江苏省苏锡常镇四市2020届高三年级教学情况调研(二)数学试题含附加题+答案
江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题
江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}1x x <，B ＝{}03x x <<，则A B ＝ ．2．已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 3．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为 ． 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 8．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．9．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b++-的最小值为 ． 10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为 ．11．过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 12．已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为 ．14．已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求证：CE ⊥AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的极小值不超过2a，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得1()f x ＝2()f x 成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n N *∈，1223a a a a ++11(1)n n n a a n a a λ-+=-恒成立．（1）如果11a ，21a ，31a 成等差数列，求实数λ的值； （2）已知λ＝1．①求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②已知数列{}n a 中，12a a ≠．数列{}n b 是公比为q 的等比数列，满足111b a =，221b a =，31ib a =(i N *∈)．求证：q 是整数，且数列{}n b 中的任意一项都是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 10 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1A -＝ 0 1b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(6π)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【详解】∵抛物线 y2＝4x 的焦点是(1，0)，
∴双曲线
x2 a2
y2 4a
1 的顶点为(1，0)，故
a＝1.
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.
8.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S4 5S2 ， a2 2 ，则 a4 ＝_______.
1 2
BC 2
2 3
AA1
1 9
63
24 .
故答案为： 24
【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10.已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
的周期为
2，且
x [0，1]时，f
(x)
2x a,
bx 1 x 1
,
0 x 1 2 ，则
1 x1 2
a＋b＝_______.
【答案】0 【解析】
【答案】 0, 2
【解析】
【分析】
2 x 0
由函数 y
2
x
ln
x
有意义，得到
x
0
，即可求解，得到答案.
2 x 0 【详解】由题意，函数 y 2 x ln x 有意义，则满足 x 0 ，解得 0 x 2 ，
所以函数 y 2 x ln x 的定义域为 0, 2 .
故答案为 0, 2.
9.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6，点 M 是对角线 A1C 上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C—MBD 的体积为_______.
【答案】24 【解析】 【分析】
利用顶点转化的方法，由VC—MBD =VM BCD 计算出几何体的体积.
【详解】VC—MBD =VM BCD
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A U B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝_______. 2．若复数z 满足(1﹣i )z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______. 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为_______.5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.6．函数ln y x =的定义域为_______.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝_______. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为_______.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12,?02()11,?112x a x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝_______.11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______. 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅u u u r u u u r＝_______.13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且10OM O N +=u u u u r u u u u r r ，则a 的取值范围为_______.14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e x y x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为_______.15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asinB .（1）求A ；（2）求cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值. 16．已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ；（2）求证：AC ⊥平面EBD .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B .现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π.记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）.（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立.（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j . 20．已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R . （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由.21．已知点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)，求矩阵A 的特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.23．已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c a x x a b c--+≤++恒成立. 24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点.（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PN PC 的值.25．已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+(n N *∈). （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362ni n i i a =>-∑.参考答案1．1【解析】【分析】根据集合A B U 中的元素，判断出a 的值.【详解】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A U B ＝{﹣1，a ，2}，∴a ＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2．0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率，将所得结果乘以100，求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4．﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的y的值.【详解】运行程序，第一步：y＝2，x＝2；第二步：y＝﹣1，x＝﹣1；退出循环，输出的y的值为﹣1.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题. 5．2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，求得男生和女生人数的比值.【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题. 6．(]0,2【解析】【分析】由函数ln y x =+有意义，得到200x x -≥⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数ln y x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数ln y x =的定义域为(]0,2.故答案为：(]0,2.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．1【解析】【分析】先求得抛物线24y x =的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得a 的值. 【详解】∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)， ∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8．2或8【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对12a a +是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得4a 的值.【详解】∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时2422a a q ==；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8.故答案为：2或8【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.9．24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由=C MBD M BCD V V -—计算出几何体的体积.【详解】2311121=6243239C MBD M BCD V V BC AA -=⨯⨯=⨯=—. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10．0【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性、周期性求得()()1,0f f 的值，由此列方程，解方程求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =，∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -== ∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题. 12．4【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将BD AC ⋅u u u r u u u r 转化为221()2BC BA -u u u r u u u r ，由此求得BD AC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】取AC 中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥，则1()()()2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222211()(31)422BC BA =-=⨯-=u u u r u u u r . 故答案为：4【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．()4【解析】【分析】 根据10OM O N +=u u u u r u u u u r r 判断出四边形1ONO M 为平行四边形，由此求得圆1O 的方程以及1AO 的长，进而判断出A 点在圆22()9x a y -+=上，根据圆22()9x a y -+=与圆221x y +=的位置关系，求得a 的取值范围.【详解】10OM O N +=⇒u u u u r u u u u r r 四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1，所以圆1O 的方程为()221x a y -+=，且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=，故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，由()222291x a y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2802A a x a a -=>⇒> 故a 的取值范围为(4).故答案为：()4【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】设出切点坐标()000,e x x x ，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得+a b 关于0x 的表达式，构造函数()f x ，利用()'fx 研究()f x 的单调性，由此求得t 的取值范围.【详解】设切点为(0x ，00x x e)(1)e x y x '=+，∴00020000(1)e e e x x x a x b x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 0200e (1)x a b x x t +=-++=有唯一解，构造函数()2()1x f x e x x =-++()e (2)(1)x f x x x '=-+-，注意到2x <-时()0f x <，故()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-)U {e }. 故答案为：{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．（1）3π（2）1 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cos A ，进而求得A 的大小. （2）用B 表示出C ，将所求表达式化为sin()3B π+，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）∵bsin 2A ＝asinB ，∴2bsinAcosA ＝asinB ， ∴由正弦定理sin sin a b A B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1， ∴cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值为1. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接1CD ，通过证明四边形1ED CF 是平行四边形，证得1//EF CD ，由此证得//EF 平面11CC D D .（2）通过证明DE AD ⊥，结合面面垂直的性质定理证得DE ⊥平面ABCD ，由此证得DE AC ⊥，由菱形的性质得到BD AC ⊥，从而证得AC ⊥平面EBD .【详解】（1）连结CD 1，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形， ∴A 1D 1//B 1C 1，BC //B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，∴ED 1//FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ，∴EF //平面CC 1D 1D.（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD //A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点，∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD //A 1D 1，∴DE ⊥AD ，又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1I 平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD I DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，∴AC ⊥平面EBD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32) 【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及222b a c =-，求得22,,a b c ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）首先判断直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线l 的方程1y kx =+，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得Q 点坐标并代入椭圆方程，由此求得k 的值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）设焦距为2c ，∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++， ∴Q (2834k k -+，2634k+)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q (1，32)或(﹣1，32). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）QN 的长度为1千米（2）6π【解析】【分析】（1）连接,,CB CN CM ，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN 是正方形，由此求得QN 的长度. （2）用θ表示出线段MP ，»PQ，线段QN 的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-++，366ππ≥+=，当tan θ=答：新路总长度的最小值为6π.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）证明见解析；2n n a =（2）i ＝4，j ＝5 【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此得到22n n S a +=.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，由2,,i j b b b 成等差数列列方程，分成2j i ≥+和1j i =+两种情况进行分类讨论，由此求得整数,i j .【详解】（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-，∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =，∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243i i b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，∴2(243)9243i ji j +-=++-， 变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j---+->， 令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i i i i i i i c c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为0112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．（1）函数()f x 有极大值﹣1，无极小值;（2）m 的取值范围为{0};（3）存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当0m =时，利用()'f x 研究函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的极值.（2）当0n =时，由()'0F x ≥或()'0Fx ≤恒成立，将m 分成02m <<，0m <，2m ≥和0m =四种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.（3）设0x 为相同的零点，由此得到00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩，进而得到000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数m . 【详解】（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+， ∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==， 要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)U (12m-，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12，12m -)时，()0>g x ，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)U (12，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12m -，12)时，()0>g x ，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0<g x ，x ∈(12，+∞)时，()0>g x ，不符题意； ④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩， 得00ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 由（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21．矩阵A 的特征值为4或﹣1 【解析】 【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得矩阵A ，然后根据特征值的求法，求得矩阵A 的特征值. 【详解】∵点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22．（1）2214x y +=；0x y +-（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=求得曲线C 的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）设出P 点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得P 到直线l 的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=化简得直线l 的普通方程为0x y +-=. （2）设P (2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题. 23．证明见解析； 【解析】 【分析】先由基本不等式求得b c aa b c++的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”，任意x ∈R ，由绝对值不等式得2121(2)(1)3x x x x x x --+≤--+≤--+= 当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x ∈R ，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.24．（1（2）14PN PC = 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面ACD 和平面MAC 的法向量，计算出二面角M AC D --的余弦值.（2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，由此求得MN u u u u r，根据直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值，进而求得PNPC. 【详解】（1）以{AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，M (0，32，32)， AP u u u r ＝(0，0，3)，AC uuu r ＝(2，3，0)，AM u u u u r ＝(0，32，32)因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n r ＝(x ，y ，z )，所以00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n r ＝(3，﹣2，2)，∴cos <AP u u u r ，n r >＝AP 17AP n n ⋅⋅u u u r r u u u r r ，∴二面角M —AC —D； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，其中(2,3,3)PC =-u u u r，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+u u u u r u u u r u u u r ，∵平面ABCD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,AP MNAP MN AP MNλ-+⋅<>==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+， 化简得41λ=，即14λ=，∴14PN PC =. 【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查根据线面角求线段长度的比值，考查空间想象能力，考查运算求解，属于中档题. 25．（1）①2a ＝362⨯；②3a ＞336()2⨯（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，比较出①②中两数的大小关系.（2）首先利用数学归纳法证明当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，然后利用放缩法，证得所要证明的不等式成立. 【详解】（1）①∵22166393a =⨯-+=，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵231993213a =⨯-+=，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯ 其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---++++⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑L L ，131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数学归纳法证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查等比数列前n 项和，属于难题.。
江苏省苏锡常镇四市2020-2021学年高三5月教学情况调研(二) 数学试题+答案+解析
2020~2021注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的2.回答选择题时，选出每小题动，用橡皮擦干净后，再选涂在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共8小题项是符合题目要求的。
1.若a ∈R,则“a=2”是“复数A.充分不必要条件 B.必要不2.若集合A.(- ∞,2] 3.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡到标号是4的条件下，第二次A.35 B.4.已知椭圆E: 2222x y a b+＝1(a sin ∠PA 1F 2=35,则E 的离心率A. 12 B. 5.已知a=sin1,b=cos1,则下列不A. log a b<a b <b a C. a b <b a <log a b 6.已知3sin(α-6π)=sin(α+A. 17 B.- 177.我国汉代数学家赵爽为了证个全等的直角三角形和一个正弦图”。
在直角三角形CGD 点P,线段BC 上任取一点A.25 8.已知函数f(x)=x 2-223x x +a 的取值范围是A.(- ∞,7) 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数 学自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写卡交回。
小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中数z=2-ai 的模为”（i 为虚数单位）的必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不x },则A ∩B=B.[2,+ ∞)C.(0,2]D.[0,2]张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张第二次抽到的标号是奇数”的概率为12 C. 110 D. 1121(a>b>0)的右焦点为F 2,左顶点为A 1,若E 上的点离心率为 25 C. 14 D. 15 下列不等式正确的是B. log a b<b a <a bD. b a <a b <log a b6π),则cos2α= C. 1113 D.- 1113为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，它由四一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽GD 中，已知GC=4,GD=3,在线段EF 上任取一Q,则AP AD ⋅u u u r u u u r 的最大值为B.27C.29D.3111+.若存在m ∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m 2+3m B.(-∞,7] C.(-∞,8) D.(-年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）2021.05答题卡上。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
15．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin 2A＝asinB .
（1）求A；
（2）求cos（B＋）＋sin （C＋）的最大值.
63
【答案】（1） （2）1
3
【解析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cosA，进而求得A
的大小.
（2）用B表示出C，将所求表达式化为sin（B ），结合三角函数最值的求法，求得
化简得3sin2
2sin
cos
2cos
0，两边同时除以cos2得，
3tan2
2tan
1
0，∵
为锐角，∴
tan>0
解得tan
1
3
故答案为：2
点睛】 本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基 础题.
∠ABC＝ ，AB＝1，BC＝3，以AC为一边在△ABC的另
2
uuur uuur
【解析】取AC的中点E，连接ED,BE，则ED AC.根据平面向量的线性运算以
uuur uuur1uuur2uuur2uuur uuur
及数量积运算，将BD AC转化为(BC BA )，由此求得BD AC的值.
【详解】 取AC中点E，连接ED , BE，则ED AC，则
uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur1uuur uuur uuuruuur
2x
a,?0
1
x
2，则a＋b＝
bx
11
,?
x1
x
12
f (x)
答案】0
程求得a,b的值，进而求得a b的值.
详解】
故答案为：0
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(二)数学试题含附加题
江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围； （3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)．（1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0． 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =+的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e -){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin cos sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan 3θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +，得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin ii a =>-∑．解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+ (1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯，∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题(解析版)
【答案】30
【解析】用 减去成绩在 以外的学生的频率，将所得结果乘以 ，求得成绩在 以内的学生人数.
【答案】24
【解析】利用顶点转化的方法，由 计算出几何体的体积.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.
10．已知定义在R上的奇函数 的周期为2，且x [0，1]时， ，则a＋b＝_______.
【答案】0
【解析】根据函数 的奇偶性、周期性求得 的值，由此列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线 的顶点，则a＝______.
【答案】1
【解析】先求得抛物线 的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得 的值.
输出的y的值为﹣1.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题.
5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.
【答案2
【解析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的 ，求得男生和女生人数的比值.
【附加15套高考模拟试卷】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷含答案
江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f （x ）定义域为R ，则命题p ：“函数f （x ）为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f （x 0）=f （-x 0）”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+162C ．48D ．16322+3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥C ．1//A O 平面11B CD D ．1A O ⊥平面11AB D4．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量()a 1,1=-r，()b 2,3r =-，且()a a mb ⊥+r r r ，则m (= )A ．25B ．25-C ．0D ．156．已知实数x ，y 满足不等式组21035328x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，若(>0)z ax y a =-的最小值为9，则实数a 的值等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．97．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．18．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，1(x)25xf =+，则2(log 20)f =（ ）A ．1-B ．45- C ．1D ．459．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A ．1BC ．2D ．410．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56B ．84C ．112D ．16811．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．3 B ．23 C．2 D ．112． “函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。