2013中考数学50个知识点专练13 反比例函数及其图象
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
初三数学反比例函数知识点归纳
初三数学反比例函数知识点归纳
反比例函数是指函数的变量之间的关系满足倒数的关系。
1. 反比例函数的定义：如果函数y=k/x，其中k是一个非零常数，x≠0，则y与x的关系是反比例关系，称为反比例函数。
2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像呈现出一种特殊的形状，即一个双曲线。
曲线在第一象限和第三象限分别向无穷大和无穷小逼近，且过原点。
3. 反比例函数的性质：
- 当x逐渐增大（或减小）时，y逐渐减小（或增大）。
- 当x=0时，函数无定义。
- 当y=k/x中的k为正数时，函数在第一象限、第三象限为正值；当k为负数时，函数在第二象限、第四象限为负值。
- 反比例函数的图像关于y轴和x轴对称。
4. 反比例函数的图像特征：
- 具有一个渐进线，即曲线在接近y轴和x轴时，趋于无穷大或无穷小。
- 曲线在x轴和y轴上有渐进截距。
- 曲线在y轴上有一个渐近良好的对称轴。
5. 反比例函数的应用：
- 反比例函数常用于描述两个变量的关系，如速度与时间、产量与工人、密度与体积等。
- 反比例函数也可以用来解决实际问题中的问题，如求出满足特定条件的变量值。
总结起来，反比例函数是数学中一种特殊的函数形式，其定义和性质都与倒数有关，反比例函数的图像呈现出一种特殊的形
状，具有特定的渐进线和渐近截距，常用于描述两个变量的关系和解决实际问题。
中考数学必考考点专题13反比例函数含解析
专题13 反比例函数1．反比例函数：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k、1-=kxy。
2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。
对称中心是：原点。
它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3．性质:（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
5．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x 轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1 B．C．D．2【答案】A专题知识回顾专题典型题考法及解析【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1故选：A．的图【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4x象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．【答案】8【解析】∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，的图象上，又∵反比例函数y=4x∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=1×4＝2，2∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案为：8．【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝mx（m＞0，x＞0）图像上的两点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE ⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．（1）S△OAB＝________，m＝________；（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．【答案】见解析。
反比例图像和性质的知识点
反比例图像是数学中一种常见的图像类型，它展示了两个变量之间的关系。
在反比例关系中，当一个变量增加时，另一个变量会相应地减少，反之亦然。
在本文中，我们将探讨反比例图像的性质，并介绍一些与之相关的重要概念。
1.反比例关系的定义反比例关系是指两个变量之间的关系可以用一个等式来表示，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
如果两个变量x和y之间存在反比例关系，则可以使用以下等式来表示： xy = k 其中k是一个常数，表示两个变量之间的比例关系。
2.反比例函数的图像反比例函数是一种特殊的函数，可以用来描述反比例关系。
反比例函数的一般形式为： y = k/x 其中k是一个常数，表示比例关系的强度。
当x的值增加时，y的值会减少，反之亦然。
反比例函数的图像通常是一个双曲线。
双曲线的特点是，它的图像在x轴和y轴的两侧都无穷接近但永远不会相交。
3.反比例函数的性质反比例函数具有以下几个重要的性质：•零点：当x等于0时，反比例函数的值为无穷大或无穷小。
这是因为在反比例关系中，当一个变量的值为0时，另一个变量的值无法确定。
•渐进线：反比例函数通常有两条渐进线，分别与x轴和y轴平行。
这是因为当x或y的值趋近于无穷大或无穷小时，反比例函数的值趋近于0。
•变化率：反比例函数的变化率是一个负数。
这是因为当一个变量的值增加时，另一个变量的值会相应地减小。
4.反比例图像的应用反比例图像在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，反比例关系可以用来描述牛顿第二定律中的力和质量之间的关系。
在经济学中，反比例关系可以用来描述供给和需求之间的关系。
在工程学中，反比例关系可以用来描述电阻和电流之间的关系。
总结：反比例图像是一种常见的数学图像类型，用于描述两个变量之间的反比关系。
反比例函数的图像通常是一个双曲线，具有零点、渐进线和负变化率的性质。
反比例图像在许多领域中都有广泛的应用，从物理学到经济学再到工程学。
通过研究反比例图像的性质，我们可以更好地理解和分析这种重要的数学模型。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
2013年中考数学复习 第三章函数及其图象 第13课 反比例函数及其图象课件
探究提高
反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值 即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出 其系数，需要已知两对对应值．
知能迁移2 已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函 k 数y＝ 的图象交于点A(3,2). x (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数 的值大于正比例函数的值？ (3)M是反比例函数图象上的一动点，其中0<m<3，过点M作直
解：(1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限．
∵m－5>0，∴m>5.
(2)∵点A在直线y＝2x上， ∴设点A的坐标为(x0,2x0) (x0>0)，
则点B的坐标为(x0,0)．
∵S△OAB＝4， ∴ 1²x0²2x0＝4，x02＝4，x0＝±2(舍去负值)， 2 ∴点A的坐标为(2,4)． 又∵点A在双曲线y＝m－5上， x m－5 ∴4＝ ，m－5＝8. x ∴反比例函数的解析式为y＝ 8 . x
乘积是不是一个非零常数，若两个变量的乘积是一个非零常数， 则x与y成反比例，由此得到的函数就是反比例函数．否则就不
是反比例函数，由此可见，反比例和反比例函数之间是有一定
联系的．
2.正确理解反比例函数的概念，掌握反比例函数式的几种关系
要判断实际问题中的两个变量之间是否成反比例函数关系，应 该先根据题意分析数量关系，列出函数关系式后再根据反比例函 数的概念判断．如果待判定的函数关系式已经给出，则可以直接 根据反比例函数的定义判断．y＝ k (k≠0) ，y＝kx－1(k≠0)，xy＝k x (k≠0)，都表明y是x的反比例函数，其中自变量的取值范围是x≠0, 则函数y≠0.这些反比例函数式的变式，在解题过程中会碰到，因此 要熟练掌握．
反比例函数及其图象
yy11
pp11
yyyy3223
pp2 2 p3p3
X1X1xx22xx3 3
如果设这些矩形的面 积都为a，你能求出 这条曲线的解析式吗？
y1 P1
y2 y3
,
y3
)
,则函数值
y1, y2 , y3 ,的大小关系
是（D ）
（A）y2＜y3＜y1． （C）y1＜y3＜y2． ．
（B）y3＜y2＜y1． （D）y3＜y1＜y2
5、若反比例函数 y mxm25的图象在它所在的象限内，
y随x的增大而增大，则m的值是（A ）
（A）-2．
（B）2．
（C）±2．
（D）以上结果都不对．
P2 P3
X1x2x3
反比例函数 及其图象（一）
反比例关系
• 两种相关联的量，一种量变化，另 一种量也随着变化。如果这两种量 中，相对应的两个数的乘积一定， 这两种量就叫做成反比例的量，他 们的关 系叫做反比例关系！
若x×y=k（k≠0）
则y=k/x
什么是反比例函数？
一般地，函数 y kx（k是常数，k 0）叫做反比例函数． 现实生活中反比例关系的例子
1成 z
( A )比例.
(A)正
(B) 反
(C)不成
(D) 有一次函数关系
3、在同一坐标系内，函数 y 1 x与 y 1的图象的交点个数
为( C ).
3
x
(A) 0个 (B) 1个
(C) 2个
(D)4个
4、在函数 y a2 1（a为常数）的图象上有三点
反比例函数及其图象
反比例函数及其图象1. 反比例函数的定义反比例函数（inverse proportional function），又称为倒数函数，是一种特殊的函数关系。
在反比例函数中，当自变量的值增加时，函数值会减少，反之亦然。
反比例函数可以用以下的数学表达式来表示：y = k / x其中，y表示函数的值，x表示自变量的值，k是一个非零的常数，称为反比例函数的比例常数。
2. 反比例函数的图象要了解反比例函数的图象，我们可以绘制它们的图表。
下面以k为1的情况进行举例说明。
x y1 12 1/23 1/34 1/45 1/5……当我们观察上述表格中的数据时，可以发现一个规律：当x增加时，y的值会相应地减少。
这正是反比例函数的特点。
将这些数据点在坐标系中绘制出来，我们可以得到反比例函数的图象。
由于反比例函数在x=0处无定义，因此图象在x轴上有一个垂直渐进线。
图象会随着x 的增加而逐渐下降接近渐进线，但永远不会到达或越过它。
反比例函数的图象通常是一个双曲线的形状，具有对称性。
它与x轴和y轴分别相交于两个特殊的点，即起点和渐进线的截距点。
3. 反比例函数的性质反比例函数具有以下几个重要的性质：•定义域：反比例函数的定义域为除了x=0以外的所有实数。
这是因为在x=0处函数无定义。
•值域：反比例函数的值域为除了y=0以外的所有实数。
这是因为在y=0处函数无定义。
•单调性：反比例函数是严格单调递减的。
即当x1 > x2时，有y1 < y2。
•渐近线：反比例函数的图象会与 x 轴和 y 轴分别有一个渐近线，且这两条渐近线互相垂直。
4. 反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有许多应用。
其中一些常见的应用包括：•速度与时间的关系：在匀速运动中，速度与时间的乘积是常数。
由此可得到速度与时间的反比例关系。
•光照强度与距离的关系：在光源照射下，光照强度与距离的平方成反比例关系。
•人口密度与土地面积的关系：在一定地区内，人口密度与土地面积的反比例关系，即人口密度随着土地面积的增加而减少。
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2013中考数学50个知识点专练13 反比例函数及其图象
一、选择题 1．(2011·扬州)某反比例函数图象经过点()－1，6，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( )
A.()－3，2
B.()3，2
C.()2，3
D.()6，1
2．(2011·铜仁)反比例函数y ＝k
x
(k <0)的大致图象是( )
3．(2010·兰州)已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)在反比例函数y ＝－k 2－1
x
的图象上. 下
列结论中正确的是( )
A ．y 1>y 2>y 3
B ．y 1>y 3>y 2
C ．y 3>y 1>y 2
D ．y 2>y 3>y 1
4．(2011·台州)如图，双曲线y ＝m
x
与直线y ＝kx ＋b 交于点M 、N ，并且点M 的坐标为
(1,3)，点N 的纵坐标为－1.根据图象信息可得关于x 的方程m
x
＝kx ＋b 的解为( )
A ．－3,1
B ．－3,3
C ．－1,1
D ．－1,3
5．(2011·陕西)如图，过y 轴上任意一点p ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2
x 的图象交于A 点和B 点．若C 为x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
6．(2011·济宁)反比例函数 y ＝m －1
x
的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是________．
7．(2011·南充)过反比例函数y ＝k
x
(k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足
分别为B 、C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为________．
8．(2011·福州)如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的解析式是____________．
9．(2011·广东)已知一次函数y ＝x －b 与反比例函数y ＝2
x
的图象，有一个交点的纵坐标
是2，则b 的值为________．
10．(2011·芜湖)如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k
x
经过正
方形AOBC 对角线的交点，半径为4－2 2的圆内切于△ABC ，则k 的值为________．
三、解答题
11．(2011·江西)如图，四边形ABCD 为菱形，已知A (0,4)，B (－3,0)．
(1)求点D 的坐标；
(2)求经过点C 的反比例函数解析式．
12．(2011·北京)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝k
x
的图象的一个交点为A (－1，n )．
(1)求反比例函数y ＝k
x
的解析式；
(2)若P 是坐标轴上一点，且满足PA ＝OA ，直接写出点P 的坐标．
13．(2011·安徽)如图，函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与函数y ＝k 2
x
(x ＞0)的图象交于A 、B 两点，
与y 轴交于C 点．已知A 点的坐标为(2,1)，C 点坐标为(0,3)．
(1)求函数y 1的表达式和B 点坐标；
(2)观察图象，比较当x ＞0时，y 1和y 2的大小．
14．(2011·潜江)如图，已知直线AB 与x 轴交于点C ，与双曲线y ＝k x 交于A (3，20
3
)、B (－
5，a )两点．AD ⊥x 轴于点D ，BE ∥x 轴且与y 轴交于点E .
(1)求点B 的坐标及直线AB 的解析式；
(2)判断四边形CBED 的形状，并说明理由．
15．(2011·义乌)如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y ＝k
x
(k >0)的图
象经过点A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为1
2
.
(1)求k 和m 的值；
(2)点C (x ，y )在反比例函数y ＝k
x
的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；
(3)过原点O 的直线l 与反比例函数y ＝k
x
的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出
线段PQ 长度的最小值.。