全概率公式
全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念,它系统地表达了事件发生的
几率,它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。
全概率公式由它
的发明者布朗定理提出,它以下简称为B-公式,它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来,具体地说,就是:
P(A)=P(A,B1)P(B1)+P(A,B2)P(B2)+···+P(A,Bn)P(Bn)
其中:P(A)是A发生的概率,P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率;P(A,B1)~P(A,Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率,
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中,A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率,再相加,而本质上
它是一个分母的二项式展开。
贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念,它描述了在已知其中一种情
况的概率后,观察到其中一种事件后,该情况发生的可能性,它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断,它有一下公式发挥着作用:P(A,B)P(B)=P(B,A)P(A)
其中:P(A)是事件A发生的先验概率;P(B)是事件B发生的先验概率;P(A,B)是事件B发生后A发生的条件概率;P(B,A)是事件A发生后B发
生的条件概率。
条件概率与全概率公式

条件概率与全概率公式
条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率,例如,已知某人感染了疾病,求这个人的年龄在40岁以下的概率。
这里,已知某人感染了疾病就是条件,年龄在40岁以下是事件。
条件概率的公式为:P(A|B) = P(A∩B)/P(B),其中,P(A|B)表示在条件B下事件A发生的概率,P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。
全概率公式是指将一个事件拆分成多个互不重叠的子事件,并计算每个子事件的概率,然后将它们相加得到整个事件发生的概率。
例如,某医院有三个科室,分别是内科、外科和儿科,每个科室的病人比例为60%、30%和10%。
现在需要求这个医院的所有病人中,感染肺炎的比例。
这里,感染肺炎是整个事件,内科、外科和儿科是子事件。
全概率公式为:P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi),其中,P(A)表示事件A的概率,P(A|Bi)表示在条件Bi下事件A发生的概率,P(Bi)表示事件Bi发生的概率,Σ表示对所有的i求和。
在这个例子中,感染肺炎的比例为:P(肺炎) = P(肺炎|内科) * P(内科) + P(肺炎|外科) * P(外科) + P(肺炎|儿科) * P(儿科)。
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概率论 全概率公式(一)

概率论全概率公式(一)概率论全概率公式概率论中的全概率公式(Law of Total Probability)是一个重要的概率理论,用于计算复杂事件的概率。
全概率公式是基于条件概率的思想,通过将事件分解为若干个互不相交的情况,从而求解整体事件的概率。
全概率公式基本定义全概率公式的基本定义如下:对于事件B,如果满足条件概率P(A|B)存在,且B1, B2, …, Bn 是一组互不相交的事件且并集为样本空间,那么事件A的概率可以表示为:P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)其中,P(A|Bi)表示给定事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
全概率公式的应用全概率公式在实际问题中有广泛的应用,特别是当事件的发生可以分解为若干互不相交的情况时,全概率公式可以简化问题的求解过程。
以下是全概率公式的一些常见应用场景和相关公式:1.二项分布的全概率公式:对于二项分布,全概率公式可以表示为: P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) 其中,X表示试验成功的次数,k表示成功的次数,n表示总的试验次数,p表示单次试验成功的概率。
例如,假设有一个硬币,正面朝上的概率为,我们进行10次独立的抛硬币实验,求正面朝上的次数为5的概率。
根据全概率公式,可以计算得到: P(X=5) = C(10,5) * ^5 *()^(10-5) ≈2.多项分布的全概率公式:对于多项分布,全概率公式可以表示为:P(X1=k1, X2=k2, …, Xn=kn) = n! * p1^k1 * p2^k2 * … * pn^kn / (k1! * k2! *… * kn!) 其中,X1,X2, …, Xn表示n个随机变量的取值,k1, k2, …, kn表示各随机变量取值的次数,p1, p2, …, pn表示各随机变量取值的概率。
例如,假设有一个箱子里有4个红球、3个蓝球和2个黄球,我们随机取3个球,求取到一个红球、一个蓝球和一个黄球的概率。
全概率公式和贝叶斯公式(先验概率和后验概率)

全概率公式和贝叶斯公式(先验概率和后验概率)全概率公式(Law of Total Probability)和贝叶斯公式(Bayes' Theorem)是统计学中重要的概率公式,用于计算给定一些条件下的概率。
这两个公式是概率论和统计学中常用的工具,可以解决很多实际问题,从机器学习到社会科学中的调查研究。
P(A)=Σ[P(A,Bi)*P(Bi)]其中,P(A)表示事件A的概率,P(A,Bi)表示在给定事件Bi的条件下,事件A发生的概率,P(Bi)表示事件Bi的概率。
贝叶斯公式是在给定一些观察或证据的情况下,计算一个事件的概率的公式。
它基于条件概率的概念,将因果关系转化为条件概率的形式,并用于根据已知的先验概率更新为后验概率。
贝叶斯公式可以表示为:P(A,B)=[P(B,A)*P(A)]/P(B)其中,P(A,B)表示在观察到事件B发生的情况下,事件A发生的概率,P(B,A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的先验概率。
全概率公式和贝叶斯公式经常一起使用,特别在机器学习和数据分析中被广泛应用。
通过使用全概率公式,可以将复杂问题分解为多个简单的条件概率问题,然后再使用贝叶斯公式根据已知的先验概率和条件概率计算后验概率。
这样可以更好地理解问题,并得到更准确的结果。
举个例子来说明这两个公式的应用:假设有两个工厂A和B,它们负责生产其中一种产品。
已知A工厂的产品次品率为20%,而B工厂的产品次品率为10%。
现在我们收到一批产品,但不知道是哪个工厂生产的。
一些产品是次品的概率是10%。
问这个产品是来自A工厂的概率是多少?首先,我们可以用全概率公式来计算得到:P(A)=0.5(因为两个工厂的概率相等)P(A,B)=[P(B,A)*P(A)]/P(B)P(B,A)是在A工厂生产的条件下产品是次品的概率P(A)已经计算得到为0.5P(B)=P(B,A)*P(A)+P(B,¬A)*P(¬A)=0.02*0.5+0.1*0.5=0.03将这些值代入贝叶斯公式,可以得到:P(A,B)=(0.02*0.5)/0.03≈0.33因此,基于给定的证据,这个产品是来自A工厂的概率约为33%。
概率全概率公式

概率全概率公式
概率全概率公式是概率论中的一个重要定理,它用于求解复杂事件的概率。
该公式的表述为:“若样本空间S可以划分为互不相交的n个事件A1,A2,...,An,则对任意事件B,有
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An)”。
简单来说,就是当我们想要计算某个事件B的概率时,如果我们无法直接计算出B的概率,但是可以将样本空间S划分为n个互不相交的事件A1,A2,...,An,并且知道B在这些事件中的条件概率
P(B|A1),P(B|A2),...,P(B|An),以及这些事件的概率P(A1),P(A2),...,P(An),那么我们就可以使用全概率公式来计算B的概率。
例如,当我们想要计算某个人得了某种疾病的概率时,如果我们无法直接得知这个人是否得了该病,但是我们知道该病的发病率在不同年龄段和性别之间可能不同,那么我们可以将样本空间S划分为不同的事件,例如年龄在20-30岁的男性得病、年龄在20-30岁的女性得病、年龄在30-40岁的男性得病等等,然后根据这些事件的条件概率和概率来使用全概率公式计算出该人得病的概率。
总之,概率全概率公式是一种非常实用的概率计算方法,在实际问题中经常会被使用到。
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全概率公式与贝叶斯公式

例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的,其中乙厂产品占总数的50%,另两家工厂的产品各占25%。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7,试求随意取出一只晶体管是合格品的概率(此货合格率)。
例连续做某项试验,每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时,第k+1次成功的概率为1/2 ,当第k次试验失败时,第k+1次成功的概率为3/4,如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2,求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.05,第二台出现废品的概率为0.02,加工的零件混放在一起,若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求(1)任意地从这些零件中取出一个合格品的概率;
(2)若已知取出的一个零件为合格品,那么,它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例(市场问题)某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5,一般为0.3,滞销为0.2。
为测试销路,公司决定进行试销,并设定了以下标准:若产品畅销,则在试销期内卖出7000~10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般,则在产品的试销期内卖出7000~10000台产品的概率是0.9;若产品滞销,则在试销期间能卖出7000~10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后,实际卖出的产品是9000台。
求该产品
(1)为销路一般的概率。
(2)为畅销品的概率。
(3)畅销或销路一般的概率。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式,它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中,我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式:P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中,A表示事件,B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件,且它们的并集等于样本空间。
P(Bi)表示事件Bi发生的概率,P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下,事件A发生的概率。
接下来,我们来证明全概率公式。
假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件,我们需要证明:P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)我们可以将事件A表示为:A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时,A发生的情况。
接下来,我们可以利用加法公式将上式展开:P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)然后,我们可以将每个交集表示为条件概率的形式:P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi)这是因为在事件Bi发生的条件下,事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。
将上式代入前面的公式中,我们得到:P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的证明过程。
总结一下,全概率公式是概率论中的一个重要公式,它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
证明过程中,我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时,A发生的情况这一性质,然后利用加法公式和条件概率的定义,推导出了全概率公式的表达式。
全概率公式与贝叶斯公式
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式,可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C|A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球,m只红球,乙袋中有N只 白球,M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋,然后 再从乙袋中取出一只,问取到白球的概率?
解:设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”,则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”;B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解:设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
全概率公式
例如,某地发生了一个案件,怀 疑对象有甲、乙、丙三人。 偏小 在不了解案情细节(事件A) 之前,侦破人员根据过去 丙 乙 甲 的前科,对他们作案的可能性 P(B ) P(B ) P(B ) 3 1 2 有一个估计,设为 知道A 但在知道案情细 发生后 节后, 这个估计 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 就有了变化。 比如原来认为作案可能性较小的某甲, 现在变成了重点嫌疑犯。
AB1 AB2
设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A=AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容
空
B1
A 空
入 场 券 B2
入 场 券
空
空
空
入 场 券
入 场 券
空
则 A=AB1+AB2
且 AB1和AB2互不相容 运用加法公式得
所以 P(A)=P(AB1)+P(AB2)
0.005 * 0.95 0.1066 0.005 * 0.95 0.995 * 0.04
现在来分析一下结果的意义: 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义? 如果不做试验,抽查一人,他是患者的 提示 概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95,若试验后得阳性反应, 则根据试验得来的信息,此人是患者的概率 为 P(C|A)= 0.1066
这一类问题在实际中更为常见,它所求的是 条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因 发生可能性大小。
结果已发生 现从出厂产品中任取一件, 发觉该产品是次品而且其标 志已脱落,试求这件次品来 自车间1的概率?
全概率公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0例1 有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解:记A i ={球取自i 号箱},i =1,2,3;B ={取得红球}即B= A 1B+A 2B+A 3B ,且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥B 发生总是伴随着A 1,A 2,A 3 之一同时发生,P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )123将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )∑==31i i i A B P A P B P )()()(|代入数据计算得:P (B )=8/15∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(|全概率公式:则设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生,即ni iA B 1=⊂设S 为随机试验的样本空间,A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且有P (A i )>0,i =1,2,…,n ,∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(|全概率公式:称满足上述条件的A 1,A 2,…,A n 为完备事件组.,1S A ni i== 则对任一事件B ,有在较复杂情况下直接计算P (B )不易,但B 总是伴随着某个A i 出现,适当地去构造这一组A i 往往可以简化计算.∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(|全概率公式的来由, 不难由上式看出:“全”部概率P (B )被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n ),如果B 是由原因A i 所引起,则B 发生的概率是每一原因都可能导致B 发生,故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和,即全概率公式.P (BA i )=P (A i )P (B |A i )全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.设B ={飞机被击落}A i ={飞机被i 人击中}, i =1,2,3由全概率公式P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2)+ P (A 3)P (B |A 3)则B=A 1B+A 2B+A 3B解:依题意,P (B |A 1)=0.2, P (B |A 2)=0.6,P (B|A 3)=1可求得:为求P (A i ) ,设H i ={飞机被第i 人击中}, i =1,2,3 )()(3213213211H H H H H H H H H P A P ++=)()(3213213212H H H H H H H H H P A P ++=)()(3213H H H P A P =将数据代入计算得:P (A 1)=0.36; P (A 2)=0.41; P (A 3)=0.14.于是P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1=0.458即飞机被击落的概率为0.458.该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题,是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红球3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.?1红4白123某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11B P B A P B A P =记A i ={球取自i 号箱}, i =1,2,3;B ={取得红球}求P (A 1|B ).∑==3111k kk A B P A P A B P A P )()()|()(|将这里得到的公式一般化,就得到贝叶斯公式1231红4白?∑==nj jj i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(||该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下,寻找导致B 发生的每个原因的概率.贝叶斯公式:设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生,则ni ,,, 21=贝叶斯公式在实际中有很多应用,它可以帮助人们确定某结果(事件B)发生的最可能原因.例3某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04,现抽查了一个人,试验反应是阳性,问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.C CC已知P (C )=0.005,P ( )=0.995,P (A |C )=0.95, P (A | )=0.04解:设C ={抽查的人患有癌症},A ={试验结果是阳性},求P (C |A ).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式,可得)|()()|()()|()()|(C A P C P C A P C P C A P C P A C P +=代入数据计算得:P (C |A )= 0.10662. 检出阳性是否一定患有癌症?1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义?如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是0.95,若试验后得阳性反应,则根据试验得来的信息,此人是患者的概率为P(C|A)= 0.1066从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.2. 检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C|A)=0.1066即使你检出阳性,尚可不必过早下结论你有癌症,这种可能性只有10.66% (平均来说,1000个人中大约只有107人确患癌症),此时医生常要通过再试验来确认.下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式∑==nj ii i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(||在贝叶斯公式中,P (A i )和P (A i |B )分别称为原因的验前概率和验后概率.贝叶斯公式P(A i)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
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2 2 2 6
例2:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则 至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A ) 7 = P( A) = N (S ) 8
6 P AB = 8
所以
6 P AB 8 6 PB A = = = P A 7 7 8
条件概率的性质: 1 非负性:对任意事件 B ,有 P B A 0
2
规范性: P S A = 1 ;
3 可列可加性:如果随机 事件
则 两互不相容,
B 1 ,B 2 , , Bn, 两
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在
一次实验中几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了,从而推 断接待站不是每天都接待来访者,即认为其接待时间是 有规定的。
§ 1.5
条 件 概 率
P A 0
设A、B是某随机试验中的两个事件,且
则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为
在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之
下的条件概率,记为
P B A
例 5 已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求 该家庭至少有一个男孩的概率. 解:设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 则
1 7 P A = 1 - P A = 1 - = 8 8
例 4 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有
这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断 接待时间是有规定的?
解:假设接待站的接待时间没有规定,各来访者在一 周的任一天中去接待站是等可能的,那么,12 次接待来 访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003, 即千万分之三。
0.45、0.32,今随机选一人参加比赛,试求该小组在比 赛中射中目标的概率. 解: 设 该小组在比赛中射中目标} B ={
Ai = {选 i级射手参加比赛
由全概率公式,有
}i = 1, 2, 3 4
4 PB = P An P B An n =1
2 6 9 3 = 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
(三)事件之间的关系
4.差事件 :A-B称为A与B的差事件,表示事件A发生
而B不发生.
6. 互逆的事件 AB= , 且AB= 记作 B = A,称为 A 的对立事件 ; 易见 A - B = A B
随机事件的运算规律 幂等律: 交换律: 结合律:
A A = A,
A A = A
B
2 An = S
或
A
n =1
n
;
3PAn 0 n = 1,
2,
则有
PB = PAn P B An
n =1
例7 某小组有20名射手,其中一、二、三、四级射手分 别为2、6、9、3名.又若选一、二、三、四级射手参
加比赛,则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、
的球 中再取一球。
分别就上面两种方式求: 1)取到的两只都是白球的概率; 2)取到的两只球颜色相同的概率; 3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”,
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”,
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
P B A = P B n A n =1 n n =1
乘法公式
设A、BS,P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。 乘法公式还可推广到三个事件的情形: P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地,有下列公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).
E4:掷一颗骰子,考虑可能出现的点数;
§ 1.2 样本空间、随机事件
(一) 样本空间(Space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S 。样本空间的
元素,即 E 的每个结果,称为样本点。
E1:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E2:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。
§ 1.4 古典概型与概率
若某实验E满足
1.有限性:样本空间S={e1, e
2.等可能性:
2
, … , e
n
};
P(e1)=P(e2)=…=P(en).
则称E为古典概型也叫等可能概型。
例 1 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、2 只红球。从
袋中取球两次,每次随机的取一只。考虑两种取球方式: • 放回抽样 第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中, 搅匀后再取一球。 • 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余
第一章 概率论的基本概念
§ 1.1
随机试验的特点:
随机试验
1.可在相同条件下重复进行;
2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
随机试验可记为 E
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币,分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况; E3:将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数;
例 9(续)
所以,由
B = AB A B
得: P
B= PAB PA B
b ab b = = 2 2 a b a b a b
例3从1到200这200个自然数中任取一个;(1)求取到的数能
被6整除的概率;(2)求取到的数能被8整除的概率;(3)求 取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.
解:N(S)=200, N(2)=[200/8]=25
N(1)=[200/6]=33, N(3)=[200/24]=8
(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25
它具有下述性质:
1
0 f n ( A) 1 ;
2
3
f n ( S ) = 1;
若 A 1 , A 2 , , A k 是两两互不相容事件 , 则
f n ( A1 A2 Ak ) = f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak )
(二) 概率的定义
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式:对任意两事件A、B,有
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形; (5) 互补性:P(A)=1- P(A); (6) 可分性:对任意两事件A、B,有 P(A)=P(AB)+P(AB ) .
A = A , A = A
分配律:
De Morgan定律:
§ 1.3 频 率 与 概 率
(一) 频率的定义和性质
定义 在相同的条件下,进行了n 次试验, 在这
n 次试验中,事件 A 发生的次数 nA 称为
事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率,并记成 fn(A) 。
定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数,记为 P ( A)
称为事件 A 的概率,要求集合函数 P() 满足
下列条件:
10 0 P( A) ; 20 P( S ) = 1 ;
3 若 A1 , A2 , 是两两互不相容事件 , 则
0
P( A1 A2 ) = P( A1) P( A2)
例 6 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落 下时打
破的概率为 1/2 ,若第一次落下未打破,第二次落下打
破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破,第三次落下打 破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。 解:以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”, 以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”,有:
E3:记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
S1 : {0,1,2,3……}
S2 : { t | t 0 }
S3 : { ( x , y ) | T 0 x , y T1 }
(二)随机事件
定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机
事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.
P(B)=P(B|A)
则称事件A与B相互独立。等价于:
P(AB)=P(A)P(B)
例 9 袋中有 a 只黑球,b 只白球.每次从中取出一球, 取后放回.令: A={ 第一次取出白球 }, B={ 第二次取出白球 }, 则
b P A = ab
b2 P AB = 2 a b
ab PA B = 2 a b
所以,由Bayes公式,得
P D A =
PD P A D P D P A D
PD P A D
0.0004 0.95 = 0.0004 0.95 0.9996 0.10
= 0.0038
§ 1.6 事件的独立性
(一) 两事件独立
定义 设A、B是两事件,P(A) ≠0,若
有放回抽取:
42 42 22 P( A) = 2 = 0.444 P( B ) = = 0.556 2 6 6