河南省高三上学期期中数学试卷(理科)
高三理科数学上学期期中考试试卷及答案
河南省实验中学高三年级—上期期中考试 数学（理）(时间:120分钟,满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将所选答案填在答题卷上.1．若复数()1a ia R i +∈+是纯虚数，则实数a 的值为A ．1-B ． 1C ．2-D ．22．设集合S = {0 , 1 , 2 , 3 } , T = { x | | x –3 | ≤2}，则S ∩T = A ．{0 , 1, 2 , 3 } B ．{1 , 2 , 3 } C ．{0 ,1 }D ．{1}3．在等比数列{an}中，若321a a a = 2 ,432a a a = 16，则公比q =A ．21B ．2C ．22D ．84．定义集合M 与N 的新运算：M+N=M x x ∈|{或N x ∈且}N M x ⋂∉，则(M+N)+N 等于 A ．MB ．NC ．N M ⋂D ．N M ⋃5．若()x f 是Ｒ上的增函数，且()(),22,41=-=-f f 设Ｐ＝(){}31|<++t x f x ,Ｑ＝(){}4|-<x f x ．若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数ｔ的取 值范围是Ａ．ｔ≤－１ Ｂ．ｔ＞－１ Ｃ．ｔ≥３ Ｄ．ｔ＞３6．设函数()20)f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象是7．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f +=sin )(，设)3(),2(),1(f c f b f a ===，则A.c b a <<B.a c b <<C. a b c <<D.b a c << 8．随机变量ξ服从标准正态分布)1,0(N ，025.0)96.1(=-Φ，则=<)96.1|(|ξPC.A.B.D.A ．025.0B ．050.0C ．950.0D ．975.09．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,19}的“孪生函数”共有 A ．15个 B ．12个 C ．9个 D ．8个10．函数=y sin -x cos x 与函数=y sin +x cos x 的图象关于Ａ.x 轴对称 Ｂ.y 轴对称 Ｃ.直线2π=x 对称 Ｄ.直线4π=x 对称11．方程θθcos 2sin =在［０，)2π上的根的个数为A ．０B ．1C ．２D ．４12．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g(x)≠0,)()()()(''x g x f x g x f <, )()(x g a x f x=，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭( n=1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1615的概率是A ．51B ．52C ．54D ．53第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x •••••x a x ••xxx f ，要使函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，则a 的值为14．已知l 是曲线x x y +=331的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程为 ．15．已知命题P ：关于x 的不等式ax x >-+-20082006恒成立；命题Q ：关于x 的函数()ax y a -=2log 在[0,1]上是减函数．若Ｐ或Ｑ为真命题，Ｐ且Ｑ为假命题，则实数a 取值范围是 ．16．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =．在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②函数)(x f y =的图像关于直线2k x =（k ∈Z ）对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数；则其中真命题是__ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4.（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值，并求函数)(A f 的取值范围．18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 的前n 项和为nS ，已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--=（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列，并分别写出na 和nS 关于n 的表达式；（Ⅱ）求12231111lim n n n a a a a a a →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭．19．（本小题满分12分）已知袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是31．现从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（Ⅱ）记5次之内摸到红球的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分）设R a ∈，函数ea ax e x f x)(1(2)(2++=-为自然对数的底数）．（Ⅰ）判断)(x f 的单调性；（Ⅱ）若]2,1[1)(2∈>x e x f 在上恒成立，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a ，)2(1>=a a a ，)1(221-=+n nn a a a 其中*n ∈N .（I ）证明 ：2>n a ；（Ⅱ）设2-=n n n a a b ，①证明 ：21nn b b =+；②若数列}{n c 满足nn b c lg =，求数列}{n c 的前n 项和nS .22 ．(本小题满分12分)设函数x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数．（Ⅰ）求正实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1,0a b >>，求证：.ln 1b ba b b a b a +<+<+参考答案 一.选择题ＡＢＢＡＤ ＣＤＣＣC ＣＤ 二.填空题13. 2114.ｙ＝ｘ 15. 1≤a 16. ①②③三.解答题17. 解：（Ⅰ）)62sin()0(21cos )cos sin 3()(πωωωωω+=>-+=x x x x x f π4=T ,41=∴ω )621sin()(π+=∴x x f)](324,344[Z k k k ∈+-∴ππππ单调增区间为 5分(Ⅱ)C b B c a cos cos )2(=- , C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=321cos π=∴=∴B B)621sin()(π+=A A f2626πππ<+<∴A )1,21()(∈∴A f 10分18. 解：（Ⅰ）当n ≥2时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ，得14(2,3,4,)n n a a n --==.∴数列}{n a 是以11a =为首项，4为公差的等差数列.∴.34-=n a n211()22n n S a a n n n=+=-. 6分（Ⅱ）lim n →∞12231111n n a a a a a a -⎛⎫+++⎪⎝⎭=()()1111lim 155********n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯--⎝⎭=111111111lim ()()()()415599134743n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪--⎝⎭=11lim 1443n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=41. 12分 19. 解：（Ⅰ）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，所以概率为：8183132312224=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C4分（Ⅱ）随机变量ξ的聚会为0 , 1 , 2 , 3 .其中，当ξ= 3时，又分三种情况，则()24332311055=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==C P ξ()24380311311415=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C P ξ320π<<A()243803113123225=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛*==C P ξ ()8117313113131311313113132242230333=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C C C P ξ随机变量ξ的分布列是10分ξ的数学期望为：E ξ=24332× 0 + 24380× 1 +24380× 2 + 8117× 3 =8113112分20．解：（1）由已知)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='-- ),12(212--+-=-a ax ax e x2分令.12)(2--+-=a ax ax x g ①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数.②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别地 )(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. 4分③当0<a 时，由,0122>--+-a ax ax 得,1111a x ax -+>--<或由,0122<--+-a ax ax 得,1111a x a-+<<--),(),,()(+∞---+-∞∴a aa a a a x f 在上为增函数；),()(a aa a a a x f ---+在上为减函数 6分（2）①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数..511215.215)2()(222min >>++==∴a e e a e a f x f 得由 10分 ②当2221215)2(,0e e a f a <+=<时21)(e x f >∴在[1，2]上不恒成立，∴a 的取值范围是).,51(+∞ 12分21.解：（I ）运用数学归纳法证明如下：①当1=n 时，由条件知21>=a a ，故命题成立；②假设当*()n k k =∈N 时，有 2>k a 成立 那么当1+=k n 时，0)1(2)2(2)1(22221>--=--=-+k k k k k a a a a a 故命题成立综上所述，命题2>n a 对于任意的正整数n 都成立. 4分（II ）①22222111442)1(2)1(22nn n n n n n nn n n b a a a a a a a a a b =+-=---=-=+++ 8分②n nn n c b b c 2lg lg 211===++ 且02lg1≠-=a ac∴数列}{n c 是以2lg1-=a ac 为首项，以2为公比的等比数列.2lg)12(--=∴a aS n n . 12分22. 解：（Ⅰ）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，x a 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立．又11≤x ， 1≥∴a 为所求． 4分（Ⅱ）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>b ba b a ，一方面，由（Ⅰ）知x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f b b a f ， 0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b ba ．即b a b b a +>+1ln． 8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G ，)1(0111)('>>-=-=x x x x x G ，∴)(x G 在),1(+∞上是增函数，又01)1(>=G ．∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ，∴x x ln >， 即b b a bb a +>+ln． 综上所述，1ln a b a ba b b b ++<<+． 12分。
河南省平顶山市高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省平顶山市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·林芝月考) 已知集合 ,，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·云南期末) 已知是等比数列的前项和，成等差数列，若，则为（）A . 3B . 6C . 8D . 93. （2分） (2019高一上·拉萨期中) 若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）若复数是纯虚数，则的值为（）A . -7B .C . 7D . 或5. （2分）已知，并设：，至少有3个实根；当时，方程有9个实根；当时，方程有5个实根.则下列命题为真命题的是（）A .B .C . 仅有D .6. （2分）已知是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数t，的最小值（）A . 2B .C . 4D .7. （2分） (2015高二下·克拉玛依期中) 若y=ex+sinx，则y′=（）A . xex﹣1+sinxB . ex﹣sinxC . ex+cosxD . y=ex﹣cosx8. （2分） (2018高三上·大连期末) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为24的正三角形、正方形运动一周，O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f(x),y=g(x)，定义函数对于函数y=h(x)，下列结论正确的个数是（）①；②函数h(x)的图像关于直线x=12对称；③函数h(x)值域为；④函数h(x)在区间(0,10)上单调递增.A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2016高一下·揭西开学考) 已知四边形ABCD为正方形， =3 ，AP与CD交于点E，若=m +n ，则m﹣n=（）A . ﹣B .C . ﹣D .11. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2 ， P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A . 4B . 2C . 1D .12. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 设函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则函数f（x）（）A . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点B . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点C . 在区间（0，3），（3，+∞）均无零点D . 在区间（0，3），（3，+∞）均有零点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x3 3.5 4.5my234n根据上表提供的数据，已知m+n=9求出y关于x的线性回归方程为 =x﹣0.75，则n的值为________．14. （1分）函数y=cos2x+sinx的最大值是________ ．15. （1分） (2016高一下·高淳期末) 数列{an}的通项，其前n项和为Sn ，则S30=________．16. （1分） (2017高一上·东城期末) 已知函数若存在x1 ，x2∈R，x1≠x2 ，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高二下·江门月考) 已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.18. （10分）(2017·西宁模拟) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，且满足4Sn﹣1=an2+2an ，n∈N* ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜．19. （5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．20. （15分）随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：读营养说明不读营养说明合计男16420女81220合计241640（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．（n=a+b+c+d）参考公式：，P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. （10分） (2016高二上·枣阳开学考) 在△ABC中，AB=3，AC边上的中线BD= ，• =5．（1）求AC的长；（2）求sin（2A﹣B）的值．22. （10分） (2016高二下·曲靖期末) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（α为参数）距离的最小值．23. （10分）(2017·包头模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
河南省开封市高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省开封市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·伊通期末) 已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则不等式成立的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）设集合，，则等于（）A .B .C .D .4. （2分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④6. （2分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数，且的值域为，则的最小值为（）A . 3B .C . 2D .7. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·集宁期末) 若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与图象的对称中心重合，则的最小值是（）A . 1B . 2C . 4D . 89. （2分） (2016高三上·西安期中) 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·临淄期末) 设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A . f（a）＜eaf（0）B . f（a）＞eaf（0）C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二下·常州期中) 已知指数函数在上为减函数；， .则使“ 且”为真命题的实数的取值范围为________．12. （1分）(2017·商丘模拟) 已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是________．13. （1分） (2019高二下·临川月考) ________.14. （1分）已知的内角的对边分別为，，角最大，则的取值范围为________．15. （1分）若函数的最小值为5，则实数________ 。
河南省郑州市高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省郑州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2016·海口模拟) 设全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁UA）∩B 等于（）A . （﹣2，）B . （，+∞）C . [﹣2，）D . （﹣2，﹣）2. （2分）如果f（x）图象关于原点对称，在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A . 增函数且最小值是﹣5B . 增函数且最大值是﹣5C . 减函数且最大值是﹣5D . 减函数且最小值是﹣53. （2分）函数的定义域是（）．A . [－1，＋∞)B . (－∞，0)∪(0，＋∞)C . [－1,0)∪(0，＋∞)D . R4. （2分）“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1 ， y1），（x2 ， y2），…（xn ， yn），由样本数据得到回归方程 = x+ 必过样本点的中心（，）；③调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年中应抽取的个体数为12；④频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距．其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2016高一下·齐河期中) 二次函数f（x）的图象如图所示，则f（x﹣1）＞0的解集为（）A . （﹣2，1）B . （0，3）C . （﹣1，2]D . （﹣∞，0）∪（3，+∞）7. （2分） (2016高一上·景德镇期中) 若函数y=f（x+1）是偶函数，则下列说法不正确的是（）A . y=f（x）图象关于直线x=1对称B . y=f（x+1）图象关于y轴对称C . 必有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立D . 必有f（1+x）=f（1﹣x）成立8. （2分）(2017·嘉兴模拟) 将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A . 0B . 1C .D .9. （2分）(2017·南充模拟) 已知α，β是三次函数的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：,再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二下·孝感期中) 在一次射击训练中，某战士连续射击了两次．设命题p是“第一次射击击中目标”，q是“第二次击中目标”．则用p，q以及逻辑联结词（￢，∧，∨）表示“两次都没有击中目标”为________．12. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图像与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围________．13. （1分）由曲线y2＝2x ， y＝x－4所围图形的面积是________．14. （1分）(2018·长安模拟) 等腰△ABC中，AB=AC ， BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为________．15. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数 ,若实数满足，且，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分） (2017高一上·鸡西期末) A={x|2≤x≤6}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，（1）A∪B，∁R（A∩B）（2）若C={x|a﹣4＜x≤a+4}，且A⊆C，求a．17. （5分）已知函数f（x）=3sin（ωx﹣），（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+θ）+1的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，求出f（x）的值域．18. （10分） (2015高三上·青岛期末) 已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（1）求y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．19. （10分） (2017高三上·常州开学考) 我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ （千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？20. （10分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y=1；（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．21. （5分）（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
河南省平顶山市高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省平顶山市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：①M={（x，y）|y= }；②M={（x，y）|y=sinx}；③M={（x，y）|y=ex﹣2}；④M={（x，y）|y=lgx}．其中所有“理想集合”的序号是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④2. （2分）已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A . （﹣1，6）B . （﹣6，1）C . （﹣2，3）D . （﹣3，2）3. （2分）已知sinα= ，且α为第二象限角，则tan（π﹣α）=（）A . ﹣B .C . ±D . ﹣24. （2分） (2017高二下·瓦房店期末) 的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知P是△ABC内一点，且，则△PAB的面积与△ABC的面积之比等于（）A . 1：3B . 2：3C . 1：5D . 2：56. （2分） (2017高一上·长春期末) 若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0 ， 0）成中心对称，，则x0=（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（）A . 5B . 6C . 7D . 98. （2分）(2018·衡阳模拟) 设不等式组，表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ，）10. （2分）已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则（）A . f(2)＜e2f(0)B . f(2)≤e2f(0)C . f(2)＝e2f(0)D . f(2)＞e2f(0)二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一上·汤原月考) 若函数的定义域是R ，则实数的取值范围是________.12. （1分） (2017高二下·桂林期末) （ex+x）dx=________．13. （1分） (2016高三上·泰州期中) 在△ABC中，（﹣3 ）⊥ ，则角A的最大值为________．14. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知两个正实数x，y满足x+y=4，则的最小值是________．15. （1分） (2017高二上·定州期末) 设函数f（x）= ，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2016高二上·芒市期中) 在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、，若C=45°，b=4 ，sinB= ．（1）求c的值；（2）求sinA的值．17. （10分） (2018高二上·榆林期末) 已知命题；命题：函数在区间上为减函数.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“ 或”为真命题，且“ 且”为假命题，求实数的取值范围.18. （10分） (2017高二下·正定期末) 已知函数，其中 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.19. （10分） (2016高一下·新乡期末) 已知与均为单位向量，它们的夹角为60°．（1）求| ﹣3 |（2）若x ﹣与+x 垂直，求x的值．20. （10分） (2016高一上·包头期中) 某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？21. （5分）设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
2021-2022学年河南省高三(上)期中数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年河南省高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，已知数列{b n }是等差数列，且b n =a n +n 2a n，a 3=3，b 4+b 5=11，则S n +T n =( )A. n 2−2nB. 2n 2−nC. 2n 2+nD. n 2+2n2. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=−lnx ，则( )A. f(log 413)>f(34)>f(log 34) B. f(34)>f(log 413)>f(log 34) C. f(log 413)>f(log 34)>f(34)D. f(34)>f(log 34)>f(log 413)3. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)的部分图象大致如图所示，则不等式[f(x)−f(−3π4)][f(x)−f(π12)]≤0的解集为( ) A. [kπ−π6,kπ−π12]，k ∈Z B. [kπ−π12.kπ+π4]，k ∈Z C. [kπ−π4,kπ+π12]，k ∈Z D. [kπ+π12,kπ+3π4].k ∈Z4. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中正确的是( )A. 若a 4>b 4，则a >bB. 若a c >bc ，则a >b C. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若ac 2<bc 2，则a <b5. 如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在线段OB上且OE =13OB ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ−μ=( )A. 13 B. −13C. 1D. 236. 已知命题p ：∀x ∈R ，4x >2x ，命题q ：∃x 0∈R ，使得lnx 0=−1，则下列命题是真命题的为( )A. p ∧qB. (￢p)∧qC. p ∧(￢q)D. (￢p)∧(￢q)7. 已知函数f(x)是奇函数且其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y =2x −1，设函数g(x)=f(x)−x 2，则g(x)的图象在点(−1,g(−1))处的切线方程为( )A. y =4x +2B. y =−4x −6C. y =0D. y =−28. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=2，a 4+a 5=16，则{a n }的公比为( )A. −2B. 1C. 2D. 2√29. 已知函数f(x)=x 2+bx(b ∈R)，则“f(x)在(0,+∞)上单调递增”是“f(f(x))在(0,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 下列区间一定包含函数f(x)=sin2x +sinx −x2的零点的是( )A. (0,π4)B. (π4,π2)C. (π2,3π4)D. (3π4,π)11. 设集合A ={x|x −2<1|,B ={x|2x 2−5x −7<0}，则A ∩B =( )A. (3,72)B. (−1,72)C. (−1,3)D. [−1,3]12. 已知正实数x ，y ，z 满足x 2−xy +4y 2−z =0，则当xyz 与6x +12y −5xy −z 同时取得最大值时，z =( )A. 6B. 278C. 3D. 98二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，用数列{a n }和{b n }记录他们的成绩．若第k 题甲答对，则a k =k ，若第k 题甲答错，则a k =−k ；若第k 题乙答对，则b k =2k−1，若第k 题乙答错，则b k =−2k−1.已知b 1+b 2+⋯+b 10=767，a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 10b 10=9217，则a 1+a 2+⋯+a 10=______．14. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=6，则|2a ⃗ −b ⃗ |=______． 15. 若x ，y 满足约束条件{x −2y −4≤0x −y −2≥0y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为______．16.已知α∈(π,2π)，cosα−3sinα=1，则cosα2=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设{a n}是公比为负数的等比数列，3a1为a2，a3的等差中项，a5=−243．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=a2n+a2n−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=cos(x+3π2)cosx−√3sin2(π2+x)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)设函数g(x)=2f(x)+1，求g(x)在区间[−π4,π4]上的值域．19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC−ccos(B+C)=−b3cos(A+B)．(Ⅰ)求tanC；(Ⅱ)若c=3，sinAsinB=1627，求△ABC的面积．20.已知数列{a n}和{b n}的各项均为正数，且2a n+1=b na n+a nb n，n∈N∗．(Ⅰ)若b n+1=a n2+b n2，且a1=b1=2，求数列{a n b n}的通项公式；(Ⅱ)若b n+1=a n+b n−1，且{a n}是等差数列，求{a n}和{b n}的通项公式．21.已知函数f(x)=xlnx+2x−1．(Ⅰ)若函数f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线在y轴上的截距为−2，求x0；(Ⅱ)当x>1时，关于x的不等式a(x−1)<f(x)恒成立，求满足条件的实数a的最大整数值．22.如图所示是一个长方体容器，长方体的上、下底面为正方形，容器顶部是一个圆形的盖子，圆与上底面四条边都相切，该容器除了盖子以外的部分均用铁皮制作，共使用铁皮的面积为16dm2.假设圆形盖子的半径为rdm，该容器的容积为Vdm3，铁皮厚度忽略不计．(Ⅰ)求V关于r的函数关系式；(Ⅱ)该容器的高AA1为多少分米时，V取最大值？答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为a 3=3， 所以b 3=a 3+32a 3=3+323=4，设等差数列{b n }的公差为d ，则{b 3=b 1+2d =4b 4+b 5=2b 1+7d =11，解得{b 1=2d =1， 所以b n =2+(n −1)×1=n +1， 故b n =a n +n 2a n=n +1，解得a n =n ，所以数列{a n }的前n 项和S n =n(1+n)2=n 22+n2，数列{b n }的前n 项和T n =n(2+n+1)2=n 22+3n 2，则S n +T n =n 2+2n ． 故选：D ．设等差数列{b n }的公差为d ，进而根据等差数列的通项公式计算出首项和公差，求出通项公式，进而求出a n ，然后利用等差数列的前n 项求和公式求解即可．本题考查了等差数列的综合应用，涉及了等差数列通项公式的应用，等差数列前n 项求和公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵f(x +2)=−f(x)，∴f(x +2)=−f(x)=f(x −2)，故f(x)的周期为4， f(34)=f(81)=f(1)=0，f(log 413)=f(−log 43)=f(log 43)， ∵0<log 43<1，∴f(log 413)=−ln(log 43)>0，f(log 34)=−f(log 34−2)=−f(2−log 34)，∵0<2−log 34<1， ∴f(log 34)<0，∴f(log 34)<f(34)<f(log 413)，故选：A ．有函数的周期性和奇偶性结合已知条件求解即可．本题主要考查了函数奇偶性和周期性的综合应用，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：设f(x)的最小正周期为T ， 由图象知34T =7π12−(−π6)=3π4，解得T =π，所以ω=±2，当ω=2时，令2×(−π6)+φ=2kπ，(k ∈Z)，得φ=2kπ+π3，(k ∈Z)， 令k =0，得f(x)=2sin(2x +π3)， 所以f(−3π4)=2sin(−7π6)=1，f(π12)=2sin π2=2，则[f(x)−1][f(x)−2]≤0，得1≤f(x)≤2， 所以12≤sin(2x +π3)≤l ， 所以2kπ+π6≤2x +π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，可得kπ−π12≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ， 当ω=−2时，令−2×(−π6)+φ=2kπ，(k ∈Z)，得φ=2kπ−π3，k ∈Z ， 令k =0，得f(x)=2sin(−2x −π3)，则[f(x)+1][f(x)+2]≤0，得−2≤f(x)≤−1， 所以−1≤sin(−2x −π3)≤−12， 所以12≤sin(2x +π3)≤1， 所以2kπ+π6≤2x +π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，可得kπ−π12≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ． 故选：B ．根据已知求出ω=±2，再分两种情况讨论，求出φ，把1≤f(x)≤2转化为12≤sin(2x +π3)≤1，解三角不等式即得解．本题主要考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：对于A ，令a =−3，b =2，满足a 4>b 4，但a <b ，故A 错误， 对于B ，∵a c>bc ，∴当c <0时，a <b ，故B 错误，对于C ，令a =1，b =−1，c =1，d =−1，满足a >b ，c >d ，但ac =bd ，故C 错误，对于D ，∵ac 2<bc 2， 又∵c 2>0， ∴a <b ，故D 正确． 故选：D ．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故λ=23，μ=13． 故λ−μ=13． 故选：A ．直接利用向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵命题p：∀x∈R，4x>2x，为假命题，例如当x=0时，40=20=1，∴￢p为真命题；∵命题q：∃x0∈R，使得lnx0=−1，正确，例如当x0=1时，lnx0=−1，即命题q为真命题，￢q为假命题．e∴p∧q为假命题，(￢p)∧q为真命题，p∧(￢q)为假命题，(￢p)∧(￢q)为假命题，故选：B．先判断命题p、q的真假，再判断各选项即可．本题主要考查命题的真假判断，指、对数不等式的解法，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x−1，得f′(1)=2，f(1)=1．∵函数f(x)是奇函数，∴f′(−1)=2，f(−1)=−1．又函数g(x)=f(x)−x2，∴g′(x)=f′(x)−2x，则g′(−1)=f′(−1)+2=2+2=4．g(−1)=f(−1)−1=−1−1=−2．∴函数g(x)=f(x)−x2的图象在点(−1,g(−1))处的切线方程为y+2=4×(x+1)．即y=4x+2．故选：A．由函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x−1，可得f′(1)=2，f(1)= 1，进一步得到f′(−1)=2，f(−1)=−1，求出函数g(x)的导函数，再求出g(−1)和g′(−1)，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了导数的运算法则，是中档题．8.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则a4+a5=a1⋅q3+a2⋅q3=(a1+a2)⋅q3，即16=2⋅q3，故q=2；故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，从而得a4+a5=a1⋅q3+a2⋅q3=(a1+a2)⋅q3，从而求得．本题考查等比数列的通项公式，以及整体代换求值，注意验证式子的符号．9.【答案】C【解析】解：若f(x)在(0,+∞)上单调递增，则b≥0，所以当x>0时，f(x)>0，所以f(f(x))在(0,+∞)上单调递增，即充分性成立，若f(x)在(0,+∞)上不是单调递增，则b<0，f(f(x))=(x2+bx)2+b(x2+bx)=(x2+bx)(x2+bx+b)，易知y=x2+bx有零点0和−b，y=x2+bx+b有一正一负两个零点，且正零点不等于−b，故f(f(x))在(0,+∞)上有两个零点，所以f(f(x))在(0,+∞)上不可能单调递增，所以必要性也成立，综上所述，“f(x)在(0,+∞)上单调递增”是“f(f(x))在(0,+∞)上单调递增”的充要条件．故选：C．根据已知条件，结合二次函数的性质，以及假设法，即可求解．本题主要考查二次函数的性质，考查假设法的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=sin2x+sinx−x2是连续函数，f(π2)=1−π4>0，f(3π4)=−1+√22−3π8<0，∴函数f(x)=sin2x+sinx−x2的零点，在(π2,3π4)内，故选：C．通过求解f(π2)与f(3π4)的符号，结合零点判定定理推出答案．本题考查了函数零点判定定理的应用，属于容易题，计算量比较小．11.【答案】C【解析】解：由已知可得集合A ={x|x <3}， 集合B ={x|−1<x <72}， 则A ∩B ={x|−1<x <3}， 故选：C ．先由已知求出集合A ，B ，根据交集的定义即可求解．本题考查了集合的运算关系，涉及到一元二次不等式的解法，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：∵x 2−xy +4y 2−z =0， ∴z =x 2−xy +4y 2， ∴xy z =xy x 2−xy+4y 2=1xy +4y x−1，∵xy +4y x−1≥2⋅√4−1=3，当且仅当x =2y 时，等号成立； 故xy z 的最大值为13；6x +12y −5xy −z =6x +12y −5xy −(x 2−xy +4y 2) =(x +2y)(6−(x +2y))≤9， 当且仅当x +2y =3时，等号成立； 故可得到{x =2yx +2y =3，解得，x =32，y =34； 此时，z =x 2−xy +4y 2=278，故选：B ．由题意化简得z =x 2−xy +4y 2，从而代入化简xy z =xy x 2−xy+4y 2=1x y+4y x−1，利用基本不等式可得当x =2y 时有最大值；化简6x +12y −5xy −z =6x +12y −5xy −(x 2−xy +4y 2)=(x +2y)(6−(x +2y))，利用基本不等式得当x +2y =3时有最大值，联立方程得{x =2y x +2y =3， 解方程即可．本题考查了基本不等式的应用及方程思想的应用，属于中档题．13.【答案】39【解析】解：对乙答对题情况，经过分析，可得：1≤k ≤7时，b k =2k−1；b 8=−27，b 9=28，b 10=29，满足b 1+b 2+⋯+b 10=767， a 1b 1+a 2b 2+⋯+a 10b 10=9217，则a 1+2a 2+4a 3+8a 4+16a 5+32a 6+64a 7−128a 8+256a 9+512a 10=9217， 故a 8=−8，则a 1+a 2+⋯+a 10=1+2+3+4+5+6+7−8+9+10=39． 故答案为：39．直接利用数列的递推关系式和数列的值求出结果．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】2√7【解析】解：向量a⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=6，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2×6×12=6， 则有(2a ⃗ −b ⃗ )2=4a ⃗ 2+b ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ =28，故|2a⃗ −b ⃗ |=2√7； 故答案为：2√7．根据题意，求出a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(0,−2)，由z =3x −2y ，得y =32x −z2，由图可知，当直线y =32x −z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为4． 故答案为：4．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．16.【答案】−√1010【解析】解：∵α∈(π,2π)， ∴α2∈(π2,π)，∵cosα−3sinα=1，∴1−2sin 2α2−6sin α2cos α2=1，化简整理可得，sin α2=−3cos α2， { sin α2=−3cos α2sin 2α2+cos 2α2=1π2<α2<π，解得cos α2=−√1010．故答案为：−√1010．根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．本题主要考查二倍角公式，以及三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q(q<0)，由题设3a1为a2，a3的等差中项，6a1=a1q+a1q2，解得q=−3，a5=−243．∴a n=a5q n−5=(−3)n；(Ⅱ)b n=a2n+a2n−1=(−3)2n+(−3)2n−1=9n−9n3=23×9n，数列{b n}是以6为首项，9为公比的等比数列，所以T n=6×(1−9n)1−9=34×(9n−1)．【解析】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q(q>0)，求出q，即可求得其通项公式；(Ⅱ)求出b n，说明数列是等比数列，再利用数列求和公式求解即可．本题主要考查等比数列基本量的计算，数列求和公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=cos(x+3π2)cosx−√3sin2(π2+x)+√32=sinxcosx−√3cos2x+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)...................................4分所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π..........................................5分(Ⅱ)由已知得g(x)=2sin(2x−π3)+1，当x∈[−π4,π4]时，2x−π3∈[−5π6,π6]，所以sin(2x−π3)∈[−1,12]，.......................................8分所以2sin(2x−π3)+1∈[−1,2]，即g(x)在区间[−π4,π4]上的值域为[−1,2]...................................10分【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式化简得f(x)=sin(2x−π3)，可求得函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x∈[−π4,π4]时，2x−π3∈[−5π6,π6]⇒sin(2x−π3)∈[−1,12]，于是可求得g(x)在区间[−π4,π4]上的值域为[−1,2]．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性及单调性与值域的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)因为acosC −ccos(B +C)=−b3cos(A+B)，可得acosC +ccosA =b3cosC ，由正弦定理可得sinAcosC +sinCcosA =sinB3cosC ， 所以sin(A +C)=sinB =sinB3cosC ， 又sinB ≠0， 所以cosC =13， 所以sinC =2C =2√23，tanC =sinC cosC =2√2，(Ⅱ)若c =3，由正弦定理asinA =bsinB =csinC ， 可得asinA =bsinB =2√23=9√24，则a =9√24sinA ，b =9√24sinB ，则ab =9√24sinA ⋅9√24sinB =16216sinAsinB =16216×1627=6，所以S △ABC =12absinC =12×6×2√23=2√2．【解析】(Ⅰ)利用两角和的正弦，余弦函数公式，正弦定理化简已知等式，结合sinB ≠0，可求cosC 的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanC 的值． (Ⅱ)由已知利用正弦定理可得ab 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 本题主要考查了两角和的正弦，余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2an+1=b n a n+an b n=a n 2+b n2a n b n=bn+1a n bn，即a n+1b n+1=2a n b n ， 所以{a n b n }是首项为a 1b 1=4，公比为2的等比数列， 所以a n b n =2n+1； (Ⅱ)因为2an+1=b n a n+a n b n≥2√b n a n⋅an b n=2，所以0<a n+1≤1(∗)设{a n}的公差为d，若d>0，则当n>1−a1d时，a n+1=a1+nd>1，与(∗)矛盾；若d<0，则当n>−a1d时，a n+1=a1+nd<0，与(∗)矛盾；于是d=0，即a n=a1，所以0<a1≤1．又b n+1=a n+b n−1=b n+a1−1，所以{b n}是以a1−1为公差的等差数列，若a1≠1，则a1<1，所以b n+1<b n，又由2a1=b na1+a1b n，可得b n=1±√1−a12，因此{b n}中的项最多有两个值，与b n+1<b n矛盾，故a1=1．从而b n=1±√1−a12=1．综上可得，a n=1，b n=1．【解析】(Ⅰ)由条件推得a n+1b n+1=2a n b n，由等比数列的定义和通项公式，可得所求；(Ⅱ)由基本不等式推得0<a n+1≤1，设{a n}的公差为d，讨论d>0，d<0，不成立，即有d=0，推得{b n}是以a1−1为公差的等差数列，进而得到a1=1，即可得到所求通项公式．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+x⋅1x+2=lnx+3，则切线的斜率为lnx0+3，又f(x0)=x0lnx0+2x0−1，所以函数f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线方程为y−(x0lnx0+2x0−1)=(lnx0+ 3)(x−x0)，即(lnx0+3)x−y−x0−1=0，其在y轴上的截距为−x0−1，所以−x0−1=−2，解得x0=1．(II)a(x−1)<f(x)，即a(x−1)<xlnx+2x−1，又x>1，所以x−1>0，可得a<xlnx+2x−1x−1对于x∈(1,+∞)恒成立．当x>1时，令g(x)=xlnx+2x−1x−1，则g′(x)=x−lnx−2 (x−1)2．再令ℎ(x)=x−lnx−2，则ℎ′(x)=1−1x =x−1x>0，所以ℎ(x)=x−lnx−2在(1,+∞)上单调递增；又ℎ(3)=1−ln3<0，ℎ(4)=2(1−ln2)>0，所以∃x0∈(3,4)使ℎ(x0)=0，即∃x0∈(3,4)使x0−2=lnx0．当1<x<x0时，ℎ(x)<0，g′(x)<0；当x>x0时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，所以g(x)在(1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(x0)=x0lnx0+2x0−1x0−1=x0(x0−2)+2x0−1x0−1=x0+1，所以a<x0+1，又因为x0+1∈(4,5)，所以实数a的最大整数值是4【解析】(I)由题意求函数的导数，并求出切线方程，并求出在y轴上的截距为−x0−1，即可得x0．(II)由题意，构造新的函数g(x)，并通过求其值域，可得a的值．本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)设AA1=adm，由题意可得，(2r)2−πr2+(2r)2+8ar=16，解得a=16+(π−8)r28r，所以V=(2r)2a=8r+(π2−4)r3，由a>0，可得16+(π−8)r28r>0，解得0<r<√8−π，所以V=8r+(π2−4)r3，0<r<√8−π；(Ⅱ)V′=8+3(π2−4)r2，当0<r<3(8−π)时，V′>0，则函数V单调递增，当3(8−π)<x<√8−πV′<0，则函数V单调递减，所以当r=√3(8−π)时，V取得最大值，此时a=√3(8−π)3，所以该容器的高AA1为√3(8−π)3dm时，V最大．【解析】(Ⅰ)设AA1=adm，由题意求出a和r的关系，由体积公式求解即可；(Ⅱ)利用导数求解体积V的最值即可．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．。
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题 理
河南省洛阳市高三数学上学期期中试题理数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足iz＝1＋2i，则｜z｜等于A．55B．5 C．1 D．32．已知集合A＝{x｜log3（x－2）≤2}，B＝{x｜2x－m＞0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是A．（－∞，4] B．（－∞，4）C．（－∞，22） D．（－∞，22]3．已知实数x，y满足1341y xx yy⎧⎪⎨⎪⎩－≤，＋≤，≥．则x＋3y的最大值为A．0 B．3 C．4 D．74．执行右面的程序框图，若输出的S＝14，则输入的n值为A．1 B．2 C．3 D．45．已知35a＝，02log01b．＝．，3log2c＝，则a，b，c的大小关系是A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为A．33 B．62 C．3D．27．已知偶函数f（x）的图象关于（1，0）对称，且当x∈（0，1）时，f（x）＝x2，则x ∈（9，10）时，f（x）＝A．x2 B．－x2 C．（x－8）2 D．－（10－x）28．已知p：函数y＝ln（x2－ax＋1）的定义域为R，q：e x＞ax对任意实数x恒成立，若p∧q真，则实数a的取值范围是A．[0，2） B．[2，e） C．（－2，e） D．[0，e）9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y ±＝ B．y ±＝或y x ±＝ C．y x ±＝ D．y x ＝或y x ±＝ 10．已知函数()(]201lg (1)x x x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋，∈，，＝，∈＋∞，若f （x ）＝a 有三个不等实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1 D ．[2，111．已知数列{n a }满足11a ＝，22a ＝，2221cos sin 22n nn n a a ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝＋＋，n N *∈则2019a ·22020log a 的值为A ．0B ．1C ．10102D ．1010101012．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为ABC ．209πD ．203π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量a ，b 满足a ·b ＝2，｜b ｜＝1，｜a －2b ｜＝2，则｜a ｜＝__________．14．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．15．已知函数f （x ）＝sinx ＋2cosx ，在x 0处取得最小值，则f （x ）的最小值为__________，此时cosx 0＝__________． 16．已知点P 是曲线214x y ＝上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线 y ＝e x上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n－，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n b }的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7． （1）求边BC 的长；（2）求△ABD 内切圆半径． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝12BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，14Q BMC P ABC V V －－＝，求二面角Q －MC －A 的大小． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞06P （2，2）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P与以MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x－cosx －2x ． （1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求证：f （x ）在（－2，＋∞）上仅有2个零点．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x t y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ－－＝． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设M （1，1），求11MA MB＋的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）＝｜x －3｜－2｜x ｜． （1）求不等式f （x ）≥2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3．。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
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河南省高三上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知全集U=R，N={x| ＜2x＜1}，M={x|y=ln（﹣x﹣1）}，则图中阴影部分表示的集合是（）
A . {x|﹣3＜x＜﹣1}
B . {x|﹣3＜x＜0}
C . {x|﹣1≤x＜0}
D . {x|x＜﹣3}
2. （2分）(2017·武汉模拟) 设z1 ， z2是复数，则下列命题中的假命题是（）
A . 若|z1﹣z2|=0，则 =
B . 若z1= ，则 =z2
C . 若|z1|=|z2|，则z1• =z2•
D . 若|z1|=|z2|，则z12=z22
3. （2分） (2017高一上·绍兴期末) 已知函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f （2）=4，则f（1）=（）
A . ﹣2
B .
C . 1
D . 2
4. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 设有两条直线m，n和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①α∩β=m，n∥m⇒n∥α，n∥β；②α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m∥α；③α∥β，m⊂α⇒m∥β；④α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ其中正确命题的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分） (2020高一下·丽水期中) 在递减等差数列中，．若，则数列
的前n项和的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二上·佛山月考) 圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2018·银川模拟) 设x,y满足，则z=x+y（）
A . 有最小值-7，最大值3
B . 有最大值3，无最大值
C . 有最小值2，无最大值
D . 有最小值-7，无最大值
8. （2分） (2017高三下·武威开学考) 已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高二下·凤城月考) 已知，若
，则的值为（）
A .
B . 0
C . 1
D . 2
10. （2分）已知直棱柱的底面是边长为3的正三角形，高为2，则其外接球的表面积（）
A . 6
B . 8
C . 12
D . 16
11. （2分） (2019高一上·温州期末) 函数的零点所在区间是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2017高一下·桃江期末) 函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2016·江苏模拟) 若函数同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为________．
14. （1分） (2017高一上·启东期末) 已知sinθ= ，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=________．
15. （1分） (2016高一上·清河期中) 若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是________．
16. （1分）在点A（2，﹣2）处作曲线y=3x﹣x3的切线，则切线方程为 ________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2020高二上·榆树期末) 已知数列的首项且．
（1）求证：数列是等比数列，求出它的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. （10分）(2017·南阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
．
（1）求△ABC的面积；
（2）若tanB=2，求a的值．
19. （10分） (2017高三上·嘉兴期中) 如图①，在矩形中，，是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面 .
（1）在线段上确定点，使得平面，并证明；
（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值.
20. （10分）(2017·赣州模拟) 设函数f（x）=ex+ax2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上单调，且y=f′（x）有零点，求a的值；
（2）若对∀x∈[0，+∞），有≥1，求a的取值范围．
21. （5分） (2019高二下·汕头期中) 如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且 .
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，，，求四棱锥的体积.
22. （10分）已知f（x）=2sin（ + ）
（1）若向量 =（ cos ，cos ）， =（﹣cos ，sin ），且∥ ，求f（x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（ a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．。