人教A版高中必修二试题专题讲解+课后训练：空间几何体的表面积和体积
人教新课标A版数学必修21.3空间几何体的表面积与体积单元复习
自我检测
一个长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上 的三条棱的长分别为1,2,3，求球的体积？
思考一个棱长为a的正方体的外接
B
球的半径？
A
O
a=3
b=2 c=1
r外接球
3a 2
r球
1 2
a2 b2 c2
14 2
答案：7 14
3
问题引申
设一个棱长为a的正方体思考下列问题
1，内切球的半径？ 2，与侧棱相切的球的半径？
侧
底
V台体 13（S上 S上S下 S下）h
台
体
圆台
S表
（r上
r下)l
(r上2
r下2）
V圆台
1 3
(r上2
r上r下
r下2）h
球 S表 4r 2
V球
4 r 3
3
二，求几何体体的表面积与体积时的注意问题
1，注意看清条件求表面积还是侧面积。
2，三棱锥独有的几何特性：任何一个面都可 作为底面
小结：有接触面的几何体表面积 应正确处理接触面做到不重复计 算
自我检测
如图所示求四边形ABCD绕轴AD旋转一周所得几何体的表面积 D
D
42
4
C
4 A
A2 B
S表 S锥表 S台表 - 2S接触面 16 2 12 5 4
S表 S锥侧 S台侧 S台下底 16 2 12 5 4
C B
二 空间几何体的体积
空间几何体的表面积与体积单元复习
一 空间几何体的表面积
复习回顾
1 空间几何体的侧面积与表面积
侧面积 是几何体侧面展开图的面积，它是 相对于底面而言的
表面积 是几何体表面的面积，又称全面 积，是侧面积与底面积的和
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积习题(2)
第二节 空间几何体的表面积和体积一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12D.92π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18，故选D.答案 D2．如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A．20＋3π B．24＋3πC．20＋4π D．24＋4π解析由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为2的正方体．下面是半个圆柱，其半径为1，母线为2.故S＝5×22＋π＋π×1×2＝20＋3π.答案 A3．(2014·唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()A．8π＋16 B．8π－16C ．8π＋8D ．16π－8解析 V ＝π·222·4－12·4·2·4＝8π－16，选B. 答案 B4．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.163π B.1912π C.193πD.43π解析 由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝1912，S ＝4πR 2＝193π.答案 C5．正六棱锥P —ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D —GAC 与三棱锥P —GAC 体积之比为( )A ．1:1B ．1:2C ．2:1D ．3:2解析 设棱锥的高为h ， V D —GAC ＝V G —DAC ＝13S △ADC ·12h ， V P —GAC ＝12V P —ABC ＝V G —ABC ＝13S △ABC ·h 2. 又S △ADC S △ABC ＝21，故V D —GACV P —GAC ＝2 1. 答案 C6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533解析 如图，设球心为O ，OS ＝OA ＝OC 得∠SAC ＝90°，又∠ASC ＝45°，所以AS ＝AC ＝22SC ，同理BS ＝BC ＝22SC ，可得SC ⊥面AOB ，则V S －ABC ＝13S △AOB ·SC ＝13×3×4＝433，故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析 设底面半径为r ，如图所示． 12·2πr ·l ＝2π，∴rl ＝2. 又∵12πl 2＝2π，∴l ＝2，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝3， ∴V ＝13·π·12·3＝33π. 答案 33π8．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析 该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R ＝22＋22＋22＝23，所以该球的表面积为4πR 2＝12π.答案 12π9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F —ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 设三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的高为h ，底面△ABC 的面积为S ，V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，所以V 1V 2＝124.答案 124三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．∴该几何体的体积V＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝HO2＋OE2＝42＋32＝5，∴S△HAB＝12×AB×HE＝12×8×5＝20.侧面HBC中，HF＝HO2＋OF2＝42＋42＝4 2.∴S△HBC＝12×BC×HF＝12×6×42＝12 2.∴该几何体的侧面积S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24 2.11．(2014·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解(1)直观图如图所示：(2)方法1：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1 m.在Rt △BEB 1中，BE ＝1 m ，EB 1＝1 m ，∴BB 1＝ 2 m. ∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S正方形ABCD ＋S矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2 ＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)． ∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.方法2：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法1，V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.12．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ；(2)求三棱锥A —PBC 的体积．解 (1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD .所以四边形BCDF 为平行四边形．所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB .又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ，所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC .(2)取AD 的中点O ，连接PO .在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2，所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A —PBC 的体积V A —PBC ＝V P —ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.。
人教A版数学必修第二册考点复习：空间几何体的表面积和体积课件
A.2
B.2 2
C. 3
D.2 3
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中
还原出三视图的直观图,
该四面体为三棱锥D1-BCB1,
其四个面的面积分别为2, 2 2, 2 2, 2 3.
命题角度二
空间几何体的体积
经典再现
例 (课标全国Ⅱ文,16,5分)已知圆锥的顶点为S, 母线SA, SB互相垂直, SA与圆锥
高一
必修二
空间几何体的表面积和体积
本节目录
1
空间几何体的表面积与体积
2
几何体的内切、外接问题
考向一
空间几何体的表面积与体积
命题角度一
空间几何体的表面积
经典再现
例 (课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该
几何体的表面积为( C )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
A.8 6 π
B.4 6 π
C.2 6 π
D. 6 π
令PA=PB=PC=2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= 3.
在△PAC中,cos∠APC=
2
2
4 2 +4 2 −4 2 2 −1
=
.
2×4 2
2 2
2
在△PEC中,EC =PC +PE -2PC·PEcos∠EPC
对点训练
1.(洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C )
A.2
B.1
C.
2
3
D.
1
3
如图,由三视图可知几何体的底面是对角线为
1
人教A高中数学必修二课时分层训练：第一章 空间几何体 2 含解析
第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。
《作业推荐》高中数学人教A版(2019) 必修(第二册)同步练习：8.3空间几何体的表面积与体积
《作业推荐》—8.3空间几何体的表面积与体积一、单选题(共45 分)1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（）A.22B.20C.10D.11【答案】A【解析】【分析】根据长方体的表面积公式计算即可.【详解】所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.故选：A.【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式,属于基础题型.2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ （A.2πB.3πC.πD.4π【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，计算即可．【详解】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l（2（则它的侧面积为S侧（2πrl（2π×1×2（4π（故选D（【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．3.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，且ΔABC为等边三角形，AP=AB=2，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为（）A.272π B.283π C.263π D.252π【答案】B 【解析】计算出ΔABC 的外接圆半径r ，利用公式R =√r 2+(PA 2)2可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P −ABC 的外接球的表面积. 【详解】ΔABC 的外接圆半径为r =AB 2sinπ3=2√33，∵PA ⊥底面ABC ，所以，三棱锥P −ABC 的外接球半径为R =√r 2+(PA 2)2=√(2√33)2+12=√213， 因此，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为4πR 2=4π×(√213)2=28π3.故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.4.把球的体积扩大到原来的2倍，那么表面积扩大到原来的（ ） A.2倍 B.√43倍C.√34倍D.√23倍【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积公式，分别求得原来球的体积和变大后的球的体积，进而得到变化前后半径之间的关系，再由球的表面积公式即可求解． 【详解】设变化前后球的半径分别为r,r 1，表面积分別为S,S 1.由条件可知43πr 13=43πr 3⋅2,∴r 1=√23r ，因此扩大后球的表面积S 1=4πr 12=4π(√23r)2=√43S .故选：B 【点睛】本题主要考查了球的体积和表面积的计算与应用，其中解答中熟记球的体积公式、表面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5.若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ） A.1 B.√2C.√3D.2【答案】C 【解析】结合表面积,侧面为半圆,建立等式,即可.【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为ℎ，则πr2+πrl=3π，2πrl=π，所以l=2，r=1，ℎ=√3.【点睛】本道题考查了立体几何表面积计算公式,结合题意,建立方程,计算结果,即可,属于基础题.6.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC，且AB=2.若三棱锥P−ABC的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )A.6+6√3B.8+6√3C.8+8√5D.6+8√5【答案】C【解析】【分析】第一步确定球心位置在PC的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，设PC的中点为O，则O到P−ABC的四个顶点的距离都相等，所以点O是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为43πR3=36π，得外接球半径R=3，所以PC=6.设PA=a,BC=b，则PA2+AB2+BC2=PC2，得a2+b2=32，所以V P−ABC=13×12×2b×a=13ab⩽13×a2+b22=163，当且仅当a=b=4时，V P−ABC取得最大值163.此时PB=AC=√42+22=2√5，所以，三棱锥的表面积S=2×12×2×4+2×12×4×2√5=8+8√5.故选：C.【点睛】本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积.其解题规律：(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．7.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为（）A.4 : 3B.3 : 1C.3 : 2D.9 : 4【答案】C【解析】【分析】画出轴截面如图所示，设球的半径为r，将圆锥的侧面积、球的表面积分别用r表示，即可得答案.【详解】画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD=r，PO=2r，∠PDO=90°，∴∠CPB=30°.又∠PCB=90°，PC=√3r，PB=2√3r，∴CB=√33∴圆锥的侧面积S1=π×√3r×2√3r=6πr2，球的表面积S2=4πr2，∴S1:S2=3:2.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的侧面积、球的表面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.8.等体积的球和正方体的表面积S1,S2的大小关系是（）A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据体积相等得出正方体棱长和球的半径的大小关系，求出表面积即可得解.【详解】设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意得V =43πR 3=a 3，所以a =√V 3，R =√3V4π3.所以S 1=6a 2=6√V 23=√216V 23， S 2=4πR 2=√36πV 23， 所以S 1>S 2. 故选：A 【点睛】此题考查正方体和球体的体积表面积计算，根据体积相等得出等量关系，关键在于对代数式的准确化简.9.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1,S 2，则（ ）A.如果S 1,S 2总相等，则V 1=V 2B.如果S 1=S 2总相等，则V 1与V 2不一定相等C.如果V 1=V 2 ，则S 1,S 2总相等D.存在这样一个平面α使S 1=S 2相等，则V 1=V 2 【答案】A 【解析】 【分析】由祖暅原理的含义直接判断即可得出答案. 【详解】 如图所示：由祖暅原理的含义可得当平面α∥β，并且和α平行的平面截得两个几何体的所得的截面面积S 1=S 2时，V 1=V 2，则A 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了祖暅原理的理解和应用，属于基础题. 二、填空题(共 25 分)10.若正方形ABCD 的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A ′B ′C ′D ′，则直观图A ′B ′C ′D ′的周长等于_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解，得到答案. 【详解】根据斜二测画法画出图形后求出周长，如图，因为正方形ABCD 的边长为1， 则由斜二测画法可得A ′D ′=1，B ′C ′=1，A ′B ′=12，D ′C ′=12，所以四边形A ′B ′C ′D ′的周长为1+1+12+12=3.【点睛】本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体P −ABC 为鱉臑，PA ⊥平面ABC ，∠ABC 为直角，且PA =AB =BC =2，则P −ABC 的体积为________.【答案】43【解析】【分析】计算出△ABC的面积，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥P−ABC的体积.【详解】由题意知PA⊥平面ABC，∠ABC=π2，PA=AB=BC=2，所以△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC=2，因此，V P−ABC=13S△ABC⋅PA=13×2×2=43.故答案为：43.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.12.在ΔABC中，AB=AC=6，BC=4，AD是BC边上的中线，将ΔABD沿AD折起，使二面角C−AD−B等于120∘，则四面体ABCD外接球的体积为______.【答案】32√3π【解析】【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD及底面外接圆的半径r，利用公式R=√r2+(AD2)2求出外接球的半径R，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，在折起的过程中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，所以AD⊥平面BCD，因为二面角C−AD−B等于120∘，所以∠BDC=120∘，且BD=CD=2，AD=√AB2−BD2=4√2，在ΔBCD中，∠CBD=∠BCD=30∘，ΔBCD外接圆半径为r=BD2sin30∘=2，设外接球的半径为R，则R=√r2+(AD2)2=√22+(2√2)2=2√3，因此，所以外接球的体积为V=43πR3=43π×(2√3)3=32√3π.故答案为：32√3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．13.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为V1（三棱柱A1B1C1−FEC），V2两部分，那么V1:V2=______.【答案】3：4【解析】【分析】设三棱台的高为ℎ，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为ℎ，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，∴V台=13ℎ(S+4S+2S)=73Sℎ，∴V1=Sℎ,∴V1V2=Sℎ73Sℎ−Sℎ=34.故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.14.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h 计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2ℎ.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2ℎ相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为____. 【答案】227【解析】 【分析】由题意，讲圆锥体积公式V=13Sℎ代入到近似公式中，即可求解圆周率π的近似值.【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则圆锥底面圆周长L =2πr ，∴r =L 2π，∴V =13πr 2ℎ=L 2ℎ12π，令L 2ℎ12π=7264L 2ℎ，得π=227.故答案为：227【点睛】本题考查中国传统文化，利用圆锥体积公式，近似计算圆周率，是基础题. 三、解答题(共 30 分)15.如图四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 正方形，E 为PD 中点.（1）求证：PB ∥平面ACE ；（2）已知PA ⊥平面ABCD 且PA =AB =2，求三棱锥D −ACE 体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】 【分析】(1)连接BD 交AC 与O ,连接OE ,根据中位线定理即可证明OE ∥PB ,从而证明PB ∥平面ACE ; (2)根据V D−ACE =V E−ACD =12V P−ACD ,由三棱锥体积公式即可求解.【详解】(1)连接BD交AC与O,连接OE则OE∥PB,又OE⊆平面AEC,且PB⊄平面AEC 所以PB∥平面ACE(2)取AD的中点F,连接EF,则PA∥EF∵PA⊥平面ABCD∴V D−ACE=V E−ACD=12V P−ACD.=12[13×(12AD×CD)×PA]=12×[13×(12×2×2)×2]=23【点睛】本题考查了直线与平面的平行判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.16.如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）【答案】14359(cm2)【解析】【分析】上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者相加即为需要瓷砖面积．【详解】解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.S四棱柱侧=4×40×80=12800(cm2)，四棱台的斜高ℎ′=√102−(50−402)2=5√3(cm)，S四棱台侧=4×40+502×5√3≈1559(cm2)故需要瓷砖的面积为12800+1559=14359(cm2).【点睛】本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基础题．17.在平面几何中可利用等积变换求三角形的面积，通常有两种方案：一是同一三角形选不同的边作为底边所得面积相等；二是不同的三角形利用“等底同高”或“等高同底”得到三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变换”求三棱锥的体积？如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1，的棱长为1，E为线段B1C上的一点，在求三棱锥A−DED1的体积时，随着E点的变化，底面ΔDED1的面积在变化，点A到底面的距离也在变化，导致体积难求.（1）能否利用“等体积转换法”求解三棱锥A−DED1的体积？（2）求三棱锥E−ADD1的体积关键是求高，即求E点到平面AA1D1D的距离，如何求出E点到平面AA1D1D的距离？（3）求出三棱锥A−DED1的体积.【答案】（1）能；（2）见解析；（3）16【解析】【分析】（1）选ΔADD1为底面，底面积不变，点E到面ADD1的距离不变即可判断.（2）由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB1C1C平行，故E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离.（3）利用（1）（2）借助三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）选ΔADD1为底面，则底面积不变，利用同一几何体的等积变换得，三棱锥A−DED1的体积等于三棱锥E−ADD1的体积.（2）由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB1C1C平行，因此E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离，利用“等底同高”体积相等得，三棱锥E−ADD1的体积等于三棱锥C−ADD1的体积.（3）由问题1、2得，V A−DED1=V E−ADD1=V C−ADD1=13×12×1×1×1=16.【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，属于基础题.。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
人教高中数学A版必修2 空间几何体的表面积和体积 精讲精析
1·3 空间几何体的表面积和体积1·3·1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一. 柱体、锥体、台体的表面积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由若干个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各表面的面积之和，我们可以把它们展开成一个平面图形，利用平面图形求面积的方法，求得它们的表面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各自的侧面积与底面面积之和.1.棱柱、棱锥、棱台侧面积的计算(1)直棱柱直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.其侧面展开图是一个矩形.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.S＝ch，其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高.直棱柱侧（2）正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.性质：①正棱锥的各侧棱长相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）.②侧棱和底面所成的角相等.③正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的.正棱锥侧S ＝21'ch （其中c 为棱锥底面周长，'h 为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）（3）正棱台定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台. 侧面展开图是由各个侧面组成的.正棱台侧S ＝ 21'')(h c c +（其中c ，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）2. 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式间的转化ch S h c c S ch S c c c 21210''''=−−→−+=−−−←===正棱锥侧正棱台侧直棱柱侧）（（二） 圆柱、圆锥、圆台的表面积1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积计算方法把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积，而圆柱、圆锥、圆台的底面均是圆面.2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱①圆柱的侧面展开图示一个矩形；②如果圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则圆柱的表面积为222r rl S ππ+=. （2）圆锥①圆锥的侧面展开图为一个扇形；②如果圆锥的底面半径为径为r ，母线长为l ，则圆锥的表面积为2r rl S ππ+=. （3）圆台①圆台的侧面展开图为一个扇环；②如果圆台的上、下底面半径分别为21,r r ，母线长为l ，则圆台的表面积为)(212221l r l r r r S +++=π.4. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式间的转化202122212121)(22r rl S l r l r r r S r rl S r r r πππππ+=−−→−+++=−−−←+===圆锥表圆台表圆柱表例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径d ＝1m ，高h ＝2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效数字）.（例1题图） 解析：底面半径d r 21=∴S 侧面积＝ dh rh ch ππ==2= 2.3π∴S 表面积 ＝ S 侧面积＋ S 底面积＝2.3π＋≈π218.7 例2.一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为x cm 、y cm 、z cm 、l cm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由22）（得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系.例3.已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为上S =22⋅π=4π， 圆台的上底面面积为ππ2552=⋅=下S ， 所以圆台的底面面积为π29=+=下上S S S ， 又圆台的侧面积 l l S ππ772=+=）（侧， 于是ππ297=l ，即729=l 为所求. 例4.有一根长为10 cm ，底面半径是0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm ）解析：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10 cm, AB =ππ885.02=⨯⨯cm , 点A 与点C 就是铁丝的起止 位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度. ∴ AC =05.27)8(1022≈+π(cm ) .所以，铁丝的最短长度约为27.05 cm.点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.（例4题图）二. 柱体、锥体、台体的体积1．祖暅原理两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.2．柱体的体积公式:为高）为底面面积，（h S Sh V =,圆柱的体积公式也可表示为：为高）为底面半径，（＝h r h r V 2π.3．锥体的体积公式：为高）为底面面积，（h S Sh V 31=，圆锥的体积公式也可表示为：为高）为底面半径，（＝h r h r V 231π.4．台体的体积计算公式：为高），分别是上、下底面面积（）（h S S h S SS S V ''',31++=,圆台的体积公式也可表示为，为高），分别为上、下底面半径（）（h r r h r rr r V '2''2,31++=π.5. 柱体、椎体、台体的体积公式之间的关系柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而它们的体积公式会有以下的关系：−−−←=='S S Sh V 柱体−−→−++==0'''31S h S SS S V ）（台体Sh V 31=锥体例1.如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm ）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm 3）.（例1题图）解析：V 正四棱台＝667.851)11111515(53122≈+⨯+⨯⨯V 长方体＝886⨯⨯＝864 V 球 ＝097.1133342≈⨯πV ＝ V 正四棱台 ＋ V 长方体＋ V 球76.1828≈例2. 若一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm 的正六边形，求这个六棱锥的体积. 提示：根据题意，主要是求底面正六边形的面积，可以把正六边形分成6个全等的等边三角形，只需求一个正三角形面积即可.答案：例3．一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积.解析：设长方体的长宽高分别为c b a ,,，则 6,3,2===bc ac ab ，三式相乘得36)(2=abc所以，长方体的体积为36.例4. 在边长为a 的正方形中剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.解析：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x ，圆半径为r ，则36051)22(15311523)225(,2)25(2,)25(2,4224133222ππππa h r V r r x h ar a r a AB r r x AB r x r x -==∴=-=-==+∴=+=+==∴=⨯圆锥的高解得又 点评：求 已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.1·3·2 球的体积与表面积1.球的体积公式：334R V π=（R 为球的半径） 2.球的表面积公式:24R S π=（R 为球的半径）例1.（04 年辽宁卷.10）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ） A π68 B π664 C π224 D π272 解析：由已知可得，A 、B 、C 、D 在球的一个小圆上.∵ AB =BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径323=r A.68)6(34346,)2()223(23222222所以选球的体积解得得由πππ===∴=+=+=R V R R R h r R点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 R 2 = r 2 + h 2 ，体积和表面积公式.例2.推导球的表面积公式.解析：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用 ,,,,21i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积.21 +∆++∆+∆=i S S S S以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“ 小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h .因此，第i 个小棱锥的体积i i i h V S 31∆⋅=，当“小锥体”的底面非常小时，“ 小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：即为球的表面积公式可得且又332112211434R 3131,,),(31R S R S S R V S S S S R h S h S h S h V i i i ππ=∴=⋅∴⋅≈+∆++∆+∆=≈+∆++∆+∆≈（例2题图） 点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”， 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.例3. A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．（例3题图）解析： AB 2+BC 2=AC 2， ∆∴ABC 为直角三角形， ∆∴ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ，因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（2R ）2+152，∴R 2=300，∴S 球=4πR 2=1200π（cm 2）.。
新课标人教A版高中数学必修2空间几何体复习ppt课件
r1
a 2
a
2
r2 2 a
a
r3
3a 2
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
34
球与正方体的“接切”问题
1.一 个 正 方 体 的 顶 点 都 在球 面 上 ， 它 的 棱 长 是4cm， 求 这 个 球 队 体 积. 2.钢 球 直 径5cm， 把 钢 球 放 入 一 个 正 方体 的 有 盖 纸 盒 中 ， 至 少 要 用多 少 纸 ？
D1
A1
C1 B1
D1
C1
B1
D1
C1
B1
D C
D C
D
A
B
A 图1 B
A 图2 B
D1
A1
C1
D1
B1
C1 B1
正视图
侧视图
D
D
C
C
A
B A 图1 B
俯视图
27
典型例题 例:10年福建文科3 若一个底面是正三角形的三棱住的正视图如图
所示,则其侧面积等于 A. 3 B.2 C.2 3 D.6
A1
解:如图,取BB1中点为B1，DD1中点为D，
C1
则V
V ,
B1 B1 EF
DDEF
VC1 B1EDF
V C1 B1EDF
1aa a
3
2
1 a3. 6
D1 F
D C
B1
A1
B1
E B
D
A
C1
B1
D1 F
D C
D
A1 B1
E B
30
A
典型例题 割补思想
例:如图，表示以AB 4cm, BC 3cm的长方形ABCD为底面的长
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学科：数学
专题：空间几何体的表面积与体积
引入
我们来观察下面的几组公式：
正方形面积2S a =正方体体积3V a =
长方形面积S ab =长方体体积V abc = 三角形面积12S lh =三棱锥体积13
V Sh = 圆面积2S r π=球体积343
V r π=
重难点易错点解析
题一
题面：一个圆柱侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比为( )
A．
ππ
44
1+
B．12
2
π
π
+
C．
π
π
2
4
1+
D．
π
π4
1+
题二
题面：正方体的外接球与内切球的体积之比为 .
金题精讲
题一
题面：正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
题二
题面：正四面体的棱长为a，则它的高为_______；体积为________.
题三
题面：一个正方体和一个圆柱等高，等侧面积，求这个正方体和圆柱的体积之比.
题四
题面：一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．
题五
题面：用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为．
题六
题面：棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是() A．1:7B.2:7C.7:19D.5:16
题七
题面：如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，
//
EF AB,
3
2
EF=,且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）
A．9
2
B.5
C.6
D.
15
2
C
题八
题面：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）
A.2
3
B.
7
6
C.
4
5
D.
5
6
题九
题面：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A.
4B.
思维拓展
题一
题面：正三棱锥P-ABC，侧面顶角是20o，侧棱长为a，过A作截面AEF与侧棱PB、PC交于E、 周长的最小值是．
F，则截面AEF
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：B.
题二
答案：1
金题精讲
题一 答案：316
题二
答案：3
,312
题三
答案：π：4
题四
答案：14π
题五 答案：328π
题六
答案：C
题七
答案：D
题八
答案：D
题九
答案：D
思维拓展
题一
答案：a。