幂的乘法易错题
幂的运算中易出现的错误
幂的运算中易出现的错误山东于秀坤初学幂的运算，如果理解不好，则容易出现下列的运算错误．一、关于同底数幂的乘法a m·a n=a m+n（m，n为正整数）例1 计算a5·a3．错：a5·a3=a5×3=a15．析：错解在把法则中的“底数不变，指数相加”当成了“底数不变，指数相乘”．正：a5·a3=a5+3=a8．例2 计算（1）a5·a5；（2）a5+a5．错：（1）a5·a5=2a5；（2）a5+a5=a10．析：错解在混淆了同底数幂的乘法与合同同类项的运算法则．正：（1）a5·a5=a10；（2）a5+a5=2a5．例3 计算a·a3·a5．错：a·a3·a5=a3+5=a8．析：错解为把a的指数当作0．实际上a的指数为1．正：a·a3·a5=a1+3+5=a9．例4计算(-a)7·a3．错：(-a)7·a3=(-a)7+3=a10．析：错解在把(-a)与a当成了同底数．正：(-a)7·a3=-a7·a3=-a7+3=-a10．二、关于幂的乘方(a m)n=a mn(m,n为正整数)．例5 计算(1)(a2)5;(3)a2·a5．错：(1)(a2)5=a2+5=a7; (2)a2·a5=a2×5=a10．析：错解在混淆了幂的乘方与同底数幂的乘法的法则．正：(1)(a2)5=a2×5=a10;(2)a2·a5=a2+5=a7．三、关于积的乘方(ab)n=a n b n(n为正整数)例6 计算(5a2b)2．错：(5a2b)2=5a4b2．析：错解在只注意了字母的乘方,却忘记了系数的乘方．正：(5a2b)2=25a4b2．例7 计算(-2a3b2)2．错：(-2a 3b 2)2=-4a 6b 4．析：错解在(-2)2=-4,实际上(-2)2=(-2)(-2)=4．正：(-2a 3b 2)2=4a 6b 4．四、关于同底数幂的除法a m ÷a n =a m -n （a ≠0,m ,n 为正整数,且m >n ）例8计算10;(-1)-1．错：10=0,(-1)-1=1．析：错解在没能正确理解零指数和负整数指数,把指数0,-1误认为因式． 正：10=1,(-1)-1=111-=-． 例9计算(-3a 3)4÷(a 2)3÷a 6．错：(-3a 3)4÷(a 2)3÷a 6=(-3a 3)4÷a 6÷a 6=81a 12÷1=81a 12．析：错解在运算顺序不正确先算了a 6÷a 6=1．正：(-3a 3)4÷(a 2)3÷a 6=81a 12÷a 6÷a 6=81．例10计算8a 2b 5÷(-2ab )3．错：8a 2b 5÷(-2ab )3=8a 2b 5÷(-8a 3b 3)=-ab 2．析：错解在a 2÷a 3=a ．正：8a 2b 5÷(-2ab )3=8a 2b 5÷(-8a 3b 3)=-a -1b 2=-a b 2．。
中考数学 幂的运算易错压轴解答题(含答案)
中考数学幂的运算易错压轴解答题(含答案)一、幂的运算易错压轴解答题1．阅读材料，根据材料回答：例如1：（－2）3×33＝（－2）×（－2）×（－2）×3×3×3＝[（－2）×3]×[（－2）×3]×[（－2）×3]＝[（－2）×3]3＝（－6）3＝－216.例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）＝（8×0.125）6＝1.（1）仿照上面材料的计算方法计算：；（2）由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）a n·b n＝________；（3）用（2）的规律计算：－0.42018× × .2．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个的等式，这个等式可以为________；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝32，x2+4y2+9z2＝45，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．3．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550-1617年）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下：设log a M＝m,log a N＝n,则M＝a m,N＝a n,∴M•N＝a m•a n＝a m+n,由对数的定义得m+n＝log a（M•N）又∵m+n＝log a M+log a N∴log a（M•N）＝log a M+log a N根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式________；（2）求证：log a＝log a M－log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0),（3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________.4．解答题（1）若3a=5，3b=10，则3a+b的值．（2）已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．5．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2，）=________．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n， 4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n， 4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n， 4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）6．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？（1）若2×2x=8，求x的值；（2）若（9x）2=38，求x的值．7．我们知道,同底数幂的乘法法则为: (其中a≠0,m,n为正整数),类似地，我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)= 请根据这种新运算填空:（1）若h(1)= ，则h(2)=________.（2）若h(1)=k(k≠0),那么 ________(用含n和k的代数式表示,其中n为正整数)8．综合题（1）已知x = ，y = ，求（n为正整数）的值；（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.9．已知a m=2，a n=4，求下列各式的值（1）a m+n（2）a3m+2n．10．计算（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）（4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．11．我们规定：，例如，请解决以下问题：（1）试求的值；（2）想一想与相等吗？请说明理由.12．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=________，log216=________，log264=________．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=________；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）解：（2）(ab)n（3）解：－0.42018× × (32)2019=52【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：；故答案为：；【分析】（解析：（1）解：（2）（3）解：－0.42018× ×【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：；故答案为：；【分析】（1）根据积的乘方法则的逆用计算即可求解；（2）根据题意找到规律即可；（3）逆用积的乘方法则及同底数幂的乘法法则的逆用计算即可求解. 2．（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc（2）解：① ∵ a+b+c＝11，则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，a2+b2+c2 =121-2（a解析：（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc（2）解：①∵a+b+c＝11，则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45；②2x×4y÷8z＝32，2x+2y-3z=25,∴x+2y-3z=5，则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25,4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20,∴2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.【解析】【解答】解：（1）大正方体面积=（a+b+c）2,大正方体面积=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc,故这个等式为：（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；【分析】（1）正方体面积可以用整体法和分割法求得，得出等式（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；（2）①把a+b+c＝11两边同时平方，结合ab+bc+ac＝38，则可求出a2+b2+c2的值；②根据同底数幂相乘底数不变指数相加和同底数相除底数不变指数相除，再由已知的等式得到x+2y-3z=5，利用题（1）的等式，将两边同时平方，结合x2+4y2+9z2＝45，即可得到2xy﹣3xz﹣6yz的值．3．（1）4=log381（或log381=4）（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,∴ MN ＝ aman ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga MN解析：（1）4=log381（或log381=4）（2）证明：设log a M＝m,log a N＝n,则M＝a m,N＝a n,∴＝＝a m－n,由对数的定义得m－n＝log a又∵m－n＝log a M－log a N∴log a ＝log a M－log a N（3）2【解析】【解答】（1）由题意可得，指数式34=81写成对数式为：4=log381，故答案为：4=log381（或log381=4）。
七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题专题练习(及答案)
七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题专题练习(及答案)一、幂的运算易错压轴解答题1．若 (a > 0，且a≠1，m、n 是整数），则 m = n.你能利用上面的结论解决下面的问题吗？（1）如果2×8x ×16x =229 ，求x的值；（2）如果，求x的值.2．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可)（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值3．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果a c＝b，那么a※b＝c．例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※＝________．（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30．4．（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值.5．化简下列多项式：（1）（2）（3）若，求的值.（4）先化简，再求值：(2x﹣1)2﹣(3x+1)(3x﹣1)+5x(x﹣1)，其中x=﹣2．6．计算：（1） =________．（2） =________．7．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？（1）若2×2x=8，求x的值；（2）若（9x）2=38，求x的值．8．我们知道,同底数幂的乘法法则为: (其中a≠0,m,n为正整数),类似地，我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)= 请根据这种新运算填空:（1）若h(1)= ，则h(2)=________.（2）若h(1)=k(k≠0),那么 ________(用含n和k的代数式表示,其中n为正整数)9．算一算，填一填.（1）你发现了吗？（）2= × ，（）﹣2 = ，由上述计算，我们发现（）2________（）﹣2（2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系．（3）我们可以发现：（）﹣m________ （ab≠0）．（4）计算：（）﹣2．10．计算（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）（4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．11．我们规定：，例如，请解决以下问题：（1）试求的值；（2）想一想与相等吗？请说明理由.12．先阅读下列材料，再解答后面的问题．材料：一般地，n个相同因数相乘，记为a n，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log（即=3）一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．问题：（1）计算以下各对数的值：=________ ；=________ ；=________ ．（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？+=________ （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则a m•a n=a m+n以及对数的含义证明上述结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）解：∵2×8x×16x＝229 ，∴2×（23）x×（24）x＝229 ，∴21＋3x＋4x＝229 ，∴1＋3x＋4x＝29，7x=28解得x＝4.（2）解解析：（1）解：∵2×8x×16x＝229，∴2×（23）x×（24）x＝229，∴21＋3x＋4x＝229，∴1＋3x＋4x＝29，7x=28解得x＝4.（2）解：∵，∴（33x）−2×（32）2＝3−8，∴3−6x＋4＝3−8，∴−6x＋4＝−8，-6x=-12解得x＝2.【解析】【分析】（1）根据2×8x×16x＝229，可得21＋3x＋4x＝229，所以1＋3x＋4x＝29，据此求出x的值是多少即可.（2）根据，可得3−6x＋4＝3−8，所以−6x＋4＝−8，据此求出x的值是多少即可.2．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac且a+b+c=11， ab+bc+ac=38∴a解析：（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac且a+b+c=11， ab+bc+ac=38∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=112-2×38=45②∵2x×4y÷8z=2x×22y÷23z=2-2∴2x+2y-3z=2-2∴x+2y-3z=-2∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)∴2xy-3xz-6yz=-20【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。
中考数学 幂的运算易错压轴解答题(及答案)
中考数学幂的运算易错压轴解答题(及答案)一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）观察：，，我们发现________；（2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系；（3）我们可以发现： ________ （）m（ab≠0）；（4）计算： .2．若 (a > 0，且a≠1，m、n 是整数），则 m = n.你能利用上面的结论解决下面的问题吗？（1）如果2×8x ×16x =229 ，求x的值；（2）如果，求x的值.3．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个的等式，这个等式可以为________；（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝32，x2+4y2+9z2＝45，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．4．化简下列多项式：（1）（2）（3）若，求的值.（4）先化简，再求值：(2x﹣1)2﹣(3x+1)(3x﹣1)+5x(x﹣1)，其中x=﹣2．5．计算：（1） =________．（2） =________．6．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2，）=________．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n， 4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n， 4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n， 4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）7．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？（1）若2×2x=8，求x的值；（2）若（9x）2=38，求x的值．8．我们知道,同底数幂的乘法法则为: (其中a≠0,m,n为正整数),类似地，我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)= 请根据这种新运算填空:（1）若h(1)= ，则h(2)=________.（2）若h(1)=k(k≠0),那么 ________(用含n和k的代数式表示,其中n为正整数)9．阅读理解：乘方的定义可知：（个相乘）．观察下列算式回答问题：（7个3相乘）（7个4相乘）（7个5相乘）（1） ________；（2） ________；（3）计算：．10．已知n为正整数，且x2n=4（1）求x n﹣3•x3（n+1）的值；（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．11．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n 叫做以a为底b的对数，记为log n b（即log n b）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算下列各对数的值：log24=________；log216=________；log264=________．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义说明上述结论．12．先阅读下列材料，再解答后面的问题．材料：一般地，n个相同因数相乘，记为a n，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log（即=3）一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．问题：（1）计算以下各对数的值：=________ ；=________ ；=________ ．（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？+=________ （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则a m•a n=a m+n以及对数的含义证明上述结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）=（2）∵，，∴ 543= ；（3）=（4）解:【解析】【分析】（1）（2）根据有理数乘方运算的方法及负指数的意义计算出结果后，就会发现，它们的值相等；（解析：（1）=（2）∵，，∴=；（3）=（4）解:【解析】【分析】（1）（2）根据有理数乘方运算的方法及负指数的意义计算出结果后，就会发现，它们的值相等；（3）通过观察即可发现：若果底数互为倒数，指数互为相反数的两个式子计算的结果是相等的，从而即可得出答案；（4）首先根据（3）的结论将转化为，然后根据同底数幂的乘法法则的逆用将变形为，进而再利用积的乘方法则的逆用即可简化运算算出结果.2．（1）解：∵2×8x×16x＝229 ，∴2×（23）x×（24）x＝229 ，∴21＋3x＋4x＝229 ，∴1＋3x＋4x＝29，7x=28解得x＝4.（2）解解析：（1）解：∵2×8x×16x＝229，∴2×（23）x×（24）x＝229，∴21＋3x＋4x＝229，∴1＋3x＋4x＝29，7x=28解得x＝4.（2）解：∵，∴（33x）−2×（32）2＝3−8，∴3−6x＋4＝3−8，∴−6x＋4＝−8，-6x=-12解得x＝2.【解析】【分析】（1）根据2×8x×16x＝229，可得21＋3x＋4x＝229，所以1＋3x＋4x＝29，据此求出x的值是多少即可.（2）根据，可得3−6x＋4＝3−8，所以−6x＋4＝−8，据此求出x的值是多少即可.3．（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc（2）解：① ∵ a+b+c＝11，则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，a2+b2+c2 =121-2（a解析：（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc（2）解：①∵a+b+c＝11，则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45；②2x×4y÷8z＝32，2x+2y-3z=25,∴x+2y-3z=5，则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25,4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20,∴2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.【解析】【解答】解：（1）大正方体面积=（a+b+c）2,大正方体面积=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc,故这个等式为：（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；【分析】（1）正方体面积可以用整体法和分割法求得，得出等式（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；（2）①把a+b+c＝11两边同时平方，结合ab+bc+ac＝38，则可求出a2+b2+c2的值；②根据同底数幂相乘底数不变指数相加和同底数相除底数不变指数相除，再由已知的等式得到x+2y-3z=5，利用题（1）的等式，将两边同时平方，结合x2+4y2+9z2＝45，即可得到2xy﹣3xz﹣6yz的值．4．（1）解： =（2）解：原式=（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣解析：（1）解： =（2）解：原式=（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣9x+2，当x=﹣2时，原式=﹣9×（﹣2）+2=20．【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式，完全平方公式将多项式展开、然后去括号、合并即可.（2）利用平方差公式，完全平方公式去括号，然后合并即可.（3）根据幂的乘方的性质，将原式变形，然后整体代入计算即可.（4）利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开并去括号，合并即化为最简，然后将x值代入计算即可.5．（1）(x-y)5（2）【解析】【解答】（1）原式= = ；（2）原式= = ．故答案为：．【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；（2）将多解析：（1）（2）【解析】【解答】（1）原式= = ；（2）原式= = ．故答案为：．【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；（2）将多项式的每一项分别除以2x2即可.6．（1）3；0；﹣2（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则3x=4，3y=5，∴3x+y=3x•3y=20，∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．【解析：（1）3；0；﹣2（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则3x=4，3y=5，∴3x+y=3x•3y=20，∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．【解析】【解答】解：（1）∵33=27，∴（3，27）=3；∵50=1，∴（5，1）=0；∵2﹣2= ，∴（2，）=﹣2；故答案为：3，0，﹣2．【分析】（1）根据定义的新运算，可得出对应的c的值。
幂的运算易错、常考题型
七年级下册幂的运算常考题型一．填空题（共27小题）1．（2014•汉沽区一模）计算(2ab2）3的结果等于_________．2．（2006•杭州)计算：（a3）2+a5的结果是_________．3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________．4．若a m=2，a n=3,则a2m+n=_________．5．若3m•32n=81，则m+2n=_________．6．已知3m=a，81n=b，那么3m﹣4n=_________．7．已知：(x+2）x+5=1，则x=_________．8．若（x﹣1）x+1=1，则x=_________．9．多项式﹣5(ab）2+ab+1是_________次_________项式．10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷(﹣x)÷x=_________．11．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=_________．12．a m•a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m•a n（m、n是正整数），请你思考:已知a m=8，a n=32，则a m+n=_________．13．已知a3n=4，则a6n=_________．14．若x2=24，则x=_________．15．（2008•清远）计算:（π﹣3）0+2﹣1=_________．16．如果2x=5，2y=10，则2x+y﹣1=_________．17．=_________；4101×0。
2599=_________．18．(2014•鄞州区模拟）计算2x2•（﹣3x3）的结果是_________．19．如果x n﹣2•x n=x2，则n=_________．20．若2×8n×16n=222，则n=_________．21．若x m=5，x n=7，则x2m+n=_________．22．计算（﹣x)2•（﹣x）3•(﹣x）4=_________．23．化简:y3•（y3）2﹣2•（y3）3=_________．24．若102•10n=102006，则n=_________．25．（2013•资阳)（﹣a2b）2•a=_________．26．（2013•福州)已知实数a，b满足a+b=2,a﹣b=5,则（a+b）3•（a﹣b）3的值是_________．27．（2012•奉贤区三模）计算:(a2）3÷a2=__________．二．解答题(共3小题）28．(2010•漳州）计算:（﹣2）0+（﹣1）2010﹣29．（2010•泰兴市模拟）（1）计算：23+﹣﹣；(2）解方程组：．30．（2009•长沙)计算:（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣12015年01月28日宋仁帅的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题(共27小题)1．（2014•汉沽区一模）计算(2ab2）3的结果等于8a3b6．考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘,可得答案．解答：解：原式=23a3b2×3=8a3b6，故答案为：8a3b6．点评：本题考查了积的乘方，积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．(2006•杭州）计算：（a3）2+a5的结果是a6+a5．考点: 幂的乘方与积的乘方．分析:根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．解答:解：(a3）2+a5=a3×2+a5=a6+a5．点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意不是同类项的不能合并．3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=﹣2、2、4．考点：零指数幂．分析：由于（a﹣3）a+2=1，底数和指数都不确定,所以本题应分三种情况进行讨论．①若a﹣3≠±1时，根据零指数幂的定义，a+2=0，进而可以求出a的值；②若a﹣3=1时,1的任何次幂都等于1；③若a﹣3=﹣1时,﹣1的偶次幂等于1．解答：解：①∵若a﹣3≠±1时，(a﹣3)a+2=1,∴a+2=0，∴a=﹣2．②若a﹣3=1时,1的任何次幂都等于1，∴a=4；③若a﹣3=﹣1时,﹣1的偶次幂等于1，∴a=2；故应填﹣2、2、4．点评：本题主要考查了一些特殊数据的幂的性质,解题的关键是根据所给代数式的特点，分析a的值．4．若a m=2，a n=3，则a2m+n=12．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．分析:根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得a2m+n=a2m•a n=(a m）2•a n，又由a m=2，a n=3,即可求得答案．解答：解：∵a m=2，a n=3，∴a2m+n=a2m•a n=（a m）2•a n=22×3=12．故答案为：12．点评：此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则:（ab）n=a n b n（n是正整数）与同底数幂的乘法法则：a m•a n=a m+n（m，n是正整数），注意公式的逆用．5．若3m•32n=81,则m+2n=4．考点: 同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得m、n的值，再根据有理数的加法运算,可得答案．解答：解：3m+2n=34，m+2n=4，故答案为：4．点评:本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键．6．已知3m=a,81n=b,那么3m﹣4n=．考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的除法,底数不变指数相减,可得答案．解答：解：81n=[（3）4］n=34n,3，故答案为：．点评：本题考查了同底数幂的除法，先算幂的乘方,再算同底数幂的除法．7．已知：（x+2）x+5=1，则x=﹣5或﹣1或﹣3．考点：零指数幂．专题：计算题；分类讨论．分析：根据：a0=1(a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题．解答：解：根据0指数的意义，得当x+2≠0时，x+5=0，解得x=﹣5．当x+2=1时,x=﹣1,当x+2=﹣1时，x=﹣3，x+5=2,指数为偶数，符合题意．故填：﹣5或﹣1或﹣3．点评:本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到．8．若(x﹣1)x+1=1,则x=﹣1或2．考点：零指数幂．专题：计算题；分类讨论．分析:由于任何非0数的0次幂等于1，1的任何次幂都等于1，故应分两种情况讨论．解答:解：当x+1=0，即x=﹣1时，原式=（﹣2）0=1；当x﹣1=1，x=2时，原式=13=1；当x﹣1=﹣1时，x=0,（﹣1）1=﹣1,舍去．故x=﹣1或2．点评：主要考查了零指数幂的意义,既任何非0数的0次幂等于1．注意此题有两种情况．9．多项式﹣5（ab)2+ab+1是四次三项式．考点：幂的乘方与积的乘方;多项式．分析：根据多项式的次数与项数的定义作答．解答:解:∵（ab）2=a2b2，∴多项式﹣5(ab）2+ab+1是四次三项式．点评：本题主要考查了多项式的次数与项数的定义．几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，一个多项式含有几项就叫几项式;多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．本题运用积的乘方的运算性质将（ab）2写成a2b2,是解题的关键．10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷（﹣x）÷x=x3．考点：同底数幂的除法;幂的乘方与积的乘方．分析：先根据有理数乘方的意义计算符号，再利用同底数幂相除,底数不变指数相减进行计算即可得解．解答:解：（﹣x)10÷(﹣x）5÷（﹣x）÷x,=x10÷x5÷x÷x，=x10﹣5﹣1﹣1，=x3．故答案为：x3．点评:本题主要考查了同底数幂相除,底数不变指数相减的性质，计算时要注意符号的处理,这也是本题最容易出错的地方．11．若52x+1=125,则（x﹣2）2012+x=﹣1．考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方底数不变指数相乘,可得x的值，再根据同底数幂的乘法，可得答案．解答：解:52x+1=5×（5x）2=125,（5x）2=25，5x=5．x=1，（x﹣2)2012+x=（﹣1)2012﹣1=﹣1，故答案为:﹣1．点评：本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，注意负数的奇次幂是负数．12．a m•a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m•a n（m、n是正整数)，请你思考：已知a m=8，a n=32，则a m+n=256．考点：同底数幂的乘法．分析:根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．解答：解：已知a m=8,a n=32，a m+n=a m•a n=8×32=256，故答案为:256．点评:本题考查了同底数幂的乘法，指数相加等于同底数幂的乘法是解题关键．13．已知a3n=4，则a6n=16．考点：幂的乘方与积的乘方．分析:运用幂的乘方的逆运算，把a6n转化为（a3n）2，再把a3n=4，整体代入求值．解答：解：∵a3n=4，∴a6n=（a3n）2=42=16．点评:本题考查幂的乘方的性质，灵活运用幂的乘方（a n）m=a mn进行计算．14．若x2=24，则x=±4．考点：幂的乘方与积的乘方;平方根．专题: 计算题．分析：根据已知得出x=±22,求出即可．解答：解:∵x2=24=（22）2，∴x=±22=±4，故答案为：±4．点评:本题考查了平方根和积的乘方、幂的乘方的应用，注意：得出x=±22，而不是22,题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．15．（2008•清远)计算：(π﹣3）0+2﹣1=．考点：负整数指数幂；零指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂两个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解:原式=（π﹣3)0+2﹣1=1+=．故答案为1.5．点评:本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．16．如果2x=5,2y=10，则2x+y﹣1=25．考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的除法底数不变指数相减,可得计算结果．解答：解：2x+y﹣1=2x×2y÷2=5×10÷2=25．故答案为：25．点评：本题考查了同底数幂的除法，底数不变指数相减．17．=；4101×0.2599=16．考点：零指数幂；有理数的乘方．专题：计算题．分析：根据数的乘方，零指数幂、积的乘方运算法则计算．解答:解：=+1=；4101×0。
七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题复习题(含答案)
七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题复习题(含答案)一、幂的运算易错压轴解答题1．阅读材料，根据材料回答：例如1：（－2）3×33＝（－2）×（－2）×（－2）×3×3×3＝[（－2）×3]×[（－2）×3]×[（－2）×3]＝[（－2）×3]3＝（－6）3＝－216.例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）＝（8×0.125）6＝1.（1）仿照上面材料的计算方法计算：；（2）由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）a n·b n＝________；（3）用（2）的规律计算：－0.42018× × .2．我们约定，如: .（1）试求和的值;（2）想一想，是否与相等，并说明理由.3．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3，log525＝2也可以变形为52＝25.在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28.一般地，若a n＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则叫做以a为底b的对数，记为log a b ，即log a b＝n.根据上面的规定，请解决下列问题：（1）计算：log3 1＝________， log2 32=________， log216+ log24 ＝ ________，（2）小明在计算log1025+log104 的时候，采用了以下方法：设log1025=x， log104=y∴ 10x=25 10y=4∴ 10x+y=10x×10y=25×4=100=102∴ x+y=2∴ log1025+log104=2通过以上计算，我们猜想log a M+ log a N等于多少，请证明你的猜想. 4．若 (a > 0，且a≠1，m、n 是整数），则 m = n.你能利用上面的结论解决下面的问题吗？（1）如果2×8x ×16x =229 ，求x的值；（2）如果，求x的值.5．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果a c＝b，那么a※b＝c．例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※＝________．（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30．6．化简下列多项式：（1）（2）（3）若，求的值.（4）先化简，再求值：(2x﹣1)2﹣(3x+1)(3x﹣1)+5x(x﹣1)，其中x=﹣2．7．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2，）=________．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n， 4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n， 4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n， 4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）8．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．（1）试求12*3和2*5的值；（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．9．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果，那么(a，b)=c．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2，）=________．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：设（3n， 4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n，所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n， 4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，4)+(3，5)=(3，20)10．综合题（1）已知x = ，y = ，求（n为正整数）的值；（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.11．我们规定：，例如，请解决以下问题：（1）试求的值；（2）想一想与相等吗？请说明理由.12．请阅读材料：①一般地，n个相同的因数a相乘：记为a n，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．②一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．（1）计算下列各对数的值：log24________ ； log216=________ ； log264=________ ．（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是________ ，那么log24、log216、log264存在的关系式是________（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=________ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）请你运用幂的运算法则a m•a n=a m+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）解：（2）(ab)n（3）解：－0.42018× × (32)2019=52【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：；故答案为：；【分析】（解析：（1）解：（2）（3）解：－0.42018× ×【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：；故答案为：；【分析】（1）根据积的乘方法则的逆用计算即可求解；（2）根据题意找到规律即可；（3）逆用积的乘方法则及同底数幂的乘法法则的逆用计算即可求解.2．（1）解：根据题中的新定义得： 1012 脳 103=1015；（2）解：相等，理由如下：∵∵∴ =【解析】【分析】（1）根据题干提供的新定义运算法则，直接计算解析：（1）解：根据题中的新定义得： 1012 103=1015；（2）解：相等，理由如下：∵∵∴ =【解析】【分析】（1）根据题干提供的新定义运算法则，直接计算可得答案；（2）根据，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案. 3．（1）0；5；6（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N），证明：设logaM=x， logaN=y∴ ax=M， ay=N∴ ax+y=ax×a解析：（1）0；5；6（2）解：log a（M·N）| log a M+ log a N= log a（M·N），证明：设log a M=x， log a N=y∴ a x=M， a y=N∴ a x+y=a x×a y=M·N∴log a（M·N）= x+y∴log a M+ log a N =x+y= log a（M·N）【解析】【解答】解：（1）∵，，，∴log3 1＝0，log2 32=5，log216+ log24 ＝4＋2=6故答案为：0；5；6.【分析】（1）根据题意，利用对数的逆运算计算即可；（2）设log a M=x，log a N=y，根据对数的定义可得a x=M， a y=N，然后根据同底数幂乘法的逆用可得a x+y=M·N，再将其写成对数的形式即可证出结论.4．（1）解：∵2×8x×16x＝229 ，∴2×（23）x×（24）x＝229 ，∴21＋3x＋4x＝229 ，∴1＋3x＋4x＝29，7x=28解得x＝4.（2）解解析：（1）解：∵2×8x×16x＝229，∴2×（23）x×（24）x＝229，∴21＋3x＋4x＝229，∴1＋3x＋4x＝29，7x=28解得x＝4.（2）解：∵，∴（33x）−2×（32）2＝3−8，∴3−6x＋4＝3−8，∴−6x＋4＝−8，-6x=-12解得x＝2.【解析】【分析】（1）根据2×8x×16x＝229，可得21＋3x＋4x＝229，所以1＋3x＋4x＝29，据此求出x的值是多少即可.（2）根据，可得3−6x＋4＝3−8，所以−6x＋4＝−8，据此求出x的值是多少即可.5．（1）3；-4（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，4x×4y＝4x+y＝30，∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30．【解析：（1）3；-4（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，4x×4y＝4x+y＝30，∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30．【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3，2﹣4＝，2※＝﹣4，故答案为：3；﹣4【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．6．（1）解： =（2）解：原式=（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣解析：（1）解： =（2）解：原式=（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣9x+2，当x=﹣2时，原式=﹣9×（﹣2）+2=20．【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式，完全平方公式将多项式展开、然后去括号、合并即可.（2）利用平方差公式，完全平方公式去括号，然后合并即可.（3）根据幂的乘方的性质，将原式变形，然后整体代入计算即可.（4）利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开并去括号，合并即化为最简，然后将x值代入计算即可.7．（1）3；0；﹣2（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则3x=4，3y=5，∴3x+y=3x•3y=20，∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．【解析：（1）3；0；﹣2（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则3x=4，3y=5，∴3x+y=3x•3y=20，∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．【解析】【解答】解：（1）∵33=27，∴（3，27）=3；∵50=1，∴（5，1）=0；∵2﹣2= ，∴（2，）=﹣2；故答案为：3，0，﹣2．【分析】（1）根据定义的新运算，可得出对应的c的值。
七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题训练经典题目(及答案)100
七年级数学试卷幂的运算易错压轴解答题训练经典题目(及答案)100一、幂的运算易错压轴解答题1．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．（1）填空：32a＝________；3b+c的值为________；（2）求32a﹣3b的值．2．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果a c＝b，那么a※b＝c．例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※＝________．（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30．3．化简下列多项式：（1）（2）（3）若，求的值.（4）先化简，再求值：(2x﹣1)2﹣(3x+1)(3x﹣1)+5x(x﹣1)，其中x=﹣2．4．综合题（1）已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值；（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．5．算一算，填一填.（1）你发现了吗？（）2= × ，（）﹣2 = ，由上述计算，我们发现（）2________（）﹣2（2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系．（3）我们可以发现：（）﹣m________ （ab≠0）．（4）计算：（）﹣2．6．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．（1）试求12*3和2*5的值；（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．7．综合题（1）已知4m=a，8n=b，用含a，b的式子表示下列代数式：①求：22m+3n的值②求：24m﹣6n的值（2）已知2×8x×16=223，求x的值．8．综合题。
（1）已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值；（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．9．计算（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）（4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．10．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=________，log216=________，log264=________．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=________；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．11．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：22×23=25， 23×24=27， 22×26=28…⇒2m×2n=2m+n…⇒a m×a n=a m+n（m、n都是正整数）．我们亦知：，，，…（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．12．先阅读下列材料，再解答后面的问题．材料：一般地，n个相同因数相乘，记为a n，如23=8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log（即=3）一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为．问题：（1）计算以下各对数的值：=________ ；=________ ；=________ ．（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？+=________ （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则a m•a n=a m+n以及对数的含义证明上述结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）16；40（2）解：32a−3b＝32a÷33b＝（3a）2÷（3b）3＝42÷53＝ 16125 ．【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•解析：（1）16；40（2）解：32a−3b＝32a÷33b＝（3a）2÷（3b）3＝42÷53＝．【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•3c＝5×8＝40；【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则进而计算得出答案．2．（1）3；-4（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，4x×4y＝4x+y＝30，∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30．【解析：（1）3；-4（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z，则4x＝5，4y＝6，4z＝30，4x×4y＝4x+y＝30，∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30．【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3，2﹣4＝，2※＝﹣4，故答案为：3；﹣4【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．3．（1）解： =（2）解：原式=（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣解析：（1）解： =（2）解：原式=（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣9x+2，当x=﹣2时，原式=﹣9×（﹣2）+2=20．【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式，完全平方公式将多项式展开、然后去括号、合并即可.（2）利用平方差公式，完全平方公式去括号，然后合并即可.（3）根据幂的乘方的性质，将原式变形，然后整体代入计算即可.（4）利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开并去括号，合并即化为最简，然后将x值代入计算即可.4．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，∴ay=5，∴ax+ay=5+5=10（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．【解析】【分析解析：（1）解：∵a x+y=a x•a y=25，a x=5，∴a y=5，∴a x+a y=5+5=10（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则得到a x+y=a x•a y，从而可求得a x的值，然后代入求解即可；（2）先求得102α和102β的值，然后依据同底数幂的乘法法则得到102α+2β=（10α）2•（10β）2，最后，将102α和102β的值代入求解即可.5．（1）=（2）解：（3）=（4）解：（ 715 ）﹣2=（ 157 ）2= 22549【解析】【解答】解：（1）我们发现（23 ）2=（32 ）﹣2；故答案为：=；（3解析：（1）=（2）解：（3）=（4）解：（）﹣2=（）2=【解析】【解答】解：（1）我们发现（）2=（）﹣2；故答案为：=；（3）我们可以发现：（）﹣m= （ab≠0）．故答案为：=；【分析】本题为观察总结规律题型，细心运算即可.6．（1）解：12*3=1012×103=1015 ， 2*5=102×105=107（2）解：不相等．∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= 1010a+b ×10c= 1解析：（1）解：12*3=1012×103=1015， 2*5=102×105=107（2）解：不相等．∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= ×10c= ，a*（b*c）=a*（10b×10c）=a*10b+c=10a× = ，∴（a*b）*c≠a*（b*c）【解析】【分析】（1）依据定义列出算式，然后再依据同底数幂的乘法法则进行计算即可，最后，再进行比较即可；（2）首先依据定义进行进行计算，然后，依据计算结果进行判断即可.7．（1）解：∵4m=a，8n=b，∴22m=a，23n=b，22m+3n=22m•23n=ab；②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2= a2b2（2）解∵2×8解析：（1）解：∵4m=a，8n=b，∴22m=a，23n=b，22m+3n=22m•23n=ab；②24m﹣6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=（2）解∵2×8x×16=223，∴2×（23）x×24=223，∴2×23x×24=223，∴1+3x+4=23，解得：x=6：【解析】【分析】（1）分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入①②求解；（2）将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．8．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，∴ay=5，∴ax+ay=5+5=10（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900【解析】【分析】解析：（1）解：∵a x+y=a x•a y=25，a x=5，∴a y=5，∴a x+a y=5+5=10（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900【解析】【分析】（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出a x+y=a x•a y=25，根据a x=5可得a y=5，代入即可求解；（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）2•（10β）2，即可求解．9．（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ 13 ）﹣1=1﹣8+1﹣3=﹣9（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4=﹣a6﹣6a6=﹣7a6（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（解析：（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（）﹣1=1﹣8+1﹣3=﹣9（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4=﹣a6﹣6a6=﹣7a6（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）=3x﹣2x+2﹣3x﹣3=﹣2x﹣1（4）解：（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4=m8+m8+m8=3m8【解析】【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及结合零指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简求出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案；（3）直接利用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案；（4）直接利用幂的乘方运算法则化简求出答案．10．（1）2；4；6（2）解：4×16=64，log24+log216=log264（3）loga（MN）（4）证明：设logaM=b1 ， logaN=b2 ，则 ab1 =M，解析：（1）2；4；6（2）解：4×16=64，log24+log216=log264（3）log a（MN）（4）证明：设log a M=b1， log a N=b2，则 =M， =N，∴MN= ，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）【解析】【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（3）log a M+log a N=log a （MN）；【分析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．11．（1）解：根据上面的材料可得：ba<b+ca+c ．说明：∵ba﹣b+ca+c=b(a+c)a(a+c)﹣a(b+c)a(a+c)=== ，又∵a＞b＞0，c＞0，∴a+c＞0，b﹣解析：（1）解：根据上面的材料可得：．说明：∵﹣=﹣===，又∵a＞b＞0，c＞0，∴a+c＞0，b﹣a＜0，∴＜0，∴﹣＜0，即：＜成立；（2）解：∵原来糖水中糖的质量分数=，加入k克糖后糖水中糖的质量分数+，由（1）＜可得＜，所以糖水更甜了．【解析】【解答】（1）你根据上面的材料可得：．说明：∵﹣= ﹣= = = ，又∵a＞b＞0，c＞0，∴a+c＞0，b﹣a＜0，∴＜0，∴﹣＜0，即：＜成立；（2）∵原来糖水中糖的质量分数= ，加入k克糖后糖水中糖的质量分数+ ，由（1）＜可得＜，所以糖水更甜了．【分析】（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，，，，…故a＞b＞0，c＞0，则；（2）因为，说明原来糖水中糖的质量分数小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数，所以糖水更甜了．12．（1）2；4；6（2）解：4×16=64，log24+log216=log264；（3）logaMN（4）证明：设logaM=m，logaN=n，则M=am ， N=an ，解析：（1）2；4；6（2）解：4×16=64，+=；（3）log a MN（4）证明：设log a M=m，log a N=n，则M=a m， N=a n，∴MN=a m•a n=a m+n，∴log a MN=log a a m+n=m+n，故log a N+log a M=log a MN．【解析】解：（1）∵4=22， 16=24， 64=26，∴=2；=4；=6．（2）4×16=64，+ = ；（3）log a N+log a M=log a MN．(4)证明：log a M=m，log a N=n，则M=a m， N=a n，∴MN=a m•a n=a m+n，∴log a MN=log a a m+n=m+n，故log a N+log a M=log a MN．【分析】（1）根据对数的定义，把求对数写成底数的幂即可求解；（2）根据（1）的计算结果即可写出结论；（3）利用对数的定义以及幂的运算法则a m•a n=a m+n即可证明．。
幂的运算 常见易错知识点总结
幂的运算 常见易错知识点总结幂的运算是整式乘除的基础，由于对幂的运算法则理解不够深刻，概念模糊，互相混淆，常会导致各种错误，现就幂的运算中经常出现的失误，分类剖析如下，希望同学们能引以为鉴：一、同底数幂相乘例1、计算：（1）；（2）；（3）；3x x ⋅42)()(x x -⋅-34x x ⋅错解：（1）； （2）=；3303x xx x ==⋅+42)()(x x -⋅-=-6)(x 6x -（3）=；34x x ⋅1234x x =⨯分析：（1）是由于把的指数误以为是0导致错误；x （2）偶数次幂应为正，混淆了与的区别导致错误；6)(x -6x -（3）同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错正解：（1）=； （2）=；3x x ⋅431x x=+42)()(x x -⋅-66)(x x =- （3）=34x x ⋅734x x =+二、同底数幂相除例2、计算：（1）；（2）；（3）；（4）a a ÷535)()(x x -÷-n n a a 48÷22++÷n n x x 错解：（1）=； （2）=；a a ÷5505a a=-35)()(x x -÷-2)(x -=2x - （3）=； （4）=n n a a 48÷2a 22++÷n n x x 00=x 分析：（1）由于把的指数误以为是0导致错误；a （2）偶数次幂应为正，混淆了与的区别导致错误；2)(x -2x - （3）同底数幂相除，应底数不变，指数相减，而不是指数相除；（4）（≠0）而不是为010=x x 正解：（1）=； （2）=；a a ÷5415a a=-35)()(x x -÷-22)(x x =- （3）=； （4）=n n a a 48÷n n n x x 448=-22++÷n n x x 10=x三、幂的乘方例3、计算：（1）；（2）；（3）；32)(x 25)(a 23)(b -错解：（1）=； （2）=32)(x 532x x=+25)(a 2552a a = （3）；623)(b b -=-分析：（1）幂的乘方，应是底数不变，指数相乘，而不是指数相加；（2）幂的乘方，应是底数不变，指数相乘，而不是指数乘方；（3）偶数次幂应为正，根据乘方的意义 23)(b -)()(33b b -⋅-=正解：（1）=； （2）=32)(x 632x x=⨯25)(a 1025a a =⨯ （3）=；23)(b -)()(33b b -⋅-=6b 四、积的乘方例4、计算：（1）；（2）；（3）；32)4(xy -43)(ab -23)3(ab -错解：（1）=； （2）=；32)4(xy -6312y x -43)(ab -12ab - （3）=；23)3(ab -923229)3(2b a b a =-分析：（1）系数也应乘方为，而不是3)4(-3)4(⨯- （2）积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此也应4次方；a - （3）积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，的23b 次方应为，而不是；23)(b 23b 正解：（1）=；（2）=32)4(xy -63323364)()4(y x y x -=-43)(ab -；124434)()(b a b a =- （3）=；23)3(ab -6223229)()3(b a b a =-五、与幂有关的问题例5、（1） ；（2）如果，则的值为=-0)2(a 1)12(2=-+a a a错解：（1）1； （2）如果，则的值为；=-0)2(a 1)12(2=-+a a a 2- 分析：（1）题设中没有指明底数是否为0；)2(-a （2）考虑问题欠周全，只考虑到指数，而没有考虑到底数，应分情况讨论正解：（1）当≠0时，1；当=0时，无意义；2-a =-0)2(a 2-a 0)2(-a （2）分情况讨论：①指数+2=0，即时，底数≠0，这时值为1；a 2-=a 12-a ②底数=1，即=1时，指数+2=3，这时值也为1；12-a a a ③底数，即=0时，指数+2=2，这时值同样也为1；112-=-a a a 所以的取值应为、0、1a 2- “幂的混合运算”思路点拨一、基本混合运算的思路例1 计算：3（x ）－2（x · x ）＋x ·x ＋x· x · x .465331113203解：原式＝3x －2（x ）＋x ＋x ＝3x .2483242424评注：对混合运算题目进行运算时，要严格按运算顺序和运算法则进行，计算过程中有同类项时，一定要合并同类项 .二、去括号的思路例2 计算：［－（－xy ）］.234解法一：［ －（－xy ）］＝（－1）4（－xy ）＝（－xy ）234212212 ＝（－x ）（y ）＝x y.122121224解法二：［－（－xy ）］＝［－（－x ）y ］234364 ＝（x y ）＝x y .3641224评注： 去多重括号有两种方法，一是由外向里一层一层去括号 . 如上面的第一种解法；二是由里向外一层一层去括号，如上面的第二种解法 .但不管运用哪一种方法，都必须特别注意根据括号前面的符号和乘方的次数确定每一步运算结果的符号 .三、条件求值问题的思路例3 已知2x ＋5y －3＝0，求4·32.x y 解：因为4·32 ＝（2） ·（2 5）＝2·2＝2，x y 2x y x 2y 5y x 52+又因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，所以，原式＝2＝8 .3评注：对于条件求值问题，要注意当给出的代数式中的幂不是同底数幂时，如4·32x ，要先化成同底数幂，再逆用运算法则代入计算 .y 四、多项式底数运算的思路例4 （x ＋y ）÷（x ＋y ）.3+m 2解：原式＝（x ＋y ）＝（x ＋y ）.23-+m 1+m 评注： 底数是多项式时，要把它看作一个不可分割的整体来对待，在整个运算过程和运算结果中这个整体都不分开 .。