八年级上数学(华师大版)导学案-1231两数和乘以这两数的差
华东师大版八年级数学上册13.3.1两数和乘以这两数的差教案
§13.3 乘法公式
课题：两数和乘以这两数的差第一课时
设计者：学校：
教学目标：
[知识与技能]：会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
[过程与方法]：由学生自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。
[情感态度与价值观]：在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。
教学重、难点：
[重点]：平方差公式的推导和运用。
[难点]：公式中字母的广泛含义。
教学过程：
反思：。
华师大版八年级数学上册导学案含答案-12.3.1 两数和乘以这两数的差
12.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差学习目标：1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）自主学习一、知识链接多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．二、新知预习算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：①（x ＋ 1)( x －1）=x 2-x+x-1=_______________；②（m ＋ 2)( m －2）=m 2-2m+2m-4=_______________；③（2m ＋ 1)(2m －1）=_______________=_______________.合作探究一、探究过程探究点1：平方差公式问题 观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a −b)=_________,（其中a,b 代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________，新长方形的面积为：____________，则有等式为：___________________.例1利用平方差公式计算：(1)(x －5)(x ＋5)； (2)(－a －b)(b －a)； （3）（x +1）（﹣x +1）.【针对训练】计算：(1)(14a －1)(14a ＋1)； (2)(2m ＋3n)(2m －3n)． 【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．例2先化简，再求值：(2x －y)(y ＋2x)－(2y ＋x)(2y －x)，其中x ＝1，y ＝2.【针对训练】先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x ＋2)－1，其中x ＝12. 探究点2：平方差公式的应用例3计算:(1) 51×49； (2)59.8×60.2.【方法总结】根据平方差公式的特征，合理变形后，可以简化运算.例如（1）中的51可以化为（50+1），50-1）.例4王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续以原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．二、课堂小结当堂检测1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+13.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．图1 图24.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．6.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).7.计算：（1）20222－2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？参考答案自主学习一、知识链接乘以相加二、新知预习算一算：①x2-1 ②m2-4 ③4m²-2m+2m-1 4m²-1合作探究一、探究过程探究点1：问题解：都是二项式乘二项式，得到二项式，而且两个多项式只有中间的符号不一样.【要点归纳】a²-b²平方差试一试：a²-b²( a+b)( a-b)a²-b²=( a+b)( a-b)例1解：（1）原式=x2-25. （2）原式=a2-b2.（3）原式=1-41x2.(a+b)(a-b)=a-b【针对训练】解：（1）原式=16a2－1. （2）原式=4m2－9n2 .例2解：原式=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2，当x=1，y=2时，原式=5×12-5×22=-15．【针对训练】解：原式=1-9x2+9x2+2x-1=2x，当x=12时，原式=1.探究点2：例3解：（1）原式=(50+1)×(50-1)=50²-1=2499.（2）原式=(60-0.2)×(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96.例4解：李大妈吃亏了.理由如下：因为原正方形土地的面积为a2平方米，改变边长后土地的面积为（a+4）（a-4）=a2-16（平方米）.∵a2＞a2-16，∴土地面积减少了．∴李大妈吃亏了．当堂检测1.C2.A3.(a+b)(a−b)=a2-b24.25.106.解：（1）原式=a2-9b2. （2）原式=4a2－9. （3）原式=4x4－y2.7.解：（1）原式=1. （2）原式=a4-16.8.解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1，当x=2时，原式=7．9.解：（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-（9-n2）=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）．因为n为任意正整数，所以n2-1为整数.所以整式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值一定是10的整数倍．~。
八年级数学华师大版上册学案：第12章 课题 两数和乘以这两数的差-精选教育文档
课题两数和乘以这两数的差【学习目标】1．认识平方差公式，并了解公式的意义；2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题；3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一．【学习重点】理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题．【学习难点】理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．知识链接：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式．2．数学方法：由一般到特殊．3．平方差公式的特征：相同项的平方与相反项的差．情景导入生成问题1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝________和103×97＝________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说，“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能计算的如此快．自学互研生成能力知识模块一探究平方差公式阅读教材P30～P32，完成下面的内容：1．计算：(1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)．解：(1)原式＝x2－4；(2)原式＝1－9a2.2．问题：在完成上述计算练习中，你发现了什么特点？等式左边有什么特点？等式右边有什么特点？左边为两数和与两数差的积，右边结果为两数(或式)的平方差．3．平方差公式的代数方法推导：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2(多项式乘法法则)＝a2－b2．(合并同类项)语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．4．平方差公式结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是乘式中两项的平方差；(3)平方差公式的几何解释：观察教材图12.3.1发现：等式左边可表示为(a＋b)(a－b)，等式右边可表示为a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2．5．理解平方差公式：问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？①(a－3)(a＋3)；(能)②(a＋3)(a－2)；(否)③(－a＋3)(－a－3)；(能) ④(a＋3)(－a－3)；(否)⑤(－a－3)(a－3)．(能)(2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？答：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数．(3)在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？答：相同项的平方减去相反项的平方．学法指导：不能直接使用平方差公式的，首先应用加法的交换律互换一下位置，看能不能满足平方差公式．学法指导：1.平方差公式使用需注意：(1)特点：相同项的平方减去相反项的平方．运用平方差公式进行乘法运算时一定要注意找准相同项和相反项；(2)注意：公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；2．运用平方差公式进行简便运算时，要先根据算式中的数的特征将算式写成两数和乘以两数差的形式，再运用平方差公式．学法指导：多个多项式相乘，要注意观察每个多项式的特点，看是否能用公式化简．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．知识模块二 平方差公式的运用范例1：计算：(1)(3x ＋2)(3x －2)；(2)(2y －x)(－2y －x)；(3)⎝⎛⎭⎫23x ＋5y ⎝⎛⎭⎫23x －5y ；(4)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2)． 解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x 2－4；(2)原式＝(－x ＋2y)(－x －2y)＝(－x)2－(2y)2＝x 2－4y 2；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫23x 2－(5y)2＝49x 2－25y 2； (4)原式＝(y 2－3x 2)(y 2＋3x 2)＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4.仿例：计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2＋32y ⎝⎛⎭⎫x 2－32y ；(2)(－2＋x)(－2－x)；(3)(2x ＋y)(2x －y)；(4)(－3x －2y)(2y －3x)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫x 22－⎝⎛⎭⎫32y 2＝x 24－94y 2；(2)原式＝(－2)2－x 2＝4－x 2；(3)原式＝(2x)2－y 2＝4x 2－y 2；(4)原式＝(－3x ＋2y)(－3x －2y)＝(－3x)2－(2y)2＝9x 2－4y 2.范例2：利用平方差公式计算：(1)2019×2019；(2)4023×3913. 解：(1)原式＝(2019－2)×(2019＋2)＝20192－22＝4000000－4＝3999996；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋23×⎝⎛⎭⎫40－23＝402－⎝⎛⎭⎫232＝1600－49＝159959. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 探究平方差公式知识模块二 平方差公式的运用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
八年级数学上册 12.3 乘法公式 1《两数和乘以这两数的差》教案2 (新版)华东师大版
（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）．
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
（七）拓展深化，发展思维
问题7：计算：
（1）98×（－102）；（2） ．
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（四）总结归纳，发现新知
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．
（五）剖析公式，发现本质
在平方差公式 中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即 ；
教学重难点
利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，分析公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．
教学过程
（包含教师活动、学生活动、设计意图、技术应用等）
（一）创设情境，引出课题
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（m+2）（m-2）=
初二数学华师大版上册学案：第12章课题两数和乘以这两数的差
初二数学华师大版上册学案：第12章课题两数和乘以这两数的差【学习目标】1．认识平方差公式，并了解公式的意义；2．会用平方差公式简化、运算、解决简单的实际问题；3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一．【学习重点】明白得并运用平方差公式化简运算并解决数学问题．【学习难点】明白得公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特点与实际问题联系起来．行为提示：创景设疑，关心学生明白本节课学什么．知识链接：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发觉规律，从推测到探究到明白得知识．知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式．2．数学方法：由一样到专门．3．平方差公式的特点：相同项的平方与相反项的差．情形导入生成问题1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋b m＋bn．2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝________和103×97＝________，主持人话音刚落，就赶忙有一个学生站起来抢答说，“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直确实是脱口而出，同学们，你明白他是如何运算的吗？你想不想把握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能运算的如此快．自学互研生成能力知识模块一探究平方差公式阅读教材P30～P32，完成下面的内容：1．运算：(1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)．解：(1)原式＝x2－4；(2)原式＝1－9a2.2．问题：在完成上述运算练习中，你发觉了什么特点？等式左边有什么特点？等式右边有什么特点？左边为两数和与两数差的积，右边结果为两数(或式)的平方差．3．平方差公式的代数方法推导：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2(多项式乘法法则)＝a2－b2．(合并同类项)语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．4．平方差公式结构特点：(1)左边是两个二项式相乘，二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是乘式中两项的平方差；(3)平方差公式的几何说明：观看教材图12.3.1发觉：等式左边可表示为(a＋b)(a－b)，等式右边可表示为a2－b2，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2．5．明白得平方差公式：问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？①(a－3)(a＋3)；(能)②(a＋3)(a－2)；(否)③(－a＋3)(－a－3)；(能) ④(a＋3)(－a－3)；(否)⑤(－a－3)(a－3)．(能)(2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判定方法吗？答：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数．(3)在平方差那个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么方法确定？答：相同项的平方减去相反项的平方．学法指导：不能直截了当使用平方差公式的，第一应用加法的交换律互换一下位置，看能不能满足平方差公式．学法指导：1.平方差公式使用需注意：(1)特点：相同项的平方减去相反项的平方．运用平方差公式进行乘法运算时一定要注意找准相同项和相反项；(2)注意：公式中的a 和b 能够是具体的数，也能够是单项式或多项式；2．运用平方差公式进行简便运算时，要先依照算式中的数的特点将算式写成两数和乘以两数差的形式，再运用平方差公式．学法指导：多个多项式相乘，要注意观看每个多项式的特点，看是否能用公式化简．行为提示：教会学生如何交流．先对学，再群学．充分在小组内展现自己，分析答案，提出疑问，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展现问题，并给学生板书题目和组内演练的时刻．知识模块二 平方差公式的运用范例1：运算：(1)(3x ＋2)(3x －2)；(2)(2y －x)(－2y －x)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋5y ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －5y ；(4)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)．解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x2－4；(2)原式＝(－x ＋2y)(－x －2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2；(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－(5y)2＝49x2－25y2； (4)原式＝(y2－3x2)(y2＋3x2)＝(y2)2－(3x2)2＝y4－9x4.仿例：运算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32y ；(2)(－2＋x)(－2－x)；(3)(2x ＋y)(2x －y)；(4)(－3x －2y)(2y －3x)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2＝x24－94y2； (2)原式＝(－2)2－x2＝4－x2；(3)原式＝(2x)2－y2＝4x2－y2；(4)原式＝(－3x ＋2y)(－3x －2y)＝(－3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.范例2：利用平方差公式运算：(1)2021×2021；(2)4023×3913.解：(1)原式＝(2021－2)×(2021＋2)＝20212－22＝4000000－4＝3999996； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫40－23＝402－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1600－49＝159959. 交流展现 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展现在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展现任务，由代表将“问题和结论”展现在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究平方差公式知识模块二 平方差公式的运用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书． 课后反思 查漏补缺1．收成：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
华东师大初中八年级数学上册《两数和乘以这两数的差》教案
两数和乘以这两数的差教学目标1.掌握两数和乘以这两数的差公式,会推导两数和乘以它们的差的公式,并能运用公式进行简单的计算.2.了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景.3.培养学生独立思考的能力,集体协作的能力,组织归纳的能力及积极探索问题的能力.4.经历探索两数和乘以这两数的差的公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.5.通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔的、勇于探索的品质.重点对两数和乘以这两数的差的公式的理解,掌握两数和乘以这两数的差的公式的结构特征,熟练运用两数和乘以这两数的差的公式进行简单计算.难点理解两数和乘以这两数的差的公式的几何意义及特点,理解公式中字母的广泛含义,代数推理能力的培养.教学过程一、创设情景,导入新课街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?学生活动(a+2)(a-2)=a2-4二、师生互动,探究新知教师活动你观察式子左边有什么特征?右边的结果又有什么特征?这种发现具有一般性吗?请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论?请用字母表示.教师活动在学生发言基础上归纳:(a+b)(a-b)=a2-b2.这就是说,两数之和与两数之积,等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合P31图形进行面积验证.教师活动请同学们给出几个平方差的式子,并让同伴计算.三、随堂练习,巩固新知1.(5x+2)(5x-2)= ,(7+m)(-7+m)= .2.(a-3)( )=a2-9,(-a )(-b )=b2-a23.(a+1)(a-1)(a2+1)= .四、典例精析,拓展新知例利用平方差公式计算(1)59.8×60.2;.(2)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+14分析(1)可转化为(60-0.2)(60+0.2);(2)先将前面部分乘以(5-1)构造平方差公式,再除以4.教学说明第(2)小题可能大多数同学不会做,教师抓住这困惑,是思维的起点,帮助分析如何构造平方差公式?(52+1)与谁构成平方差,同时注意代数式恒等的要求.五、运用新知,深化理解1.计算(y+x)(y-x)(x2+y2)(x4+y4)2.计算(1)2 0132-2 012×2 014(2)3×(4+1)(42+1)+1教学说明如何转化构造平方差公式,教师巡视并对学困生给予指导. 六、师生互动,课堂小结这一节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.。
华东师大版八年级数学上册 12.3.1两数和乘以两数的差公式 学案
§12.3.1两数和乘以这两数的差【学习目标】：1.会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。
【学习重点】：平方差公式的推导及运用。
【学习难点】：平方差公式的运用。
【学习过程】：一、新课探究：1.计算下列各式。
（1）（a+b）•(a-b) （2）（x+3）（x-3）（3）(3a＋1)(3a－1)(4)(-x+y)(-x-y)2.仔细观察上面各式的结果，发现什么？用发现的规律口算①（y+5）（y-5）=②(1-2a)(1+2a)=3.可以得出什么计算公式：（用字母表示）4.思考：（1）什么特征的式子可以应用上面的公式进行计算？（2）结果中的平方差可以任意减吗？5.平方差公式的几何背景：图12.3.1先观察图12.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．6.例题学习：1）下面各式能用平方差公式计算的是（1）（a＋3）（a－3）（2）（3b+2a）（2a－3b）（3）（2c+1）（1－2c ） （4）（－2x －y ）（2x －y ）(5) (-2m-2n)(2m+2n) (5)(-x+2)(x-2)2）写出1）中能用平方差公式计算的各题的结果3）计算： 1998×20027.讨论：利用平方差公式进行计算时，怎样避免出错？二、用心做一做：1. 下列各式中，计算正确的是（ ）Ａ.（x －２）（２＋x ）＝x 2－２ Ｂ.（x ＋２）（３x －２）＝３x 2－４ Ｃ.（ab －c ）（ab ＋c ）＝a 2b 2－c 2 Ｄ.（－x －y ）（x ＋y ）＝x 2－y 2 2. 计算：（课后练习）（1） （2x ＋21）（2x －21）；（2） （－x ＋2）（－x －2）；（3） （－2x ＋y ）（2x ＋y ）；（4） （y －x ）（－x －y ）．3. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001 （3）9931×100324. ①若x －y ＝４，x ＋y ＝７，则x 2－y 2＝ .②已知x+y=6，x 2-y 2=12，则2x+5y=三、本课小结：本节课你学到什么知识？还有哪些疑惑？四、当堂小测： 1. ①（a ＋51）（a －51）＝ ，②（－a －4）（ ）＝16－a 2. ③（ ）（ ）=9x 2-41y 22.计算：(教材第36页习题12.3第1题)（1） （a ＋2b ）（a －2b ） （2） （2a ＋5b ）（2a －5b ）（3） （－2a －3b ）（－2a ＋3b ） （4） （－31a ＋21b ）（31a ＋21b ） （5）)1)(1(22x x +- （6） ３０.８×２９.２五、课外延伸：⑴计算（x 4＋１）（x 2＋１）（x ＋１）（x －１）的结果是（ ）Ａ.x 8＋１ Ｂ. x 8－１ Ｃ.（x ＋１）8 Ｄ.（x －１）8⑵利用乘法公式计算： （２a ＋１）2－（１－２a ）2⑶先化简，再求值：①（x ＋２y ）（x －２y ）－（２x －y ）（－２x －y ），其中x ＝８，y ＝－８； ②（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2+４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.⑷计算①)13)(13)(13)(13(842++++ ②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）。
华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.1两数和乘以这两数的差》
华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.1两数和乘以这两数的差》一. 教材分析《12.3.1两数和乘以这两数的差》是华东师大版八年级上册数学的一节内容。
这部分内容主要让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法，并能够灵活运用。
在教材中，通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这个公式。
在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现这个公式的规律，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习这节内容时，已经有了一定的代数基础，比如掌握了有理数的乘法、加法等。
但部分学生可能对这个公式理解不够深入，不能灵活运用。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生理解和掌握这个公式。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法，并能够灵活运用。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，发现这个公式的规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法。
2.难点：如何引导学生发现这个公式的规律，并能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现这个公式的规律。
2.实例讲解法：通过例题和练习题，帮助学生理解和掌握这个公式。
3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示例题和练习题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
3.教学道具：准备一些教学道具，如黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学道具，引导学生回顾已学过的有理数乘法、加法的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过课件展示本节课的主要内容，引导学生观察、思考，发现两数和乘以这两数的差的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组找出几个实例，验证这个规律。
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1.两数和乘以这两数的差
学前温故
1．多项式乘以多项式的法则是什么？
2．你能描述(m＋n)(m－n)的结构特点吗？其运算结果又有什么特点？
新课早知
1．两数和与这两数差的积，等于____________，用公式表示为__________．
2．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是________．
3．两数和乘以这两数差的公式特征是：(1)公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式的项中有一项____，而另一项__________．
(2)公式右边是乘式中两项的平方差(____________减去______________所得的差)．
(3)公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式．
4．下列多项式乘法，不能用两数和乘以这两数差的公式计算的是( )．
A．(－a－b)(－b＋a)
B．(xy＋z)(xy－z)
C．(－2a－b)(2a＋b)
D．(0.5x－y)(－y－0.5x)
答案：学前温故
1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．(m＋n)(m－n)表示两数m、n的和乘以它们的差，其结果为这两数的平方差．
新课早知
1．这两数的平方差(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2．9
3．(1)相同互为相反数(2)相同的项的平方绝对值相同而符号相反的项的平方
4．C
1．两数和乘以这两数的差的公式的应用
【例1】计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)；
(2)(2x3＋5y2)(2x3－5y2)；
(3)(－x2－y2)(y2－x2)；
(4)(a＋3)(a－3)(a2＋9)．
分析：在应用两数和乘以这两数差的公式时，应仔细观察题目特点，凡两因式中相同的项当作a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b.(1)题中a为2x，b为3y；(2)题中a为2x3，b为5y2；(3)题中a为－x2，b为y2.确定出a、b后，代入公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2计算即可．(4)题中(a＋3)(a－3)适合两数和乘以这两数差的公式的形式，所以先利用公式计算，它们计算的结果是(a2－9)，与(a2＋9)仍然适合公式的形式，所以两次运用公式计算即可．
解：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝(2x)2－(3y)2＝4x2－9y2.
(2)(2x3＋5y2)(2x3－5y2)＝(2x3)2－(5y2)2＝4x6－25y4.
(3)(－x2－y2)(y2－x2)＝(－x2－y2)(－x2＋y2)＝(－x2)2－(y2)2＝x4－y4.
(4)(a＋3)(a－3)(a2＋9)＝(a2－9)(a2＋9)＝(a2)2－92＝a4－81.
点拨：(1)运用两数和乘以这两数差的公式进行计算，关键是找出a和b，根据相同的项为a，互为相反数的项为b，找出a和b，再利用公式进行计算．
(2)刚开始使用公式时，运算要严格按公式进行，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式(如第(3)题)．
2．利用两数和乘以这两数的差公式简化数的运算
【例2】计算：
20092 2008×2010＋1
.
分析：由于数字较大，直接运算较烦琐，但考虑分母中的2008×2010可写成(2009－1)(2009＋1)的形式，这
样就可以直接运用两数和乘以这两数的差公式求解．
解：原式＝错误!
＝2009220092－1＋1＝2009220092
＝1. 点拨：对于数字较大但具有一定规律的数字计算，不妨考虑运用两数和乘以这两数差的公式简化运算．
1．在①(x －2y )·(2y ＋x )，②(x －2y )·(x ＋y )，
③(x 3＋2y )(x －2y )，④(－x －2y )·(－x ＋2y )中，能用两数和乘以这两数差的公式计算的有( )．
A ．①④
B ．②③
C ．①
D ．②
2．下列计算正确的是( )．
A ．(x ＋2y )(x －2y )＝x 2－2y 2
B ．(2x ＋3)(x －3)＝2x 2－9
C ．(－3x －2y )(－3x ＋2y )＝9x 2－4y 2
D ．(－x ＋2y )(x －2y )＝－x 2－4y 2
3．下列计算结果等于x 2－36y 2的是( )．
A ．－(x ＋6y )(x －6y )
B ．(x －6y )(6y －x )
C ．(x ＋4y )(x －9y )
D ．(x －6y )(x ＋6y )
4．(2010浙江湖州中考)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是__________．
5．(2010上海中考)计算：(x ＋1)(x －1)＝__________.
6．计算：(1)(m 2＋23n )(m 2－23
n )； (2)(12m －1)(－12
m －1)； (3)16－(x ＋4)(x －4)．
7．(2010福建泉州中考)先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)＋x 2(x －1)，其中x ＝－2.
答案：1．A2.C3.D
4．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2
5．x 2－1
6．(1)m 4－49n 2；(2)1－14
m 2； (3)32－x 2.
7．解：原式＝x 2－1＋x 3－x 2＝x 3－1.
当x ＝－2时，原式＝(－2)3－1＝－9.。