高中数学必修五《简单的线性规划问题》优秀教学设计
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
人教课标版高中数学必修五《简单的线性规划(第1课时)》教案(1)-新版
3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是()【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等式组表示成平面区域？探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？想一想：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？错误！未找到引用源。
苏教版高中数学必修五教案简单的线性规划问题(1)
简单的线性规划问题（2）【三维目标】：一、知识与技能1.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；2.会用画网格的方法求解整数线性规划问题．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力二、过程与方法引导学生如何使用网格法 三、情感、态度与价值观1.培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新 【教学重点与难点】：重点：用画网格的方法求解整数线性规划问题． 难点：用画网格的方法求解整数线性规划问题． 【学法与教学用具】：1. 学法：学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。
可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞2.教学方法：讲授法，多媒体直观教学3.教学用具：直角板、投影仪 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1.什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？2.当,x y 满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。
解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入不等式组消去z 得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，Axy OB1 1代入目标函数得224u x y =-++，作直线0l ：0x y -+=，作一组平行线l ：x y u -+=平行于0l ，由图象知，当l 往0l 左上方移动时，u 随之增大，当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小，所以，当l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，max 6u =，min 4u =．例2 已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ， 1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-； 当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1； 当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．解：设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，ACxy O1l3l2l则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N ⎧+≤⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，即*1045300804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为320504z x y =+．作出可行域（图略，见课本第80页图3-3-11），当直线320504z x y =+经过直线4530x y +=与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．但(7.5,0)不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是3205042560x y +=，经过的整点是(8,0)，它是最优解．因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低．四、巩固深化，反馈矫正1.设,,x y z 满足约束条件组1320102x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求364F x y z =++的最大值和最小值；五、归纳整理，整体认识1.本节课主要内容：（1）巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法； （2）用画网格的方法求解整数线性规划问题。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
高中数学(3.3 简单的线性规划问题(1))教案 新人教版必修5 教案
简单的线性规划问题（1）
教学目标：了解线性规划的意义、了解可行域的意义；掌握简单的二元线性规划问题的解法． 教学重点、难点：二元线性规划问题的解法的掌握． 教学过程： 一．问题情境
1．问题：在约束条件410432000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？
二．学生活动
探究：1.作出约束条件410432000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域：
2. 将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为_____________________,在y 轴上的截距为_________________________；
3.作出直线0l ：2y x =-，并平移； 因此,
三．建构数学 1．可行域：
2.线性规划： 说明：
四．数学运用
例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值．
例2．设z=6x-10y ，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
练习：课本第89页 练习 第1，2，3题． 五．回顾反思：
六．作业布置：
书P87 习题3.3 3(1),5,7 ,8。
简单线性规划教学设计
《简单的线性规划》教学设计教材分析本节是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第二课时。
主要内容是利用图解法解决简单的线性规划问题。
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
线性规划教学安排在不等式和直线方程的结合点上，是培养学生熟练运用转化能力和数形结合能力的重要内容。
本节内容蕴含了丰富的数学思想、方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想。
学情分析本节是在学生已经学习了函数、映射、不等式、直线方程的基础上，利用相关知识展开的，是对上述内容的深化和再认识。
学生在第一节课已初步学习利用表格将文字长、数据多的应用问题中的数据进行整理，设未知数，列出线性约束条件。
本节课一方面要引导学生经历数据整理过程，准确列出约束条件，分析数据，写出线性目标函数，尝试运用该模型解决实际问题。
另一方面要针对不同形式的目标函数探求不同的数学模型，在数学问题解决的全过程中加深对简单线性规划问题数学模型的理解和运用。
通过本节教学能使学生加深体会运用已有的认知结构探求新知的方法。
这将使学生在以后的学习数学的过程中遇到困难想办法，数形结合进行数学转化，从而培养学生的数学素养，提升学生的数学应用能力。
目标分析知识目标：1、了解线性规划的意义，线性约束条件、目标函数、可行域、可行解和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求目标函数的最优解。
能力目标：1、在应用图解法解题的过程中培养观察能力、理解能力、运用数形结合思想解决线性规划问题的能力。
2、在变式训练的过程中，培养分析能力、探索能力。
3、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养化归能力。
情感目标：1、体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣。
2、体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神。
2019-2020年高中数学必修五教案：3-3-2简单的线性规划问题
2019-2020年高中数学必修五教案： 3-3-2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题一、教学背景1.本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。
主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。
2.本节课的教学对象是河北省秦皇岛市抚宁区第一中学高一文班学生。
二、教学目标 （一）知识与技能1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。
（二）过程与方法在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。
增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。
注重培养学生积极主动、勇于探索的学习方式，整节课着重创造师生互动、生生互动的良好学习环境，学生在老师的引导下亲身经历动手实践、动脑思考等方法探究线性规划的简单问题获取直接结题经验。
（三）情感态度与价值观学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
结合本节教学内容，让学生成为课堂活动的主导,体验探究学习、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验，增强学生学习数学知识的自信心。
培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
三、教学重点和难点教学重点：图解法解线性规划问题。
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
四、教学过程 （一）复习回顾在同一坐标系上作出下列直线:xy 2-=；12+-=x y ；32--=x y ；42+-=x y ；72+-=x y 。
投影展示学生的画图作业，引导学生观察5条直线的特征：平行。
得出结论：形如)0(2¹+-=t t x y 的直线与x y 2-=平行。
直线b kx y +=中的b 叫做纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标。
【优选整合】人教A版高中数学必修五332简单的线性规划问题教案.docx
3.3.2简单的线性规划问题一、教学目标：知识与技能：(1)、了解，了解线性约朿条件、(线性)目标函数、线性规划问题、可行解、可行域和最优解等概念;(2)、掌握求解线性规划问题的步骤与方法。
过程与方法：(1)、让学生从实际生活屮发现数学问题，把数学问题与实际生活相结合，培养学生发现问题、提出问题的能力；(2)、在画图的过程中培养学生的分析能力、观察能力、理解能力。
(3)、在目标函数变式训练的中，培养学生的类比能力、探索能力。
(4)、培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力。
情感、态度与价值观：(1)、把身边的实际问题数学化，让学生品尝学习数学的乐趣。
(2)、培养学生勤于思考、勇于探索的精神；(3)、让学生能用运动与静止的辩证关系处理问题，开拓学生的思维活动。
二.重点难点重点：求解线性规划问题的步骤与方法；难点：如何提高学生分析问题的能力。
三、教材与学情分析本节课内容是在学生学一习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次不等式(组)的几何意义的基础上，进-步研究用图解法解决线性规划问题，使学生体会数与形的转化过程，逐步形成学生应用几何图形解决代数问题的意识.面对基础饺为薄弱的学生，课堂教学容量不能太大，而本节课内容需要频繁地在代数和几何上转换，学生理解起來相当的艰难.本教学设计力求让学生充分地体验数与形的转化，适当使用多媒体，让学生更直观地理解代数问题的几何形态，感受用“图解法”解决简单的线性规划问题的必要性和有效性，进而掌握解题基本方法和步骤.作为解题的步骤，若老师没有经过仔细斟酌想要把过程表述清楚都有一定难度，更何况是学生，因此，对于刚接触新知识的学生来说必需明确解题的步骤，这样也有助于学生更深入地理解和掌握知识.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学.五、教学过程（一）导入新课在这堂课，我進备把我去兴农中学参观的一些图片用动画的形式播放给学生看，然后指出借助社会力量办学是教育发展的一个方向，兴农中学是贵州办得不错的一所私立中学，但是办学不是租用儿间教室，招用儿个老师就能解决问题的，必须要考虑到很多具体问题。
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§3.3.2 简单的线性规划问题（第一课时）
【学习目标】
1. 复习掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域；
2. 了解线性规划的意义以及线性的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解的概念；
3. 了解线性规划问题的图解法，掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
【重点和难点】
重点、难点：掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
【课堂教学】
（一）复习：二元一次不等式（组）与平面区域
1. 满足二元一次不等式（组）的解()y x ,可以看成直角坐标平面内点的坐标。
于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。
2. 平面区域：二元一次不等式表示平面区域的判定方法是：以线定界（包括边界，画实线；不包括边界，画虚线），以点定域（以0>++C By Ax 为例）：（1）画边界：即画出直线0=++C By Ax 。
（2）定区域：在直线0=++C By Ax 的一侧取一个特殊点()00,y x 作为测试点代入式子C By Ax ++，由C By Ax ++00的符号判定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，当
0≠C ，
常选取()0,0作为测试点；当0=C ，常选取()0,1或()1,0作为测试点。
（3）求交集（公共部分）：二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域的公共部分。
【温故而知新】
1. 在平面直角坐标系中，若点()t A ,2-在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是___________。
2. 点()2,1与点()4,3-在直线0=++a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是____________。
3. 画出不等式（组）⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并求其面积。
（二）简单的线性规划问题
1. 线性规划问题中的基本概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解。
2. 线性目标函数C By Ax z ++=（B A ,不全为0）中，当0≠B 时，B C z x B A y -+-
=，看成斜率为B A -，在y 轴上的截距为B
C z -的直线，其位置随z 的变化而变化，形成一组平行直线。
则把求z 的最大值和最小值的转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值和最小值。
因此，只需先作出直线x B A y -=，再将这条直线平行移动，看截距B
C z -何时取最大值和最小值，找到最优解。
一般情况下，最优解在可行域的顶点处取得，然后将最优解代入目标函数，求出目标函数的最值。
【例】已知关于y x ,的二元一次不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-≤+02142x y x y x ，求函数y x z -=3的最大值和最小值。
变式：设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，求y x z 3-=的最小值和最大值。
【方法总结】求线性目标函数最值的步骤：
（1）作图：画出约束条件（不等式组）所表示的平面区域，同时画出目标函数所表示的任意一条直线l ；
（2）平移：将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
（3）求值：联立相应直线的方程组，求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值。