2018学年七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识 2.7 角的和与差作业设计(含解析)(新版)冀教版
初中数学冀教版七年级上册第二章 几何图形的初步认识2.7 角的和与差-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图，OA⊥OC，∠BOC=50°，若OD平分∠AOC，则∠BOD=______°．【答案】95【分析】首先根据角平分线的定义求出∠COD的度数，进而求出∠BOD的度数．【解答】解：OD平分，故答案为：95.2.【答题】如图所示，OA表示______偏______28°方向，射线OB表示______方向，∠AOB=______°．【答案】北,东,东南,107【分析】根据方向角的定义即可求解．【解答】OA表示北偏东28°方向，射线OB表示东南方向，∠AOB=180°﹣28°﹣45°=107°，故答案是：北、东、东南、107°．3.【答题】如图，直线MN、PQ相交于点O，∠NOE：∠QOE =2:3，∠MOP=50︒，则∠QOE=______°.【答案】30【分析】根据对顶角相等，可知∠MOP=∠QON=50°，然后根据∠NOE：∠QOE =2:3，求出∠QOE=30°.【解答】答案为：30°.4.【答题】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=30°，∠BOC=2∠AOC，求∠DOF=______°．【答案】30【分析】设∠AOC=x，表示出∠BOC=2x，根据邻补角的定义列式求出x，再求出∠EOC，然后根据对顶角相等解答．【解答】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由邻补角的定义得,解得所以,故答案为：5.【答题】如图，点O是直线AB上一点，∠COD=120°，则∠AOC+∠BOD=______°．【答案】60【分析】根据平角的定义解答即可．【解答】因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，∠COD=120°，所以∠AOC+∠BOD=180°﹣120°=60°，故答案为60°．6.【答题】在直线上取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是______°，或______°【答案】50,130【分析】分两种情况：①射线PA，PB在直线MN的同侧，②射线PA，PB在直线MN的异侧，根据垂直的定义和平角的定义解答即可．【解答】如图，①当射线PA，PB在直线MN同侧时，∵∠MPA=40°，且PA⊥PB，∴∠NPB1=90°-40°=50°；②当射线PA，PB在直线MN异侧时，∵∠MPA=40°，且PA⊥PB，∴∠MPB=50°，∴∠NPB2=130°，故答案为50°或130°．7.【答题】如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，若∠AOD=20°，则∠COB的度数为______度．【答案】140【分析】根据角平分线的定义得到∠AOC=2∠AOD=40°，根据平角的定义计算即可．【解答】∵OD平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOD=40°，∴∠COB=180°﹣∠COA=140°.8.【题文】如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD=5∠DOB，求∠COD的度数.【答案】∠COD=60° .【分析】根据∠AOD和∠DOB互补以及∠AOD=5∠DOB求出∠BOD的度数，然后根据∠COD与∠BOD互余即可求出∠COD的度数．【解答】解：∵∠AOD=5∠BOD，设∠BOD=x°，∠AOD=5x°．∵∠AOD+∠BOD=180°，∴x+5x=180，∴x=30，∴∠BOD=30°，∵CO⊥AB，∴∠BOC=90°，∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°-30°=60°．方法总结：本题考查角的计算，涉及垂线的定义，邻补角的性质，一元一次方程的解法，根据∠AOD与∠COD互补列出方程求出∠BOD的度数是解决此题的关键．9.【题文】课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，所以∠B= ，∠C= ．又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．所以∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2,已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．深化拓展：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．请从下面的A，B两题中任选一题解答，我选择题．A．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为 °．B．如图4,点B在点A的右侧,且AB＜CD，AD＜BC.若∠ABC=n°，则∠BED度数为 °．（用含n的代数式表示）【答案】（1）∠EAD，∠DAE；（2）见解析；（3）A，见解析.【分析】（1）根据平行线的性质——两直线平行内错角相等，求解；（2）根据两直线平行内错角相等，求解；（3）A．根据角平分线的性质及平行线的性质求解；B．根据角平分线的性质及平行线的性质求解；【解答】（1）∵ED∥BC，∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAE，故答案为：∠EAD，∠DAE；（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=∠FCD，∵CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，（3）A．如图2，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；故答案为：65；B、如图3，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣n°，∠CDE=∠DEF=35°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣n°+35°=215°﹣n°．故答案为：215°﹣n．【方法方法总结】本题目是一道考查平行线的性质，角平分线的性质综合题，难度较大，还考查有知识的迁移能力，对能力要求极高.10.【题文】填空，完成下列说理过程如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD=65°，求∠AOE的度数．【答案】（1）90°;（2）155°．【分析】（1）首先根据角平分线定义可得∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，然后再根据角的和差关系可得答案；（2）首先计算出∠BOE的度数，再利用180°减去∠BOE的度数可得答案．【解答】解：（1）如图．∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD=∠AOC．∵OE是∠BOC的平分线，∴∠COE=∠BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=90°．（2）由（1）可知：∠BOE=∠COE=90°﹣∠COD=25°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=155°．11.【题文】如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．若与的比是2：11，求的度数．若叠合所成的，则的补角的度数与的度数之比是多少？【答案】（1）70°；（2）1:1.【分析】根据条件可知∠AOB=∠COD=90°，并且∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，根据这个关系就可以求解．【解答】解：（1）设∠DOB=2x°，则∠DOA=11x°．∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠DOB=2x°，∠BOC=7x°．又∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，则得方程：11x=180﹣7x，解得：x=10，∴∠BOC=70°．（2）∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，∴∠AOD与∠BOC互补，则∠AOD的补角等于∠BOC．故∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是1：1．方法总结：正确认识∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．12.【题文】如图，直线AB与CD相交于点是的平分线，，如果．求：的度数；的度数．【答案】(1)20°；（2）50°【分析】（1）先由对顶角相等得出∠BOC=∠AOD=40°，再根据角平分线定义即可求解；（2）先由OF⊥CD得出∠COF=90°，再根据∠BOF=∠COF﹣∠BOC即可求解．【解答】解：（1）∵直线AB与CD相交于点O，∴∠BOC=∠AOD=40°．∵OP 是∠BOC的平分线，∴∠COP=∠BOC=20°；（2）∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠BOF=∠COF﹣∠BOC=90°﹣40°=50°．方法总结：本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，是基础知识，需熟练掌握．13.【题文】如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．【答案】（1）50°；（2）54°.【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据余角的概念计算即可；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：(1)∵OE平分∠BOC,∴∴又∴(2)∵∠BOD:∠BOE=1:2，OE平分∠BOC，∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，∴∴又∵∴14.【题文】如图，OD 平分∠AOC，∠BOC=80°，∠BOD=20°。
2.7 角的和与差 第2课时七年级上册数学冀教版
随堂练习
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= 62° ，∠2= 28° .
第二章 几何图形的初步认识
2.7 角的和与差
第2课时
七上数学 JJ
学习目标
1.了解两角互余和两角互补的定义. 2.通过探究了解“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角) 的补角相等”并能利用这些性质进行角的计算，发展推理能力.
课堂导入
要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围 墙，如何测量?
如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
几何语言：
因为∠1＋∠2＝180°，
2
所以∠1与∠2互补.
反过来，如果∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°.
几何语言：
因为∠1与∠2互补,
所以∠1＋∠2＝180°.
思考：如何画一个已知角∠BOC的补角？
O
1
C B
新知探究 知识点2 补角与补角的性质 例3 图中给出的各角，哪些互为补角？
同角的补角相等
∠2=180°- ∠BOC， 所以∠1=∠2.
新知探究 知识点2 补角与补角的性质 问题4 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么 ∠2与∠4相等吗？为什么？
1
2
4
3
解：∠2与∠4相等.理由如下：
因为 ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180°，
所以 ∠2 = 180°-∠1， ∠4 = 180°-∠3.
2018学年七年级数学上册第二章几何图形的初步认识2.7角的和与差
2.7 角的和与差【教学目标】1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，会进行角的和差运算.2.了解角平分线的意义及其简单应用，了解两角互余、两角互补的意义，会正确表示一个角的余角或补角，能熟练的求出一个角的余角或补角.通过探究，了解“同角(等角)的余角相等”“同角(等角)的补角相等”.【重难点】重点：1.角的和与差、角平分线及其意义.2.互余、互补的概念及其性质.难点：两角互余、两角互补的本质特征，互余、互补的性质.【教学过程设计】教学过程设计意图一、创设情境，导入新课导语：同学们，我们已经学习了角的有关知识，请问：你们能用手中三角板画出30°，45°，60°，90°的角吗？但我遇到了困难，用三角板怎样作出15°，75°，150°的角呢？那我们就带着这个问题一同走进今天的探索之旅.(板书课题)由易到难，由特殊到一般的思维过程，激发了学生的学习兴趣.二、师生互动，探究新知学习活动1：从图形上研究角的和与差.观察图形，思考如下问题：1.图中都有哪些角？2.这些角之间有怎样的关系？学生活动：学生确定角的个数，明确角之间的和差关系.教师关注：学生能否发现角的和差关系，若学生仅说出大小关系，可引导学生进一步观察，类比线段的和与差，发现角的和差关系.教师关注：学生能否用符号表示这些角之间的和差关系；学生能否通过折纸直观形象地展示出角的平分线，体会角平分线的位置的特殊性，从而体会从一般到特殊的思想.并让学生感受到特殊的位置产生了特殊的关系，使大家体会共性重要，个性更重要.可以说，共性反映了规律，个性彰显了特点.理解角的和差的意义.提示：角可以比较大小，也可以进行和与差的运算，可以用两个角的和或差表示第三个角.两角之和或差等于第三个角，就是指两角的度数之和或差等于第三个角的度数.学习活动2：由一般到特殊，引出角的平分线.提问：在角的内部由顶点出发可以引出多少条射线呢？(无数条)现在我将∠AOB对折，使OA与OB重合，得到了射线OC，将∠AOC标为∠1，∠BOC标为∠2.观察这个图形，几个角之间除了具有上题的结论之外，你还有什么新的发现？(∠1＝∠2＝∠AOB)(将纸片张贴到黑板上)12提示：射线OC将∠AOB分成两个相等的角，我们就把射线OC叫做这个角的平分线.(板书：角的平分线)由角平分线的定义可知，如果∠AOC＝∠BOC，那么射线OC是∠AOB的平分线；反之，如果射线OC是∠AOB的平分线，那么∠AOC＝∠BOC.教师关注：学生是否能找到∠1＝∠2＝∠AOB.12学习活动3：从角的数量上研究角的和与差.导语：角的和与差体现到数量上就是角的度数之间的运算，你们会不会计算两角的和与差呢？请看例题.例题：已知∠1＝103°24′28″，∠2＝30°54″，求∠1＋∠2和∠1－∠2的度数.给同学们一定的时间，如果没有同学回答，就引导学生类比元、角、分的计算，找到解题的钥匙.教师关注：学生是否灵活掌握了度、分、秒之间的转化；是否理解解题过程，掌握住进位与借位.练一练导语：既然同学们都掌握了计算方法，就随我继续前进吧！由图形中角与角之间的关系，得到角的和与差，非常直接自然，并且让学生用符号表示角的和差关系，遵循“图形——文字——符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系.(1)如图1，已知∠AOB 是直角，∠1与∠2的和是多少度？(2)如图2，已知∠DSE 是平角，∠1与∠2的和是多少度？学生活动：学生观察图1，得到∠1＋∠2＝90°.提示：如果∠1＋∠2＝90°，我们就称∠1与∠2互为余角，简称互余.(板书：互余)其中，∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角.学习活动4：探究角的互余、互补的性质.思考1：如图，已知∠2与∠1互余，∠3与∠1互余，那么∠2与∠3有什么关系？为什么？思考2：如图，已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2＝∠4，那么∠1与∠3有什么关系？为什么？师生活动：学生独立完成思考1，并指生回答；学生合作完成思考2，互相交流后让学生回答.教师关注：学生能否灵活运用互余的定义进行推理说明，并能说出比较规范条理的解答过程.对于出现的问题及时纠正.提示：引导学生由思考1～2得到互余的性质——同角(或等角)的余角相等.培养学生的探究能力、逻辑推理能力.导语：那互补有哪些性质呢？请思考下面的问题.思考3：如图，∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，请思考∠1与∠3有什么关系？为什么？思考4：如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠2＝∠4，请思考：∠1与∠3有什么关系？为什么？师生活动：学生独立完成思考3，并指生回答；学生合作完成思考4，互相交流后让学生回答.教师关注：学生能否灵活运用互补的定义进行推理说明，并能说出比较规范条理的解答过程.对于出现的问题应及时纠正.提问：由此我们能得到互补有什么性质呢？(同角或等角的补角相等)三、运用新知，解决问题认真观察下面的图形，回答下列问题：(1)图中有哪几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？说明它们相等的原因.问题回顾：怎样用一副三角板做出15°，75°，150°的角呢？呼应问题情境，体会数学知识的应用价值.四、课堂小结，提炼观点本节课你有哪些收获？五、布置作业，巩固提升教材习题A 组第1，2，3题，B 组第2题.【教学小结】【板书设计】 2.7 角的和与差1.从图形上研究角的和与差2.角的平分线3.从数量上研究角的和与差4.角的互余、互补的概念及其性质。
冀教版七年级数学上册 2.7 角的和与差 PPT课件
巩固练习
2.如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交 于点E，F，∠1＋∠2＝180°. 找出图中与∠2相等的角， 并说明理由.
巩固练习
解：因为∠1＋∠3＝180°， ∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.
所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" .
探究新知
解： ∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" . 103°24′ 28" (24′28"＝ 23′88") －30° 54" 73°23′ 34"
所以∠1-∠2 ＝ 73°23′ 34"
探究新知
学生活动六【余角与补角】
计算： （1）若∠1=22°17′ ，∠2=67°43′， 求∠1+ ∠2？ （2）若∠3=124°15′ ， ∠4=55°45′，求∠3+ ∠4？ 解： ∠1+ ∠2=22°17′+∠2=90°
∠3+∠4=124°15′+55°45′=180°
探究新知
如果两个角的和等于90 °，那么就说这两个角互为余角， 简称互余．其中一个角叫做另一个角的余角．
如果两个角的和等于180 °，那么就说这两个角互为补角， 简称互补．其中一个角叫做另一个角的补角．
探究新知
数学语言： ∵∠α+∠β=90° ∴∠α与∠β互为余角 ∵∠α+∠β=180° ∴∠α与∠β互为补角
学生活动二【角的和与差】 如图，在∠AOB的内部做射线OC，思考下列问题：
初中数学冀教版七年级上册第二章 几何图形的初步认识2.7 角的和与差-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝10°，则∠AOD的度数为( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【分析】根据已知求出∠DCO和∠BOC，根据角平分线定义求出∠AOC，代入∠AOD=∠AOC+∠DOC求出即可．【解答】解：∵∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝10°，∴∠DOC=4∠BOD=40°，∴∠BOC=30°．∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠AAOD=∠AOC+∠DOC=30°+40°=70°．选C.方法总结：本题考查了角平分线定义的应用，能求出各个角的度数是解此题的关键．2.【答题】如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝170°，则∠BOC的度数为( )A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°【答案】D【分析】先设∠BOC=x，由于∠AOB=∠COD=90°，即∠AOC+x=∠BOD+x=90°，从而易求∠AOB+∠COD-∠AOD，即可得x=10°．【解答】解：设∠BOC=x，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+x=∠BOD+x=90°，∴∠AOB+∠COD-∠AOD=∠AOC+x+∠BOD+x-（∠AOC+∠BOD+x）=10°，即x=10°．选D.3.【答题】如图，OC是∠AOB的平分线，若∠AOC＝75°，则∠AOB的度数为( )A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°【答案】B【分析】根据角平分线定义得出∠AOB=2∠AOC，代入求出即可．【解答】根据角平分线的性质可得：∠AOB=2∠AOC=2×75°=150°，故选择B.4.【答题】如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为( )。
冀教版七上数学教案设计：第二章几何图形初步认识2.7角的和差
2.7角的和与差一、教学目标知识目标1.结合具体图形,了解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差计算.2.了解角平分线,通过折纸活动,进一步理解角平分线的意义.3.了解两角互余和两角互补的意义,通过探究了解同角(等角)的余角或补角相等.能力目标1.经历利用已有知识解决新问题的探索过程.2.培养学生的数感和对数学活动的兴趣,实际观察、操作,体会角的大小.3.培养学生的观察思维能力.情感与价值观目标1.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论.2.敢于表达自己的观点,尊重和理解他人的见解,从而在交流中获益.二、教学重点重点1.角平分线的定义.2.余角和补角的意义和计算.难点1.角平分线的定义.2.复杂角度的计算.三、教学过程知识点1、用角的和与差表示第三个角如图所示,在∠AOB的内部作射线OC,那么∠AOB,∠AOC,∠COB之间有什么关系?(1)∠AOB和∠AOC,∠COB之间是什么关系?(∠AOB=∠AOC+∠COB)(2)∠AOC和∠AOB,∠COB之间是什么关系?(∠AOC=∠AOB - ∠COB)(3)∠COB和∠AOB,∠AOC之间是什么关系?(∠COB=∠AOB - ∠AOC)这就是用两个角的和或差表示第三个角.知识点2、角平分线1.提出问题如图所示,如果∠AOP=∠BOP,那么射线OP有什么特点?(射线OP把∠AOB平分为两部分)2.角平分线的定义特别地,如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等,那么这条射线叫做这个角的平分线.如上图所示,如果∠AOP=∠BOP,那么射线OP是∠AOB的平分线.反之,如果射线OP是∠AOB的平分线,那么∠AOP=∠BOP.3.折纸作角的平分线按下列步骤进行操作:(1)在半透明的纸上画一个角;(2)折纸,使角的两边重合;(3)把纸展开,以点O为端点,沿折痕画射线OP(如图所示).射线OP是∠AOB的平分线.知识点3、角平分线的判定和运用1.如图所示,如果∠AOC=∠DOB,那么∠AOD与∠COB相等吗?说明理由.∠AOD=∠COB.理由:因为∠AOC=∠DOB,所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD,所以∠AOD=∠COB.2.如图所示,如果∠AOB=82°,OP是∠AOC的平分线,OQ是∠COB的平分线,请指明∠POQ的度数,并说明理由.∠POQ=41°.理由:因为OP是∠AOC的平分线,所以∠POC=∠AOC.因为OQ是∠COB的平分线,所以∠COQ=∠BOC.所以∠POQ=∠POC+∠COQ=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠COB)=∠AOB=41°.知识点4、角的和与差的计算例1、已知∠1=103°24'28″,∠2=30°54″,求∠1+∠2和∠1 - ∠2的度数.解:∠1+∠2=103°24'28″+30°54″.10324' 28″°+ 30°54″13324' 82″°(82″=1'22″)所以∠1+∠2=133°25'22″.∠1 - ∠2=103°24'28″ - 30°54″.10324' 28″°- 30°54″73° 23' 34″(24'28″=23'88″)所以∠1 - ∠2=73°23'34″.思考:这里的计算方法和列式计算有什么相似之处?知识拓展角的度、分、秒也可以进行加减乘除计算,在计算时要明确角的度量单位是60进制,需要借位时借1作60,需要进位时,满60进1.四种运算中,加减乘除都是相同单位间各自进行,最后进位,除法要从高位除起,余数化作下一级单位继续除.知识点5角的互余和互补1.角的互余和互补已知∠α和∠β.如果∠α+∠β=90°,那么我们就称∠α与∠β互为余角,简称互余.其中,∠α(∠β)叫做∠β(∠α)的余角.如果∠α+∠β=180°,那么我们就称这两个角互为补角,简称互补.其中,∠α(∠β)叫做∠β(∠α)的补角.2.余角和补角的计算如果∠α=46°,那么它的余角是多少度?它的补角是多少度?(∠α的余角和补角分别为44°,134°)如图(1)所示,∠AOB=90°.写出图中互为余角的角.(∠AOC与∠COB)(1)(2)如图(2)所示,∠DSE=180°.写出图中互为补角的角.(∠DSF和∠FSE)3.余角和补角的性质(1)如果∠1和∠2都是∠α的余角,那么∠1和∠2相等吗?∠1和∠2相等.因为∠1+∠α=90°,∠2+∠α=90°,所以∠1=90° - ∠α=∠2.(2)如果∠3和∠4都是∠β的补角,那么∠3和∠4相等吗?∠3=∠4.因为∠3+∠β=180°,∠4+∠β=180°,所以∠3=180° - ∠β=∠4.总结:同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等.知识拓展(1)互余和互补都是两个角之间的数量关系的概念,不能单独说哪一个角是余角或补角.(2)两个角互余或互补只是两个角的和为90°或180°,跟位置无关.(3)当互补的两个角有公共顶点时,又称这两个角互为邻补角(简称邻补角).四、课堂小结角的和与差既有代数意义,也有几何意义.同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等.五、布置作业教材第83页练习第1,2题.教材第84页习题A组第1,2题.六、课后反思。
七年级数学上第二章几何图形的初步认识2.7角的和与差1角的和与差及角的平分线授课课冀教
A.65°
B.75°
C.85°
D.95°
课堂小结
角的和与差及角的平分线
与角平分线有关的计算： 12．．∠若类A比OOC线C平段＝分中2∠∠点AB定OOBC义，；学则∠习有A：O∠C角A＝平O∠C分＝B线O∠是CB＝角O12C的；A二O∠B等. A分OB线＝，
还有角的三等分线、四等分线、…、n等分线． 方法技巧：角平分线的定义是进行角度计算的重要 依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系， 利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差 关系转化求解．
OQ是∠COB的平分线，请指明∠POQ
的度数，并说明理由.
感悟新知
例 3 计算：(1)47°53′43″＋53°47′42″； (2)92°56′3″－46°57′54″.
导引：按60进制的规律计算． 解：(1)47°53′43″＋53°47′42″
＝(47°＋53°)＋(53′＋47′)＋(43″＋42″) ＝100°＋100′＋85″ ＝101°＋41′＋25″＝101°41′25″.
感悟新知
知识点 1 角的和与差
知1－导
如图 ，已知∠α=30°，∠β= 120°，∠γ = 150°.
请议一议，这三个角的度数之间有怎样的关系.
感悟新知
1. 如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这
个角就叫做另两个角的和．
知1－导
2. 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这
个角就叫做另两个角的差．
谢谢观赏
You made my day!
减时要借1当60.
感悟新知
例 1 如图所示，回答下列问题：
知1－练
(1)∠AOC是哪两个角的和？
(2)∠AOB是哪两个角的差？
(完整)第二章几何图形的初步认识
七年级数学·上新课标[冀教]第二章几何图形的初步认识1.通过对丰富的实物和实例的抽象,进一步认识几何图形,尤其是点、线段、射线、直线和角,并会表示它们.2.经历观察、测量、画图、折纸等活动,了解上述图形的有关性质,发展空间观念.3.会比较线段的长短和角的大小,能估计线段的长短和角的大小.4.认识角的度量单位,会进行角的换算.5.会计算线段和角的和与差,能使用直尺和圆规作线段和角.6.与角的认识相结合认识平面图形的旋转.7.了解一些数学基本事实,掌握相关的图形关系,增强空间观念和几何直观.1.通过各种几何图形的抽象过程和图形性质及图形关系的发现和确认,进一步发展学生的数学基本思想,并在这样的活动过程中,使学生积累数学活动经验.2.通过本章的数学活动过程,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.1.培养学生观察、操作、探究图形性质等合作意识.2.培养学生在发现问题、解决问题过程中的创新精神.本章的基本知识是:认识几何图形,了解线与角、线段与角的有关性质并学会计算,认识平面图形的旋转.本章的基本技能是:画一条线段等于已知线段,画出两条线段的和或差,作一个角等于已知角,作两个角的和或差,能进行角的度数和线段长度的计算.本章的基本数学思想是:几何图形生成过程中运用的抽象思想,图形关系发现和确认过程中运用的推理思想等.本章内容的呈现方式及特点:在本章,空间观念、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识这些核心概念的培养与发展,是教材设计的主导思想.加强发现和提出问题、分析和解决问题的能力的培养,是本章教材设计的又一重要指导思想.【重点】1.点、线段、射线、直线和角的有关性质.2.比较线段和角的大小,按照相关要求作简单的线段和角.【难点】1.角的定义和计算.2.利用直尺和圆规按要求作线段和角.1.现实中的几何实例与教学中的几何对象是具体和抽象、特殊和一般的关系,在实际教学中,如何引导学生从具体的实例中抽象出事物的一般性,是教学中的一个难点,这方面的处理是否得当直接关系到学生能否准确地理解数学中的各种几何概念.2.几何量的度量是几何中基础而重要的问题,是培养学生准确的几何观念的重要内容.教师通过让学生使用直尺、三角板、量角器和圆规等常用的数学工具,培养学生严谨的科学态度和基本的使用工具的能力,对于学生在日常生活中使用其他工具解决实际问题也很有帮助.3.几何知识应该在几何的实际背景中讲授.本章内容包含了大量的生活实例,有利于学生克服数学中抽象而形式化的困难,对学生准确理解并掌握几何概念以及它们的一些简单性质十分有利.2.1从生活中认识几何图形1课时2.2点和线1课时2.3线段的长短1课时2.4线段的和与差1课时2.5角以及角的度量1课时2.6角的大小1课时2.7角的和与差1课时2.8平面图形的旋转1课时回顾与反思1课时2.1从生活中认识几何图形1.进一步认识常见的几何图形,并能用自己的语言描述它们的特征.2.体会点、线、面是几何图形的基本要素.进一步经历几何图形的抽象过程.培养学生从具体到抽象的思想方法.【重点】从实物背景中得到几何图形的特征.【难点】在小学的基础上进一步增强对几何图形的抽象认识.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】立体图形的实物.导入一:从北京天坛主体建筑物的外观上看,它是由不同形状和大小的几何体构成的吗?[设计意图]主题图是北京天坛的照片,它可以看作是由不同形状、不同大小、不同位置的几何体组成的.用此图导入可以比较好地帮助学生从生活中去认识几何图形的特征.导入二:物体的构成包含多种元素,几何图形也是如此.以长方体为例,我们来分析一下几何图形的构成元素.(1)观察长方体模型,如图所示,它有几个面?面与面相交的地方形成了几条线?棱与棱相交形成了几个顶点?(2)拿出三棱柱模型让学生思考以上问题.(3)你能说出构成几何图形的元素包含哪些吗?学生思考交流,师生共同总结:几何图形的构成元素包括点、线、面.[设计意图]引导学生在已有知识的基础上,通过主动地观察、思考,体会几何图形是由点、线、面构成的,从构成元素的角度把握几何体的特征,从而引入点、线、面的概念.1.观察图片,思考下列问题:(1)如果用一个“形状”来描述地球或月球,你会用什么图形来概括?预设:圆、椭圆等.(2)如果用一个“形状”来描述上图中的学具,你会用什么图形来概括?预设:长方形、正方形、六边形等.[设计意图]本问题不要求学生给出比较准确的答案,主要通过情境问题帮助学生体验从几何图形的角度观察生活中的物体.2.几何图形对于各种物体,如果不考虑它们的颜色、材料和质量等,而只关注它们的形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和它们之间的位置关系(如垂直、平行、相交等),就得到几何图形.图形的形状、大小和它们之间的位置关系是几何研究的主要内容.活动2做一做——深化对几何图形的认识1.出示教材第63页问题及图片,让学生自主尝试连线.[设计意图]帮助学生体会实物与几何图形之间的对应关系,为下一步学习做铺垫.2.如图所示,请你把每个平面图形的名称写在它的下面.[处理方式](1)让学生自主填写.(2)思考:几何图形包括哪两种?总结:几何图形包括立体图形(几何体)和平面图形.像正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等,它们都是立体图形.像线段、直线、三角形、长方形、梯形、六边形、圆等,它们都是平面图形.活动3几何体的基本要素观察以下几何体:1.几何体的面:可以看到,几何体都是由面围成的.如:长方体有六个面,这些面都是平的;圆柱有三个面,两个底面是平的,一个侧面是曲的;球有一个面,是曲的.2.几何体的线:(1)长方体中,面与面交接(相交)的地方形成线.这样的线有几条?是直的还是曲的?(12条直线)(2)在圆柱中,两个底面与侧面交接(相交)的地方形成线.这样的线有几条?是直的还是曲的?(2条曲线)3.几何体的点:在长方体中,线与线交接(相交)的地方形成点.这样的点有几个?(8个)总结:包围着几何体的是面,面与面相交形成线,线与线相交形成点.点、线、面是几何图形的基本要素.[知识拓展]立体图形与平面图形是两类不同的图形,但它们相互联系,立体图形上的某部分就是平面图形,立体图形是由平面图形组成的.几何图形{立体图形:一个图形的各个部分不都在同一个平面上平面图形:一个图形的各部分都在同一个平面上1.下面各组图形都是平面图形的是()A.三角形、圆、球、圆锥B.点、线、面、体C.角、三角形、长方形、圆D.点、相交线、线段、正方体解析:A中球和圆锥是立体图形;B中体是立体图形;D中正方体是立体图形.故选C.2.如图所示,把梯形绕虚线旋转一周形成一个几何体,与它相似的物体是()A.课桌B.灯泡C.篮球D.水桶解析:一个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周后成为圆台.答案合适的为D.故选D.3.下列四种说法:①平面上的线都是直线;②曲面上的线都是曲线;③两条直线相交只能得到一个交点;④两个平面相交只能得到一条交线.其中不正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:解答本题时注意:不可认为曲面上的线都是曲线,如圆柱的母线就是曲面上的直线,故②错误;平面上也有曲线,故①错误;③④正确.故选C.2.1从生活中认识几何图形活动1观察与思考——认识几何图形活动2做一做——深化对几何图形的认识活动3几何体的基本要素一、教材作业【必做题】教材第64页练习第1,2题.【选做题】教材第65页习题A组第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列物体中与足球形状类似的是()A.易拉罐B.电脑显示器C.烟囱D.西瓜2.下列有六个面的几何体的个数是()①长方体;②圆柱;③四棱柱;④正方体;⑤三棱柱.A.1B.2C.3D.43.天空中的流星划过后留下的光线,给我们以什么样的形象()A.点B.线C.面D.体4.对于棱柱与圆柱,围成的面中有曲面的是,有平面的是,面与面相交的线中有曲线的是,只有直线的是.5.由生活中的物体抽象出几何图形,在后面的横线上填出对应的几何体的名称.(1)足球;(2)电视机;(3)漏斗;(4)砖块;(5)纸箱;(6)铁棒.【能力提升】6.如图所示的陀螺是由下列哪两个几何体组合而成的()A.长方体和圆锥B.长方体和三棱锥C.圆柱和三棱锥D.圆柱和圆锥7.在如图所示的几何体中,由三个面围成的几何体有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.下列判断正确的有()①正方体是棱柱,长方体不是棱柱;②正方体是棱柱,长方体也是棱柱;③正方体是柱体,圆柱也是柱体;④正方体不是柱体,圆柱是柱体.A.1个B.2个C.3个D.4个9.滚动的保龄球的轨迹是一条直线,说明了;雨刷滑过汽车的车窗得到一个扇面,说明了;将一个长方形绕一边旋转得到圆柱,说明了.10.如图所示,至少找出下列几何体的四个共同点.【拓展探究】11.一个多面体,若顶点数是4,面数为4,则棱数应为.12.用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形.【答案与解析】1.D(解析:西瓜和足球都类似于球.故选D.)2.C(解析:长方体有6个面,圆柱有3个面,四棱柱有6个面,正方体有6个面,三棱柱有5个面,故有六个面的有3个.)3.B(解析:天空中的流星划过后留下的光线,给我们以线的形象.)4.圆柱棱柱和圆柱圆柱棱柱(解析:圆柱由两个平面和一个曲面围成,相交的线为两条曲线;棱柱由几个长方形与两个多边形围成,相交的线均为直线.)5.(1)球(2)长方体(3)圆锥(4)长方体(5)长方体(6)圆柱6.D(解析:上面是圆柱,下面是圆锥.)7.C(解析:除三棱锥外都是由三个面围成的.)8.B(解析:正方体和长方体都是四棱柱,棱柱和圆柱都是柱体,所以本题中②③正确.)9.点动成线线动成面面动成体10.解:(1)侧面都有长方形;(2)底面都是多边形;(3)每个面都是平的;(4)都是柱体;(5)经过每个顶点都有三条棱等.11.6(解析:这是一个四面体,即三棱锥,棱数为6.)12.4(解析:用6根火柴棒搭成正四面体,四个面都是正三角形,一共有4个.)认识几何体和认识几何图形不是一个难点,难点是从几何图形中抽象出几何体.为了突破这个教学难点,本课时在教学的过程中,遵循学生的认知规律,采取了步步诱导的教学策略,帮助学生在思考过程中,从点、线、面三个层次加深了对几何体的认识.在教学的过程中,过于依赖教材的素材,没有对课内的教材进行适度拓展.在探讨几何体的组成时,可以选取学生身边熟悉的事物,比如黑板、课桌等,这样更能形象地帮助学生认识几何体的组成.练习(教材第64页)1.解:这个几何体有8个面,18条棱,12个顶点.2.球六棱柱圆锥三棱柱圆柱习题(教材第64页)A组1.解:第一个几何体是三棱柱,平面图形有三角形(2个)、长方形(3个);第二个几何体是圆柱,平面图形有圆(2个);第三个几何体是圆锥,平面图形有圆(1个);第四个几何体是长方体,平面图形有长方形(6个).(画图略)3.解:第一个几何体有4个面,6条线,4个点;第二个几何体有6个面,12条线,8个点;第三个几何体有9个面,16条线,9个点.B组1.解:第一个物体可以看做是由几个圆柱构成的;第二个物体可以看做是球;第三个物体可以看做是由圆柱和圆锥构成的;第四个物体可以看做是圆锥.2.解:第一个图片表示点动成线,第二个图片表示线动成面,第三个图片表示面动成体.常见的立体图形我们生活在三维的世界中,身边有各种各样的物体.我们要善于观察身边的事物,认识立体图形.生活中的立体图形有柱体、锥体、球体.柱体分为圆柱和棱柱,其中圆柱是由两个底面和一个侧面围成的,如图(2)所示,它的底面是两个大小相等且互相平行的圆面,侧面是一个曲面.棱柱是由两个底面和几个侧面围成的,它的底面是两个大小和形状都相同且互相平行的多边形,侧面是n个长方形,一个棱柱的底面是几边形,这个棱柱就是几棱柱.如:底面是三角形的棱柱叫做三棱柱,如图(6)所示;底面是四边形的棱柱叫做四棱柱,如图(1)所示.锥体分为圆锥和棱锥,其中圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆,侧面是一个曲面,如图(4)所示;棱锥是由一个底面和几个侧面围成的,它的底面是一个多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形,一个棱锥的底面是几边形,这个棱锥就叫做几棱锥,如图(7)所示的棱锥是三棱锥,如图(5)所示的棱锥是四棱锥.球体是由一个曲面围成的封闭的几何体.球体的特征是球体表面上任意一点到球心的距离都相等,如图(3)所示的立体图形是球体.2.2点和线1.了解点、线段、射线、直线的概念.2.掌握点、线段、射线和直线的表示方法.3.理解并掌握“两点可以确定一条直线”这个基本事实.1.通过实际情境感知点和线,认识点、线段、射线和直线这些几何图形.2.通过观察和画图了解线段、射线和直线的关系及其表示方法.3.通过观察和操作,理解并掌握“两点可以确定一条直线”这个基本事实.1.培养学生乐于思考,敢于创新的精神.2.通过多姿多彩的活动,培养学生的创新意识和发散思维.【重点】点、线段、射线、直线的概念和表示方法.【难点】“两点可以确定一条直线”的基本事实.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习上一节的知识.导入一:同学们见过这种电子显示屏吧?你知道显示屏上的数字和图形是由什么基本要素构成的吗?[设计意图]通过生活情境,帮助学生感受“点”在几何图形中的作用.导入二:如图所示,用7根火柴棒可以摆出图中的“8”.你能去掉其中的若干根火柴棒,摆出0~9中其他的9个数字吗?这种用7条线段构成的数字称为“7画字”,它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上.[设计意图]教师组织学生交流各自的答案.本题呈现了点、线段在生活和科技中的应用,使学生体会数学与现实世界的密切联系.1.出示课本图2 - 2 - 1,请在图上找出表示石刻园、展览中心、花卉园、茶餐厅和健身区的点,并用笔加重描出这个公园的边界线.[设计意图]体会和感受点和线的关系,为深入理解几何上的点和线做认知准备.2.请指出图中平面图形的顶点和边,立体图形的顶点和棱.[处理方式]先让学生说出两个平面图形的顶点和边,初步让学生从几何的角度认识点和线的关系,随后让学生说出两个立体图形中点和棱的关系,可以让学生用笔描的方式画出一些点和棱.3.点和线的关系的初步描述点的形象随处可见,如地图上用来表示城市位置的点,绘画中表示天空中星星的点,几何图形中表示顶点的点等等.点运动的轨迹是线.活动2线段、射线和直线思路一1.线段及其表示方法线段的直观形象是拉直的一段线.如跳高的横杆、直尺的边沿、一段铁轨等,都给我们以线段的形象.点和线段的表示方法如图所示.位于线段AB两端的点A,B,叫做这条线段的端点.2.射线及其表示如图所示,将线段AB沿AB方向(或BA方向)无限延伸所形成的图形叫做射线.点A(或点B)叫做射线的端点.3.直线及其表示方法如图所示,将线段AB沿这条线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.[知识拓展]直线、射线、线段的联系和区别:名称图形表示方法端点延伸性度量线段线段a线段AB线段BA2个不能延伸可度量射线射线OA1个向一方无限延伸不可度量直线直线l直线AB直线BA无端点向两个方向无限延伸不可度量思路二问题:在数学里,我们常用字母表示图形.一个点可以用一个大写字母表示,如“·”这个点可以表示成点A,那么一条线段、一条射线、一条直线又该怎样表示呢?请同学们自主学习线段、射线、直线的表述方法.(阅读教材第66,67页)[处理方式]学生自主学习,用自己的语言总结叙述线段、射线、直线的表示方法,教师补充并借助多媒体讲解.(1)线段的图形及表示方法:用两个端点的大写字母来表示,或用一个小写字母表示,可以写成:线段AB;线段BA;线段a.(2)射线的图形及表示方法:用它的端点和射线上的另一点来表示,可以写成:射线AB.注意:这两个字母的排列顺序不能互相交换,表示端点的字母必须写在另一个字母的前面,同时也不能用一个小写字母表示.(3)直线的图形及表示方法:用直线上的两个点来表示或用一个小写字母来表示,可以写成:直线AB;直线BA;直线l.提问:生活中有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?学生讨论后举例,如:吃饭的筷子、铅笔给我们线段的形象;手电筒、激光笔射出的光线都给我们以射线的形象;高速路上的白色实线等给我们直线的形象.[设计意图]让学生充分交流,丰富线段、射线、直线的生活背景,进一步巩固所学的线段、射线、直线的知识,使学生感受现实生活中含有大量的数学信息,提高学习兴趣,培养学生分析问题、解决问题的能力.活动3两点确定一条直线1.点与直线的关系平面内的一点P与直线l可能有怎样的位置关系?请画出图形,并用相应的语言说明.在同一个平面内,给定一个点与一条直线,它们的位置关系有两种情况.(1)第一种情况:点P在直线l上(直线l经过点P)(2)第二种情况:点P在直线l外(直线l不经过点P)[处理方式]可以交给学生交流完成,然后强调:因为直线具有无限延长性,所以已知一个点在直线上,就可以断定不存在另一种情况.也就是说,一个点在平面内,要么在直线上,要么不在直线上,二者必居其一.2.过直线外一点的直线提问:(1)过一个点A可以画几条直线?(2)过两点A,B可以画几条直线?(3)如果将一个细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?它的依据是什么?提示:过一个已知点可画无数条直线,过两个已知点可以画出直线,但只能画一条直线.[处理方式]引导学生动手画图,自主思考,相互讨论,描述从操作中所发现的结论,与学生共同总结直线的性质,并板书“经过两点有且只有一条直线”.注意:(1)“有”表示存在性,“仅有”表示唯一性.(2)这个性质还可以说成“两点确定一条直线”.[设计意图]学生通过动手画图,培养几何作图能力,并在作图过程中发现直线的某些性质.[知识拓展](1)线段无粗细之分,有两个端点.理解线段的概念要掌握它的三个特征:直的、有两个端点、可以度量.(2)射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.手电筒、探照灯等射出来的光线可以近似地看做射线.(3)射线的特点:直的、有一个端点、向一方无限延伸.(4)直线的特点:直的、没有端点、向两方无限延伸.将线段向两个方向无限延伸就形成了直线.(5)经过两点有且只有一条直线可以简述为:两点确定一条直线.“有且只有”中的“有”表示存在性,“只有”表示唯一性,“确定”与“有且只有”的意义相同.1.线段、射线、直线的概念.2.线段、射线、直线的表示方法.3.直线的性质:经过两点有且只有一条直线,可以简述为两点确定一条直线.1.图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是()解析:根据直线可向两方无限延伸,射线可向一方无限延伸,线段有两个端点解答.只有D 选项射线AB与直线PQ能够相交.故选D.2.用一个钉子把一根细木条钉在墙上,木条能绕着钉子转动,这表明;用两个钉子把细木条钉在墙上,就能固定细木条,这表明.解析:用一个钉子把一根细木条钉在墙上,木条能绕着钉子转动,说明过一点有无数条直线;用两个钉子把细木条钉在墙上,就能固定细木条,说明两点确定一条直线.答案:过一点有无数条直线两点确定一条直线3.如图所示,四点A,B,C,D,按照下列语句画出图形:(1)画直线AB;(2)画射线BD;(3)线段AC和线段DB相交于点O.解:如图所示.2.2点和线活动1点与线活动2线段、射线和直线活动3两点确定一条直线经过两点有且只有一条直线一、教材作业【必做题】教材第68页练习.【选做题】教材第68页习题A组第3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.直线CD和直线DC是一条直线B.射线CD和射线DC是一条射线C.线段CD和线段DC是两条线段D.直线CD和直线a不能是同一条直线2.下列说法正确的有();④直线、射线、①直线是射线长度的2倍;②线段为直线的一部分;③射线为直线长度的12线段中,线段最短.A.4个B.3个C.2个D.1个3.同一平面内三条直线最多有m个交点,最少有n个交点,则m+n等于()A.2B.3C.4D.54.已知平面内的四个点A,B,C,D,过其中两个点画直线可以画出几条?画图说明.【能力提升】5.如图所示,能读出的线段共有()A.8条B.10条C.6条D.以上都错6.下列说法中错误的是()A.经过一点的直线可以有无数条B.经过两点的直线只有一条C.一条直线只能用一个字母表示D.线段CD和线段DC是同一条线段7.如图所示,点A,B,C,D在同一直线上,那么这条直线上共有线段()A.3条B.4条C.5条D.6条【拓展探究】8.一根绳子弯曲成如图(1)所示的形状.当用剪刀像图(2)那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图(3)那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再继续剪(剪刀的方向与a平行),这样一共剪n次时绳子的段数是()A.4n+1B.4n+2C.4n+3D.4n+59.一条直线将平面分成两部分,两条直线最多将平面分成四个部分,那么三条直线将平面最多分成几部分?四条直线将平面最多分成几部分?n条直线呢?10.如图所示.(1)点A,B,C在直线l上,则直线l上共有几条线段?(2)如果直线l上有5个点,则直线l上共有几条线段?(3)如果直线l上有100个点,则直线l上共有几条线段?(4)如果直线l上有n个点,则直线l上共有几条线段?【答案与解析】1.A(解析:直线CD和直线DC都是由C,D这两点确定的,根据两点确定一条直线可知,这两条直线是同一条直线.故选A.)2.D(解析:没有真正体会直线、射线的延伸性,这种延伸性决定了直线、射线无长度,不能比较长短,所以①③④是错误的.故选D.)3.B(解析:三条直线的位置关系有三种情况:三条直线互相平行,此时没有交点;三条直线交于一点;三条直线交于两点;三条直线交于三点.所以m=3,n=0,所以m+n=3.故选B.)4.解:由于题目没有说明已知的四个点是否在一条直线上,所以应分类讨论.(1)当四个点A,B,C,D在同一直线上时,只可以画出一条直线,如图(1)所示;(2)当四个点A,B,C,D中有三个点在同一直线上时,可以画出4条直线,如图(2)所示;(3)当四个点A,B,C,D中任意的三个点都不在同一直线上时,可以画出6条直线,如图(3)所示.5.A(解析:以A为顶点的线段有4条,以B为顶点的线段有4条,以C为顶点的线段有4条,以D 为顶点的线段有4条,共16条,由于每条线段都被统计了2次,所以线段共有8条.)6.C(解析:一条直线可以用一个小写字母表示,也可以用两个大写字母表示.)7.D(解析:这条直线上有线段AB,AC,AD,BC,BD,CD,共六条.)8.A(解析:每剪一刀,相当于在一条直线上增加了4个点,剪n次就相当于在这个绳子上增加4n 个点.故选A.)9.解:三条直线将平面最多分成7个部分,四条直线将平面最多分成11个部分,n条直线将平面+1]个部分.最多分成[n(n+1)2条.10.解:(1)3条.(2)10条.(3)4950条.(4)n(n - 1)2。
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2.7 角的和与差
一、选择题
1.如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A是（）
A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 以上三种都可能
2.一副三角板按如图方式摆放，已知∠1=5∠2，则∠1的度数是（）
（第2题图）
A. 15°
B. 18°
C. 72°
D. 75°
3.如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是（）
（第3题图）
A. 22.5°
B. 45°
C. 90°
D. 135°
4.把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是∠α，∠β，若∠α=55°，则∠β=（）
（第4题图）
A. 25°
B. 35°
C. 45°
D. 55°
5.下列图形中，∠1与∠2互为补角的是（）
A. B.
C. D.
6.如图，一个直角三角板ABC绕其直角顶点C旋转到△DCE的位置，若∠BCD=30°，下列结论错误的是（）
（第6题图）
A. ∠ACD=120°
B. ∠ACD=∠BCE
C. ∠ACE=120°
D. ∠ACE﹣∠BCD=120°
7.若∠A=34°，则∠A的余角的度数为（）
A. 146°
B. 54°
C. 56°
D. 66°
8.已知∠α和∠β互为余角．若∠α=40°，则∠β等于（）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 140°
9.两个锐角的和（）
A. 必定是锐角
B. 必定是钝角
C. 必定是直角
D. 可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
10.如图，已知点O在直线AB上，，则的余角是( )
（第10题图）
A. B.
C. D.
二、填空题
11.如图，图中小于平角的角共有________ 个，其中能用一个大写字母表示的角是________ ．
（第11题图）
12.如果∠1+∠2=90°，而∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是________．
13.若∠α比60°角的补角的大35°，则∠α的余角为________°．
14.将一副三角板如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为________．
（第14题图）
15.已知∠α=40°36′，则∠α的余角为________ ．
16.若∠α补角加上30°是∠α余角的3倍，则∠α=________．
17.若∠A=66°20′，则∠A的余角等于________.
18.如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB=___度．
（第18题图）
三、解答题
19.一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角的度数.
20.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
21.如图，AO⊥OC，解答下列问题：
①比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指明其中的锐角、直角、钝角及平角；
②写出∠AOB、∠AOC、∠BOC、∠AOE中某些角之间的两个等量关系．
（第21题图）
22.如图（1）所示，∠AOB、∠COD都是直角．
（1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系．请你用推理的方法说明你的猜想是合理的．
（2）当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示的位置时，你在（1）中的猜想还成立吗？请你证明你的结论．
（第22题图）
23.如图，将书角斜折过去，使角顶点落在A′处，BC为折痕，∠A′BD=∠DBE，求∠CBD的度数．
（第23题图）
参考答案
一、1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A
二、11.7；∠B，∠C 12.相等13.25 14.160° 15.49°24′ 16.30° 17.23°40′
18. 180
三、19.解：设这个角的度数为x°，则根据题意，得180﹣x=3（90﹣x），
解得x=45，
即这个锐角为45°．
20.解：设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）=10°，解得x=50°．
21.解：（1）∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE.
∵AE⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝角，∠AOE是平角；
（2）∠AOB+∠BOC=∠AOC，∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE．
22.（1）解：∠AOD与∠COB互补．
理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°，
∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB，
∴∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB，
∴∠AOD+∠COB=180°，
∴∠AOD与∠COB互补.
（2）解：成立．
理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，
∴∠AOB=∠COD=90°.
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，
∴∠AOD+∠COB=180°，
∴∠AOD与∠COB互补．
23.解：由题意可知，∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠DBA′，∴∠CBA′= ∠ABA′，∠A′BD=
∠A′BE，
∴∠CBD=∠CBA′+∠DBA′= （∠A′BA+∠A′BE）.
∵∠A′BA+∠A′BE=180°，
∴∠CBD=90°．。