2019届高考数学二轮复习突破热点分层教学专项二专题五2第2讲椭圆双曲线抛物线学案

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线2．圆锥曲线的综合问卷Ⅲ 双曲线的渐近线及标准方程·T 5圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程(1)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是( )A.55B.655 C.855D.455(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.(2)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝ c 2－a 2＝2a .所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A. 【答案】 (1)C (2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质①已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，设焦点三角形PF 1F 2中∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝b 2tan θ2.②已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，设焦点三角形PF 1F 2，若∠F 1PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点．③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为2b2a.(2)双曲线的焦点三角形的几个性质若双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：①设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝b 2tanθ2.特别地，当∠F 1PF 2＝90°时，有S △F 1PF 2＝b 2.②双曲线的焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点．当点P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点P 在双曲线右支上时，切点为右顶点．[对点训练]1．(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D. 2．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或9解析：选D.分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于l ， 且垂足分别为A 1，B 1， 依题意，易证BD ∥x 轴， 所以D 与B 1重合．由已知条件|BE |＝2|BF |得，|BE |＝2|BB 1|， 所以∠BEB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3， 如图1，|BD ||AA 1|＝|BE ||AE |，所以|BD |3＝2|BD |3|BD |＋3，解得|BD |＝1， 如图2，|BD ||AA 1|＝|BE ||AE |，所以|BD |3＝2|BD ||BD |－3，解得|BD |＝9.综上，|BD |为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中，a ，b ，c 及e 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2018·石家庄质量检测(二))倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32 B.23 C.22D.33(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】 (1)由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x －c，所以(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy－b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2－2y 22＝－b4a 2＋b2，所以12＝4c 2a 2＋b 2，所以e＝23，故选B. (2)因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B. 【答案】 (1)B (2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或a b的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．(2018·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a 2a 2＋b 2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(2018·广州综合测试(一))如图，在梯形ABCD 中，已知|AB |＝2|CD |，AE →＝25AC→，双曲线过C ，D ，E三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．2 2 C ．3D.10解析：选A.取AB 的中点O 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，|AB |＝2|CD |＝2c ，E (x E ，y E )，则A (－c ，0)，B (c ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y C ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，y C ，由c 24a 2－y 2Cb 2＝1，得y C ＝b 2a b 2－3a 2，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2a b 2－3a 2.因为AE →＝(x E ＋c ，y E )，25AC →＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，b 2a b 2－3a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 5，b 5a b 2－3a 2，AE →＝25AC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x E＝－25c ，y E＝b 5a b 2－3a 2.又E 在双曲线上，故4c 225a 2－b 225a 2（b 2－3a 2）b 2＝1，化简整理得4c 2－b 2＋3a 2＝25a 2，即c 2＝7a 2，故c a＝7.选A.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13D.14解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D.直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[典型例题]命题角度一 位置关系的判断及应用已知抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点为椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且两曲线有公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263. (1)求抛物线C 1与椭圆C 2的方程；(2)若椭圆C 2的一条切线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．【解】 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23×2p ，解得2p ＝4，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，则焦点为F (1，0)，即c ＝1，所以a 2＝b 2＋1.将⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263代入x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，得49（b 2＋1）＋83b 2＝1，解得b 2＝3(增根舍去)，则a 2＝4， 所以椭圆C 2的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线l 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2， 所以y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4bk，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k2＋4b k＝0，整理得b ＋4k ＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1整理得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，即b 2＝3＋4k 2.② 由①②解得k ＝±12，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x －2y －4＝0.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可．命题角度二 弦长问题(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．【解】 (1)设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )． 所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2（n －y ），得⎩⎨⎧m ＝（2＋1）x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋（2＋1）22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋（y 1＋y 2）22＝1，即4k 2（k 2＋2）2＋8（k 2＋2）2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝322， 原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．命题角度三 定比、分点问题(1)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55(2)(2018·长春质量检测(一))已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. ①求椭圆C 的方程；②过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B →，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)选C.设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4，1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32，故选C. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.②由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ（1－λ）2(y 1＋y 2)2，则（1－λ）2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2，因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43，即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线交于第一象限内的点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A. 3B.32C.33D.233解析：选D.显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k ＝233(负值舍去)．2．(2018·惠州第二次调研)已知C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1，0)和AP 上的点M ，满足MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF →·OH →≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线， 所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆， 所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， 故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（2t 2－2）1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k2＋t 2＝（1＋k 2）2k 21＋2k 2－4k 2（k 2＋1）1＋2k 2＋k 2＋1 ＝1＋k 21＋2k2， 所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22， 所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22. 故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－33∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.一、选择题1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A.由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1＜n ＜3.2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2＋ 3 C ．2D.2＋1解析：选B.由题意可知A 是F 1B 的中点，O 是F 1F 2的中点(O 为坐标原点)，连接BF 2，则OA 是△F 1BF 2的中位线，故OA ∥BF 2，故F 1F 2⊥BF 2，又∠BF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝4c ，|BF 2|＝23c ，所以2a ＝4c －23c ，所以e ＝ca＝2＋3，故选B.4．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π3的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝3x B ．y 2＝4x C ．y 2＝6xD ．y 2＝8x解析：选C.因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过点F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －p 2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px⇒3x 2－5px ＋34p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则⎩⎪⎨⎪⎧x A＋x B＝53p ，x A ·x B＝14p 2，所以|AB |＝（x A －x B ）2＋（y A －y B ）2＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53p 2－4×14p 2＝83p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，故选C.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.6．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM →＝λMF →，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b －b ，所以λ＝|PM →||MF →|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.故选B.二、填空题7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x ＞0，y ＞0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4，4)． 答案：(4，4)8．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．解析：根据题意可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以tan ∠PAF ＝b 2aa ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a ＝1－e ，cos ∠PAQ ＝cos 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF cos 2∠PAF ＋sin 2∠PAF ＝1－tan 2∠PAF 1＋tan 2∠PAF ＝1－（1－e ）21＋（1－e ）2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0，1)，所以1－e ＝12，e ＝12.答案：129．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2. 又F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )， PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1 ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号， 所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1. 由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34三、解答题10．(2018·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）， 又120＜k 2≤54， 所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.11．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1→·MF 2→＝0，得b ＝c .因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝cb 2a ＝22a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)＞0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k （2k ＋1）1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －（2k ＋2）×4k （2k ＋1）1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1， 所以k 1＋k 2＝－1.12．(2018·石家庄质量检测(二))已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝94的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的两条切线交于P 点，求三角形PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线y ＝－p2.因为圆C 与抛物线的准线相切，所以b ＝32－p2，且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上， 即b ＝p4，所以b ＝32－p 2＝p 4，即p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，对y ＝x 24求导得y ′＝x 2，即k AP ＝x 12，直线AP 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21，同理直线BP 的方程为y ＝x 22x －14x 22.设P (x 0，y 0)．联立直线AP 与BP 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22＝2k y 0＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1)，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2|1＋k2＝21＋k 2， 所以三角形PAB 的面积S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当且仅当k ＝0时取等号．综上，三角形PAB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为y ＝1.。