2002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答
2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)
2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
初中数学青年教师解题比赛及答案
初中数学青年教师解题比赛及答案近年来，随着数学教育的不断发展与普及，初中数学教师的教学水平成为提高学生数学能力的重要关键。
为了促进教师专业发展和提高解题能力，初中数学青年教师解题比赛应运而生。
本文将介绍该比赛的背景和目标，并提供部分解题答案作为参考。
一、比赛背景与目标初中数学青年教师解题比赛作为一项专业化竞赛活动，旨在提高青年教师的数学思维和解题能力，加强他们对数学知识的理解和应用。
该比赛通过精心设计的解题题目，考察参赛教师的数学知识储备、解题思路和创新能力，提升他们的教学实践能力和教育教学水平。
二、比赛筹备与参与初中数学青年教师解题比赛由当地教育行政部门、学校和专业团体共同筹备组织。
组织方根据不同年级和内容设置一系列题目，参赛教师需在规定时间内提交解答。
在比赛过程中，还可以结合教学实践和学生需求，设置一些案例分析和教学设计环节。
三、比赛题型与参赛要求初中数学青年教师解题比赛的题型多样，包括选择题、填空题、计算题、证明题等。
参赛教师需要熟练掌握各种数学知识，具备良好的数学分析和解题能力，灵活运用各类解题方法。
参赛教师需按照以下要求提交解答：1. 解题思路清晰、步骤完整：解题过程应该有条不紊，清晰地呈现出解决问题的思考过程和策略。
2. 结果准确、合理：答案应当准确无误，同时要注重解题的合理性和严谨性。
3. 简洁明了、易读易懂：解答应采用准确、简洁的语言表达，以便于阅读和理解。
四、答题示例以下是初中数学青年教师解题比赛的一道选择题和一道填空题的部分答案，供参考：1. 选择题：根据下列数据，判断A和B哪一个数大：A. 0.45B. 0.5解答：由于0.45小于0.5，所以B数大于A数。
2. 填空题：已知两个夹角的比是2:3，其中较小的夹角为40°，则另一个夹角度数为____°。
解答：设较小的夹角为2x，根据题意可得：2x/3x = 40°/x，解得x = 20°，所以另一个夹角度数为3x = 60°。
初中数学教师解题比赛试卷
初中数学教师解题比赛试卷本试卷共8页，共三大题22小题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。
请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1、如图，在菱形A B C D 中，ÐA D B 与ÐA B D 的大小关系是的大小关系是 （ C ） Ａ．A D B A B D Ð>Ð Ｂ．D A DBB A B D Ð<Ð Ｃ．A D B A B D Ð=ÐＤ．无法确定Ｄ．无法确定2、如果a ＜0，b ＞0， +<0a b ，那么下列关系式中正确的是那么下列关系式中正确的是（ D ） A ．a b b a >>->- B ．a a b b >->>-C ．b a b a >>->- D ．a b b a ->>->3、已知>a b ，且¹¹+¹0，0，0a b a b ，则函数y ax b =+与+=a b y x在同一坐标系中的图象不可能是（中的图象不可能是（ B ）4、如图，边长为1的正方形A B C D 绕点A 逆时针旋转°30到正方形¢¢¢A B C D ，则图中阴影部，则图中阴影部 分的面积为（分的面积为（ D ）A ． 12B ．33C ．-314D ．-3135、若--11223135(，)、(1，)、(，)43A yB yC y 为二次函数245y x x =--+的图象上的三点，则123、、y y y 的大小关系是的大小关系是 （ A ）A ．312<<y y yB ．321<<y y yC ．123<<y y y D ．213<<y y yA B C D B ¢D ¢C ¢O x y A ． O x y B ． O x y C ． O x y D ．ＡＤＣＢ6、已知实数a 、b 、c 满足<0a ，-+>0a b c ，则一定有，则一定有 （ B ）Ａ．-24≥0b ac Ｂ．->240b ac Ｃ．-24≤0b ac Ｄ．-<240b ac 7、把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，那么这张纸片原来的形状不可能是原来的形状不可能是 （ A ）Ａ．六边形Ａ．六边形Ｂ．五边形Ｂ．五边形Ｃ．四边形Ｃ．四边形Ｄ．三角形Ｄ．三角形8、下列图形中，阴影部分的面积相等的有（、下列图形中，阴影部分的面积相等的有（ C ）Ａ．①②Ａ．①② Ｂ．②③Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④①Ｄ．④①二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分。
初中数学教师解题比赛试题
初中数学教师解题比赛试题初中数学教师解题比赛试题一、比赛试题种类及要求本次解题比赛试题为初中数学教师专业能力测试，旨在考察参赛教师的数学解题能力、教学技能以及专业知识掌握程度。
试题将包括选择题、填空题、解答题等类型，全面考察教师的数学素养。
试题难度将按初中数学教学的实际需求和难度水平设置。
二、比赛试题内容1、选择题(1)在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=2，则BC的长度为( )A. √3B. √6C. 2D. 2√3 答案：B(2)在实数范围内，方程x²+3x+2=0的解为( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=2D. x=-2 答案：D2、填空题(1)已知一个圆的半径为5，那么它的内接正六边形的边长为____。
答案：5√3(2)若二次函数y=x²-4x+c的图像与x轴有交点，则c的取值范围是____。
答案：c≤43、解答题(1)求证：等腰三角形两底角的平分线相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，底角∠B和∠C的平分线分别为BD和CE。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB。
在△DBC和△ECB中，∵DBC=ECB，BC=BC，∴△DBC ≌△ECB。
∴BD=CE，即等腰三角形两底角的平分线相等。
(2)已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(1，2)，且与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，其中x₁²+x₂²=9，求这个二次函数的解析式。
解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(1，2)，∴a+b+c=2 ①。
又∵该函数与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，其中x₁²+x₂²=9，∴x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
∴(x₁+x₂)²=(b/a)²，∴(b/a)²=(x₁²+x₂²)+2x ₁x₂=(9+2c/a)。
广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷
广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．对于实数a ，下列运算正确的是（ ）．（A ）)2(121a a÷=- （B ）3232a a a =+（C ）623)(a a a -=⋅- （D ）422)()(a a a -=-⨯-2．给出以下三个命题：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确的命题是（ ）．（A ）①和②（B ）①和③（C ）②和③（D ）③3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,7,384==S S 则12S 的值是（ ） ．（A ）8 （B ）11 （C ）12（D ）154．如果b a ,为实数，则“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切” 的（ ） ． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P , 那么ABCD等于（）． （A ）BPD ∠sin （B ）cos BPD ∠ （C ）tan BPD ∠ （D ）cot 6．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等．图⑴、三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）．(3)(2)(1)（A ）3个球 （B ）4个球 （C ）5个球 （D ）6个球7．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于（ ）． （A ）43- （B ）6- （C ）43（D ）6 8．已知集合}3,2,0{=A ，},,|{A b a ab x x B ∈==且，则集合B 的子集的个数是（ ）．（A ）4 （B ）8 （C ）15 （D ）16 9．如图，ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ， 点是O ABC ∆的外心，，于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（ ） ．第5题图第7题图（A ）a b c ∶∶ （B ）cb a 1:1:1 （C ）C B A cos :cos :cos （D ）C B A sin :sin :sin10．设a b >，在同一平面直角坐标系内，一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象最有可能的是（ ）．（A ）13- （B ）12- （C ）－1 （D ）－2第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）12．随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________． 13．如果关于x 的方程()012122=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的 取值范围是 ．14．在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上异于D A 和的任意一点，且BD PE ⊥，F E AC PF 、,⊥分别是垂足，那么=+PF PE ___________．15．已知012=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 ．16．已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为 ．17．已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E 、F 分别为边AB 、BC 上的点, AF 和CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是___________平方厘米．y第9题图第11题图第14题图第17题图2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2007-4-1512． 13． 14．15． 16． 17．三、解答题（共8小题，满分76分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（本小题8分）已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，aC +=11，试比较A 、B 、C 的大小，并说明理由．19．（本小题8分）设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，求)(x f 和)(x g ．区 学校 姓 考20．（本小题10分）已知⊥PA 矩形ABCD所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：CD MN ⊥；（2）若=∠PDA 45°，求证MN ⊥面PCD ．21．（本小题10分）在ABC ∆中，,60,40==AC AB 以A 为圆心，AB 的长为半径作圆交BC 边于D ，若DC BD 和的长均为正整数，求BC 的长．第20题图第21题图22．（本小题10分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1=AB ，=∠A 900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积．23．（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．第22题图24．（本小题10分）如图，在梯形PMNQ 中，MN PQ //，对角线MQ PN 和相交于点O ，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为4321S S S S 、、、．试判断21S S +和43S S +的大小关系，并证明你的结论．第24题图25．（本小题10分）已知42++=m m y ,若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；（2）对c b a 、、另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论．密封线 密封线2007年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准3．选C [解析]：∵｛a n ｝等差数列，∴2(S 8 －S 4)= S 4＋(S 12－S 8)，且S 4=3，S 8=7，则S 12=12. 4．选A [解析]： 若a =b ，则直线与圆心的距离为22|2|=+-a a 等于半径，∴2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切．若2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切，则22|2|=+-b a ，∴40-=-=-b a b a 或．故“a =b ”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的充分不必要条件.8．选C [解析]：如果b a ,中至少有1个为零，则0=ab ；如果2==b a ，则4=ab ；如果3==b a ，则9=ab ；如果2332a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则6=ab ，于是B ＝{0，4，6，9}，∴B 有42＝16个子集. 10．选B [解析]：由方程组⎩⎨⎧+=+=bax y abx y 的解知两直线的交点为),1(b a +，而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不对；图C 中交点横坐标是2≠1，故图C 不对；图D 中交点纵坐标是大于a ，小于b 的数，不等于b a +，故图D 不对；故选B.11．选B [解析]：设),0,(),0,(21x B x A 由,22=++c bn an 且222AB BQ AQ =+，得21-=a . 二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）12．365. 13. 211-<<-a . 因式分解得()()0121=+++a x x ，因此“小于1的正数根”是12--a.由1120<--<a 得211-<<-a .14.1360. 如图，过A 作AG ⊥BD 于G ．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE ＋PF =AG ．因为AD =12，AB =5，所以BD =13，所以,136013512=⨯=AG 所以1360=+PF PE . 15. 2. 2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x 22)1()1(22=+--+--=x x x x x .16. 3131≤≤-z . 3,5=++--=zx yz xy z x y 代入由，得0)35()5(22=+-+-+z z x z x ，因为x 为实数，所以0≥∆，解得3131≤≤-z . 17．27204.∵72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE ,如图，连BG . 记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S FGC =∆. 由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得2728=b ，27100=c . ∴)(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF .三、解答题答案（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）18．解：它们的大小关系为C A B <<. ………………………2分 由01<<-a 得01>+a ，02)1()1(222>=--+=-a a a B A 得B A >，…………4分 0143)21(1)1()1(11222>+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+++-=+-+=-aa a a a a a a a A C ，得A C >， ………………6分即得C A B <<. (8)分19．解： )(x f 为奇函数 )()(x f x f -=-∴)(x g 为偶函数 )()(x g x g =-∴ …………………2分由x x x g x f x x x g x f +=---∴-=-22)()( )()(…………………4分从而 x x x g x f x x x g x f --=++=--22)()(,)()( …………………6分⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧--=+-=-222)()()()()()(x x g xx f x x x g x f x x x g x f …………………8分20．证明：分平面平面面平面为平行四边形，四边形且又则中点为，又、连中点取5.//,//,21,//.21,//,,)1(CD MN AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE PC N AE NE E PD ⊥∴⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴=∴==分平面又则为等腰直角三角形时当10.,,//,,45)2( PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA ⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠21．设BD ＝a ，CD ＝b ，（a ，b 为正整数）作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AB ＝AD ＝40，BE ＝DE ＝2a ． ∵ 222)2(40a AE -=，222)2(60b aAE +-=， ∴ 2222)2(60)2(40b aa +-=-， ∴ 34522000)(⨯==+b b a ， …………………6分 ∵ 20＜b a +＜100，∴ 只有⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=+,52,5232b b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=+.5,5224b b a ………………9分 故BC 的长为50或80． …………………10分22．解法1：如图，过C 作CD ⊥CE 与EF 的延长线交于D ． …… ……2分因为∠ABE ＋∠AEB =90°，∠CED ＋∠AEB =90°，所以∠ABE =∠CED ． 于是Rt △ABE ∽Rt △CED ， …………………4分 所以2412====∆∆AE AB CD CE AB CE S S EAB CDE ，）（． ………………6分又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF 是∠DCE 的平分线，点F 到CE 和CD 的距离相等， 所以2==∆∆CDCES S CDF CEF ． ……………8分 所以241214132413232=⨯⨯=⨯==∆∆∆∆ABC ABE CDE CEF S S S S ．………10分 解法2： 如图，作FH ⊥CE 于H ，设FH=h ． ………………2分因为∠ABE ＋∠AEB ＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠FEH ，于是Rt △EHF ∽Rt △BAE ． (4)分 因为，即h EH AE AB FH EH 2.== 所以h HC 221-=． 又因为,FH HC =所以,61,221=-=h h h …………………8分 所以24161212121=⨯⨯=⨯=∆FH EC S CEF ． ………………10分 23．解：原方程可化为0)3(322=+--k x x ，① …………………1分（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件； …………………2分 （2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ； …………………4分 （3）当方程①有异号实根时，02)3(21<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；………7分（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根． …………9分综上所述，满足条件的k 的取值范围是833-=k 或4-=k 或3-≥k ．…………………10分 24．解：设,,n MN m PQ == PMN ∆ 和QMN ∆同底等高,Q MN PMN S S ∆∆=∴，，2423S S S S +=+∴ , 即：43S S =. ………2分POQ ∆ ∽NOM ∆，,:):(:22221n m OM OQ S S ==∴1222S m n S ⋅=∴．………4分 ,:::31n m OM OQ S S == 13S mn S ⋅=∴． ……………6分 1122143212)()(S m n S m n S S S S S ⋅⋅-⋅+=+-+∴21221)1()21(m n S m n mn S -=⋅-+= ．…9分43212,0)1(S S S S m n +>+∴>- ． …………………10分(本题只写对结论而没有过程的只得1分)25. 解：（1）设224k m m =++（k 为非负整数），则有0422=-++k m m ，…………1分 由m 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出）， …………………2分 即22)4(41p k =--（p 为非负整数），得,15)2)(2(=-+p k p k 显然：p k p k ->+22,所以21521k p k p +=-=⎧⎨⎩或2523k p k p +=-=⎧⎨⎩，解得7=p 或1=p ， 所以12pm -±=，得：1,0,4,34321-==-==m m m m ， …………………5分 所以1,4,3-=-==c b a ． …………………6分（2）因为222222a b a b c a b c ++=+++-， ………………8分 即操作前后，这三个数的平方和不变， 而222222200620052004)1()4(3++≠-+-+． ………………9分所以，对c b a 、、进行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006这三个数．………10分。
2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷
2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1142-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 2．若一个半径为32㎝的扇形面积等于一个半径为2㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为 ． 3．分式方程11-x －()11-x x ＝2的解是 ． 4．代数式x 2－2xy ＋3y 2―2x ―2y ＋3的值的取值范围是 ．5．⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和3，O 1O 2＝9，则平面上半径为4且与⊙O 1、⊙O 2都相切的圆有 个． 6、若关于未知数x 的方程＋＋＋＋＋＝()0522=++++m x m x 的两根都是正数，则m 的取值范围是 ．7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a a BC =，＝βB =∠，则AD ＝ ．8．平面内一个圆把平面分成两部分，现有5个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这5个圆则把平面分成 部分．9．在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距5米，乙球与丙球相距3米，问甲球与丙球距离的取值范围？答： ．10．计算12003200220012000+⨯⨯⨯所得的结果是 ． 二、（本题满分12分）11．如图，已知A 是直线l 外的一点，B 是l 上的一点． 求作：（1）⊙O ，使它经过A ，B 两点，且与l 有交点C ； （2）锐角△BCD ，使它内接于⊙O ．（说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明）三、（本题满分12分） 12．如图，己知正三棱锥S —ABC 的高SO ＝h ，斜高SM ＝l ． 求经过SO 的中点平行于底面的截面△A ´B ´C ´的面积． 四、（本题满分13分）13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点． 五、（本题满分13分）14．甲、乙两船从河中A 地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B 地和C 地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B 地的航程大于A 地到C 地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B 地和C 地驶回A 地所需的时间为t 1和t 2．试比较t 1和t 2的大小关系． 六、（本题满分14分）15．如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切， 且半径分别为r 1、r 2、r 3、r 4、r 5．若最 小的半径r 1＝1，最大的半径r 5＝81。
初中数学青年教师解题比赛及答案
秒初中数学青年教师解题比赛决 赛 试 卷本试卷共8页， 23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．） 1．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()UA B =R ，则实数a 的取值范围是（A ）1a ≤（B ）a ≥1（C ）a ≤2（D ）2a ≥2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（A ）1（B ）56（C ）16（D ）1303．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于 14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且 小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数 为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9，35 （B ）0.9，45 （C ）0.1，35（D ）0.1，454．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 （A ）3（B ）2-（C ）3或2-（D ）3-或25. 如图，P A 、PB 切O 于A 、B ，50P ∠=，点C 是O 上异于A 、B 的任意一点，则ACB ∠的度数为（A ）65 （B ）115 （C ）65或115 （D ）无法确定 6．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是 (A) ()1,1- (B)()1,0 (C)()()1,00,1 - (D) ()()+∞-∞-,11, 7．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程222(2)330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ．若22126x x +=，则m 的值是（A（B（C（D ）1-第14题图 NM DC B A第14题8. 如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为 （ ） cm 3．（A ）48π （B ）50π （C ）58π （D ）60π9．给定点M (-1, 2),N (1,4),点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是(A)21 (B) 43(C) 1 (D) 2 10．已知a 、b 、c 为正整数，且19222=---++ac bc ab c b a ，那么c b a ++的最小值等于(A) 11 (B) 10 (C) 8 (D) 6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）11．函数0)2()3lg(1-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______．12． 设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值为 ．13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．则取出的4个球均为黑球的概率是__________．14．如图，平行四边形ABCD 中，AM ⊥BC 于M , AN ⊥CD 于N ，已知AB =10,BM =6, MC =3，则MN 的长为_________．15．若()f x 表示3x +和2283x x -+中较大者，则函数()f x 的最小值是 ．16．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………。
初中数学教师解题比赛题
ABCD初中数学教师竞赛试题学校 姓名本试卷共8页,共三大题22小题,满分120分,考试时间90分钟. 一、选择题（每小题3分,共24分）1、如果a ＜0,b ＞0, +<0a b ,那么下列关系式中正确的是（ ）A ．a b b a >>->-B ．a a b b >->>-C ．b a b a >>->-D ．a b b a ->>->2、如图,⊙O 的圆心在梯形ABCD 的底边AB 上,并与其它 三边均相切,若AB=10,AD=6,则CB 长为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、无法确定 3、已知>a b ,且≠≠+≠0，0，0a b a b ,则函数y ax b =+与+=a b y x在同一坐标系中的图象不可能是 （ ）4、如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转︒30到正方形'''AB C D ,则图中阴影部的面积为（ ） A ．12B ．33C ．-314D ．-3135、若--123135(，)、(1，)、(，)43A yB yC y 为二次函数245y x x =--+的图象上的三点,则123、、y yy 的大小关系是 （ ）A ．312<<y y yB ．321<<y y yC ．123<<y y yD ．213<<y y yO x y A ． O x y B ． O x y C ． O x y D ．D CA O B(第2题图)6、已知实数a 、b 、c 满足<0a ,-+>0a b c ,则一定有 （ ）Ａ．-24≥0b ac Ｂ．->240b ac Ｃ．-24≤0b acＤ．-<240b ac7、把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角,剩下的部分是一个四边形,那么这张纸片原来的形状不可能是 （ ） Ａ．六边形 Ｂ．五边形 Ｃ．四边形 Ｄ．三角形 8、下列图形中,阴影部分的面积相等的有 （ ）Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④① 二、填空题（每小题4分,共32分）9、化简：22242442a a a a a a a a ⎛⎫----÷⎪++++⎝⎭ ,结果为 . 10、已知：221121x x x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭（x ∈R ）,那么11x x ++的值等于___ .11、不等式组2425x a x b +>⎧⎨-<⎩的解集是02x <<,那么a b +的值等于 .12、如图,四边形ABCD 是一个矩形,C 的半径是2cm ,CE = 23cm ,2cm EF =．则图中阴影部分的面积约为 2cm .13、一青蛙在如图88⨯的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点第13题图①②③④第12 题图上跳跃,青蛙每次所跳的最远距离为5,青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A,则所构成的封闭图形的面积的最大值是 .14、如图,依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形,再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形,按此方法继续下去．若第一．．个．正方形边长为１,则第．n个．正方形的面积是 .15、如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A C、到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是 .第16题16、如图, 已知⊙O的周长是△ABC周长的一半, ⊙O从边上一点P出发,绕△ABC的边滚动一周回到点P,则⊙O共滚过圈．三、解答题：（每题10分,共40分）17、计算：122++13223++14334++…+12006200520052006+18、已知x、y均为实数,且满足xy+x+y=17,x2y+xy2=66,求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．……12第15题图19、（本题满分10分）如图,在梯形中,,对角线相交于点,并把梯形分成四部分,记这四部分的面积分别为． 试判断和的大小关系,并证明你的结论．20．（本题满分10分）已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB试求m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.PMNQ MN PQ //MQ PN 和O 4321S S S S 、、、21S S +43S S +第19题图四、解答题：（每题12分,共24分）21、（本题满分12分）如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3cm,CB=4cm,设点P、Q为AB、CB上动点,它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动,移动速度为1cm/秒,设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）.①当∠CPQ=90°时,求t的值.②是否存在t,使△CPQ成为正三角形？若存在,求出t的值；若不存在,能否改变Q的运动速度（P的速度不变）,使△CPQ成为正三角形？如何改变？并求出相应的t值.APC Q B（第21题）22、（本题满分12分）已知抛物线1C ：22y x mx n =-++（m ,n 为常数,且0m ≠,0n >）的顶点为A ,与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y轴对称,其顶点为B ．（1）写出抛物线2C 的解析式 ；（2分） （2）当1m =时,判定ABC △的形状,并说明理由；（5分）（3）抛物线1C 上是否存在点P ,使得四边形ABCP 为菱形？如果存在,求出m 的值；如果不存在,请说明理由．（5分）y。
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初中数学青年教师解题竞赛试卷
一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1
1
2-+
-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度.
3．已知3=xy ，那么y
x
y
x y x
+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个． 6．函数13++=x x y 的图象在 象限．
7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .
8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .
10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8， 则AD ＝ . 二、（本题满分12分）
11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ， 和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明）
..A
B
三、（本题满分12分）
12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分）
13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分）
14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为
︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，
747.270tan ≈︒）. 六、（本题满分14分）.
15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根， 求证：4
1
<
+q p . 七、（本题满分14分）
16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：
PB
PC
PA +的值. 八、（本题满分16分）
17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）
18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使P A +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.
参考答案
一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD <8 8.b =0 9. 4
1
0<
≤p 10.18. 二、作法：11.
1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；
2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；
3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于 点C 和点D ；
4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.
解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有
12,110,33121===n a a
().
1133即110,112112d d a a +=-+=
解得 7=d
().1037033111111=+=-+=∴d a a
答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.
四、13.
解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ， 那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()222
2=---y y x ,
化简，得28
1x y =
.
曲线在x 轴的上方，y >0,
..A B
D
C
O
∴所求的曲线的方程是()08
12
≠=
x x y 五、14.
解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，
B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD A
C B ，BAC
︒='∠︒=∠∴60,70B B
设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC
在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○
1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479
.4015.1≈∴=x x 米
答：水面到碑顶的高度4.41米.
六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p
得2p q -<
4
141212
2≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=+-<+p p
p q p
即4
1
<+q p
七、16.
解：如图，BP 平分直角APC ∠，
︒=∠=∠∴4521
A
C
D
P
1
2
B '
E
A B
C D
在△APB 中，由余弦定理，得：
2222AB PB PA PB PA =⋅-+
同理，在△BPC 中，有2222BC PC PB PC PB =⋅-+ 22222AC PC AP BC AB =+=+
().
20222=+∴=+-∴PB
PC PA PC PA PB PB
当点P 与点A 或点D 重合时.
2=+PB
PC
PA 八、17.
解法1：设()()062=-+x x ，则01242=--x x ,令1282-=+-m ，得10=m ，
∴当10=m 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.
解法2：设21,x x 是方程的两根，则m x ，x x x 2842121-=⋅=+，依题意，
()()()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>
>
⇒⎩⎨
⎧<-->---=∆.2
5,
2
1
.011,02844212
m m x x m 解得：25>m .∴当3=m 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18.
解：当点P 在锐角△ABC 最短边上的高的垂足的位置时，P A +PB ＋PC 最
小.
证明：如图，P 为△ABC 一边BC 边
上的高的垂足，而Q 为BC 边上的任一点，
+++=++QB QA PC PA PC PB PA , QA PA BC QA QC <+=,
QC QB QA PC PB PA ++<++∴
又设AC 为△ABC 最短边，作这边上的高P B '（如图），可知AP P B >'.
A
B
C
P
在P B '上截取AP P B o =',在BC 上截
取AC C B ='，作AC P B o ⊥'.垂足为o P ,连 结o B B '.APC ∆Rt ≌=∴'∆AP C P B o Rt
P B P B o o '='. 四边形o o P P B B ''是矩形，
︒='∠∴90B B B o ，在B B B o '∆中，+='+'+'>'o o BB C P B P A P BB B B
AC AP +，PC PB PA C P B P A P AP AC B B PC PB PA ++<'+'+'∴++'=++.
(2002.12.15)
o
P B '
o
B P '
A B
C
P。