数学八年级下册第十六章第2课时二次根式的性质教学课件新人教版

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16.3 二次根式的加减(第2课时)(课件)八年级数学下册(人教版)

色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮
他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细
彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)
解：镶壁画所用的金色彩带的长为：
4×（ 800+ 450）
=4×（20 2+15 2）
=140 2≈197.96（cm），
因为1.2m=120cm＜197.96cm，
整式乘法法则与整式乘法公式进行计算。运用的乘法公式主要是：平方
差公式与完全平方公式。
(a b)(a b) a 2 b 2 ,(a b) 2 a 2 2ab b 2
练一练
1、某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为 128米，宽为 50
米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部
分），每个长方形花坛的长为 13 + 1 米，宽为 13 − 1 米．
(1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/
1.

3 11
32

3.设实数 3的整数部分为m，小数部分为n，则(2m+n)(2m﹣n)的值是( A )
A．2 3
B．−2 3
C．2 3 − 2
D．2 − 2 3
4.化简( 3 − 2)2002 · ( 3 + 2)2003 的结果为(B )
A．－1
B． 3 + 2
C． 3 − 2
m a n b 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含
根号.
课堂练习
1.计算:
1
2 3

[初中数学]+二次根式第2课时+二次根式的性质课件+人教版数学八年级下册

( 3) ( 5 )2 ； ( 4 ) ( 2 2 )2 .
解: ( 3 ) ( 5 )2 5 .
( 4 ) ( 2 2 )2= 22 ( 2 )2 = 42 =8 .
二 a2 的性质
活动2:填一填： a2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方 2 运算
a2
算术平 a2
4 方根
2
0.1
0.01
0.1
和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
想一想到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有
哪几类？
整式
代数式分式
二次根式
练一练
1.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
A.7
B.3＞2
x
C. 2
D．2 x2 y2
3
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式
导入新课
什么是二次根式？一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二
次根式. “ ”称为二次根号.
第十六章二次根式
16.1 二根次式
第2课时二次根式的性质
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程， 2.会运用二次根式的性质进行化简计算.
学习重点
经历二次根式的性质的发现过程.
学习难点
会运用二次根式的性质进行化简计算.
2
4
2
3
9
3
0 ...
0
...
0
...
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时， a2 =-？a
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1
2
...3
a2

人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)

3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板，长方形木板够长吗？你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结

16.2 二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册

算术平方根的概念
如果x²=a(x≥0), 那么 x称为a 的算术平方根。用 √a(a≥0) 表示.
2.下列运算正确的是(A
A.(√2)²=2
C.(-√-2)²=2
)
B.(一 √2)²=-2
D.-√(-2)²=2
3. 计算：
(1) √4× √25=10 , √4×25= 10 ;
(2) √16× √9= 12 , √ 16×9= 12 思考：√4× √36 与 √4×36 的结果相● 同吗?你发现了什么?
二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·Jb.√c……√n=Jabc…n(a≥0,b≥0,c≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即
化简二次根式的步骤：
(1) √4× √9= √4×9;
(2) √16× √25= √16×25;
(3) √25× √36= √25×36.
思考你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?
猜测：Ja. √b= √a ·b(a≥0,b≥0). ·. 你能证明
这
个猜测吗?
求证：√a · √b= √a·b(a≥0,b≥0).
商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) √3.5;
解：原
解：原式
最简二次根式应满足如下特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.

人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)

求证： a b a b a 0,b 0.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）．（a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ．解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）４ = ９
特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.

人教版数学八年级下册二次根式的乘除(第2课时)教学课件

a a (a 0,b 0). bb
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;

新版新人教版八年级数学下册第十六章：二次根式 16.2 二次根式的乘除课件共69张PPT

因数或因式从根号中开出来．注意：(1)数的开方，关键是将开得尽方的因数从根号中开出来；
(2) 被开方数如果含有字母，一要考虑二次根式的隐含条件 ( 被开方数是非负数)，二要考虑整个式子的值的符号.
归类探究
类型之一二次根式的乘法
3
2 x ；(2) 计算：(1)5 x·
5 3×
27 125.
解：(1)5 x· 2 x3 ＝(5×2)( x· x3) ＝10 x4＝10x2. (2) 5 × 3 27 ＝ 125 5 27 × ＝ 3 125 9 3 ＝ . 25 5
2．二次根式的化简此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 2，例 3，例 4；【当堂测评】中的第 4 题；【分层作业】中的第 2,3,5,6,9,10,12,15,16 题． ★教学目标★ 1．掌握二次根式的乘法法则； 2．会进行简单的二次根式的乘法运算．
★情景问题引入★ 你能解决下面的问题吗？设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b，已知 a＝2 3，b＝ 10，求 S.
类型之四
比较二次根式的大小
比较下面两个数的大小：－2 3和－3 2.
【解析】可以把根号外面的数移到根号内，再比较被开方数的大小．当 a＞ b≥0 时， a＞ b.
解：2 3＝ 22× 3＝ 22×3＝ 12， 3 2＝ 32× 2＝ 32×2＝ 18. ∵12＜18，∴ 12＜ 18， ∴－ 12＞－ 18，∴－2 3＞－3 2.
【解析】 A. 9－ 4＝3－2＝1，故此选项错误；B 正确；C. 9＝3，故此选项错误；D.－－92＝－9，故此选项错误．
2．[2017· 益阳]下列各式化简后的结果为 3 2的是( C ) A. 6 C． 18 B. 12 D. 36

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D．2x
2 x2 + y2 3
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有
“=”“＞”或“＜”等.
2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为____π ______.
3.化简：
（1） 9＝ 3
; （2） (-4)2＝ 4 ;
（3） -72 7
2
; （4） 81 81 .
（7） 25 ；（8）（-3）2 ．
归纳概念
问题3 回顾我们学过的式子，如 5，a，a+2b，
-ab，s ，- x3， 3， a t
（a≥0）
，
这些式子有哪些共同特征？
（1）含有表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
4
根
2
0.01
0.1
4
2
...9
... 3
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质：
a (a≥0) a2 a
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
例3 化简：
(1) 16;
(2) (-5)2；
(3) 10-2 ;
(4) (3.14 -π)2 .
3 ___3__；
0.12 = ___0_.1_； 02 = ___0__．
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
a2 =a（a≥0）．
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
思考：当a＜0时， a2 = -？a
a(a＜0) -2 -0.1
-2
... 3
平方运算
a2
算术平方
a2
- 144 、 m 2 + 20 、 3 a 、 a2 + b2 、 15 、 b 2 - 1 .
3.a取什么实数时，下列各式有意义？
(1) a + 2 ; a≥－2
(2) a 2 ; a为任意实数
(3) 1 . a
a＞0
2 2 __2___;
4 2 __4_____;
2
131 3 _源自______议一议：如何区别( a )2 与 a2 ？
( a )2
a2
从运算顺序先开方,后平方看
从取值范围看
从运算结果看
a≥0 a
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
先平方，后开方
a取任何实数
|a| 表示一个实数a的平方的算术平方根
练一练
1.在下列各式中，不是代数式的是（ B ）
A.7
B.3＞2 C.
解： (1) 16 42 4.
(2) (-5)2 52 5.
(3) 10-2 = 10-1 2 = 10-1 =10-1.
(4) (3.14 -π)2 = 3.14 -π=π- 3.14.
注意
a2 a ，而3.14＜π，要注意a的正负性.
练习化简：（1）（ 18）2 ；（2）（ 0）2 ；（3）（4 7）2 ； 8 （4）（3 5）2 ；（5） 9 ；（6）（-4）2 ；
例1 计算： (1) ( 1.5 )2 ;
(2) (2 5)2；
解： (1) ( 1.5)2 1.5.
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方：（ab）2=a2b2
探究2
填空，你能说说这样做的依据吗？
22 = ___2__；（ 2 ）2 = 2
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是
1.
a - 2 + (a -1)2
-1 0 1 a 2
5、在实数范围内分解因式：
(1) x2 - 3;
(2) y4 - 4 y2 + 4.
解： (1)x2 - 3 x - 3 x + 3 .
(2) y4 - 4 y2 + 4
y2
-2
2
y2
-
2
2
y+ 2 y- 2 .
2
2
2
本题逆用了 ( a )2 a a≥0 在实数范围内分解因式.在实数范围
内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
6、已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a + b + c2 - b + c - a2 + c - b - a2 .
第十六章二次根式
16.1 二根次式
第2课时二次根式的性质
学习目标 1、理解二次根式的性质； 2、会利用性质化简和计算。
2021/1/15
知识回顾
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
2.下列各式中，是二次根式的有__m__2 _+_2_0_、_____a2__+_b_2_、__. 15
课堂小结
（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表
示数得到的式子？说说你对代数式的认识．
分析：
利用三角形三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a
＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c．
.
0 2 __0___;
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
2是一个平方等于2的非负数.因此
2
2 . 2
同理， 0, 4, 1 分别是0,4，1的算术平方根，即得上面的等
3
3
式.
归纳总结
( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件a.