辽宁省实验中学分校2012-2013学年高二下学期第一次阶段性测试数学(文)试题

辽宁省实验中学分校2012-2013学年高二下学期第一次阶段性测试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒 2.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）A . 74y x =+B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-3．设函数x xe x f =)(，则（ ）A ．1=x 为)(x f 的极大值点B ．1=x 为)(x f 的极小值点C ．1-=x 为)(x f 的极大值点D ．1-=x 为)(x f 的极小值点 4．下列求导运算正确的是（ ）A. 2/31)3(xx x +=+B ．2ln 1)(log /2x x =C ．e x x 3/log 3)3(=D ．x x x x sin 2)cos (/2-=5. 已知()f x =3x ·sin x ，则(1)f '=（ ）A .31+ cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是A. 1，－1B. 3，-17C. 1，－17D. 9，－197.已知函数)()(),,()(x f x f x f 为的定义域为'+∞-∞的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，且1)3(,1)2(==-f f ， 则不等式1)6(2>-x f 的解集为（ ） A ．)2,3()3,2(--⋃ B ．)2,2(-C ．)3,2(D ．),2()2,(+∞⋃--∞8.已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点 9．()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图110.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(//>+x g x f x g x f ，且0)3(=-g ，则0)()(<x g x f 的解集是（ ）A. (－3，0)∪(3，+∞)B. (－3，0)∪(0，3)C. (－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.已知函数x x x x f 2721)(23--=，则)(2a f -与)4(f 的大小关系为（ ） A ．)4()(2f a f ≤- B ．)4()(2f a f <-C ．)4((2f a f ≥-D )(2a f -与)4(f 的大小关系不确定 12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）A.20092008 B. 20102009 C. 20112010 D. 20122011二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设曲线xae y =在点0=x 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 14.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ .15.函数32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____A B C D16.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a = .三.解答题：本大题共6小题，共70分.17. (本小题满分10分) 已知曲线 32y x x =+- 在点 0p 处的切线 1l 平行直线014=--y x ，且点0p 在第三象限.（1）求0p 的坐标；（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点0p ,求直线l 的方程. 18．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值.19.（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f 22131)(23+-=，讨论()f x 的单调性.． 20．（本小题满分12分）将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？ 21.(本小题满分12分)已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= （1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； （3）若)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.22．(本小题满分12分)若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2eln (e x x ϕ=为自然对数的底数)． （1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．文数答案一、选择题 CDDBB BAADD AD 二.填空题13.2 14.2a > 或1a <- 15. 37- 16.3 三．解答题17.解： （1）由132'+=x y =4得1=x 或1-=x 又因为点0p 在第三象限，所以1-=x ，所以4-=y所以(-1,-4)0p ………………………………………………………………5分 （2）因为1l l ⊥，所以41-=k ,所以l 方程为：)1(41-4+=+x y 化简得417-41-x y =………………………………………………………10分 18. 解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩……………………………………6分（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值………………………………………………12分19.解：2a -)('2+=x x x f ，……………………………………………2分①当08-2≤=∆a 即2222-≤≤a 时x ax x x f 22131)(23+-=在R 内单调递增，6分②当08-2>=∆a 即22<a 或22>a 时解0)('=x f 得28--21a a x =，28-22a a x +=…………………8分函数的增区间为），（28---2a a ∞和），（∞++28-2a a …………………10分 减区间为,28--[2a a 28-2a a +]……………………………………12分 20.解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aV x a x x =-∈……………………………………4分121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a aV a x a x V x x x x V =--====∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a ax V ∈<……………………………………10分∴函数V 在点x ＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V (a6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6．…………………12分21.解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f ……………3分⑵由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-…………………8分 ⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{480840a a +≥-≥ ∴－2≤a≤2.所以a 的取值范围为[－2,2]. ……………………………………12分 解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得:1,212)3a x x x =<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.由题意可知,当2x -…或2x …时, )(x f '≥0, 从而12x -…, 22x …,即⎩⎨⎧+≤+-≤+612.61222a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[2,2]-.22.解(1) ()()()F x h x x ϕ=-= 22eln (0)x x x ->，2e 2(()2x x F x x x x'∴=-=． …………………2分当x =()0F x '=．当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；…………………4分∴当x =()F x 取极小值，其极小值为0． …………………6分(2)解法一：由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在x =因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为e (y k x -=，即e y kx =+-．由()e R)h x kx x ≥+-∈，可得2e 0x kx --+≥当R x ∈时恒成立．2(k ∆=- ，∴由0≤∆，得k =．下面证明()e x φ≤-当0>x 时恒成立．令()()e G x x ϕ=-+2eln 2e e x x =-+，则2e()G x x '=-=，当x =()0G x '=．当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；∴当x =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2eln e 0G x x =-+≤，即()e(0)x x φ≤->恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线e y =-． …………………12分解法二： 由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且仅当x =) ．若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令x =e b ≥且e b ≤∴=，即ebeb=-后面解题步骤同解法一．。