4|≥2，∴|x ＋7|－|3x －4|≥1，当x >43时，不等式化为x ＋7－(3x －4)≥1.解得x ≤5，即43<x ≤5；当－7≤x ≤43时，不等式化为x ＋7＋(3x －4)≥1，解得x ≥－12，即－12≤x ≤43；当x <－7时，不等式化为－x －7＋(3x －4)≥1，解得x ≥6，与x <－7矛盾．∴自变量x 的取值范围为－12≤x ≤5.15．(2010·福建理)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] 解法一：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 考向三 分式不等式例1 解不等式 ＜0.分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0 令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0 可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考≤0的等价变形.例2 解不等式＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.解：原不等式等价变形为：－1＞0通分整理得：＞0等价变形为：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.练习：1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3) 3.4.5. 6.7.8. (1，2)9. 10.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.1.(2008全国高考卷Ⅰ,13)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥+3,x 00,3y -x 0,y x 则z ＝2x-y 的最大值为_____________.2．(文)(2010·西安中学)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．4．(文)(09·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.345(2010·重庆市南开中学)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．36．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－17．(文)(2010·厦门一中)已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x x ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．18．(文)(2010·厦门一中)已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1。
不等式与线性规划
1．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2：（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3：如果a b >，则a c b c +>+． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：（同向可加性）如果a b c d >>，，则a c b d +>+．性质4：如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 推论1：如果00a b c d >>>>，，则ac bd >．推论2：如果0a b >>，则*(1)n n a b n n >∈>N ，． 推论3：如果0a b >>*(1)n n a b n n >∈>N ， 2．均值不等式：如果a ，b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +，当且仅当a b =时，等号成立．对于任意两个正实数a ，b ，数2a b+叫做a ，b ab a ，b 的几何平均值． 均值不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．<教师备案>在利用均值不等式求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变量的各项的和或积必须是定值；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．⑷如果多次使用均值不等式，则等号成立的条件必须同时成立．3．简单的线性规划用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：⑴ 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ⑵ 设0z =，画出直线0l ． ⑶ 观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解． ⑷ 最后求得目标函数的最大值及最小值．知识点睛第10讲不等式与 线性规划考点：不等式性质 【例1】 ⑴ 若a b c d >>，，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．a d b c +>+B ．ac bd >C ．a bc d> D ．d a c b -<-⑵ 若a b >且c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a c b c ->-B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．22a b > ⑶ 已知a b c ，，满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是（ ）A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22ac ab <D ．()0ac a c -> ⑷ 下列命题中正确的命题是_________． ①若a b ∈R ，且22ac bc >，则a b >；②若a b ∈R ，且a b >，则11a b<；③若a b ∈R ，且a b >，则44a b >； ④若00a b c d >>>>，，则ac bd >.【解析】 ⑴ D⑵ A ⑶ A ⑷ ①③④【备选】试写出同时满足0a cb d＞＞，ad bc ＜的一组():a b c d ，，， ． 【解析】 (2111)--，，，考点：不等式恒成立【例2】 ⑴ 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切x ∈R 恒成立， 则实数a 的取值范围是______⑵ 不等式2(2)2(2)40a x a x -+-->对一切[)1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是_____ ⑶ 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是_________．【解析】 ⑴ (]2,2-⑵ 8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶ ()(),14,-∞-+∞考点：均值不等式 【例3】 ⑴ 已知a b ，是两个正数，则下列不等式中错误的是（ ）A ．232a a +>B ．222a b ab +≥C ．2a bb a+≥ D．2a b +⑵ 已知a b +∈R ，且21a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．19经典精讲⑶ 已知正数a b ，满足1ab =，则2a b +的最小值是_______； ⑷ 设实数a b ，满足0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最大的是（ ）A ．22a b +B ．2abC ．aD ．12【解析】 ⑴ D⑵ C ⑶⑷ A尖子班学案1 【拓1】 ⑴ 函数221xy x =+在0x >的最大值为________． ⑵ 已知1(2)2m a a a =+>-，212n x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则m n ，之间的大小关系为________． 【解析】 ⑴ 1⑵ m n ≥目标班学案1【拓2】 已知正数a ，b ，且2244a b +=，则y =的最大值是 ；【解析】 54【例4】 ⑴ 已知0a >，0b >，a b ，的等差中项为12，且1a a α=+，1b bβ=+，则αβ+的最小值是________；⑵ 已知a b ，是正常数，x y +ÎR ，，且10a b +=，1a bx y+=，x y +的最小值为18，求a b ，的值． 【解析】 ⑴ 5⑵ 2a =，8b =或8a =，2b =．【例5】 已知0a >，0b >，1a b +=，证明下列不等式．．⑴ 11122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤；⑵ 12133a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤；⑶2【解析】 ⑴ 法一：()1111322244a b ab a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，122a b +=，所以111312244a b ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．法二：∵111222a b a b ⎛⎫⎛⎫+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112212a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即11122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．⑵ ∵121233a b a b ⎛⎫⎛⎫+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123312a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即12133a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤．⑶∵2212a b +=++=，1=2．2a b +的理解与运用：2a b +中要求,a b +∈R，而2a b +对任意x ∈R 均成立； 在需要使用均值不等式时，一般的处理方式是先观察待求式与已知条件，找到什么时候为定值，之后再使用具体的不等式，化简的到最终结果．本题的⑴和⑵2a b+； ⑶中观察得到平方和为定值，求两数和的最大，从而用2a b +【备选】 已知2x y xy ++=，且0x >，0y >，求x y +的最小值．【解析】 x y +的最小值为2．考点：线性规划 尖子班学案2【铺1】 已知二次函数2()f x ax bx =+，1(1)1f --≤≤，3(1)5f ≤≤．⑴ 求a b ，的取值范围； ⑵ 求(2)f 的取值范围． 【解析】 ⑴ [13]a ∈，，[13]b ∈，，⑵ 8(2)16f ≤≤．【例6】 ⑴ 不等式组20210x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩，，≤≥0≥表示的区域为D ，z x y =+是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为 ；z 的最大值为 ．⑵ 已知1324a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____，ab的取值范围是_____. ⑶ 在直角坐标系中，若不等式组0(1)y y y k x ìïïïïíïï?ïî≥≤，则实数k 的值为________ 【解析】 ⑴ 252，5⑵ (24)-，；1342⎛⎫⎪⎝⎭，⑶-目标班学案2【拓2】 定义max{}a a b a b b a b ìïï=íï<ïî，≥，，，设实数x y ，满足约束条件2244x y ìïïíïïî≤≤，则m a x {43}z x y x y=+-，的取值范围为________【解析】 []710-，定义在R 上的函数()y f x =是增函数，且为奇函数，若实数s t ，满足不等式22(2)(2)f s s f t t ---≥，则当14s ≤≤时，求3t s +的取值范围．【解析】 ∵函数()f x 为奇函数，则2222(2)(2)(2)(2)f s s f t t f s s f t t ---?-≥≥，又函数()f x 为增函数，则2222s s t t --≥，即()(2)0s t s t -+-≥ ∵14s ≤≤，则若s t <，则有20s t +->，与()(2)0s t s t -+-≥∴s t ≥，即s t ，满足的约束条件为02014s t s t s ì-ïïïï+-íïïïïî≥≥≤≤，画出可行域如图，则点(42)A -，，(44)B ，，(11)C ，，当目标函数3z t s =+过点A B ，时，取到最值，即min 2z =-，max 16z =，即3t s +的取值范围为[]216-，．已知,,a b c 是不完全相等的任意实数．若2x a bc =-，2y b ac =-，2z c ab =-，则,,x y z 的值（ ）A ．都大于0B ．至少有一个大于0C ．至少有一个小于0D ．都不小于0【解析】 B大千世界222x y z a b c ab ac bc ++=++---222222222222a b ab a c ac c b bc+-+-+-=++()()()222111222a b a c c b =-+-+-， 因为a b c ≠≠，则0x y z ++>， 所以x y z ，，中至少有一个大于0．。
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不等式1. 实数的性质：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．2. 不等式的性质： 性 质内 容对称性 a b b a >⇔<，a b b a <⇔>． 传递性 a b >且b c a c >⇒>．加法性质 a b a c b c >⇒+>+；a b >且c d a c b d >⇒+>+．乘法性质 ,0a b c ac bc >>⇒>；0a b >>，且00c d ac bd >>⇒>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈⇒>；0,n n a b n N a b *>>∈⇒>．倒数性质11,0a b ab a b>>⇒<．3. 常用基本不等式：条 件结 论等号成立的条件a R ∈20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 222a b ab +≥，2()2a b ab +≤，222()22a b a b ++≥ a b =0,0>>b a基本不等式： 2a b ab +≥常见变式： 2≥+b a a b ； 21≥+aaa b =0,0>>b a2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+ a b =4. 利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s时，积ab 有最大值42s .注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有结论：ax 2+bx+c>0⇔20040a ab ac >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2040a a b ac <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它能够和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。
我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
8、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。
它的步骤如下： （1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。
△△>0△=0△<0图象ax 2+bx+c=0的解x=x 1或x=x 2x=x 1=x 2=-b/2a无实数解ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x<x 1或x>x 2} {x ︱x ≠x 1 } R ax 2+bx+c<0解集 {x ︱x 1<x<x 2}ΦΦ（3）由目标函数z ＝ax ＋by 变形为y ＝－b a x ＋b z ，所以，求z 的最值可看成是求直线y ＝－b a x ＋bz 在y 轴上截距的最值（其中a 、b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化）。
（4）作平行线：将直线ax ＋by ＝0平移（即作ax ＋by ＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。
（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。
9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．①若 0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若 0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 10、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若 0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若 0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．10、用“穿根法”解高次不等式用“穿根法”解不等式方法：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．典型例题讲解及思维拓展例1：解下列不等式：(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；(3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．例2：解不等式242+<-x x例3：解不等式（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例4：解下列分式不等式（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x例5：设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例6：解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．例7：不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．例8-1：已知0,0>>b a ，求证：ba ab b a +≥+例8-2：已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++例8-3：（1） 已知x 2＋y 2＝1，求证：2211a ax y a +≤-≤+-.（2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证：2222≤-+b ab a .例8-4：若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-nn例9：设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-拔高强化1.设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围。
2. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)3.【2012高考安徽文8】若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是（A ）-3 （B ）0 （C ） 32（D ）3 4. 【2012高考湖南文7】设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：① c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-，其中所有的准确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③5. 若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．52- Ｄ．3-6.设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y)的最小值为_________7.若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）(A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥18.已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=011x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ）(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x9. 已知532,(0,0)x y x y+=>>,则xy 的最小值是_____________10.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ______ ．课后作业(高考题初涉)1.【2012高考安徽文8】若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是（A ）-3 （B ）0 （C ）32（D ）3 2.【2012高考新课标文5】已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 3.【2012高考重庆文2】不等式102x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞4.【2012高考浙江文9】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.6 5.【2012高考四川文8】若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A 、12B 、26C 、28D 、336.【2012高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）37.【2012高考陕西文10】小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）2a b + D.v=2a b+ 8.【2012高考广东文5】已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-9.【2102高考福建文10】若直线y=2x 上存有点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203则实数m 的最大值为A.-1B.1C.32D.2 10.【2012高考上海文10】满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 11.【2012高考湖南文12】不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.12.【2012高考全国文14】若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为____________.13.【2012高考浙江文14】 设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足102000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩， 则z 的取值范围是_________。