浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试数学理试题

丽水市2012年高考第一次模拟测试数学（理科）试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷上填写学校、班级、考号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合}1{>=x x A ， }21{<<-=x x B ，则B A =(A) }21{<<-x x } (B) }1{->x x (C) }11{<<-x x (D) }21{<<x x （2）已知复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z(A) 12i -- (B) 12i -+ (C) 12i - (D) 12i +（3）某程序框图如右图所示，该程序运行后输出S 的值是(A) 10 (B) 12 (C) 100(D) 102（4）已知实数y x ,满足不等式组2020350x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，，， 则y x +2的最大值是(A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （5）“22ab>”是 “22log log a b >”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件（6）若7)1(axx -展开式中含x 的项的系数为280，则a = (A) 2- （B) 2 （C ）21- （D ）21（7）设n m ,为两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论成立的是(A) n m //且α//m ，则α//n （B ） n m ⊥且α⊥m ，则α//n （C ）n m ⊥且α//m ，则α⊥n（D ） n m //且α⊥m ，则α⊥n（8）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A ，则事件A 发生的概率为 (A)61（B ）41（C ）31（D ）21 （9）离心率为1e 的椭圆与离心率为2e 的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则=--112221e e(A) 1e -（B ）2e - （C ）11e -（D ）21e -（10）定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：)(2)2(x f x f =，且当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(，若21,x x 是方程=)(x f )10(≤<a a 的两个实数根，则21x x -不．可能．．是 （A ）24（B ）72 （C ）96 （D ）120第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） （11）已知ααsin 562sin =，)2,0(πα∈，则=αtan .（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（13）若函数220()0x x x f x ax x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，，是奇函数， 则=a .（14）已知数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和n n a n S ⋅=2*)(N n ∈，则=9a .（15）有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E ξ=6,则a = . （16）若正数a b ，满足12=+b a ，则ab b a ++224的最大值为 . （17）如图，已知圆M ：4)3()3(22=-+-y x ，四边形ABCD为圆M 的内接正方形，E 为边AB 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动，同时点F 在边AD 上运动时，OF ME ⋅的最大值是 .三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （18）（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 满足:=+C b B c cos cos A a cos 4. （Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若c b AC AB +=⋅，求ABC ∆的面积S 的最小值.（19）（本题满分14分）在等比数列{}n a 中，已知13a =，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足1142133b a b a b a ===，，.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n a b c +-=)1(，求数列{}n c 的前n 项和n S .（20）（本题满分15分）已知四边形ABEF 是矩形，ABC ∆是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，°120BAC ∠=，NA CN AF AB 3,421===，M P Q ，，分别是BC EF AF ，，的中点.（Ⅰ）求证：直线//PQ 平面BMN ； （Ⅱ）在线段AB 上是否存在点R ，使得平面⊥PQR 平面BMN ？若 存在，求出AR 的长；若不存在， 请说明理由.（21）（本题满分15分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆1)1(22=++y x 相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ的取值范围.（22）（本题满分14分）已知函数)1(21)(22+-+=x ae x x f .（Ⅰ）若，1=a 记)()(x f x g '=，求证：当21>x 时，21)(0<≤x g ； （Ⅱ）若1x ，2x 是函数)(x f 的两个极值点，且211x x <<，若34)(<i x f （2,1=i ），求实数a 的取值范围.（注：e 是自然对数的底数.）丽水市2012年高考第一次模拟测试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1-5: DABCB 6-10： CDAAB 二、填空题（每小题4分，共28分）（11）34 （12） π3108+ （13）1- （14）451 （15）31 （16） 1617 （17） 8三、解答题（本大题共5小题，共72分.）（18）解：(Ⅰ) 由题意得：A A C B B C cos sin 4cos sin cos sin =+ A A C B cos sin 4)sin(=+A A A cos sin 4sin = 0s i n ≠A 41c o s =∴A ┈┈6分 (Ⅱ) 因为 bc A bc AC AB 41cos ==⋅ 所以bc c b bc 241≥+= 64≥bc ，又 415sin =A11sin 6422S bc A =≥⨯=当且仅当c b =时，158min =S ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分 （19）解：(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d . 由已知得：2323,3q a q a ==，d b d b b 123,23,31341+=+==3411123333322=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q dq d q d q d q 或 1=q (舍去)所以， 此时 2=d所以，n n a 3=， 12+=n b n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分 (Ⅱ) 由题意得：n n n n n n n a b c 3)12()1()1(++-=+-= n n c c c S +++= 21n n n n n 333)12()1()12()1()97()53(21+++++-+--+++-++-=-当n 为偶数时，2323232311-+=-+=++n n S n n n 当n 为奇数时，27232323)12()1(11--=-++--=++n n n S n n n 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=++)(2723)(232311为奇数时为偶数时n n n n S n n n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分（20）解：(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系则)8,0,4(,)8,0,0(,)0,32,2(,)0,0,4(,)0,0,0(E F C B A -，3,21(,)4,0,0(,)0,3,1(,)8,0,2(-N M Q P设平面BMN 的法向量),,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0440232900z x y x BM n BN ， 令1=x , 则⎩⎨⎧==133z y 所以 )1,33,1(=n又)8,3,1(--=PQ ，而 0891=-+-=⋅n所以 PQ n ⊥ 又 ⊄PQ 平面BMN所以//PQ 平面BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 7分 (Ⅱ) 假设在线段AB 上存在点R ，使平面⊥PQR 平面BMN设(,0,0)(04)R λλ≤≤，平面PQR 的法向量为),,(111z y x m =则⎩⎨⎧=--=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅08)2(0830011111z x z y x m PQ m λ，令 31=x则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=8)2(3111λλz y 所以 )8)1(3,1,3(--=λλm 若平面⊥PQR 平面BMN ，则0=⋅n即08)2(3)1(333=-+-+λλ 得：2518=λ 所以，存在点R ，使平面⊥PQR 平面BMN ，且2518=AR ┈┈┈┈┈┈ 15分 （21）解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===+2222221194b a c a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===2324c b a 所以椭圆的标准方程为：1121622=+y x ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分(Ⅱ) 因为直线l ：t kx y +=与圆1)1(22=++y x 相切所以，)0(121122≠-=⇒=+-t t t k kkt把t kx y +=代入1121622=+y x 并整理得： 0)484(8)43(222=-+++t ktx x k 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438kktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+因为，),(2121y y x x OC ++=λ 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC 又因为点C 在椭圆上，所以，1)43(3)43(4222222222=+++λλk t k t k1)1()1(143222222++=+=⇒tt k t λ 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t 所以 102<<λ所以 λ的取值范围为 )1,0()0,1( - ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分（22）解(Ⅰ) 因为 1=a ，所以 )1(21)(22+-+=x e x x f 222222)21(21)2(21)1(21)()(+-+-+--+=-⋅++='=x x x e x e x ex f x g 由0)1(2)(22=-='+-x e x x g 得 1=x当121<<x 时，0)(<'x g ， 当1>x 时，0)(>'x g 所以，0)1()(=≥g x g又因为 021<-x ，所以，21)21(21)(22<-+=+-x e x x g 所以，当21>x 时，21)(0<≤x g ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分(Ⅱ) 由2211()()022i x i i f x a x e -+'=+-= 得：)12(22-=-i x x a e i因为方程)12(22-=-x a e x 有两解，所以0>a由3421]121)12[(41)1211(21)1(21)(22<+-+-=-+=+=+-i i i i x i i x x x x e a x x f i 解得：21<i x 或 232<<i x(ⅰ) 当21,2121<<<x x 时， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-a e a e a 310021⇒ 无解 (ⅱ) 当21,13221<<<<x x 时， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>>-ae a a e a 31310232 解得 3231-<<e a 所以，实数a 的取值范围为 )3,1(32-e ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分。