2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝lnx}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．（0，+∞）D．（0，3）2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i3．（5分）函数的零点所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．（5分）下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．D．y＝﹣x35．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺6．（5分）已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P（﹣5，12），则＝（）A．B．C．D．7．（5分），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）下列四个命题中，真命题的序号是（）①“x＝1”是“x2+x﹣2＝0”的充分不必要条件；②命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题，则p∧q为真命题；③命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“”；④“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题．A．②③B．②④C．①③D．①④9．（5分）2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（）A．60种B．120种C．240种D．360种11．（5分）已知P、A、B、C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．D．48π12．（5分）在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）多项式（x2+x）5的展开式中含x7的项的系数为．（用数字作答）14．（5分）直线y＝2x与抛物线y＝3﹣x2围成的封闭图形的面积是．15．（5分）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示：（残差＝真实值﹣预测值）根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为：．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m的值为．16．（5分）已知函数，若直线y＝x+1与曲线y＝f（x）相切，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少（结果保留整数）；（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的概率．（参考数据：若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）＝0.9545）18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，P A＝PB＝1．（1）证明：EF∥平面DCP；（2）设点G是线段AB的中点，求二面角C﹣PD﹣G的正弦值．19．（12分）随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了50次商业行为，并把调查结果制成下表：（1）若把年龄在[15，45）的人称为中青年，年龄在[45，75）的人称为中老年，请根据上表完成以下2×2列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系？（2）若从年龄在[55，65）的被调查中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．独立性检验临界值表：20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，左顶点为P，过F2的直线交椭圆于A、B两点，直线P A、PB与直线l：x＝4交于M、N两点．（1）求椭圆E的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（1）令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ+2sinθ，直线，直线．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线l1、l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知直线l1与曲线C交于O、M两点，直线l2与曲线C交于O、N两点，求△OMN 的周长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：B＝{x|x＞0}，∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：B．2．【解答】解：∵＝，∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．3．【解答】解：∵函数的是（0，+∞）上的连续函数，且单调递增，f（1）＝﹣3＜0，f（2）＝1＝0，f（3）＝log23﹣1＞0，∴f（2）f（3）＜0．∴函数的零点所在区间为（2，3），故选：B．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝为反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于B，y＝＝x﹣2，为幂函数，是偶函数；不符合题意；对于C，y＝3x﹣（）x，其导数为y′＝3x ln3+（）x ln3＞0，在其定义域上为增函数，不符合题意；对于D，y＝﹣x3，既是奇函数，又在定义域内为减函数，符合题意；故选：D．5．【解答】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，9a1+d＝85.5，解得：d＝﹣1，a1＝13.5．则a12＝13.5﹣11＝2.5．故选：B．6．【解答】解：∵角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P（﹣5，12），∴cos（α﹣）＝＝﹣，sin（α﹣）＝＝，则＝cos（α﹣+）＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin ＝﹣×（﹣）﹣×＝﹣，故选：B．7．【解答】解：，∴f'（x）＝，f′（x）是奇函数，排除B，D．当x＝时，f'（x）＝＜0，排除C．故选：A．8．【解答】解：对于①“x＝1”与“x2+x﹣2＝0”；满足前者推出后者，后推不出前者，所以“x＝1”是“x2+x﹣2＝0”的充分不必要条件；所以①正确；对于②命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，是真命题；命题，是假命题，所以则p∧q为假命题；所以②不正确；对于③命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“”；满足命题的否定形式，所以③正确；对于④“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：a＜b，则am2＜bm2，显然m＝0不成立，所以④不正确．真命题是①③．故选：C．9．【解答】解：由题意，设事件A为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝．故选：A．10．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在住甲乙之外的6人中选出1人，安排在甲乙2人之间，有C61A22＝12种情况，安排好之后，将3人看成一个整体；②，在剩下的5人选出1人，将这个整体全排列，有C51A22＝10种情况，则不同的发言顺序共有12×10＝120种；故选：B．11．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把P、A、B、C扩展为三棱柱，上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与A的距离为球的半径，由P A＝2BC＝6，∠BAC＝60°，∴AE＝×＝××3＝，∴R＝AO＝＝＝2；∴外接球的表面积为：S＝4πR2＝4π•（2）2＝48π．故选：D．12．【解答】解析：函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点，所以f（﹣1）f（1）＜0，即，也就是，故a，b满足图中阴影部分的面积为所以，函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：多项式（x2+x）5的展开式的通项为＝，令10﹣r＝7，则r＝3，此时＝10，故答案为：1014．【解答】解：由y＝2x与y＝3﹣x2，解得x＝﹣3或1，∴直线y＝2x与抛物线y＝3﹣x2交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），∴两图象围成的阴影部分的面积为：S＝[（3﹣x2）﹣2x]dx＝（3x﹣x3﹣x2）＝（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]＝，故答案为：．15．【解答】解：由样本（4，3）处的残差为﹣0.15，即3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，可得a＝0.35回归方程为：．样本平均数＝4.5，＝，即0.7×4.5+0.35＝，解得：m＝4.5．故答案为：4.5．16．【解答】解：设切点的横坐标为x0，f′（x）＝1﹣﹣＝＝1⇒x0＝﹣⇒﹣a＝，则有：f（x0）＝x0+﹣alnx0＝x0+1⇒lnx0﹣x0+1＝0，令h（x）＝lnx﹣x+1⇒h′（x）＝﹣1＝0⇒x＝1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）＝0，所以x0＝1⇒a＝﹣1；故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）由已知得（0.002+0.009+0.022+a+0.024+0.008+0.002）×10＝1，解得a＝0.033．（2）众数＝＝200．由前三组频率之和为0.02+0.09+0.22＝0.33＜0.50，前四组频率之和为0.33+0.33＝0.66＞0.50，故中位数位于第四组[195，205）内，中位数估计为195+≈200．（3）∵Z～N（200，12.22），∴P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6827．18．【解答】证明：（1）取PC的中点为H，连接DH，FH，∵四边形ABCD是正方形，E、F、G分别是线段的中点，DE∥BC且DE＝BC，FH∥BC且FH＝BC，∴DE∥FH且DE＝FH，∴四边形DEFH为平行四边形，∴EF∥DH，∵EF⊄平面DCP，DH⊂平面DCP，∴EF∥平面DCP．解：（2）∵P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴AP，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），G（0，，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，，0），设平面CPD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设平面GPD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，1），∴cos＜＞＝＝，sin＜＞＝＝．∴二面角的正弦值为．19．【解答】解：（1）2×2列联表如图所示：k2＝＝≈3.463＜3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系．（2）年龄在[55，65）的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；所以X的分布列为：E（X）＝0×+1×+2×＝20．【解答】解：（1）∵抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，可得F2（1，0），∴a2﹣b2＝1，①由e＝＝＝，②联立①②可知：a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆方程为+＝1；（2）由（1）可知P（﹣2，0），显然直线AB的斜率不为零，①当直线AB的斜率不存在时，即直线AB方程为x＝1，易知A（1，），B（1，﹣），∴直线P A：y＝（x+2），直线PB：y＝﹣（x+2），分别在上述两个方程中令x＝4可知M（4，3）、N（4，﹣3），∴•＝（4+2，3﹣0）•（4+2，﹣3﹣0）＝（6，3）•（6，﹣3）＝36﹣9＝27；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y＝k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），则y i＝k（x i+2）（其中i＝1、2），∴直线P A：y＝（x+2），直线PB：y＝（x+2），分别在上述两个方程中令x＝4可知：M（4，6•）、N（4，6•），联立y＝k（x﹣1）和椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴•＝（4+2，6•）•（4+2，6•）＝36+36•＝36+36•＝36+36k2•＝36+36k2•＝27．综上所述，•＝27为定值．21．【解答】解：（1）由f′（x）＝ln x﹣2ax+2a，可得g（x）＝ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝﹣2a＝，当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．…（6分）（2）由（1）知，f′（1）＝0．①当0＜a＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增，可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意．②当a＝时，＝1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．③当a＞时，0＜＜1，f（x）在（0，）上单减，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．所以f（x）在x＝1处取极大值，符合题意．综上可知，正实数a的取值范围为（，+∞）．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】（1）解：直线，所以：直线l1的直角坐标方程为，直线．所以：直线l2的直角坐标方程为曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，所以：曲线C的参数方程为；（2）解：联立，得到，同理，又，所以根据余弦定理可得，所以周长．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）∵f（x）＝m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m＝2且m+1＝4，解得：m＝3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，即关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立．可得：|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立即|a﹣3|≥3恒成立，解得：a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，即a≥6或a≤0．故实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{}(){}2320,,,A x x x B x y x A y A =-+≤=∈∈，则A B ⋂=（ )A ．AB ．BC ．A B ⋃D ．∅ 2。
已知i 表示虚数单位，则21ii =+（ ） A ．55 B ．1 C ．5 D ．53.在区间[]3,3-上随机选取一个实数x ，则事件“23x -<0”发生的概率是（ )A ．45B ．34C ．23D ．124。
已知函数()cos ln f x x a x =+在6x π=处取得极值，则a =（ ） A ．14 B ．4π C. 12π D ．12π-5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4 6。
设向量,a b 满足5,1a b a b +=-=，则a b ⋅=( ）A ．6B ．8 C. 12 D ．167。
已知变量,x y 满足2,2,0,x y x y x -≥-⎧⎪+≥-⎨⎪≤⎩则23y x ++的最大值为（ )A ．2B ．32C 。
43 D ．1 8. 已知a 是大于0的常数，把函数xy a =和1y x ax =+的图象画在同一坐标系中，下列选项中不可能‧‧‧出现的是( ）A ．B ．C 。
D ．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．163C 。
203 D ．710.函数()()sin 0,0,02f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则103f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1-B ．0 C. 1 D ．211。
设{}n a 是等差数列，{}n b是等比数列，且11201720171,2017a b a b ====,则下列结论正确的是（ )A ．10081009a a >B ．20162016a b <C 。
齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二9月月考数学试题 含解析
2017—2018学年度上学期高二九月月考数学试题命题人：审题人：第一部分选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1。
下列四个数中，数值最小的是( ）A。
25(10)B。
111(10)C。
10110(2) D. 10111(2)【答案】C【解析】二进制转成十进制的具体做法为：二进制数每个数位上的数乘以该位上的权值，然后求和,即得十进制数，二进制数的权值为2n−1,n 为二进制数的位数(从低位到高位）10110(2)=1×24+0×23+1×22+1×21+0×20=22(10)，同理可得10111的十进制数为23,故选C.2。
从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是（）A。
5，10，15,20,25 B。
3，13，23，33，43C. 1，2,3，4,5 D。
2,4，6，16,32【答案】B【解析】试题分析：从50枚某型导弹中随机抽取5枚,采用系统抽样间隔应为，只有B答案中导弹的编号间隔为10...。
.。
..。
考点：系统抽样3. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A。
10 B. 17 C. 19 D. 36【答案】C【解析】由程序框图知:第一次循环，s=2,k=2×2−1=3；第二次循环，s=2+3=5,k=2×3−1=5；第三次循环，s=5+5=10,k=2×5−1=9；第四次循环,s=10+9=19,k=2×9−1=17>10，不满足条件k<10，退出循环体，输出s=19,故选C。
4。
算法如图,若输入m=210,n=117，则输出的n为（）A. 2 B。
3 C. 7 D. 11【答案】B【解析】输入m=210,n=177,r=210Mod117=93,不满足r=0，执行循环；m= 117,n=93,r=117Mod93=24,不满足r=0，执行循环；m=93,n=24,r=93Mod24=21，不满足r=0，执行循环；m=24,n=21,r=24Mod21=3,不满足r=0，执行循环；m=21,n=3,r=21Mod3=0，满足r=0，退出循环,输出n=3，故选B.5。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文Ⅰ选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={1<)2lg(|-x x }，集合 B ={0<32|2--x x x }，则 A∪B 等于 ( )A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)2．复数i 3(1＋i)2＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i3.函数()ln(31)1xf x =-+的定义域是 ( )A ．()0,+∞B ．()+∞-,1C ．[)0,1-D ．[)+∞-,1 4.命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ）A. B.()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-C. ()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-D.()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- 5.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>6.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是 （ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞C ．1(,)2-∞D ．1(,)2+∞ 7.函数21(0)x y aa a -=+>≠且1的图象必经过点 （ ）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)8.函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－110．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是()A ．m ≤2或m ≥4B ．－4≤m ≤－2C ．2≤m ≤4D ．以上皆不正确11.定义在R 上的奇函数)(x f 满足)1(+x f 是偶函数，且当]1,0[∈x 时，),23()(x x x f -=则=)231(f A ．21 B ． 21- C. 1- D ．1（ ） 12．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 3D ．2 Ⅱ 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确填在答题卡的横线上.13.计算：2391－ ⎪⎭⎫⎝⎛＋3264＝_________14. 已知c b a ,,分别是A B C ∆内角C B A ,,的对边，6,5,4===c b a ，则=+AB A 2s i n )s i n (_________15．x ，y 满足约束条件：11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为；16.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．18．（本题满分12分）某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为 （Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？ 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19．（本题满分12分）已知数列{}n a 为递增的等比数列，148a a ⋅=，236a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形， 60BAD ∠=,又PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上. （1）证明：平面BEF ⊥平面PAD .（2）试探究F 在棱PC 何处时使得//PA 平面BEF .21．（本题满分12分） 已知全集U=R ，集合{23x A xx -=-≤}0，非空集合 {()()22B x x a x a =---＜}0．（1）当12a =时，求A B C U )(； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+1（x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间．（2）若f （x ）﹣2a+1≥0对∀x ∈[﹣2，4]恒成立，求实数a 的取值范围．答案 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
黑龙江省齐齐哈尔八中2016-2017学年高二下学期期中数
2016-2017学年黑龙江省齐齐哈尔八中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1） D．（﹣∞，1]2．在复平面内，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数4．已知a＞0，b＞0，且+=1，则a+2b的最小值是（）A．3﹣2B．3+2C．2 D．45．已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为：=x+，则=（）A．﹣B．﹣ C．D．6．将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A．y′=2cos3x′B．y′=3cos2x′C．y′=cos2x′D．y′=2cos2x′7．如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤1009 B．i＞1009 C．i≤1010 D．i＞10108．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．99．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．11．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A．1080 B．480 C．1560 D．30012．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=．15．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．16．如图，点A的坐标为（1，0），函数y=ax2过点C（2，4），若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知曲线C1的参数方程为：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+），直线l的极坐标方程为θ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1和曲线C2与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求|AB|的值．18．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；（2）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．参考数据：20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．22．已知函数f（x）=x﹣，m∈R，且m≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若m=﹣1，求证：函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．2016-2017学年黑龙江省齐齐哈尔八中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1） D．（﹣∞，1]【考点】1D：并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．2．在复平面内，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数【考点】FC：反证法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，故选C．4．已知a＞0，b＞0，且+=1，则a+2b的最小值是（）A．3﹣2B．3+2C．2 D．4【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且+=1，则a+2b=（a+2b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当a=b=1+时取等号．故选：B．5．已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为：=x+，则=（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出平均数，得到数据的样本中心点，再根据线性回归直线过样本中心点，即可求出系数的值．【解答】解：根据表中数据，计算==3，==5，且线性回归方程=x+过点（，），所以==．故选：D．6．将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A．y′=2cos3x′B．y′=3cos2x′C．y′=cos2x′D．y′=2cos2x′【考点】O7：伸缩变换．【分析】由伸缩变换得，将此式代入原曲线方程即可．【解答】解：由伸缩变换得，将此式代入曲线y=cos6x，得，即y′=2cos2x′．故选D．7．如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤1009 B．i＞1009 C．i≤1010 D．i＞1010【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=0+1，i=1，第二次循环：S=1+，i=2，第三次循环：S=1++，i=3，…依此类推，第1009次循环：S=1+++…+，i=1010，此时不满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤1009，故选：A．8．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．9．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】63：导数的运算；7E：其他不等式的解法．【分析】讨论x的符号，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：若x=0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，故不等式x•f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．10．二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】在（x﹣a）7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．【解答】解：（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．故选：C．11．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A．1080 B．480 C．1560 D．300【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有=20种不同的方法．若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有•=45种不同的方法．故所有的分组方法共有20+45=65种．再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65=1560种，故选：C．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】根据条件，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；∴g（x+2015）＞g（﹣3）；∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；∴﹣2018＜x＜﹣2015；∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，∴Z===i，∴Z的虚部为﹣．故答案为：﹣．14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=0.8413．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841315．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【考点】F1：归纳推理．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n 个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．16．如图，点A的坐标为（1，0），函数y=ax2过点C（2，4），若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知函数y=ax2过点C（2，4），则4=4a，解得a=1，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为（4﹣x2）dx=（4x﹣x3）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知曲线C1的参数方程为：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+），直线l的极坐标方程为θ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1和曲线C2与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求|AB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）利用极径的意义，求|AB|的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为：（θ为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2=1，曲线C2的极坐标方程为：ρ=4sin（θ+），即ρ=2sinθ+2cosθ，直角坐标方程为x2+y2=2y+2x；（2）曲线C1的极坐标方程为：ρ=2sinθ将θ=代入C1的极坐标方程得ρ1=2，将θ=代入C2的极坐标方程得ρ2=4，∴|AB|=ρ2﹣ρ1=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x+1|的最大值为m．（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；（2）若a，b∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，求出函数的值域，即可求m的值；（2）由（1）知，a2+2b2+c2=4，利用基本不等式求ab+bc的最大值．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=（3﹣x）+2（x+1）=x+5≤4；当﹣1＜x＜3时，f（x）=（3﹣x）﹣2（x+1）=﹣3x+1∈（﹣8，4）；当x≥3时，f（x）=（x﹣3）﹣2（x+1）=﹣x﹣5≤﹣8．…故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=4；|x﹣3|﹣2|x+1|＜1，可化为当x≤﹣1时，x+5＜1，∴x＜﹣4；当﹣1＜x＜3时，﹣3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；当x≥3时，﹣x﹣5＜1，∴x＞﹣4，∴x≥3，综上所述，不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜﹣4或x＞0}；（2）由（2）知，a2+2b2+c2=4，则ab+bc≤ [（a2+b2）+（b2+c2）]=2，∴ab+bc的最大值为2．19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．参考数据：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5位女性中，A组、B组应抽取的人数；（3）X的所有可能取值为1，2，3，计算对应的概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）由2×2列联表可得K2==≈0.649＜0.708；没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；（2）由题意得，所抽取的5位女性中，“A组”有5×=3人，“B组”有5×=2人；（3）X的所有可能取值为1，2，3，则P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，所有X的分布列为：其数学期望为EX=1×+2×+3×=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…21．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…22．已知函数f（x）=x﹣，m∈R，且m≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若m=﹣1，求证：函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后分m＜0和m＞0两种情况讨论原函数的单调性；（2）把m=﹣1代入函数解析式，求出导函数F′（x）=，设h（x）=x2﹣1+lnx，利用导数可得h（x）=x2﹣1+lnx在（0，+∞）上为增函数，结合h（1）=0，可得F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．从而得到0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0．可得F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，结合F（x）的最小值为F（1）=0可知函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．【解答】（1）解：f′（x）=1﹣=，x＞0，当m＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．∴f（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）证明：由已知，F（x）=x﹣，则F′（x）=，设h（x）=x2﹣1+lnx，则h′（x）=2x+＞0（x＞0），故h（x）=x2﹣1+lnx在（0，+∞）上为增函数，又由于h（1）=0，因此F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．当0＜x＜1时，F′（x）＜0，当x＞1时，F′（x）＞0．∴F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴F（x）的最小值为F（1）=0．∴函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．2017年6月2日。
【数学】黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二6月月考(文)
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二6月月考（文） 第一部分 选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集U=R ，集合M={x|x 2+2x ﹣3≥0}，N={x|log 2x≤1}，则（∁U M ）∪N=（ ） A ．{x|﹣1≤x≤2} B ．{x|﹣1≤x≤3} C ．{x|﹣3＜x≤2} D ．{x|0＜x ＜1}2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A ．23 B ．32 C ．23- D ．32- 3.式子2lg5+lg12﹣lg3=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣24.已知1a =，6b =，()2a b a ⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．3π B ．4π C.6π D ．2π 5.设a=61)35(，b=51)53(-，c=ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b6.函数y=ln （x 2﹣4x+3）的单调减区间为（ ） A ．（2，+∞）B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，2） D ．（﹣∞，1）7.4cos x y x e =-图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 7B ．215 C. 323 D ．6479.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当30,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，3()f x x =-·11()2f =（ ）A ．81-B.81C.8125-D.8125 10.函数1)3(log +-=x y a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=-+ny mx 上，其中0,0>>n m ，则mn 的最大值为（ ）A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若3C π=，7c =，3b a =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．334 B ．234- C.2 D ．2+3412.若椭圆181622=+y x 的弦被点)1,2(平分，则此弦所在的直线方程( ) A ．014132=-+y x B ．042=-+y x C ．03=-+y x D ．082=-+y x第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确填在答题卡的横线上.13.若31tan =α，则=ααcos sin ． 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)f 的值为 ．15.设实数,x y 满足202600x y x y x -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数y z x =的最小值为 ．16.1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或a b c17.(本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 参数方程是⎩⎨⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)． （Ⅰ)判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M(x ，y)为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2log n n n b a a =，求{}n b 的前n 项和n T ．19. (本题满分12分)某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（Ⅰ）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图； （Ⅱ）若成绩在90分以上学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数； （Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.20. (本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：平面1BC D ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求三棱锥1C BC D -的体积．21.(本题满分12分)已知函数()3sin cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，3a =，sin 2sin B C =，求c .22. (本小题满分12分) 已知函数11ln )(--+-=xaax x x f . （1）当1-=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）当21≤a 时，讨论)(x f 的单调性.参考答案1-5、CAAAB,6-10、DDDBD,11-12、AC 13. 0.3 14. 13-15. 2 16.7 18.（1）当时，，解得， 当时，，. 所以，则，所以是以为首项，2为公比的等比数列.故. ····················································································· 4分 （2）, 则①②①－②得：.所以． ············································································· 12分 19.（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，q=0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……6分 （Ⅲ）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：，，，，， ，，，，，， ， ， ， ， ………10分1n =1122a a =-12a =2n ≥22n n S a =-1122n n S a --=-122n n n a a a -=-12n n a a -={}n a 2112n nn a a q -==22log 22n n nn b n ==⋅231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯23122222nn n T n +-=++++-⨯=12(12)212n n n +--⨯-11222n n n ++=-⋅-1(1)22n n T n +=-⋅+604.0150=⨯E D C B A A ,,,,,2121,A A ()21,A A ()B A ,1()C A ,1()D A ,1()E A ,1()B A ,2()C A ,2()D A ,2()E A ,2()C B ,()D B ,()E B ,()D C ,()E C ,()E D ,女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:，，，，，，，， ………11分所以恰有1名女生接受采访的概率. ………12分 20. （Ⅰ）证明：因为底面，所以……………2分 因为底面正三角形，是的中点,所以……………4分因为，所以平面………………5分因为平面平面,所以平面平面…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知中，，所以………………………………9分所以 ………………………12分21.（1）.由，， 得，. ∴函数的单调递减区间为，. （2）∵，，∴. ∵，∴由正弦定理，得. 又由余弦定理，，得. ()B A ,1()C A ,1()D A ,1()E A ,1()B A ,2()C A ,2()D A ,2()E A ,2158=P BD ⊥11ACC A BD ⊂1BC D 1BC D ⊥11ACC A BD AC ⊥sin 6033BD BC =︒=31()sin cos 22f x x x =-sin()6x π=-226k x πππ+≤-322k ππ≤+k Z ∈223k x ππ+≤523k ππ≤+k Z ∈()f x 25[2,2]33k k ππππ++k Z ∈1()sin()62f A A π=-=(0,)A π∈3A π=sin 2sinBC =sin sin b cB C=2b c =2222cos a b c bc A =+-3a =22213442c c c =+-⨯解得.22.(1)所求切线方程为(2) 时在递减, 递增 时在递减 时，在递减，在递增，在递减1c =22ln )2(,1)2(+=='f f 02ln =+-y x 221)(11ln )(x ax ax x f x a ax x x f -+--='⇒--+-=11,10)(21-==⇒='ax x x f 0≤a )(x f )1,0(),1(+∞21=a )(x f ),0(+∞210<<a )(x f )1,0()11,1(-a ),11(+∞-a。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二6月月考数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度下学期六月月考高二数学(理科)试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合A，求函数的定义域得出集合B，再根据定义写出.【详解】集合，，则，故选B.【点睛】该题所考查的是有关集合的运算，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，对数型函数的定义域的求法，以及集合的交集的定义，属于简单题目.2.已知为虚数单位，实数，满足，则（）A. 4B.C.D.【答案】D【解析】由，得.得，解得所以.故选D.3.下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】本题根据函数奇偶性的定义，判断函数是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题的结果.【详解】对于A项，是偶函数，但其在上单调递增，不合题意；对于B项，是奇函数，不合题意；对于C项，是偶函数，且当时，在上单调递减，符合题意；对于D项，，不是偶函数，递增，不合题意；故选C.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的定义以及所学的初等函数的单调区间，以及复合函数的单调性法则，在解题的过程中，需要逐项验证，即可求得结果.4.第十九届东北医疗器械展览将于2018年6月18至20日在哈尔滨举行,现将5名志愿者分配到4个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（）A. 480B. 240C. 180D. 150【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析将5人分成满足题意的4组有1，1,1,2，计算可得分成1,1,1,2时的分组情况种数，进而相加可得答案.【详解】将5个人分成满足题意的4组有1,1,1,2这一种情况，分成1,1,1,2时，有种分法；所以共有种方案，故选B.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，需要明确解题的步骤是先组合后排列，5个人分到4个地方，每个地方都得有人，所以应该有两个人是作伴的，理清思路是解题的关键.5.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先根据分式不等式的解法以及根据指数函数的单调性求解指数型不等式的解，之后从集合的包含关系来判断充分必要性即可得结果.【详解】由可得，解得，由可得，解得，根据，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要明确从集合的角度如何处理，掌握当A是B的真子集时，A是B的充分不必要条件，同时B是A的必要不充分条件，从而得到结果.6.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A. 28B. 56C. 84D. 120【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的条件，结合对应的程序框图，逐步模拟运行，可以求得结果.【详解】,不满足,,不满足,,不满足,,不满足,,不满足,,不满足,,满足,输出,故选C.【点睛】该题考查的是有关程序框图读取结果的问题，在解题的过程中，需要逐步模拟运行，即可求得结果.7.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面与底面垂直，过作，垂足为，底面底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积故选D．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．8.将函数图象向左平移个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果.【详解】将函数图象向左平移个单位长度，可得,即,令,解得,则平移后图像的对称轴方程为,故选A.【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.9.已知的展开式中的系数为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】（1﹣ax）（1+x）5=（1+ax）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其展开式中含x2项的系数为10﹣5a=5，解得a=1．故选A.10.函数定义域为，值域为，则实数取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为对称轴为,对应函数值为；所以;当时,因此,综合可得的取值范围是，选C.11.定义在上的函数满足，，且时，，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由，因为，所以，，所以.故选C.考点：本题考查函数的奇偶性，周期性点评：解决本题的关键是由已知条件求出其周期，利用周期性、奇偶性求出函数值12.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，设，，则由双曲线的定义可知且解得，在中，由余弦定理得，即，所以，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上.13.函数的定义域为_______________；【答案】【解析】【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.【详解】由题意得：，解得，故函数的定义域是.【点睛】该题考查的是有关求函数的定义域的问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有偶次根式要求被开方式大于等于零，对数式要求真数大于等于零，列不等式组求解即可.14.设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】【分析】根据已知条件知在上是减函数，，所以原不等式可变成，或，根据的单调性解这两个不等式组即得原不等式的解集.【详解】原不等式变成：（1），或（2），因为是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数；又，所以，所以有，解得，或，解得，所以不等式的解集为.【点睛】该题考查的是有关函数的奇偶性与函数的单调性的综合题，在解题的过程中，需要利用题中所给的条件，结合偶函数图像的对称性，得到函数在相应区间上的函数值的符号，之后将分式不等式转化，得到结果.15.设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是___________；【答案】【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出结果.【详解】由，得，因为，所以目标函数的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值，此时，由，解得，即，同时，A也在直线上，代入得，解得，故答案是.【点睛】该题考查的是有关简单的线性规划的问题，在解题的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后分析目标函数的特征，目标函数的类型分三类：截距型、距离型和斜率型，根据题中条件，正确解出结果即可.16.已知命题.若是真命题，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】首先写出命题p的否定，之后问题等价于能成立，再构造新函数，向最值靠拢，应用导数求出函数在对应区间上的最大值，得到结果.【详解】命题的否定是：，，所以能成立，令，则，令，得，并且可以得出在上单调增，在上单调减，所以的最大值也就是极大值为，所以，故实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关命题的否定，涉及到的知识点有全称命题的否定是特称命题，之后构造新函数，应用导数求得对应函数的最大值，求得结果.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，曲线的方程为,以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出的极坐标方程，并求与的交点，的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】试题分析：(1)利用,把一般方程化为极坐标方程,解方程组求出交点坐标；(2)设出点的参数坐标,用点到直线的距离求出边上的高,用面积公式求出的面积,再算出最大值．试题解析:（1）因为，所以的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，解得或，所以点的极坐标分别为．（2）因为是椭圆上的点，设点的坐标为，则到直线的距离为，所以，当时，取得最大值．考点：1．普通方程化为极坐标方程；2．点到直线距离公式．18.已知正项等比数列的前项和为，且，.（1)求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题中所给的条件,结合数列前n项和的特征，以及数列的通项公式，化简得到关于该数列的公比q的等量关系式，利用正项数列，作出取舍，进一步求得数列的首项，从而得到其通项公式；(2)利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，，所以或（舍去）.又，故，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，∴，①∴，②②①得，∴.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，项与和之间的关系，以及错位相减法求和，属于中档题目，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19. 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答. （1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】试题解析:（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2）的可能取值为0，10，20，30，则所以的分布列为0 10 20 30所以，的数学期望20.如图，三棱柱中，侧面底面，,且,O为中点．（1）证明：平面；（2）直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的特征以及面面垂直的性质，证得结果；（2）鉴于线面角的平面角不易作出，建立空间直角坐标系，应用空间向量来解决.【详解】（1）证明：因为，且O为AC的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，平面，所以平面（2）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，又;．所以得:则有：设平面的一个法向量为，则有，令，得所以因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，面面垂直的判定以及线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，需要熟练应用空间向量解决问题.21.随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：销售份数试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意，∽，故；（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；（Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22.设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.（1)求抛物线的方程及椭圆的方程；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得，进而得到椭圆的方程；再由焦点坐标可得，进而得到抛物线的方程；（2）记，运用向量共线的坐标表示和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，及基本不等式，即可得到所求范围.【详解】(1)设椭圆的标准方程为，由题意得，解得∴椭圆的方程为∴点的坐标为，∴，∴抛物线的方程是(2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，由消去整理得（*）∵直线与抛物线交于两点，∴，设，则①，②，∵，∴∴，③由①②③消去得.∴，即，将代入上式得，，∵在上单调递减，∴，即，∴，∴，即的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关抛物线的简单性质，涉及到的知识点有椭圆方程的求解方法，直线与抛物线的综合问题，在解题的过程中，需要对基础知识牢固掌握，正确使用相关公式是解题的关键.。
【数学】黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D2. 已知表示虚数单位，则（）A. B. 1 C. D. 5【答案】A【解析】本题选择A选项.3. 在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】区间的长度为,即,区间长度为,事件“”发生的概率是,故选B.点睛:本题考查学生的是几何概型求概率,属于基础题目.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．特点是①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性,计算公式：P(A)＝.4. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.5. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】第一次循环,第二次循环,第三次循环,满足,此时故选D.6. 设向量满足，则（）A. 6B. 8C. 12D. 16【答案】A【解析】①②①②两式相减并整理得.本题选择A选项.7. 已知变量满足则的最大值为（）A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，代表点和可行域中的点连成的直线斜率，结合图形易知当时，斜率最大，最大值为2.本题选择A选项.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．8. 已知是大于0的常数，把函数和的图象画在同一坐标系中，下列选项中不可．．能．出现的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，则，则函数在取极值，由于，故答案A正确，D不正确；若，则，则函数在取极值，由于，故答案B ，C都正确。
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2017-2018学年度黑龙江省齐齐哈尔市第八中学下学期期中考试高二数学(理科)试题Ⅰ 选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B x y x ==-，则AB = （ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,+∞D ．(],1-∞2.设复数z 满足(1i)i z +=，则z = （ ） A ．12B ．22C ．2D ．23．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则恰有一人击中目标的概率是 （ ）A ．0.44B ．0.32C ．0.12D ．0.484．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 （ ）A ． 2π+B ． 2C ． 2π-D ． π 5.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 （ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+ 6.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A . 1()2sin()26f x x π=+B .1()2sin()26f x x π=- C. ()2sin(2)6f x x π=- D. ()2sin(2)6f x x π=+7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为 （ ） A ．4k >？ B ．5k >？ C ．6k >？ D ．7k >？第5题图 第6题图第7题图8．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 （ ）A.10B.20C.30D.1209.抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面次数多于反面次数的概率是 （ ） A ．716B ．18 C ．12 D ．51610．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考试，要求物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 （ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．3611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P，若5PF =，则双曲线的离心率为y xO6π 2 512π（ ）A ． 2B ．3C .233D ．5 12．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是 ( ) A ．()()3,03,-+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞-Ⅱ 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上.13.不等式25n C n -<的解集为 ；14．x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ；15．设()10102210102x a x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为 ；16．小明跟父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 ；三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos ρθ=．（I ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．18. （本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表 示所选3人中女生的人数. （I ）求随机变量X 的分布列（Ⅱ）求“所选3人中女生人数1X ≤”的概率.EA1C1CBB1A19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为递增的等比数列， 148a a ⋅=，236a a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）如图， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===.（I ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）设E 分别为1BB 的中点，求二面角1E AC B --的大小的余弦值．21.（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间， 黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（I ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系为12022040340x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金； （Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.22．(本题满分12分) 已知函数()=e sin x f x x ax - (I)当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a ≤时，判断()f x 在3[0,]4π上的单调性，并说明理由； 分组频数 b 18 49245[)20,30[)10,20[)30,40[)50,60[)40,50(Ⅲ)当1a <时，求证：3[0,]4x π∀∈，都有()0f x ≥．数学参考答案（理科）一、本题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 12345678910 11 12答案BBAACDABDCAD二、本题共4小题，每小题5分，共20分.13. {}2,3,4 14. 3 15. 1 16. 84三、 17. （I ）由26x t y t =⎧⎨=+⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由22cos ρθ=，得222cos ρρθ=，所以2222x y x +=，即()2222x y -+=，故曲线C 的普通方程为()2222x y -+=； ……5分（Ⅱ）据题意设点()22cos 2sin Mθθ+，，则22cos 2sin 22sin 4x y πθθθ⎛⎫--++=++ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是22,22⎡⎤-++⎣⎦． ……10分18. 解：（I ）X 012P153515………………6分（Ⅱ）()415P x ≤=………………12分19（Ⅰ）由及得或（舍）所以，所以 ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以……12分20. 解：（I ）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AB ，又AA 1⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC .又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又AB ⊥AC . AB ⊥AA 1 , AC ∩AA 1＝A ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1又A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1C ⊥AB 又AB ∩AC 1＝A ∴A 1C ⊥平面ABC 1 ……6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 因为AA 1＝AC ＝2AB ＝4，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C 1(0,4,4)，C (0,4,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,4)，由(1)知，A 1C →＝(0,4，－4)是平面ABC 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AC 1E 的法向量， ∵AC 1→＝(0,4,4)，AE →＝(2,0,2)，∴⎩⎨⎧n ·AC 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋4z ＝0，2x ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝－1，∴n ＝(－1，－1,1)为平面AC 1E 的一个法向量．设A 1C →与n 的夹角为θ，则cos θ＝0－4－43×42＝－63，由图知二面角E －AC 1－B 为锐角，∴二面角E －AC 1－B 的余弦值为63. ……12分21.（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=；由于30%29%>，所以甲公司的影响度高． …………………4分（Ⅱ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人；年旅游总收入[)40,60的人数()0.020.011010030+⨯⨯=人；故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ………………8分（Ⅲ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，易知： ()31031524091C p C ξ===； ()2110531545191C C p C ξ===；()1210531520291C C p C ξ===； ()353152391C p C ξ===.∴ ξ的分布列为：ξ123p249145912091291。