北京市通州区2016—2017学年度高三数学理科期末试题含答案
2017年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)
M
∴ PD 平面 BAH ，∴ PD BH ，∴ AEB 即为二面角 B PD A 的平面角，H
N B
A
G
AD PO AE PD ,可求得 AE 4 3 ， tan AEB 4 3 ，∴ AEB 60 ．
F
3
43
D
（3）解法一:
C
点
M
1，2
，
2 2
，
C
2
，4
，0
,∴
MC
以 OD 为 x 轴， OE 为 y 轴， OP 为 z 轴建立空间直角坐标，可知 D 2 ，0 ，0 , A2，0，0 ，
B 2 ，4 ，0 ，
P 0 ，0 ， 2 ， 易 知 面 PD 的 法 向 量 为 m 0 ，1，0 ， 且
PD 2 ，0 ， 2 ,
PB
2 ，4 ，
2
，设面 PBD 的法向量为 n x ，y ，z ，
N
1080
1080
，即 M 最接近1093 ,故选 D．
N
第二部分(非选择题 共 110 分）
二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分,共 30 分。
（9）【2017 年北京,理 9，5 分】若双曲线 x2 y2 1 的离心率为 3 ，则实数 m
．
m
【答案】2
【解析】 1 m 3 m 2 ．
FN 中
点，∴ MG∥ PO ，∵平面 PAD 平面 ABCD ， PO AD ，∴ PO 平面 ABCD ,∴ MG 平面
ABCD ．
连结 GC ， GC 13 ， MG 1 PO 2 ,∴ MC 3 6 ．∵ PD 6 ， BD 4 2 ， PB 22 ，
2
2
2
2017年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学(理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2017年北京，理1，5分】若集合–21{|}A x x =<<,–1{|}3B x x x =<>或,则A B =（ )(A ）1|}–2{x x <<- （B ）3|}–2{x x << （C ）1|}–1{x x << (D)3|}1{x x << 【答案】A【解析】{}21A B x x =-<<-，故选A ．（2）【2017年北京，理2，5分】若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(),1-∞ （B ）(),1-∞- （C ）()1,+∞ （D ）()1,-+∞ 【答案】B【解析】()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限,所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B ．（3)【2017年北京，理3,5分】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ) (A ）2（B ）32 (C ）53 (D ）85【答案】C【解析】0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环,2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ．(4）【2017年北京,理4，5分】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则2x y +的最大值为（ ） （A ）1 （B)3 （C)5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域,2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．(5）【2017年北京，理5，5分】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （ ）(A ）是奇函数,且在R 上是增函数 （B)是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 (D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333xx xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数故选A ．(6）【2017年北京，理6，5分】设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件(C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180,那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<,反过来，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，KS5U 并不一定反向,即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A ．（7）【2017年北京,理7，5分】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）(A ）32 （B ）23 （C ）22 （D)2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体,最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=,故选B ．（8）【2017年北京，理8,5分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（ )（参考数据：30.48lg ≈)（A ）3310（B ）5310 (C ）7310 （D ）9310 【答案】D【解析】设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310,故选D ．第二部分(非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分,共30分。
北京市通州区2017届高三上学期期末考试数学文试题含答案
通州区2016—2017学年度高三摸底考试数学（文）试卷2017年1月本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}12M x x x =<->或，{}13N x x =<<，则M N 等于A ．{}11x x x <->或B ．{}23x x <<C ．{}13x x -<<D ．{}13x x x <->或2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．0B ．1C ．3D ．43．若变量x ，y 满足条件30,350,0,x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则y x z +=的最大值为A ．0B ．53C ．2D ．524．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是 A ．2y x =B ．2x y =C ．cos y x =D ．ln y x= 5．如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角 三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积是A ．43B ．83C ．4D ．1636．“数列{}n a 为等比数列”是“212n n n a a a ++=?”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．过点()2,2的直线l 与圆022222=--++y x y x 相交于A ，B 两点，且AB =，则直线l 的方程为A ．0243=+-y xB ．0243=+-y x ，或2=xC ．0243=+-y x ，或2=yD ．2=y ，或2=x8．已知函数()())20,0,x x f x x ⎧≤⎪=>若函数()()()1g x f x k x =--有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是A ．(1)-∞，－B ．(0)∞，＋C ．(10)－，D ．(1)0-∞∞ ，－（，＋）第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．复数21z i=-，则复数z 的模等于________. 10．在△ABC 中，已知b =3，A = 45°，B = 60°，则a =________.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()2,2，则双曲线的离心率等于______. 12．已知()111y x x x =+>-，那么y 的最小值是________. 13．将函数()π2sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象， 则()0g =______.14．如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC DB AP λμ=+，则λμ+的取值范围是_______.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题满分13分）已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-． （Ⅰ）求)(x f 最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间π02[，]上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的通项公式为65()n a n n N *=+∈，数列{}n b 是等差数列， 且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.17．（本小题满分13分）2016年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20家商业连锁店进行了年度考核评估，并依据考核评估得分(最低分60分，最高分100分)将这些连锁店分别评定为A ，B ，C ，D 四个类型，其考核评估标准如下表：考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下： （Ⅰ）评分类型为A 的商业连锁店有多少家； （Ⅱ）现从评分类型为A ，D 的所有商业连锁 店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一 评分类型的概率.18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PC ，PB 中点，∠ACB = 90°.（Ⅰ）求证：EF //平面ABC ； （Ⅱ）求证：EF ⊥AE ；（Ⅲ）若P A =AC =CB ，AB =4，求几何体EF ABC 的体积.19.（本小题满分14分）已知椭圆C 1，C 2均为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率均为2，其中C 1的焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，C 2的左右顶点坐标为()2,0-，()2,0.（Ⅰ）求椭圆C 1，C 2的方程；（Ⅱ）若直线l 与C 1，C 2相交于A ，B ，C ，D 四点，如图所示， 试判断AC 和BD20．（本小题满分13分）已知函数233)(x x x f -=，4)(2-=ax x g ． （Ⅰ）求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若对任意的[0)x ∈+∞，，都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）函数)(x f 的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心； 如果不是，请说明理由．通州区2016—2017学年度高三摸底考试数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.）9.；10.；11.； 12.3；13.2；14.[1,3].三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：()sin 2cos 2f x x x =+)4x π=+……………….4分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期：22T π==π……………….6分 （Ⅱ）[0]2x π∈ ，，52[]444x πππ∴+∈，……………….7分sin(2)[1]42x π∴+∈-………………9分∴当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-……………….11分 ∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x.13分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵*65()n a n n N =+∈∴*1[6(1)5](65)6()n n a a n n n N +-=++-+=∈， ∴数列{}n a 是等公差为6的等差数列.……………….3分 又∵111a =………………4分 ∴数列{}n a 的前n 项和：21()[11(65)]3822n n n a a n n S n n +++===+……………….6分 （Ⅱ）∵1n n n a b b +=+∴112a b b =+，223a b b =+……………….9分∴12231117b b b b +=⎧⎨+=⎩，，设数列{}n b 的公差为d ，则112+112317b d b d =⎧⎨+=⎩，，∴143b d =⎧⎨=⎩，，……………….12分∴数列{}n b 的通项公式：31n b n =+……………….13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）评分类型为A 的商业连锁店所占的频率为0.020100.2?， 所以评分类型为A 的商业连锁店共有0.2204?家；……………….4分 （Ⅱ）依题意评分类型为D 的商业连锁店有3家， 设评分类型为A 的4商业连锁店为1234,,,a a a a ，评分类型为D 的3商业连锁店为123,,b b b ，……………………….6分从评分类型为A ，D 的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有()()()()()()()()()121314111213232421,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a a a a a b ()()2223,,,,a b a b ()()()()34313233,,,,,,,,a a a b a b a b ()41,,a b ()()()()()4243121323,,,,,,,,,a b a b b b b b b b 共21种，………………….10分其中满足条件的共有9种，……………………….12分 所以这两家来自同一评分类型的概率为93217=.……………………….13分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别为PC ，PB 的中点， ∴EF BC ，……………….2分又∵EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴EF ABC 平面……………….4分（Ⅱ）证明：∵PA ABC ⊥平面，∴PA BC ⊥………………5分又∵AC BC ⊥，PA AC A = ∴BC PAC ⊥平面………………7分 ∴BC AE ⊥ ∵EF BC∴EF AE ⊥……………….10分（Ⅲ）解：∵PA ABC ⊥平面，∴PA AC ⊥∴11422PAC S PA AC ∆=⋅=⨯= ∵BC PAC ⊥平面∴三棱锥-P ABC 的体积：111433PAC V S BC ∆=⋅⋅=⨯⨯=∵EF PAE ⊥平面，122PAE PAC S S ∆∆==，12EF BC ==∴三棱锥-P AEF的体积：2112333PAE V S EF ∆=⋅⋅=⨯=∴几何体EF ABC的体积：12V V V =-=14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆1C 的焦距为12c ，长轴为12a ，短轴为12b ，设椭圆2C 的焦距为22c ，长轴为22a ，短轴为22b ，依题意得11122211121c a c a b c ìïïï=ïïïïï=íïïï=+ïïïïïî，22222222222c a a a b c ìïïï=ïïïïï=íïïï=+ïïïïïî，解得：111a b ìï=ïíï=ïïî222a b ìï=ïíï=ïïî所以椭圆1C 的标准方程为2212x y +=， 所以椭圆2C 的标准方程为22142x y += .……………………….4分 （Ⅱ）AC BD =.……………………….5分①当直线l 的斜率不存在时，显然有AC BD =.……………………….6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 设点A 坐标为()11,x y ，点B 坐标为()22,x y ， 点C 坐标为()33,x y ，点D 坐标为()44,x y ，将直线l 的方程与椭圆1C 方程联立可得2212y kx m x y ìï=+ïïíï+=ïïïî，.…………….8分消去y 得()222124220kxkmx m +++-=，所以有122412kmx x k +=-+，.……………………….9分将直线l 的方程与椭圆2C 方程联立可得22142y kx m x y ìï=+ïïíï+=ïïïî， 消去y 得()222124240kxkmx m +++-=，所以有122412kmx x k+=-+，.……………………….11分 所以有弦AD 的中点与弦BC 的中点重合，.……………………….13分 所以有AC BD =.……………………….14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）'2()36f x x x =-，……………….1分 由'()0f x =，可得02x x ==或………………2分'()()f x f x x ，随变化情况如下表：所以，当0x =时，()f x 有极大值0， 当2x =时，()f x 有极小值4-……………….5分（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，则32()(3)4F x x a x =-++， 法一：'2()32(3)F x x a x =-+，由'()0F x =，可得2(3)03a x x +==或① 当2(3)03a +≤，即3a ≤-时，'()0F x ≥在[0+)，∞上恒成立， 所以，此时(0)4F =为最小值，所以()0F x ≥恒成立，即()()f x g x ≥………………7分②当2(3)03a +>，即3a >-时，所以，当2(3)3a x +=时，()F x 取得最小值，若要满足()()f x g x ≥，则2(3)()03aF +≥ 3232(3)2(3)2(3)4()[](3)[]4(3)433327a a a F a a +++=-++=-++ 由34(3)4027a -++≥，得0a ≤，所以30a -<≤……………….10分 由①②可得a 的取值范围是0a ≤……………….11分法二：由()()f x g x ≥，得243a x x ≤+-，令24()3G x x x≤+- '38()1G x x≤-，由'()0G x =，得2x =，当02x <<时，'()0G x <， 当2x >时，'()0G x <，所以，当2x =时，()G x 在[0+)∞，上取得最小值，即(2)=0G 因为()a G x ≤，所以0a ≤（Ⅲ）函数()f x 的图象是中心对称图形，其对称中心是(12)-，……………….13分。
北京市通州区2017届高三上学期期末摸底考试(数学理)(含答案)word版
北京市通州区2017届高三上学期期末摸底考试数学（理科）试卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}1x x <-B ．{}1x x <C ．{}|1,2x x x <->或D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数11ii-+等于 A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A ．30B ．20C ．15D ．105．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “33a b<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B1.414=⋅⋅⋅1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7m B ．78.7m C ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --=B ．250x y +-=C ．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.9．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.10．已知x ，y 满足不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O的半径是那么__________.PB =12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }的前5项的和5__________.S = 13．下面四个命题：①已知函数()0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-；④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.14．直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是2，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2sin 22cos 1f x x x =π-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==112AD AB ==，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ； （Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和， 且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围. 20．（本小题共14分）已知抛物线()2:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B两点，且抛物线上一点)(1)M m m >到点F 的距离是3.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：0AB FQ =.(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试参考答案一、选择题1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B二、填空题9． 6 10．3 11．2 12．2513．②，④ 14．2±三、解答题15． 解：（Ⅰ）因为()()2sin 22cos 1f x x x π=-+-，所以()sin 2cos2f x x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ………………………….. 3分所以2.2πωπ== ………………………….. 5分 又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x ≤.所以函数()f x 的最小正周期是π ………………………….. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤， 所以372444x πππ≤+≤. ………………………….. 9分 所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是 ………………………. 13分 16． （Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点.∵点M 是DF 的中点，∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ，∴//BF 平面AMC . ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ……………….. 4分 ∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =， ∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=. ∴ 20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-.又AF是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AF n AF n AF⋅=⋅== 如图所示，二面角B AC E --为锐角. ∴二面角B AC E --………………………….. 13分 17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”， 所以()1.7P A =所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7………………………….. 3分 （Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.所以()()2327611.7A PB P B A =-=-=所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7……………………….. 6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ……………………….. 7分 所以()2712207P X A ===，()27105121P X A ===，()2784221P X A ===， ()276137P X A ===，()2742421P X A ===，()2721521P X A ===. ……………………….. 10分 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P27 521 421 17 221 121………………….. 12分 所以2541210123457212172121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3= ………………….. 13分 18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. ……………………….. 2分 因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. ……………………….. 4分 所以 2.a =所以()2ln .f x x x = ……………………….. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=. 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减；当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1()(+∞e x f 在上单调递增.所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12()f e e=-；②若12m m e≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值是()2ln .f m m m = ………………….. 13分 19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = …………………….. 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2nn na S =， 所以()111.2n n n a S +++= 所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-= 所以当2n ≥时，1.1n n a n a n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =， 所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. ………………………….. 6分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭………………………….. 7分又12b =，所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭………………………….. 9分 112221n ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ……………………….. 10分 因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立. 所以2331..122122n m n n n n>=++++. ……………………….. 12分 因为12n n +≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立.所以124n n ++≥.所以1142n n ≤++所以3.8m > …………………….. 14分20．解：（Ⅰ）因为点()M m 在抛物线()2:0C x ay a =>上，所以8am =.因为点()M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，所以点()M m 到抛物线的准线4ay =-的距离是3.所以 3.4am += 所以8 3.4aa +=所以4a =，或8.a = ……………………….. 3分 因为1m >，所以4a =. .. 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知24.x y =因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k . 所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.所以联立方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx --= ……………………….. 5分所以1,2422k x k ==±因为3AF FB =，且0k >所以()232.k k +=⋅ …………………….. 7分2.k =所以21.3k =所以k =（舍负）所以k ………………….. 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 得2440.x kx --=设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=--…………………….. 9分由24x y =，所以21.4y x =所以1.2y x '=所以切线QA 的方程是()11112y y x x x -=-， 切线QB 的方程是()2221.2y y x x x -=- (11)分所以点Q 的坐标是()2,1k -，所以()2,2.FQ k =-所以0.AB FQ ⋅=………………………….. 14分。
2016-2017年北京市通州区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
16． （13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动的次 数与相对应的人数的对应关系如表： 次数 人数 1 1 2 4 3 4 4 1
现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表在活动总结会上发言． （Ⅰ）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 6”，求事件 A 发生的概 率； （Ⅱ） 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之和， 求随机变量 X 的分布列和数学 期望． 17． （14 分）在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形， 平面 PAB⊥平面 ABCD，AB=2AD，M，N 分别为 PB，PC 中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面 PAD； （Ⅱ）求二面角 B﹣AM﹣C 的大小； （Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E，使得 EN⊥平面 AMN？若存在，求 存在，请说明理由． 的值；若不
2016-2017 学年北京市通州区高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． ） 1． （5 分）已知集合 M={﹣1，0，1，2}，N={x||x|＞1}，则 M∩N 等于． （ A．{0} B．{2} C．{1，2} D．{﹣1，0，1} 【解答】解：由 N 中不等式解得：x＜﹣1 或 x＞1，即 N={x|x＜﹣1 或 x＞1}， ∵M={﹣1，0，1，2}， ∴M∩N={2}， 故选：B． ）
若函数 g（x）=f（x）﹣k（x﹣1）有且只 ．
三、 解答题 （共 6 小题， 共 80 分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． ） 15． （13 分）已知函数 f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x． （Ⅰ）求 f（x）最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
2016北京市通州区高三(一模)数学(理)含答案
2016北京市通州区高三（一模）数 学（理）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为（ ） A ．16 B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且A 不是B 的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．24 B ．2042+ C ．28D ．2442+5．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于（ ） A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．37B ．73C ．34D ．437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，PB PA =，则cos APB ∠的值为（ ）A ．12B ．13C ．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”。
已知()()21,3g x x f x x b =-=+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则 实数b 的取值范围是（ ） A ．(,10⎤-∞-⎦B ．10,10⎡⎤-⎣⎦C ．3,10⎡⎤-⎣⎦D ．)10,⎡+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）9．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）10．在ABC ∆中，60,1A AC ∠=︒=，ABC ∆的面积为3，则BC 的长为______．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AC CE ⊥于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______．12．若,,a b c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的最大值为______．13．已知函数()2log f x x =。
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。
2016年高考数学(理)北京卷参考答案
数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人． （Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =， 所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，， 设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量 所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==， 又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，． （Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． （Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
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高三数学（理）摸底试卷第1页（共4页）通州区2016—2017学年度高三摸底考试数学（理）试卷2017年1月本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合{}1,0,1,2M =-，{}1N x x =>，则M N 等于A ．{}0B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．执行如图所示的程序框图，输出的A 值为 A ．7 B ．15 C ．31D ．633．若变量x ，y 满足条件30,350,0,x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则y x z +=A ．52B ．2C ．53D ．04．“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1内单调递减的是 A ．3x y =B ．2xy =C ．cos y x =D ．xx y 1ln -=高三数学（理）摸底试卷第2页（共4页）左视图俯视图 6．在△ABC 中，2a =，3B π=，△ABC 的面积等于2，则b 等于 AB ．1CD ．27俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积为A ．163 B ．4 C ．83 D ．348．设集合{}1,2,3,21,n S n =-，若X 是n S 的子集，把X 的所有元素的乘积叫做X 的容量（规定空集的容量为0）， 若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集. 其中n S 的奇子集的个数为A ．22n n + B ．12-nC ．2nD ．12212+--n n第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．复数z 满足()11i z i +⋅=-，则z =_______. 10．4)12(xx -展开式中的常数项是_______. 11．已知直线2,:1x t l y t=+⎧⎨=--⎩（t 是参数），曲线C 的极坐标方程是1ρ=，那么直线l 与曲线C 的公共点的个数是_______.12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若11a =，7524S S -=，则6____.S =13．如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点， 设向量AC DB AP λμ=+，则λμ+的最大值为_______.14．已知函数()()()220,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 若函数()()()1g x f x k x =--有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是_______.高三数学（理）摸底试卷第3页（共4页）三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题满分13分）已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =++． （Ⅰ）求)(x f 最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间π02[，]上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如下表：现从这10人中随机选出2人作为该组代表在活动总结会上发言.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为6”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望.高三数学（理）摸底试卷第4页（共4页）N MPDCBA在四棱锥P ABCD -中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，2AB AD =，,M N 分别为,PB PC 中点.（Ⅰ）求证：MN //平面PAD ； （Ⅱ）求二面角B AM C --的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？若存在，求BEBC的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分） 设函数()()1kxf x e k R =-∈．（Ⅰ）当k ＝1时，求曲线()y f x =在点))0(0(f ，处的切线方程；（Ⅱ）设函数kx x x f x F -+=2)()(，证明：当x ∈)0(∞+，时，()F x ＞0.高三数学（理）摸底试卷第5页（共4页）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．高三数学（理）摸底试卷第6页（共4页）20．（本小题满分14分）已知数列}{n a 对任意的*N n ∈满足：+212n n n+a a a +>，则称数列}{n a 为“T 数列”.（Ⅰ）求证：数列{}2n 是“T 数列”；（Ⅱ）若212nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否是“T 数列”，并说明理由；（Ⅲ）若数列{}n a 是各项均为正的“T 数列”，求证：13212421n na a a n a a a n+++++>+++.高三数学（理）摸底试卷第7页（共4页）通州区2016—2017学年度高三摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）9.i -；10.24；11.2；12.36；13.3；14.1或4k k <-=.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f (x )=sin 2x +2sin x cos x +cos2x +1+cos2x =sin2x +cos2x +2 =……………….4分f (x )最小正周期T=π……………….6分 （Ⅱ）由0≤x ≤π2得 0≤2 x ≤ππ4≤2 x +π4≤5π4……………….8分根据y=sin x 图象可知当π8x =时，f (x )有最大值2+……………….11分当π2x =时，f (x )有最大值1.……………….13 16（本小题满分13分）解： (Ⅰ)从这10人中随机选出2人的基本事件个数为：21045C 个，设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A ，设选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M ， 设选出的2人均参加3次为事件N .事件M 所含基本事件的个数为11414C C ⋅=个，事件N 所含基本事件的个数为246C =个，根据古典概型可知，4()=45P M ，6()=45P N因为M 和N 互斥事件，且A =M +N 所以102()=()()()459P A P M N P M P N +=+== ……………….6分 另：直接计算事件A 的基本事件个数，利用古典概型计算也可。
(Ⅱ)随机变量X 的可能取值为3,4,5,6,711412104(3)45C C P X C ⋅===，11241421010(4)45C C C P X C ⋅+=== 1111441121017(5)45C C C C P X C ⋅+⋅===，11241421010(6)45C C C P X C ⋅+===，11412104(7)45C C P X C ⋅===，所以X E X =4345⨯+249⨯+17545⨯+269⨯+745⨯=5.……………….13分注：第二问计算出一个概率给1分17．（本小题满分14分）高三数学（理）摸底试卷第9页（共4页），则(2,1,0)AC =，3(,0,AM =法向量为(,n x y =10n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得，即(1,2,n =-法向量(0,1,0)n =AM C -1222n n n n ⋅=因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45……………….10分 （Ⅲ）存在……………….11分设(1,,0)E λ，则11(,22EN λ=--，由00EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得12λ=，所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ， 此时12BE BC =.……………….14分 18．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)'()x f x e =，……………….1分将x =0分别代入f (x )和f ’(x )得，f ’(0)=1， f (0)=0……………….3分 所以曲线在点(0, f (0))处的切线方程为：y =x . ……………….4分高三数学（理）摸底试卷第10页（共4页）(Ⅱ)'()2kx F x ke x k =+-……………….6分令()2kx g x ke x k =+-，则2'()2kx g x k e =+……………….8分 20,0kx e k >≥，2'()20kx g x k e ∴=+>……………….10分∴g (x )在(0,)+∞上单调递增，∴g (x )>g (0)=0即'()0F x >，……………….11分∴F (x )在(0,)+∞上单调递增，∴F (x )>F (0)=0……………….13分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在， 设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=， 整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==--高三数学（理）摸底试卷第11页（共4页）33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分 又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分 20．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)22252n n n ++=⋅，12242n n +⋅=⋅ 212n n n a a a ++∴+-=21222220n n n n +++-⋅=> 212n n n a a a ++∴+>……………….3分(Ⅱ)222112(2)2n n n n a a a n +++⎛⎫+-=+⋅ ⎪⎝⎭212n n ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭1212(1)2n n +⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭2221(2)[(1)]24nn n n +⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭214024nn n ⎛⎫-⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，*4,n n N >∈，故数列{}n a 不是T 数列.……………….7分高三数学（理）摸底试卷第12页（共4页）(Ⅲ)要证13212421n n a a a n a a a n +++++>+++ 只需证1321242()(1)n n n a a a n a a a ++++>++++……….8分下面运用数学归纳法证明。