2018年秋高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.2第1课时对数函数的图象及其性质练习新人教A版必修1

第1课时 对数函数的图象及其性质
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y ＝⎝ ⎛12x ，x <0，则A ∩B ＝( ) A ．{y |0<y <1}
B ．{y |y >1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y <1 D ．∅
解析：因为A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y >1}．
所以A ∩B ＝{y |y >1}．
答案：B
2．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a 解析：a ＝21.2＞20＝1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝245＞20＝1，又因为a ＝21.2＝265＞245＝b ，所以a
＞b .c ＝2log 52＝log 54＜1，所以a ＞b ＞c .
答案：A
3．若f (x )＝1log 12
（2x ＋1）
，则f (x )的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)
解析：由题意应有⎩⎪⎨⎪⎧log 12（2x ＋1）＞0，2x ＋1＞0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＜1，x ＞－12， 所以－12
＜x ＜0.故选A. 答案：A
4．已知f (x )为R 上的增函数，且f (log 2x )>f (1)，则x 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(0，1)∪(2，＋∞)
解析：依题意有log 2x >1，所以x >2.
答案：C
5．已知a >0，且a ≠1，则函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )
解析：当a >1时，函数y ＝log a x 为增函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴交点的纵坐标大于1；当0<a <1时，函数y ＝log a x 为减函数，且直线y ＝x ＋a 与y 轴交点的纵坐标在0到1之间，只有C 符合，故选C.
答案：C
二、填空题
6．下列各函数是对数函数的序号是________．
①y ＝log 32x ；②y ＝log 3(x ＋1)；
③y ＝log 3x ；④y ＝－log 3x .
解析：①中，真数不是自变量x ，故不是对数函数；②同①，不是对数函数；③中，log 3x ＝12log 3x ＝log 9x ，满足对数函数的三个条件特征，故是对数函数；④中，－log 3x ＝log 13x ，是对数函数．
答案：③④
7．函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2，1)．
答案：(2，1)
8．函数f (x )＝2x
＋log 2x (x ∈[1，2])的值域为________．
解析：因为y ＝2x ，y ＝log 2x 在各自定义域上均为增函数，所以f (x )＝2x ＋log 2x 在[1，2]上单调递增，故f (x )∈[2，5]．
答案：[2，5]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小；
(1)log 0.90.8，log 0.90.7，log 0.80.9；
(2)log 32，log 23，log 413
.
解：(1)因为y ＝log 0.9x 在(0，＋∞)上是减函数， 且0.9＞0.8＞0.7，所以1＜log 0.90.8＜log 0.90.7. 又因为log 0.80.9＜log 0.80.8＝1，
所以log 0.80.9＜log 0.90.8＜log 0.90.7.
(2)由log 31＜log 32＜log 33，得0＜log 32＜1.
又因为log 23＞log 22＝1，log 413
＜log 41＝0， 所以log 413
＜log 32＜log 23. 10．已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)．
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．
解：(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．
(2)因为f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]
＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]，
若0<a <1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，a －2＝4，
所以a ＝12
. 若a >1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4， f (x )无最小值．
综上可知，a ＝12
. B 级 能力提升
1．函数f (x )＝log a |x |＋1(a ＞1)的图象大致为( )
解析：方法一：先画y ＝log a x 的图象，然后作y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象，
将两个函数的图象向上平移1个单位，即得到函数y ＝log a |x |＋1(a ＞1)的大致图象．
方法二：函数f (x )＝log a |x |＋1(a ＞1)是偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，当x ＞0时，f (x )＝log a x ＋1是增函数；当x ＜0时，f (x )＝log a (－x )＋1是减函数，又因为图象过(1，1)，(－1，1)两点，结合选项可知，选C.
答案：C
2．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ，x ≥4，f （x ＋1），x <4，
则f (log 23)＝______．
解析：因为1<log 23<log 24＝2，所以3＋log 23∈(4，5)， 所以f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝
f (lo
g 23＋3)＝f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224
＝
答案：124
3．已知实数x 满足－3≤log 12x ≤－12.求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫
log 2x 4的值域．
解：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝
log 2
2x －3log 2x ＋2.
因为－3≤log 12x ≤－12，所以12
≤log 2x ≤3.
令t ＝log 2x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，
y ＝t 2－3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322
－14，
所以t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2.
故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.。