宁夏石嘴山届高三第三次联考模拟试题理数知识讲解
宁夏石嘴山市第一中学2022届高三下学期第三次模拟数学(理)考试题(2)
一、单选题二、多选题1.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）A．B．C．D．2. 等差数列中，前项和为，公差，且，若，则（ ）A．B．C ．不确定D．3.已知，则（ ）A ．2B．C．D ．34.已知函数，，且，，若的最小值为，则函数的单调递增区为（ ）A ．，B ．，C．，D ．，5. 在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．6. 已知三棱锥的底面ABC 是等边三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，，M 为SB上一点，且．设三棱锥外接球球心为O ，则（ ）A ．直线OM ⊥平面SAC ，OA ⊥SBB．直线平面SAC ，OA ⊥SBC ．直线OM ⊥平面SAC ，平面OAM ⊥平面SBC D．直线平面SAC ，平面OAM ⊥平面SBC7. 设集合S={x|x ＞﹣2}，T={x|x 2+3x ﹣4≤0}，则（∁R S ）∪T=（ ）A ．（﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）8. 2021年1月10日，是我国设立的第一个“中国人民警察节”，2020年，某省人民群众对公安机关的满意度测评居首位．为感谢公安干警的辛勤付出，6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者，每名学生只去1个值勤岗亭，且每个值勤岗亭均有志愿者值勤．若甲值勤岗亭安排3名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．96种C ．120种D ．240种9. 小明参加唱歌比赛， 现场8位评委给分分别为: 15， 16， 18， 20， 20， 22， 24， 25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分. 现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是（ ）A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．众数10. 已知，，，下面结论正确的是（ ）A．B．C．D．11.已知在三棱锥中，，，平面PAC ⊥平面ABC ．若点M 为BC 的中点，点N 为三棱锥表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）A．三棱锥的外接球的表面积为B ．直线PC 与AM所成的角C ．若，则点N的轨迹长度为D ．若点N 在棱AC 上，则的最小值为2宁夏石嘴山市第一中学2022届高三下学期第三次模拟数学（理）考试题(2)宁夏石嘴山市第一中学2022届高三下学期第三次模拟数学（理）考试题(2)三、填空题四、解答题12.已知正方体的棱长为2，P ，Q 分别为棱，的中点，M 为线段BD 上的动点，则（）A．B．C ．三棱锥的体积为定值D ．M 为BD 的中点时，则二面角的平面角为60°13.二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．14. 直线与抛物线交于，两点，设抛物线的焦点为，若，则___________.15. 若x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则xy 的最大值为_____．16. 2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有n份（）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测n 次；（2）混合检测，将其中份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸样本全部为阴性，因而这k 份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k 份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k 份核酸样本中，哪些是阳性，就要对这k 份核酸样本逐份检测，此时这k 份核酸样本检测总次数为k +1次．假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的．假设有5份核酸样本，已知其中只有2份为阳性．(1)若采用两种核酸检测方式检测，问最多经过几次检测就可以找到全部的阳性样本？(2)从这5份核酸样本中随机抽取2份，求至少抽取到一份为阳性样本的概率．17. 已知函数，．（1）求函数的最小值（为函数的导函数）；（2）试判断曲线与公切线的条数．18. 在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了赛事最佳阵容．世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，每个小组4支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队逐队厮杀，通过4轮比赛决出最后的冠军．(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分，小组赛阶段中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马队，根据赛前球探报告分析，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量X ，求出其分布列和期望．(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，在所有陈涛没有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中20%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．19. 已知三棱台的体积为，且，平面.(1)证明：平面平面；(2)若，，求二面角的正弦值.20. 已知函数，其中．(1)当时，求的单调区间；(2)若对任意的，都有．（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：对任意的，都有．21. 在三角形中，已知，.（1）求的值；（2）若的面积为，求边的长.。
宁夏石嘴山市第三中学高三下学期第三次模拟考试——数
宁夏石嘴山市第三中学 2017届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.设i 为虚数单位，若是纯虚数，则的值是A. B. 0 C. 1 D. 22.设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为 A. B.C. D.3.设F 是抛物线E:的焦点，直线l 过点F 且与抛物 线E 交于A ，B 两点，若F 是AB 的中点且，则的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 84.执行如图所示程序框图，若输出的值为-52，则条件框内应填写A. B. C. D. 5.已知是内部一点，，，且，则的面积为 A. B. C. D. 6.以下四个命题中，正确命题的个数是 (1)已知，是不同的平面，m ，n 是不同的直线则；(2)直线1:212210,:220,//++=++=l ax y l x ay l l 的充要条件是； (3)(4) 0003,sin cos 2x R x x ∃∈+=A. 1B. 2C. 3D. 4 7.已知满足，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B. C. D.8.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④9.如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中，，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是A. B.C.D .10.已知为双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点为双曲线C 右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线C 的离心率为A. B. C. D. 211.已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为A. B. C. D.12.若函数1()(2)ln x f x a x e x x =-++在(0,2)上存在两个极值点，则的取值范围是 A. B.C. D. 2111(,)(,)4e e e -∞---第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设为等比数列的前n 项和，,则的值为__________． 14.已知函数22log (3),2()21,2x x x f x x ---<⎧=⎨-≥⎩若，则 15.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．16.设,满足约束条件0021-≥+⎧⎪⎨⎪⎩≥+≤x y x y x y ，记的最小值为，则展开式中项的系数为__________．三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）已知函数()()cos (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）在中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若()2cos cos a B C =，求的取值范围18.（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程中系数计算公式分别为：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，，其中为样本均值.19.（本小题满分12分）如图（1），在平行四边形中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠===, 分别为的中点.现把平行四边形沿折起，如图（2）所示，连结.（1）求证:；（2）若，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）经过原点的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，点P 为椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的斜率均存在，且直线PA 、PB 的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率；（2）设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k 的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点.若点F 1在以为直径的圆内部，求k 的取值范围.21.（本小题满分12分） 设函数， e 为自然对数的底数.（1）若函数f(x)的图象在点处的切线方程为，求实数的值； （2）当时，若存在，使成立，求实数的最小值.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点.若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.23、选修4-5：不等式证明选讲 已知函数()2294,0,sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且恒成立. （1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集.石嘴山三中2017届第三次模拟考试(理科)数学能力测试参考答案一、选择二、填空13. 14. -1 15. 0.25 16 . 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17解:(1)由图像知， 22,236A T πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴， 由图像可知，， ∴， ∴，∴， 又∵， ∴， ∴()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）依题设， ()2cos cos a B C =，∴()2sin cos cos A C B B C -=，即)2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+ ()B C A =+=， ∴， 又， ∴. ∴.由（1）知， 5sin 2cos sin cos sin 236A f C A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos cos 3sin 226A A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是.18.试题解析：（1）平均值为11万元，中位数为7万元.（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2. ，，，所以的分布列为12望为2520121999E ξ=⨯+⨯+⨯=. 数学期（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，()421 2.250.250.25 2.255i x x -=+++=∑()()411.520.50.50.50 1.52.57iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑（）（）（）()()()1217 1.45ˆniii nii x x y y bx x ==--===-∑∑ 6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y b x =-=-⨯=，得线性回归方程：. 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. 19.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知可得，四边形,均为边长为的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=.在图 （1）中，取中点, 连结，故是等边三角形，所以，同理可得，, 又因为，所以平面, 又因为平面, 所以.（2）由已知得,11OA OB AB ===, 所以, 故.如图（2），分别以为轴，轴,轴的正方向建立空间直角坐标系，得())10,1,0,,C B -((1,A A ,设平面的法向量()()(1111,,,3,0,3,0,1,m x y z AB AC==-=-,由10AB m AC m ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 得11110y =--=⎪⎩, 令, 得, 所以平面的法向量为, 设平面的法向量()()()22211,,,3,0,3,0,2,0n x y z AB AA ==-=, 由110AB n AA n ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 得222020y ==⎪⎩, 令,得, 所以平面的法向量为,于是cos ,55m n m n m n<>===⨯,因为二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.20.【答案】（1）;（2）试题解析:（1）设则()()1100,,,B x y P x y -- ，∵点三点均在椭圆上， ∴，∴ 作差得()()()()1010101022x x x x y y y y a b -+-+=-，∴222210102210101··14PA PB y y y y b a c k k e x x x x a a -+-==-=-=-+=--+∴ （2）设，直线的方程为，记，∵，∴，()2222{14y k x c x y b b =-+= 得()222222148440k x ck x c k b +-+-=，，∴23422222223422814{44443·1414ck x x k c k cc k b x x k k +=+--==++，当点在以为直径的圆内部时， ()()113434··0F M F N x c x c y y =+++<， ∴()()()22222343410k x x c ck xx c c k ++-+++<，得()()()22222222222448311101414c k c c k k k c k k k -++-++<++，解得 21.【解析】（1）由已知得，， ()()()2ln 11b x f x a nx -'=-，则()222222be e f eae =-=-，且，解之得，. （2）当时， ()()()2ln 11x f x a nx -'=-.又()()()2ln 11x f x a nx -'=- =.故当，即时，.“存在，使成立”等价于“当时，有()()min max f x f x a '≤+”， 又当时，，，问题等价于“当时，有”. 当时，在上为减函数，则. 故；②当时，在上的值域为.（i ）当，即时，在上恒成立，故在上为增函数， 于是()()min f x f e e ae ==-，不合题意； （ii ）当，即时，由的单调性和值域知. 存在唯一，使，且满足 当时，，为减函数； 当时，，为增函数. 所以，. 所以，与矛盾. 综上，得的最小值为.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程． 试题解析：（1）∵直线的参数方程为（为参数）， ∴直线的普通方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由，得22cos 4sin 0ρθρθ-=，即，∴曲线的直角坐标方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵点的极坐标为，∴点的直角坐标为．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴，直线的倾斜角．∴直线的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分代入，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设两点对应的参数为．∵为线段的中点， ∴点对应的参数值为．又点，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23、选修4-5：不等式证明选讲 【试题解析：（1）因为()2294,0,2f x x sin x cos x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且恒成立，所以只需，又因为()22229494f x sin x cos x sin x cos x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ()2222229413cos x sin x sin x cos x sin x cos x+=++，所以，即的最大值为.（2）的最大值为时原式变为，当时，可得，解得；当时，可得，无解；当时，可得，可得；综上可得，原不等式的解集是.。
宁夏石嘴山市高数学三联考试题(理)含详细答案
宁夏石嘴山市2009届高三联考数学试题（理科）命题人： 孙建国 王万波 卢尚义 马志敏数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式Sh V = 3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集,{|(3)0},{|1U RA x x xB x x ==+<=<-则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|x ＞0} B ．}03|{<<-x xC ．}1|{-<x xD ．}13|{-<<-x x2.等比数列{a n }中，a 4=4，则 26a a ⋅等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．323．设i 为虚数单位，则2)131(ii +-=（ ）A ． i +-3B ．i --3C ．i -3D ．i +34. 设实数x , y 满足1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则点(,)x y 在圆面2212x y +≤内部的概率是 ( )A.14 B.4π C.8π D.18 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，ccb A 22cos 2+=，则三角形ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ． 直角三角形6.直线0x =和y x =-将圆221x y +=分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种且相邻部分不能染同种颜色，则不同的染色方案有（ ）A 120种B 240种C 260种D 280种 7.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程yˆ=3-5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程yˆ=bx+a 必过),(y x ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系； ⑤在一个2×2列联表中，由计算得k 2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%; 其中错误．．的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4本题可以参考两个分类变量x 和y 有关系的可信度表:8.设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示不同的三个平面，给出下列四个命题：①若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ；②若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥n ；③若m ⊂α，m ∥n ，则n ∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题为 ( )A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．③④9．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 （ ）A ．π12B ． π34C ．π3D ．π31210. 如图，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y (其中∈x R ，20πϕ≤≤的图象上的 最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0=⋅，则函数)sin(2ϕω+=x y 的最小正周期是 （ ）A ．4B ．8C ．π4D ．π811．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为（ ） A．2BC ．21. D ． 21 12. 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减；Q ：函数)122lg()(2++=x cx x g 的值域 为R ，如果“P ∧Q ”为假命题，“P ∨Q ”为真命题，则c 的取值范围是 （ ）A ．)1,21(；B ．),21(+∞C ．),1[]21,0(+∞⋃； D ．),(+∞-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届宁夏石嘴山三中高考理科数学三模试题
2020届宁夏石嘴山三中高考理科数学三模试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．{2，3}2．（5分）＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．（5分）已知，且，则tanθ＝（）A．2B．C．3D．4．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝2，AD＝4，若P 为CD的中点，则的值为（）A．﹣5B．﹣4C．4D．55．（5分）《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为3，前n项和为S n，且a1，a2，a6成等比数列，则S6＝（）A．51B．54C．68D．967．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，给出下列四个结论：①f（x）的最小正周期为；②f（x）的最小值为﹣4；③（π，0）是f（x）的一个对称中心；④函数f（x）在区间（﹣π，﹣π）上单调递增．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知P为双曲线C：左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若|MP|+|PF2|的最小值为|F1F2|，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2＝．14．（5分）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为．15．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆半径是．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a cos B＝b cos A，，边BC上的中线长为4．则c＝；＝．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内70%10%15%5%各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，0），若以线段PQ为直径的圆与y轴相切．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）若C上存在两动点A，B（A，B在x 轴异侧）满足•＝32，且△P AB的周长为2|AB|+2，求|AB|的值．21．（12分）已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5；不等式选讲].（本题满分0分)23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+1|，记不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）设a，b∈M，证明：|ab|﹣|a|﹣|b|+1＞0．。
2022年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2022年宁夏石嘴山三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A＝{x|1＜2x＜2}，B＝{x|x≥1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．23．已知直线2x﹣y+m＝0与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则“＝0”是“m＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边的．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．巴特农神庙的部分轮廓ABCD就是黄金矩形（如图所示）．O为矩形中心，则图中∠AOD的余弦值等于（）A．B．C．D．5．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．86．一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（）A．8B．16C．8D．87．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（）A．16种B．36种C．48种D．60种8．已知函数f（x）＝x sin x，则其大致图象是下列图中的（）A．B．C．D．9．若函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（0，）上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为（）A．（5，8）B．（5，8]C．（5，11]D．[5，11）10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m⊥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β11．设F1，F2为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上，下两个焦点，过F2的直线l交该双曲线的下支于A，B两点，且满足•＝0，＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足，且f（e）＝，e 为自然对数的底数，若关于x的不等式≤0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量，的夹角为，且||＝3，＝（1，），则在方向上的投影为．14．若实数x，y满足约束条件则z＝3x﹣2y的最大值为．15．已知正项等比数列{a n}满足2a5+a4＝a3，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为．16．某同学在研究函数f（x）＝+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）＝+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），则①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；⑤方程f[f（x）]＝1+有两个解．上述关于函数f（x）的描述正确的个数为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）若a＝2，求三角形ABC面积的最大值．18．自2021年秋季学期开始义务教育学段全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了100名教育工作者的答卷，得分情况统计如下．100名教育工作者答卷得分频数分布表分组频数[50，60）3[60，70）12[70，80）72[80，90）8[90，100]5合计100（1）若这100名教育工作者答卷得分X服从正态分布N（μ，σ2）（其中μ用样本数据的均值表示，σ2用样本数据的方差S2表示），求P（67.8＜X＜89.4）；（2）若以这100名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分，记Y为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数，试求Y的分布列和数学期望E（Y）和方差D（Y）．参考数据：≈7.2，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为边长为2的菱形，∠AA1B1＝，AC1＝B1C1＝2，A1C1＝．（1）求证：A1B⊥平面AB1C1；（2）求直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P（1，0）作直线交椭圆于点C，D（与A，B均不重合）．当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|＝．（Ⅰ）求E的方程．（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．21．已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），将曲线C按伸缩变换公式，变换得到曲线E．（1）求E的普通方程；（2）直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为，若直线l与曲线E交于A，B两点，N为AB的中点，求△OMN的面积．[选修4—5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）已知对任意的x∈R，都有f（x）≥t，若a，b，c均为正实数，a+2b+2c＝2t+2，在空间直角坐标系中，点（a，b，c）在以点（0，﹣1，﹣1）为球心的球上，求该球表面积的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A＝{x|1＜2x＜2}，B＝{x|x≥1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【分析】求出集合B，根据A，B的范围判断即可．解：A＝{x|1＜2x＜2}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x≥1}，故A∩B＝∅，故选：D．2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．2【分析】由题意可得a﹣i＝（1﹣2i）（b+i）＝（b+2）+（1﹣2b）i，由复数相等可得得，再利用复数的模公式即可求解．【解答】由得a﹣i＝（1﹣2i）（b+i）＝b﹣2bi+i+2，即a﹣i＝（b+2）+（1﹣2b）i，故得所以，故选：A．3．已知直线2x﹣y+m＝0与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则“＝0”是“m＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为5x2﹣4mx+m2﹣4＝0，Δ＞0，＝0⇔x1x2+y1y2＝0，可得5x1x2+2m（x1+x2）+m2＝0，把根与系数的关系代入解出m，即可判断出关系．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为5x2﹣4mx+m2﹣4＝0，∵直线2x﹣y+m＝0与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，∴Δ＝16m2﹣20（m2﹣4）＞0，解得：m2＜16，∴x1+x2＝，x1x2＝，＝0⇔x1x2+y1y2＝0，∴（2x1+m）（2x2+m）+x1x2＝0，∴5x1x2+2m（x1+x2）+m2＝0，∴5×+2m×+m2＝0，解得m＝±．∴m＝是＝0的充分不必要条件，＝0”是“m＝”的必要不充分条件，故选：B．4．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边的．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．巴特农神庙的部分轮廓ABCD就是黄金矩形（如图所示）．O为矩形中心，则图中∠AOD的余弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．解：由题意知tan∠ACD＝，则tan∠AOD＝tan2∠ACD＝，∵，∴．故选：C．5．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．6．一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（）A．8B．16C．8D．8【分析】求出正三棱锥底面边长的高，然后求解侧视图的面积．解：由题意可知，底面三角形是正三角形，边长为：4，高为：2，所以侧视图的面积为：4×＝8．故选：C．7．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（）A．16种B．36种C．48种D．60种【分析】根据题意，分2步进行：①先将4人分为3组，②再将分好的三组安排到3个场馆工作，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行：①将4人分为3组，有C42＝6种分组方法，②将分好的三组安排到3个场馆工作，有A33＝6种排法，则有6×6＝36种安排方法，故选：B．8．已知函数f（x）＝x sin x，则其大致图象是下列图中的（）A．B．C．D．【分析】首先研究函数奇偶性排除选项A，D，接着利用特殊值的方法可以选择正确答案．解：∵f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），∴该函数为偶函数，故排除答案A，D，又∵f（）＝0而B选项中显然f（）＜0，因此排除B．故选：C．9．若函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（0，）上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为（）A．（5，8）B．（5，8]C．（5，11]D．[5，11）【分析】先结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求．解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），因为0，所以ωx+＜，要使得f（x）在区间（0，）上仅有一条对称轴及一个对称中心，所以π＜，解得5＜ω≤8．故选：B．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m⊥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【分析】依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理去判断四个选项的说法．解：选项A：若m⊥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α或m与α相交．说法惜误；选项B：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n是异面直线，说法错误．选项C：若m⊥α，n⊥α，则m∥n．说法错误；选项D：若m⊥α，m⊂β，则α⊥β．说法正确；故选：D．11．设F1，F2为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上，下两个焦点，过F2的直线l交该双曲线的下支于A，B两点，且满足•＝0，＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设，表示出|AF1|＝2a+x，|BF1|＝2a+3x，|AB|＝4x，由勾股定理列式计算得x＝a，然后在Rt△AF1F2，再由勾股定理列式，计算离心率．解：由题意得，AF1⊥AF2，且，如图所示，设，由双曲线的定义可得，|AF1|＝2a+x，|BF1|＝2a+3x，|AB|＝4x，因为AF1⊥AF2，所以（2a+x）2+（4x）2＝（2a+3x）2，得x＝a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，在Rt△AF1F2中，，即．故选：A．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足，且f（e）＝，e 为自然对数的底数，若关于x的不等式≤0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[，+∞）D．[，+∞）【分析】令F（x）＝xf（x），根据题意得到f（x）＝，问题转化为a≥﹣x2+2x在x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝﹣x2+2x，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．解：令F（x）＝xf（x），则F′（x）＝f（x）+xf′（x），而，故F′（x）＝，故F（x）＝lnx+c，由F（e）＝ef（e）＝2＝lne+c＝2，解得：c＝1，故F（x）＝lnx+1，故f（x）＝，若关于x的不等式≤0恒成立，则a≥﹣x2+2x在x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝﹣x2+2x，x∈（0，+∞），则g′（x）＝﹣﹣2（x﹣1），x∈（0，1）时，lnx＜0，x﹣1＜0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，x∈（1，+∞）时，lnx＞0，x﹣1＞0，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，故g（x）max＝g（1）＝2，故a≥2，即a的取值范围是[2，+∞），故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量，的夹角为，且||＝3，＝（1，），则在方向上的投影为﹣1．【分析】由已知求得与，再由向量在向量方向上投影的概念求解．解：∵＝（1，），∴，又||＝3，∴＝，则在方向上的投影为．故答案为：﹣1．14．若实数x，y满足约束条件则z＝3x﹣2y的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），由z＝3x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为．故答案为：．15．已知正项等比数列{a n}满足2a5+a4＝a3，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为2．【分析】①分析题意设出正项等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，代入2a5+a4＝a3，即可求出，由即可得出m+n＝8；②转化成，利用基本不等式即可求得最小值，但要注意取等号的条件．解：设正项等比数列{a n}的首项为a1，公比为q（q＞0）∵2a5+a4＝a3，若存在两项a m，a n，使得，则2a1q4+a1q3＝a1q2，即2q2+q﹣1＝0，解得或﹣1（舍去），8＝a1，即，∴m+n＝8∵＝＝≥＝2，当且仅当即m＝6，n＝2时，“＝”成立．则的最小值为2．，故答案为：216．某同学在研究函数f（x）＝+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）＝+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），则①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④函数f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减；⑤方程f[f（x）]＝1+有两个解．上述关于函数f（x）的描述正确的个数为②③．【分析】直接利用信息题中表达的含义，利用函数的性质，函数的单调性和对称性，函数的值域的应用判断①②③④⑤的结论．解：函数f（x）＝+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）＝+，则f（x）表示|PA|+|PB|（如图），对于①，由于函数f（x）的最小值为|AB|＝，所以函数f（x）的值域为[），由函数的值域可知，函数的图象不可能为中心对称图形，故①错误；对于②，由于直线AB与x轴的交点的横坐标为，故f（）＝f（），故f（x）的图象关于x＝对称，故函数是轴对称图形，故②正确；对于③，由于函数f（x）的最小值为|AB|＝，所以函数f（x）的值域为[），故③正确；对于④，由函数的几何意义可知，函数在区间（﹣上单调递减，在[上单调递增，故④错误；对于⑤，令t＝f（x），由f（t）＝2+，解得t＝0或t＝3，由函数的值域可知，该方程无解，故⑤错误．故答案为：②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）若a＝2，求三角形ABC面积的最大值．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出A的值；（2）解法一：直接利用余弦定理和基本不等式的应用和三角形面积公式的应用求出结果；解法二：利用正弦定理和三角函数的关系式的变换和余弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）由，结合正弦定理，得，所以．又因为A∈（0，π），所以．（2）解法一：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤4（当且仅当b＝c＝2等号成立），所以，即当b＝c＝2时，三角形ABC面积S△ABC的最大值为．解法二：由正弦定理，得，所以，又因为，∴所以．又因为，所以，故，，即bc∈（0，4]，所以，所以当，即时，三角形ABC面积S△ABC的最大值为．18．自2021年秋季学期开始义务教育学段全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了100名教育工作者的答卷，得分情况统计如下．100名教育工作者答卷得分频数分布表分组频数[50，60）3[60，70）12[70，80）72[80，90）8[90，100]5合计100（1）若这100名教育工作者答卷得分X服从正态分布N（μ，σ2）（其中μ用样本数据的均值表示，σ2用样本数据的方差S2表示），求P（67.8＜X＜89.4）；（2）若以这100名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分，记Y为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数，试求Y的分布列和数学期望E（Y）和方差D（Y）．参考数据：≈7.2，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）先根据频率分布表求出均值和方差，再结合正态分布计算概率即可．（2）按照二项分布列出分布列，根据公式计算期望和方差即可．解：（1）由频率分布表可知＝75，s2＝＝52，∴X～N（75，52），∵σ＝≈7.2，∴67.8＝μ﹣σ，89.4＝μ+2σ，∴P（67.8＜X＜89.4）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）＝≈＝0.8186．（2）从这100名教育工作者中任意选取1名，其答卷得分不低于70分且低于90分的概率为＝，由题意知，Y～B（3，），则P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝，P（Y＝3）＝＝，∴Y的分布列为：X0123P∴E（Y）＝3×＝，D（Y）＝3×＝．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为边长为2的菱形，∠AA1B1＝，AC1＝B1C1＝2，A1C1＝．（1）求证：A1B⊥平面AB1C1；（2）求直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值．【分析】（1）设A1B交AB1于点O，连接C1O，证明C1O⊥A1B．结合A1B⊥AB1，推出A1B⊥平面AB1C1．（2）以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C1的法向量，结合．利用空间向量的数量积求解直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设A1B交AB1于点O，连接C1O，因为四边形ABB1A1为菱形，，所以AB1＝A1B1＝2，，所以△AB1C1为等边三角形，即可得．在△OA1C1中，，∴，即C1O⊥A1B．又知A1B⊥AB1，C1O∩AB1＝O，C1O，AB1⊂平面AB1C1，所以A1B⊥平面AB1C1．（2）解：由（1）易知C1O⊥平面ABB1A1，所以OA，OA1，OC1两两垂直．以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，B1（﹣1，0，0），，，，设平面A1B1C1的法向量为，∴，令，则．又知．设直线A1B与平面A1B1C1所成角为θ，则，所以直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P（1，0）作直线交椭圆于点C，D（与A，B均不重合）．当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|＝．（Ⅰ）求E的方程．（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【分析】（Ⅰ）由已知可得|AD|＝＝．＝，即可得a＝2，b＝1，即可．（Ⅱ）设直线CD的方程为x＝my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），＝＝＝，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理即可．解：（Ⅰ）点D与椭圆E的上顶点重合时，D（0，b），|AD|＝＝．又椭圆离心率为，∴，即可得a＝2，b＝1∴椭圆方程为：．（Ⅱ）证明：设直线CD的方程为x＝my+1，联立得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，又A（﹣2，0），B（2，0），k1＝，k2＝，∴＝＝＝＝，即为定值．21．已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．【分析】（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．由f（x）是单调函数，可得f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，即可得出a的取值范围．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，可得0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．可得|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝﹣+2a（x1﹣x2）+2ln，把根与系数代入化简可得：|f（x1）﹣f（x2）|＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．，利用导数研究其单调性即可得出．解：（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，解得a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．∴x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，∴0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．∴|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝+2ax1+2lnx1﹣[+2ax2+2lnx2]＝﹣+2a （x1﹣x2）+2ln＝﹣﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）+2ln＝﹣+2ln＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．则h′（t）＝1+﹣＝＞0．∴函数h（t）在[e2，+∞）上单调递增．∴h（t）≥h（e2）＝e2﹣﹣4．∴|f（x1）﹣f（x2）|的最小值为e2﹣﹣4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），将曲线C按伸缩变换公式，变换得到曲线E．（1）求E的普通方程；（2）直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为，若直线l与曲线E交于A，B两点，N为AB的中点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用关系式的伸缩变换和方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程建立方程组，进一步利用一元二次方程的根和系数的关系式，进一步利用三角形的面积求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），将曲线C按伸缩变换公式，转换为直角坐标方程为：．（2）直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为，转换为参数方程为：（t为参数），把直线的参数方程代入，得到：，（t1和t2为A、B对应的参数，N对应的参数为），则：，，所以：，．[选修4—5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）已知对任意的x∈R，都有f（x）≥t，若a，b，c均为正实数，a+2b+2c＝2t+2，在空间直角坐标系中，点（a，b，c）在以点（0，﹣1，﹣1）为球心的球上，求该球表面积的最小值．【分析】（1）由零点分区间法和一次不等式的解法，可得所求解集；（2）由f（x）的单调性可得f（x）的最小值t，再由柯西不等式可得a2+（b+1）2+（c+1）2的最小值，再由球的表面积公式可得所求值．解：（1）当时，f（x）＝2﹣x+1﹣2x＝3﹣3x≥6，解得x≤﹣1，此时x≤﹣1；当时，f（x）＝2﹣x+2x﹣1＝x+1≥6，解得x≥5，此时x∈∅；当x≥2时，f（x）＝x﹣2+2x﹣1＝3x﹣3≥6，解得x≥3，此时x≥3．综上所述，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；（2）由（1）可知所以，函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，，所以，a+2b+2c＝2t+2＝5，因为a、b、c均为正实数，由柯西不等式可得（12+22+22）（a2+（b+1）2+（c+1）2）≥[a+2（b+1）+2（c+1）]2＝81，所以，R2＝a2+（b+1）2+（c+1）2≥9，则该球表面积为4πR2≥36π，当且仅当，即a＝1，b＝1，c＝1时取得等号．所以该球表面积的最小值为36π．。
宁夏石嘴山三中高三数学上学期第三次适应性考试试卷 理(含解析)
2015-2016学年宁夏石嘴山三中高三（上）第三次适应性考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤02．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3=10，且，则a2=（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A．1 B．C．2 D．7．下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．219．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B． C．D．211．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．403112．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知数列{a n}是等比数列，若，则a10= ．14．已知空间直角坐标系o﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件是．15．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B﹣A1C1﹣D的大小．19如图，△RBC中，RB=BC=2，点A、D分别是RB、RC的中点，且2BD=RC，边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣CD﹣P的平面角的余弦值．20．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．2015-2016学年宁夏石嘴山三中高三（上）第三次适应性考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3=0，即m=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆；简易逻辑．【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3=10，且，则a2=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由数列{a n}是等差数列，，可得a1a3=5，利用a1a2a3=10，即可求出a2的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S1=a1，S5=5a3，又∵，∴a1a3=5又∵a1a2a3=10∴a2=2故选A．【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和，及等差数列的性质，在等差数列中：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；在等比数列中：若m+n=p+q，则a m•a n=a p•a q；这是等差数列和等比数列最重要的性质之一，大家一定要熟练掌握．6．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A．1 B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．【解答】解：长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，长方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：2．故选：C【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．7．下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【解答】解：当x＞0时，y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，排除D项．故选：C．【点评】本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．21【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z=x2+y2=9+9=18，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数的单调性和导数之间的关系，即可得到结论．【解答】解：由函数的图象可知，当x＞0时，函数f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，函数f′（x）＜0，函数单调递减，且当x=0时，函数取得极小值f（0），∵f（﹣1）=f（3）=1，∴当0≤x＜3时，f（x）＜1，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜1，综上不等式f（x）＜1的解为当﹣1＜x＜3时，即不等式的解集为（﹣1，3），故选：B【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B． C．D．2【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2•=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．11．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．4031【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，求出范围即可．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为： =1，则y=3﹣x，设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴•=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9，=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，∴当b=0或b=2时有最大值6；当b=1时有最小值4．∴•的取值范围为[4，6]故选B．【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知数列{a n}是等比数列，若，则a10= 96 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知求得等比数列的公比的3次方，然后代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．14．已知空间直角坐标系o﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件是x+y+z=3 ．【考点】空间中的点的坐标；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；【解答】解：因为OA⊥α，所以OA⊥AP，P（x，y，z）．=（1，1，1），由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3．点P的坐标满足的条件是：x+y+z=3．故答案为：x+y+z=3．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．15．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ 的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于较基础题．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x••（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=AC•BC•sinC=×2×2×=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B﹣A1C1﹣D的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用三角形中位线的性质，证明B1C∥ED，利用线面平行的判定，可得B1C∥平面A1BD；（II）证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，利用线面垂直的判定，即可得出结论；（III）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，∴侧面ABB1A是一正方形．∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．∴在△AB1C中，ED是中位线．∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（II）证明：∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（III）解：由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是B（0，0，0），D（），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．由图形可知二面角B﹣A1C1﹣D的平面角为锐角，∴二面角B﹣A1C1﹣D的大小为．…【点评】本题考查线面平行、线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19如图，△RBC中，RB=BC=2，点A、D分别是RB、RC的中点，且2BD=RC，边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC．（1）求证：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣CD﹣P的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知得点B在以点D为圆心，RC为半径的圆上，∠RBC=90°，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°由此能证明BC⊥PB．（2）取RD的中点F，连结AF、PF，推导出∠AFP是二面角A﹣CD﹣P的平面角，由此能求出二面角A﹣CD ﹣P的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵点D是RC的中点，且2BD=RC，所以点B在以点D为圆心，RC为半径的圆上，所以∠RBC=90°，…又因为点A是RB的中点，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°，∴PA⊥AD，∴PA⊥BC，∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，…∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB．…（2）解：取RD的中点F，连结AF、PF，∵RA=AD=1，∴AF⊥RC，∵AP⊥AR，AP⊥AD，∴AP⊥平面RBC，∵RC⊂平面RBC，∴RC⊥AP，∵AF∩AP=A，∴RC⊥平面PAF，∵PF⊂平面PAF，∴RC⊥PF，∴∠AFP是二面角A﹣CD﹣P的平面角，…在Rt△RAD中，AF==，在Rt△PAF中，PF=，cos∠AFP===．∴二面角A﹣CD﹣P的平面角的余弦值是．…【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系．（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．（Ⅲ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，由此得到圆O是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此求出存在以AB为直径的圆P满足题意．从而能求出在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1=2，圆C的圆心C（0，4），半径r2=1，所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4﹣0|＞r1+r2=3，所以圆O与圆C相离．…（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，即kx﹣y+4=0，所以O到l的距离，解得．所以切线l的方程为或…（Ⅲ）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，﹣2），AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，即圆O也是满足题意的圆…ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有…①…由①得，…②，…③若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则MA⊥MB，所以，因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…则，所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．此时以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…综上，在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）…【点评】本题考查两圆位置关系的判断，考查圆的切线方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a=1代入函数表达式，求出导函数得到单调区间从而求出函数的极值；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；分别讨论当0＜x0＜2，x0=2，x0＞2时的情况，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；∴x=时，f（x）极大值=﹣+ln，x=1时，f（x）极小值=﹣2；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，x0=2时，F′（x）=（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，即点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．【点评】本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，如何解决新定义的问题，是一道综合题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．【考点】简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3化成直角坐标方程，再消去参数t将直线l的参数方程化成普通方程，最后利用设点M的坐标的参数形式，结合点到直线的距离公式求解即得．【解答】解：曲线C的普通方程是．直线l的普通方程是．设点M的坐标是的距离是．，d取得最大值．．【点评】本题考查点的极坐标、参数方程和直角坐标的互化、点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，属于中档题．。
宁夏石嘴山市高考数学三模试卷理(含解析)
2017年宁夏石嘴山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A={2，3｝，B={x｜x2﹣5x+6=0}，则A∩B=（)A．{2,3} B．｛（2，3）｝C．｛x=2,x=3｝D．2，32．设i是虚数单位，复数为纯虚数,则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．命题“∀x∈[1，2］,x2﹣3x+2≤0”的否定是( ）A．∀x∈［1，2］,x2﹣3x+2＞0 B．∀x∉［1，2］，x2﹣3x+2＞0C．D．4．在等差数列{a n｝中，2(a1+a3+a5)+3(a8+a10）=36,则a6=（）A．8 B．6 C．4 D．35．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．26．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为( ）A．32 B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）（｜φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f(x）在［0，]上的最小值为( ）A．﹣B．﹣C．D．8．考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2．如此循环,最终都能得到1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=( ）A．4 B．5 C．6 D．79．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．210．已知f（x）=log a(x﹣1）+1(a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M在直线（m＞0，n ＞0)上，则m+n的最小值为( ）A．B．8 C．D．411．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是( ）A．2πB．4πC．8πD．10π12．已知函数，则关于x的方程［f(x）]2﹣f（x）+a=0（a∈R）的实数解的个数不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式（x ﹣）6的展开式中常数项为20,则a= ．14．设向量=（cosα,﹣1），=（2,sinα），若⊥，则tan（α﹣）= ．15．。
2020届宁夏石嘴山市第三中学高三一模考试数学(理)试题及答案
VN ACM
11 34
2 4
2， 48
故③错误；若 AD 与 BC 垂直，又因为 AB BC ，所以 BC ⊥平面 ABD ，所以 BC BD ，又 BD AC ，所以 BD 平面 ABC ，所以 BD OB ，因为 OB OD ，所以显然 BD 与 OB 不可
能垂直，故④正确. 故选：D
绝密★启用前
2020届宁夏石嘴山市第三中学高三一模考试数学（理）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写
在答题卡上
一、单选题
1．已知实数集 R ，集合 A {x |1 x 3}，集合 B x | y
1 x
2
，则
A
CR
B
（）
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 3} C．{x | 2 x 3} D．{x |1 x 2}
其中所有正确命题的序号是（）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①②④
答案：D
①通过证明 AC 平面 OBD ，证得 AC BD ；②通过证明 MN / /BD ，证得 MN / / 平面 ABD ； ③求得三棱锥 A CMN 体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得 AD 与 BC 一定
不垂直.
点评： 本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力 和逻辑推理能力，属于中档题.
12．定义在 R 上函数 f x 满足 f x f x ，且对任意的不相等的实数 x1, x2 0, 有 f x1 f x2 0 成立，若关于 x 的不等式 f 2mx lnx 3 2 f 3 f 2mx lnx 3 在
点评：
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2012年石嘴山市高三年级第一次联考试卷数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择体必须使用0.5毫米黑色字迹的中性笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用2B 铅笔填涂；非选择题作图必须用黑色字迹的中性笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
参考公式：柱体体积公式 Sh V =其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式 Sh V 31=其中S 为底面面积，h 为高独立检验临界值表)(2k k P ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828第I 卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3,5}M =，{4,5}N =，则集合{1,6}=A ．M N U B. M N I C. U (N M Y ) D. U (N M I ) 2．若i b i i a -=-)2(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，复数bi a +=A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -3．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是A ．16B ．24C ．36D ．484．在等差数列{a n }中，若a 1 + a 5 + a 9 =43π，则tan( a 4 + a 6 )的值为 A.33B.1C.－1D.不存在 5．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是正视图侧视图俯视图A ．B ．C ．D ．6. 若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为 A ．1- B ．1C ．1-或2D ．1-或17．若函数1)sin(2)(-+=ϕωx x f 的图象与直线3-=y 的相邻的两个交点之间的距离为π，则ω的一个可能取值为 A ．3 B31 C ．21D ．2 8．已知不等式组0,0210x y x y ≥≥⎧⎨+-≤⎩表示平面区域D ，往抛物线22y x x =-++与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落到区域D 中的概率为A ．19B ．118C ．13 D ．169.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程 =3-5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程 =bx+a 必过),(y x ；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k 2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 O thh t O h t O Ot hyˆy ˆ10．已知离心率为e 的双曲线17222=-y ax ，其右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合，则e 的值为A ．43B ．23234 C ．34 D ．423 11．定义某种运算⊙, a S =⊙b 的运算原理如框图，则式子5⊙3+2⊙4=A. 14B. 15C. 16D. 1812. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时， 其高的值为 A ．33 B ．332 C ．3 D ．32第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k =14．直线y=2与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 15.1110(1)()nnn n n ax a x a xa x a n N -*-+=++⋅⋅⋅++∈，点列(,)i i A i a （i=0，1，2 …n ）的部分图像 如图所示，则实数a 的值为1A 2A 23o14 输入a,ba ＞b? 开始是否输出SS=a(b －1)S=b(a －1)结束16．有下列命题：①函数31x y x +=-的图象关于点(1,1)-对称；②设α，β是两角，则“2παβ=+”是“sin cos αβ=”的必要不充分条件；③在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=300；④已知命题p ：对任意的R x ∈，都有1sin ≤x ，则p ⌝是：存在x R ∈， 使得sin 1x >其中所有真命题的序号是三、解答题（共5题，共60分） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项与公比均为12的等比数列，数列{}n b 的前n 项和 21()2n B n n =+，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求{}n n a b ⋅的前n 项和n s .18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S-ABC 中,⊥SC 平面ABC , 点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设1,90PM AC ACB ==∠=︒,直线AM 和直线SC 所成的角为600. （1）求证：PM ⊥平面SAC ;（2）求二面角M AB C --的平面角的余弦值.APMCBS19．（本小题满分12分）某大学举办“我爱记歌词”校园歌手大赛，经过层层选拔，有5人进入决赛。
决赛办法如下，选手先参加“千首电脑选歌”演唱测试，测试过关者即被授予“校园歌手”称号，否则参加“百首电脑选歌”演唱测试。
若“百首电脑选歌”演唱测试过关也被授予“校园歌手”称号，否则被彻底淘汰。
若进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关的概率是0.5，“百首电脑选歌”演唱测试合格的概率是0.8而且每个人每轮测试是否合格是相互独立的.试计算（结果精确到0.01）（1）恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率； （2）平均有几人参加“百首电脑选歌”演唱； （3）至少一人被最终淘汰的概率.20.（本小题满分12分）设12,A A 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点，1F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆上任意一点.（1）试论证：点P 到左焦点1F 距离的最小值和最大值的位置是顶点12,A A ； （2）若|1PF |的最小值和最大值分别是1和3，求椭圆的标准方程； （3）若直线 l 恒过点M （27，0）且与（Ⅰ）中的椭圆相交于A ，B 两点（A,B 不是左、右顶点），求证： 22AA BA ⊥.21．（本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（a >0），且0)1(='f（1）当a =2时，求f (x) 的单调区间；（2）是否存在直线 l 与函数f (x)的图像交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，使得函数在1202x x x +=处的切线与直线AB 平行，若存在，求出A ，B 两点的坐标；若不存在，请说明理由.四、选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为OA 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P. （1）求证：PM 2=PA ·PC ；（2）若圆O 的半径为32，OA=3OM,求MN 的长.23．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t y t x 2136（参数t ∈R ）， 曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，）.①化曲线C 的方程为普通方程，并指出它表示的是什么曲线；②若将曲线C 上的各点的纵坐标都压缩为原来的一半，得曲线'C .求曲线'C 上的动点P 到直线l 距离的最大值及对应点P 的坐标.24.选修4-5：不等式选讲已知函数2()log (|1||2|)f x x x a =++--. （Ⅰ）当a = 4时，求函数f (x ) 的定义域；（Ⅱ）若关于 x 的不等式 f (x ) ≤ 1的解集不是空集，求a 的取值范围.O ABCMNP。