印象铸学堂期中考试数学(理科)含答案

XX 印象铸学堂2018-2019上学期期中考试数学（理科）一、选择题。

（共5小题，每小题5分，共25分）1、1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2、若复数z 满足 其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）12i （C ）（D ）3、若θ是第三象限角，则下列选项中能确定为负值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2 D ．cos2θ 4、函数f （x ）=sin x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）（B ）π （C ） （D ）2π5、为了得到函数y ＝sin （62π+x ）的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度二、填空题。

（共11小题，每小题5分，共55分）6、已知向量,，若与共线,则实数的值是______7、已知 x tan = 2, 则x x cos sin + x 2sin + 1 的值为__________232i,z z +=--12i -+12i --2π23π()2,1=a (),1x =b +a b -a b x8、已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时， ；当 时，；当 时， .则f (6)= __________ 9、设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的_______(充分、必要条件)10、已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令)72(tan ),72(cos ),75(sinπππf c f b f a ===,则_____________（大小排序） 11、已知函数1,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()(b)f af =，则()bf a 的取值X围是____．12、在三棱锥A BCD -中，1,AB AC ==2DB DC ==，AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_________13、设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值X 围是 .14、对称，记，且在（）上单调递增，则实数的最小值是__________．15、已知点是双曲线, 是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-0a <()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥x ∈R a ()f x n ()f x []m n ππ，m n <m P C 2F 2PF________16、已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为三、计算题。

（共6题，第17题10分，其他每题12分，共70分） 17、在平面直角坐标系xy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为(cos 2sin )10p θθ+=，c 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.（1）写出l 和c 的普通方程；（2）在c 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.18.（12分）设函数()πcos 22sin cos 6f x x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，若4AB =，122C f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求ABC △的外接圆的面积．19、（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+20、 (12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.(Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC求二面角111A A B C --的余弦值.21、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .22、．已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，XX 数的取值X 围．参考答案1. A2.B3.C4.B5.A()4ln 1f x a x ax =--0a ≠()f x ()()1f x ax x >+()0,+∞a6.27.5118.2 9.必要不充分条件 10.c a b <<11.3()24bf a ≤< 12、7π 13. 14、17、（1）2100x y +-=;；（2）最小值5，18、∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝ωπ22＝π，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． （2分） (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.（4分）(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令Z K k x ∈+=+,232πππ对称轴为x=Z K k ∈+,122ππ(8分) 2a ≤-2312m =令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z. ∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z （12分） 19.（2）（2）由知, 所以， 当且仅当时，等号成立.故 的最小值为. 20.(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥()I 2a b c +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 12又 1B O CO =，故1AC AB = ………6分（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆ 故O A ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则30,0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1330,,AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,,A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭1131,,0B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100n AB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =设m 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取()1,3,3m =-则1cos ,7n m n m n m==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 21.（1）32n a n =-.2nn b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+.22.（1）依题意，， ()()44a x af x a x x-=-='若，则函数在上单调递增，在上单调递减；若，则函数在上单调递减，在上单调递增；·········5分 （2）因为，故，① 当时，显然①不成立；·········6分当时，①化为：；② 当时，①化为：；③·········7分 令，则，·········8分当时，时，，故在是增函数，在是减函数，，····10分， 所求的取值X 围是．·········12分0a >()f x ()0,4()4,+∞0a <()f x ()0,4()4,+∞()()1f x ax x >+24ln 210a x ax ax --->0a =0a >214ln 2x x x a<--0a <214ln 2x x x a>--()24ln 2(0)h x x x x x =-->()()()2212422422x x x x h x x x x x -++-=--=--'=∴()0,1x ∈()()0,1,h x x ∈'>+∞()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()()max 13h x h ∴==-13a <-∴a 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。