2019年高考数学一轮复习课时分层训练43垂直关系理北师大版_4191

课时分层训练(四十三) 垂直关系A组基础达标一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[依题意，由l⊥β，lα可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，lα不能推出l⊥β.因此，“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.]2．(2017·中原名校联盟4月联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥βC[对于选项A，α⊥β且mα，可得m∥β或m与β相交或mβ，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得mβ或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或mβ，故D不成立，故选C.]3．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对D[过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．故选C.]5．(2017·河北唐山一模)如图7­4­10，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G 是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )【导学号：79140236】图7­4­10A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEFB[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.]二、填空题6．如图7­4­11，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．图7­4­11AB，BC，AC；AB[∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.]7．如图7­4­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图7­4­12DM⊥PC(或BM⊥PC) [连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)【导学号：79140237】②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2017·北京高考)如图7­4­13，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．图7­4­13(1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3)当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E ­BCD 的体积．[解] (1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC . 又因为BD 平面ABC ，所以PA ⊥BD .(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC . 由(1)知，PA ⊥BD ， 所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 所以三棱锥E ­BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.]10．(2017·江苏高考)如图7­4­14，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .图7­4­14求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF ⊆/平面ABC ，AB 平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.B组能力提升11．(2017·贵州贵阳二模)如图7­4­15，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P 点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )图7­4­15A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心．]12.如图7­4­16，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.图7­4­16a 或2a [∵B 1D ⊥平面A 1ACC 1，∴CF ⊥B 1D .为了使CF ⊥平面B 1DF ，只要使CF ⊥DF (或CF ⊥B 1F )． 设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，∴x 2－3ax ＋2a 2＝0，∴x ＝a 或x ＝2a .]13. (2016·四川高考)如图7­4­17，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图7­4­17(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .【导学号：79140238】[解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ， 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB 平面PAB ，CM ⊆/平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ， 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD 平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。