广州市初中数学青年教师解题比赛试卷

广州市初中数学青年教师解题比赛试卷

一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1

1

42-+

-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 2．若一个半径为32㎝的扇形面积等于一个半径为2㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为 ． 3．分式方程

1

1

-x －()11-x x ＝2的解是 ． 4．代数式x 2－2xy ＋3y 2―2x ―2y ＋3的值的取值范围是 ．

5．⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和3，O 1O 2＝9，则平面上半径为4且与⊙O 1、⊙O 2都相切的圆有 个． 6、若关于未知数x 的方程＋＋＋＋＋＝()0522=++++m x m x 的两根都是正数，则m 的取值范围是 ．

7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a a BC =，＝βB =∠，则AD ＝ ．

8．平面内一个圆把平面分成两部分，现有5个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这5个圆则把平面分成 部分．

9．在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距5米，乙球与丙球相距3米，问甲球与丙球距离的取值范围？答： ．

10．计算12003200220012000+⨯⨯⨯所得的结果是 ． 二、（本题满分12分）

11．如图，已知A 是直线l 外的一点，B 是l 上的一点． 求作：（1）⊙O ，使它经过A ，B 两点，且与l 有交点C ； （2）锐角△BCD ，使它内接于⊙O ．

（说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明）

三、（本题满分12分） 12．如图，己知正三棱锥S —ABC 的高SO ＝h ，斜高SM ＝l ． 求经过SO 的中点平行于底面的截面△A ´B ´C ´的面积． 四、（本题满分13分）

13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点． 五、（本题满分13分）

14．甲、乙两船从河中A 地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B 地和C 地．已知河中各处水流速度相同，且A

地到B 地的航程大于A 地到C 地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B 地和C 地驶回A 地所需的时间为t 1和t 2．试比较t 1和t 2的大小关系． 六、（本题满分14分）

15．如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切， 且半径分别为r 1、r 2、r 3、r 4、r 5．若最 小的半径r 1＝1，最大的半径r 5＝81。求θ． 七、（本题满分16分） 16．过半径为r 的圆O 的直径AB 上一点P ，作PC ⊥AB 交圆周于C ．若要以P A 、PB 、PC 为边作三角形，求OP 长的范围．

八、（本题满分16分）

17．设关于未知数x 的方程x 2―5x ―m 2＋1＝0的实根为α、β,试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立． 九、（本题满分16分）

18．在重心为G 的钝角△ABC 中，若边BC ＝1，∠A ＝300，，且D 点平分BC ．当A 点变动，B 、C 不动时，求DG 长度的取值范围． 2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷

参考答案

一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分）

1．22≤≤-x 且1±≠x 2．60° 3．2

1

=

x 4．[)+∞,0 5．3 6．45-≤<-m 7．ββcos sin a 8．22 9．相距大于等于2米而小于等于8米 10．4006001

二、（本题满分12分）

·

· l

A

B

θ

·

A '

B '

C '

A B

C

M

O S

（1）作法：

① 在l 上取点C ，（使∠CAB ≠90°） ② 经过A 、B 、C 作⊙O ，则⊙O 就是 所求.

（2）作法：

① 过O 作BC 的垂线交优弧BC 于D ， ② 连结DC 、DB 、AB ，则△BCD 就是 所求.

三、（本题满分12分）

解：连结OM 、OA ，在Rt △SOM 中，

22h l OM -=.

因为棱锥S —ABC 正棱锥，所以O 是等边

△ABC 的中心.

223260tg 22h l OM AM AB -⋅=︒⋅⋅==,

()()

2222233344

3

43h l h l AB S ABC -=-⨯⨯==

∆

4

1=∆'''∆ABC C B A S S

()

22

4

3341h l S S ABC C B A -==

∴∆'''∆ 四、（本题满分13分）

证明：设抛物线方程为px y 22=，平行于抛物线的轴的直线方程为()0≠=b b y .

解方程组⎩⎨⎧==,,22

b y px y 得⎪⎩

⎪⎨⎧==

,

,22

b y p b x

故抛物线方程为px y 22=与平行于其轴的直线()0≠=b b y 只有一个交点． 五、（本题满分13分）

解：若以1S 、2S 、t 、x 、y 、a 分别表示A ～B 航程、A ～C 航程、下行时间、在静水中甲船航速、乙船航速和水

流速度，则有：

(),2111t a x a a x t a x a x S t ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=-+=-=

(),2122t a y a a y t a y a y S t ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=-+=-=

a y a x a t S S >>>>>,,0,0,21

y x >∴，从而.1

1,

a

y a x a y a x -<-->- A

B

C

l

O

D

A '

B '

C '

O '

A B C

S

O

M