必修五不等式及线性规划

不等式1. 实数的性质：0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．2. 不等式的性质： 性 质内 容对称性 a b b a >⇔<，a b b a <⇔>． 传递性 a b >且b c a c >⇒>．加法性质 a b a c b c >⇒+>+；a b >且c d a c b d >⇒+>+．乘法性质 ,0a b c ac bc >>⇒>；0a b >>，且00c d ac bd >>⇒>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈⇒>；0,n n a b n N a b *>>∈⇒>．倒数性质11,0a b ab a b>>⇒<．3. 常用基本不等式：条 件结 论等号成立的条件a R ∈20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 222a b ab +≥，2()2a b ab +≤，222()22a b a b ++≥ a b =0,0>>b a基本不等式： 2a b ab +≥常见变式： 2≥+b a a b ； 21≥+aaa b =0,0>>b a2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+ a b =4. 利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s时，积ab 有最大值42s .注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有结论：ax 2+bx+c>0⇔20040a ab ac >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2040a a b ac <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-7. 不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它能够和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。

我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

8、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。

它的步骤如下： （1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

△△>0△=0△<0图象ax 2+bx+c=0的解x=x 1或x=x 2x=x 1=x 2=-b/2a无实数解ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x<x 1或x>x 2} {x ︱x ≠x 1 } R ax 2+bx+c<0解集 {x ︱x 1<x<x 2}ΦΦ（3）由目标函数z ＝ax ＋by 变形为y ＝－b a x ＋b z ，所以，求z 的最值可看成是求直线y ＝－b a x ＋bz 在y 轴上截距的最值（其中a 、b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化）。

（4）作平行线：将直线ax ＋by ＝0平移（即作ax ＋by ＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。

9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．①若 0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若 0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 10、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若 0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若 0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．10、用“穿根法”解高次不等式用“穿根法”解不等式方法：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．典型例题讲解及思维拓展例1：解下列不等式：(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；(3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．例2：解不等式242+<-x x例3：解不等式（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例4：解下列分式不等式（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x例5：设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例6：解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．例7：不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．例8-1：已知0,0>>b a ，求证：ba ab b a +≥+例8-2：已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++例8-3：（1） 已知x 2＋y 2＝1，求证：2211a ax y a +≤-≤+-.（2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证：2222≤-+b ab a .例8-4：若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-nn例9：设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-拔高强化1.设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围。

2. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)3.【2012高考安徽文8】若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是（A ）-3 （B ）0 （C ） 32（D ）3 4. 【2012高考湖南文7】设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：① c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-，其中所有的准确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③5. 若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．52- Ｄ．3-6.设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y)的最小值为_________7.若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）(A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥18.已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=011x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ）(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x9. 已知532,(0,0)x y x y+=>>,则xy 的最小值是_____________10.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ______ ．课后作业(高考题初涉)1.【2012高考安徽文8】若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是（A ）-3 （B ）0 （C ）32（D ）3 2.【2012高考新课标文5】已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 3.【2012高考重庆文2】不等式102x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞4.【2012高考浙江文9】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.6 5.【2012高考四川文8】若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）A 、12B 、26C 、28D 、336.【2012高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）37.【2012高考陕西文10】小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）2a b + D.v=2a b+ 8.【2012高考广东文5】已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-9.【2102高考福建文10】若直线y=2x 上存有点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203则实数m 的最大值为A.-1B.1C.32D.2 10.【2012高考上海文10】满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 11.【2012高考湖南文12】不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.12.【2012高考全国文14】若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为____________.13.【2012高考浙江文14】 设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足102000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩， 则z 的取值范围是_________。