江苏省盱眙县都梁中学高中数学第3章三角恒等变换3.2.2对数函数课堂精练
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换同步优化训练新人教A版必修85.doc
3.2 简单的三角恒等变换5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，|a|≤1，则sin 4θ的值等于( ) A.21a +-B.21a-- C.21a +- D.21a --解析：∵5π＜θ＜6π， ∴25π＜2θ＜3π，45π＜4θ＜23π. ∴sin4θ=2122cos1a --=--θ. 答案：D2.函数y=cosx+cos(x+3π)的最大值是______________. 解析：方法一:y=cosx+cos(x+3π)=cosx+cosxcos 3π-sinxsin 3π=cosx+21cosx-23sinx=23cosx-23sinx=3cos(x+6π)，函数的最大值是3.方法二:y=cosx+cos(x+3π)=2cos23cos 2)3(ππ--++x x x x=2cos(x+6π)cos 6π=3cos(x+6π)，函数的最大值是3. 答案：3 3.化简αααcos )30sin()30sin(-︒+︒+得___________________.解析:方法一:原式=αααααααcos cos 30sin 2cos sin 30cos cos 30sin 30sin cos 30cos sin ︒=︒-︒+︒+︒=1. 方法二:原式=αααααααcos cos 30sin 2cos 23030cos23030sin2︒=+︒-︒+-︒+︒+=1.答案：14.已知tan2α=2,则sin α的值为__________，cos α的值为__________，tan α的值为________.解析：由万能代换，可得sin α=542tan 12tan22=-αα,cos α=532tan 12tan 12-=+-αα,tan α=2tan 342tan 12tan22-=-αα. 答案：54 -53 34-10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=54且β在第三象限，则cos 2β为( ) A.55-B.±55C.552-D.±552 解析：由题意知sin(α-β-α)=54,即sin(-β)=54，∴sin β=54-. ∵β是第三象限角，∴cos β=-53，且2β是二、四象限角.∴cos2β=±2cos 1β+=±2531-=±55.答案:B2.设α、β为钝角，且sin α=55,cos β=10103-，则α+β的值为( ) A.43π B.45π C.47π D.45π或47π解析：由题意知cos α=552-，sin β=1010, ∴cos(α+β)=552-×(10103-)-55×1010=22. ∵2π＜α＜π，2π＜β＜π,∴π＜α+β＜2π. ∴α+β=47π.答案：C 3.若tan(α+4π)=223+，则αα2sin 2cos 1-=_______________.解析：原式=αααcos sin 2sin 22=tan α.由tan(α+4π)=223tan 1tan 1+=-+αα,解得tan α=22. 答案：224.已知sin α=43，且α为第二象限角，则tan 2α的值为_________. 解析：∵α为第二象限角，∴cos α=4131631-=--. tan2α=33934434131sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2+=+=-==ααααααα.答案：33934+5.设25sin 2x+sinx-24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值. 解：因为25sin 2x+sinx-24=0，所以sinx=2524或sinx=-1. 又因为x 是第二象限角，所以sinx=2524，cosx=-257.又2α是第一或第三象限角， 从而cos2x =±2cos 1x +=±22571-=±53. 6.求函数y=4sinx·cosx 的最值和周期.解：∵y=4sinx·cosx=2sin2x，∴y max =2，y min =-2，且T=π. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知π＜α＜2π，则cos2α的值等于( )A.2cos 1α+-B.2cos 1α-C.2cos 1α+D.2cos 1α-- 解析：∵π＜α＜2π，∴2π＜2α＜π，cos 2α＜0, cos2α=2cos 1α+-.答案：A 2.sin α+sin β=33(cos β-cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α-β等于( ) A.-32π B.-3π C.3π D.32π 解析：由已知得2sin2βα+cos2βα-=33·2sin 2βα+sin 2βα-. ∵0＜2βα+＜π，-2π＜2βα-＜2π，∴sin 2βα+＞0.∴tan 2βα-=3.∴2βα-=3π，α-β=32π.答案：D3.已知sin(α+β)sin(β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β等于( ) A.-m B.m C.-4m D.4m 解析：cos 2α-cos 2β=21(1+cos2α)21-(1+cos2β)=22cos 2cos βα-=-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)sin(β-α)=m.答案：B4.已知sin θ=53-，3π＜θ＜27π，则tan 2θ的值为________________. 解析：因为sin θ=-53，3π＜θ＜27π，∴cos θ=54-，且23π＜2θ＜47π.∴tan2θ=θθcos 1cos 1+--=-3.答案：-35.若25π＜α＜411π，sin2α=-54，求tan 2α. 解：∵25π＜α＜411π，∴45π＜2α＜811π，5π＜2α＜211π，即2α、2α是第三象限角，α是第二象限角. 又sin2α=-54，∴cos2α=-53.∴cos α=253122cos 1--=+-α=-55.∴tan 2α=2155555551551cos 1cos 1+=-+=-+=+-αα. 6.求证：2sin(4π-x)·sin(4π+x)=cos2x. 证明：左边=2sin(4π-x)·sin(4π+x)=2sin(4π-x)·cos(4π-x)=sin(2π-2x)=cos2x=右边.7.在△ABC 中，已知cosA=Bb a b B a cos cos ∙--∙，求证：b a b a B A -+=2tan 2tan 22. 证明：∵cosA=B b a bB a cos cos ∙--∙，∴1-cosA=B b a B b a cos )cos 1()(∙--∙+，1+cosA=Bb a B b a cos )cos 1()(∙-+∙+.∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +∙--∙+=+-.而2cos22sin 2cos 1cos 122A AA A =+-=tan 22A ，B B cos 1cos 1+-=tan 22B ， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B，即b a b a B A -+=2tan 2tan 22. 8.求证：4cos(60°-θ)cos θcos(60°+θ)=cos3θ. 证明：左边=2cos θ［cos120°+cos(-2θ)］=2cos θ(21-+cos2θ) =-cos θ+(cos3θ+cos θ)=cos3θ=右边.9.已知sin α+sin β=2，cos α+cos β=32，求tan(α+β)的值. 解：322cos cos sin sin -++βαβα，由和差化积公式得2cos2cos 22cos2sin2βαβαβαβα-+-+=3， ∴tan2βα+=3，从而tan(α+β)=4331222tan 12tan222-=-⨯=+-+βαβα. 10.已知f(x)=21-+2sin225sinx x，x∈(0，π).(1)将f(x)表示成cosx 的多项式； (2)求f(x)的最小值.解：(1)f(x)=2sin2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx xx x x x =-=2cos 23x cos 2x=cos2x+cosx=2cos 2x+cosx-1.(2)∵f(x)=2(cosx+41)2-89，且-1≤cosx≤1， ∴当cosx=41-时，f(x)取得最小值89-.快乐时光误人子弟督学到某学校视察，看见教室里有个地球仪，便问学童甲：“你说说看，这个地球仪为何会倾斜23.5度？”学童甲惶恐地答道：“不是我弄歪的！” 督学摇摇头，转问学童乙.学童乙双手一摊，说道：“您也看见了，我是刚刚才进来的！”督学疑惑地问教师怎么回事.教师满怀歉意地说：“不能怪他们，这地球仪买回来时已经是这样的了.”校长见督学的脸色越来越难看，忙解释：“说来惭愧，因为学校经费有限，我们买的是地摊货.”。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学2.3.3等比数列的前n项和课堂精练苏教版必修5
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 2.3.3 等比数列的前n 项和课堂精练 苏教版必修51.设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式为__________．2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于__________．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为__________．4．若等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝__________.5．在各项均为正数的等比数列{a n }中，任何一项都是它后面两项的和，则公比q ＝__________.6．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．7．若两个方程x 2－ax ＋1＝0和x 2－bx ＋1＝0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab 的值为__________．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n 和第n 项a n 之间满足2lg S n －a n ＋12＝lg S n ＋lg (1－a n )，求此数列的通项公式和前n 项和S n .9．设f (x )＝x 2－ax ＋a (x ∈R )同时满足：①不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内，存在0＜x 1＜x 2，使得f (x 1)＞f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )．(1)求函数f (x )的表达式；(2)求数列{a n }的通项公式．10．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵： a 11 a 12 a 13……a 1na 21 a 22 a 23……a 2na 31 a 32 a 33……a 3na n 1 a n 2 a n 3……a nn已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，该数阵第一列的n 个数从上至下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．(1)求第i 行j 列的数a ij ；(2)求这n 2个数的和S .参考答案1．a n ＝2×(－1)n －1或a n ＝12×(－2)n －1 点拨：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q . ①②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0.因为q ＜1，所以q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1. 2．2n 点拨：∵数列{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1.∵数列{a n ＋1}也是等比数列，∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)．∴a n ＋12＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2.∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1.∴a n (1＋q 2－2q )＝0，得q ＝1，即a n ＝2.∴S n ＝2n .3．13点拨：由已知q ≠1， 又2·2S 2＝S 1＋3S 3， ∴4a 1(1＋q )＝a 1＋3×a 1(1－q 3)1－q， 化简，得3q 2－q ＝0，∴q ＝0(舍去)，q ＝13. 4．2 点拨：∵S 奇×q ＝S 偶，∴S 奇－S 偶＝S 奇－S 奇×q ＝80.①S 2n ＝S 奇＋S 偶＝S 奇＋S 奇×q ＝－240.②由①除以②，得1－q 1＋q ＝－13，解得q ＝2. 5．5－12点拨：由题意可得a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，又知a n ＋1＝a n ·q ，a n ＋2＝a n ·q 2，代入上式可得1＝q ＋q 2，即q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1±52.又数列的各项均为正数， ∴q ＞0，∴q ＝5－12. 6．216 点拨：设插入的三个数为a q，a ，aq ，根据题意，五个数成等比数列，∴a 2＝83×272＝36.∴a ＝±6(a ＝－6舍去)． ∴插入的三个数的乘积为a 3＝216.7．274点拨：根据题意，设组成的等比数列为x,2x,4x ，8x (x ≠0)，不妨设x,8x 是方程x 2－ax ＋1＝0的两个根，2x,4x 是方程x 2－bx ＋1＝0的两个根，∴8x 2＝1，∴x 2＝18.又a ＝x ＋8x ，b ＝2x ＋4x .∴ab ＝9x ×6x ＝54x 2＝548＝274.8．解：由已知，得[(S n ＋(1－a n )]2＝4S n ·(1－a n )，整理，得S n 2－2(1－a n )·S n ＋(1－a n )2＝0，即[S n －(1－a n )]2＝0，∴S n ＝1－a n ，∴S 1＝1－a 1，∴a 1＝12.又a n ＝S n －S n －1＝(1－a n )－(1－a n －1)(n ≥2)，整理得，2a n ＝a n －1，∴a na n －1＝12，即数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝1－q n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.9．解：(1)∵f (x )≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a 2－4a ＝0.∴a ＝0或a ＝4.当a ＝0时，函数f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上递增，故不存在0＜x 1＜x 2，使f (x 1)＞f (x 2)成立，综上所述，当a ＝4时，f (x )＝x 2－4x ＋4.(2)由(1)得S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1(n ＝1)，2n －5(n ≥2).10．解：(1)a 11＝2，且a n 1＝a 11＋(n －1)·m ＝2＋mn －m ，a n ＝a 11m n －1＝2·m n －1，由a 13＝a 61＋1，得2·m 2＝2＋6m －m ＋1，∴m ＝3或m ＝－12(舍去)．a ij ＝a i 1·3j －1＝[2＋(i －1)·3]·3j －1＝(3i －1)·3j －1.(2)S ＝(a 11＋a 12＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a11(1－3n)1－3＋a21(1－3n)1－3＋…＋a n1(1－3n)1－3＝12(3n－1)·(a11＋a21＋…＋a n1)＝1 2(3n－1)·(2＋3n－1)·n2＝14n(3n＋1)(3n－1)．。
高中数学三角恒等变换311分数指数幂课堂精练苏教版必修1
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第 3 章 三角恒等变换 分数指数幂课堂精练 苏教版必修 11．以下各式① 4 (4)2n ；② 4 ( 4)2n 1 ；③ 5 a 4 c ；④ 4 a 5 ( 各式中的 n ∈ N ，a ∈ R) 中，必定有意义的个数是 ________．2．计算 [(2) 2 ]12的结果是 ________．3．以下根式与分数指数幂的互化中，正确的序号是________．13① x ( x) 2 (x ≠ 0) ② x xx 41③ x 33x1⑤ (x)④ 3 x 4 x x 12y⑥ 6 y21y 3 ( y ＜ 0)3y 34 4 (( xy ≠ 0))x4．若 m (23) 1 ， n (2 3) 1 ，则 ( m ＋ 1) － 2＋ ( n ＋ 1) －2 的值是 ________．5．以下结论中，正确的个数是________．3①当 a ＜ 0 时， (a 2 ) 2 a 3② n a n a ( n ＞ 1 且 n ∈ N )*1(3x 7) 0 ③函数 y(x2) 2 的定义域是 (2 ，＋∞)ab④若 100 ＝ 5,10 ＝ 2，则 2a ＋ b ＝11 11*2n6．已知 a(2011n的值为 ________．22011 n ) ( n ∈ N ) ．则 (a 1 a)7．求以下各式的值．(1)6133330.125 ；4811 )23 3 1 ( 2 1)0；(2) (0.027)3( 25647(3)52 5 53 ；5 10575131(4)(8a 6ab 4 3a2b4 ) 3(a＞0，b＞0)．8．化简以下各式：(1)m m 1 2 ；11m 2m 2111 a212(2)(a 3 b 3c2 )(3b 3 c 3 ) ；321(3)5x 3 y 2；111 (1x 1 y 2 )(5x 3 y 6 )46(4)xx 223yy2x 22 23x 3yy22b.3参照答案1．2解析： ①③两式必定有意义；∵ ( －4)2n ＋ 1＜ 0，∴③没心义；当＜ 0 时④没心义．a2111 2222.解析： 原式1.2222213．②⑤解析： ①xx 2 ( x ≠ 0) ，∴①错；1 11 3 1 312211② xx( x x )2x x2x x2x 4，∴②对； ③ x313，∴③错；x 3x11 1 1 7x④ 3 x 4xx 3 x4x34x 12，∴④错；⑤yy 211⑥ 6 y 3y 3 ( y ＜ 0) ，∴⑥错．∴②⑤正确．3 4y x3 y 34( xy ≠0) ，∴⑤对；4x2 解析： ∵ m12 3 ， n1 23 .4.23233∴ (m 1) 2(n 1) 2(3 3)2(33) 2332321 1 324 2 .22232333336333331 322 3335．1解析： ①中，当 a ＜ 0 时， a 2a 2( a) ，∴①不正确；a a当 a ＜ 0， n 为奇数时， nanx 2 0,即 x ≥2且 x7a ；∴②不正确；③中有7 0.，故定3x377) ，∴③不正确．④中，∵ ab2a2a ＋b2a b义域为 [2, )( ,100 ＝5,10 ＝ 2，∴ 10 ＝ 5,10＝ 10 ·103 3＝ 5×2＝ 10，∴ 2a ＋ b ＝ 1. ④正确．6．2011解析： 由已知得12 21221 11 2a 21 2011n2011 n 21 2011n 2011 n22011n 2011 n444∴ a21111 1111 a 2011n 2011 n2011n 2011 n2011n ，2 21∴( a2 1 a)n (2011n ) n 2011 .25327315313 7．解： (1) 原式88222.42313(2) 原式37228 4111049641119 .3335233177552(3)原式175521055 .52510111 51213511115111133 (4)原式8a 6ab 4a 3 b 48a 6a 2b 8a3b88a 623 b 88123a0b03 2 11.21211121m 22m 2 m 2m 2m2m 8．解： (1) 原式111m 2m 2m2m 12211 1m 2m 2 . 212112288(2)原式3a33 b 33c33a1b0c 33ac 3 .24 521111124 x011(3)原式x 33y 226y624 y6.523232323x 3y 3x 3y 32222 2 2 (4)原式2222x 3x 3 y 3y 3x 3y 3x 3y 3222222222x 3x 3 y 3y 32x 3 y 3 2 xy 3 .。
精选江苏省盱眙县都梁中学高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数课堂精练苏教版必修4
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数课堂精练 苏教版必修41．已知4sin 25α=，3cos 25α=-，则角α所在的象限是__________． 2．若3sin α＋cos α＝0，则21cos sin 2αα+的值为__________． 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝__________.4．已知πtan()24x +=，则tan tan 2x x的值为__________．5．(1)已知sin 5θ=，则sin 4θ－cos 4θ的值为__________．(2)已知cos 23α=，则sin 4α＋cos 4α的值是__________． (3)若12sin 13α=，π(,π)2α∈，则tan 2α＝__________.6．已知450°<α__________． 7．已知15tan tan 2αα+=，ππ(,)42α∈，求cos 2α和πsin(2)4α+的值． 8．△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，求当A 为何值时，cos 2cos2B C A ++取得最大值，并求出这个最大值．9.已知,cos )x x =a ，b ＝ (sin x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当ππ62x ≤≤时，求函数f (x )的值域．参考答案1.答案：第三象限解析：∵4324sin 2sin cos 2()0225525ααα==⨯⨯-=-<， 2222347cos cos sin ()()0225525ααα=-=--=-<，∴α是第三象限角．2.答案：103解析：由3sin α＋cos α＝0，有1tan 3α=-. ∴222221cos sin 1tan 10cos sin 2cos 2sin cos 12tan 3ααααααααα++===++⋅+.3.答案：35-解析：由题意知tan θ＝2，且θ为第一或第三象限角，故22222222cos sin 1tan 123cos2cos sin 1tan 125θθθθθθθ---====-+++. 4.答案：49解析：∵tan tanπ1tan 4tan()2π41tan 1tan tan 4xx x x xx +++===--⋅， ∴1tan 3x =. ∴22211()tan tan 1tan 432tan tan 22291tan x x x x x x--====-. 5.答案：(1)35-(2)1118(3)120119 解析：(1)sin 4θ－cos 4θ＝ (sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝－(cos 2θ－sin 2θ)＝－cos 2θ＝2sin 2θ－1＝23155-=-. (2)∵cos 23α=，∴2227sin 21cos 2139αα=-=-=. ∴4422222sin cos (sin cos )2sin cos αααααα+=+-2117111sin 2122918α=-=-⨯=. (3)由已知可得5cos 13α=-，则sin 12tan cos 5ααα==-，22122()2tan 1205tan 2121tan 1191()5ααα⨯-===---. 6.答案：sin 2α-解析：==sin 2α==. ∵450°<α<540°，∴2252702α<<. ∴原式＝sin 2α-.7.解：由15tan tan 2αα+=，得sin cos 5cos sin 2αααα+=.则25sin 22α=，4sin 25α=. 因为ππ(,)42α∈，所以π2(,π)2α∈. 3cos 25α==-， πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444ααα+=⋅+⋅43525210=⨯-⨯=8.解：由A ＋B ＋C ＝π，得π222B C A +=-. ∴有cos sin 22B C A +=. ∴2213cos 2coscos 2sin 12sin 2sin 2(sin )2222222B C A A A A A A ++=+=-+=--+ 当1sin 22A =，即π3A =时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值32. 9.解：(1)2222()cos 2cos sin 4cos f x x x x x x =⋅+=+++a b b2cos 5cos 1x x x =++1cos 2π72515sin(2)2262x x x +=+⨯+=++. ∴2ππ2T ==.(2)由ππ62x≤≤，得ππ7π2266x≤+≤，∴1πsin(2)1 26x-≤+≤.∴当ππ62x≤≤时，函数f(x)的值域为171,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式课堂精练 苏教版必修4
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式课堂精练 苏教版必修41．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sin x sin y ＝12． 其中正确等式的个数是________．2． (1)若1cos()cos()3αβαβ+-=，则cos 2α－sin 2β＝__________. (2)若1tan tan m θθ+=，则sin 2θ＝__________. 3．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为__________． 4．已知4sin 25α=，则221tan tan αα+的值为__________． 5．若α＋β＝120°，则y ＝sin 2α＋sin 2β的取值范围是__________．6．(1) 22sin 20cos 8020cos80++⋅o o o o ＝__________.(2)cos 36°－cos 72°的值为__________．7．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，求cos(α＋β)，tan(α＋β)的值．参考答案1. 答案：1解析：只有⑤正确．2. 答案：(1) 13 (2) 2m解析：(1) 1cos()cos()(cos 2cos 2)2αβαβαβ+-=+22221(2cos 1)(12sin )cos sin 2αβαβ⎡⎤=-+-=-⎣⎦.∴221cos sin 3αβ-=.(2)∵1tan tan m θθ+=，即2tan 1tan m θθ+=，∴22tan 2sin 21tan m θθθ==+.3. 答案：12解析：∵π2A B +=，[]11sin sin cos()cos()cos()22A B A B A B A B =--+=-．又ππ22A B -<-<，而0<cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.4. 答案： 174解析：∵22tan 4sin 21tan 5ααα==+，∴2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得1tan 2α=或tan α＝2. 当1tan 2α=时，221117tan 4tan 44αα+=+=；当tan α＝2时，221117tan 4tan 44αα+=+=. 综上，原式＝174.5. 答案：13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：∵α＋β＝120°，∴221cos 21cos 2sin sin 22y αβαβ--=+=+ 11(cos 2cos 2)1cos()cos()2αβαβαβ=-+=-+- 11cos120cos()1cos()2αβαβ=--=+-o ∵－1≤cos(α－β)≤1，∴1322y ≤≤. 6. 答案：(1) 14 (2) 12解析：(1)原式＝1cos 401cos1601sin(2080)sin(2080)222-+⎡⎤++++-⎣⎦o o o o o o11(cos 40cos160)sin 60)2=--+-o o o o131(2)sin100sin(60)sin100224=-⨯--+-o o o11sin1004224=-+=o o . (2)原式＝367236722sin sin 22+--o o o o＝2sin 54°sin 18°＝2cos 36°cos 72°22sin 36cos36cos 722sin 72cos 722sin 362sin 36⋅==o o o o oo o sin144sin(18036)sin 3612sin 362sin 362sin 362-====o o o o o o o . 7. 解：已知1cos cos 2αβ+=，① 1sin sin 3αβ+=，② 由①2＋②2，得59cos()72αβ-=-. 由①2－②2，得5cos 2cos 22cos()36αβαβ+++=. ∵59cos 2cos 22cos()cos()cos()36αβαβαβαβ+++-=-+，∴595cos()2cos()3636αβαβ-+++=. ∴5cos()13αβ+=.由①②得12cos cos cos cos 132221sin sin 22sin cos tan 2223αβαβαβαβαβαβαβ+-+====+-++， ∴2tan 23αβ+=. ∴22222tan 1232tan()251tan 1()23αβαβαβ+⨯+===+--.。
江苏省高中数学第3章三角恒等变换3.3幂函数课堂精练苏教版
江苏省盱眙县都梁中学高中数学第3章三角恒等变换 3.3 幂函数课堂精练苏教版必修11．设1{1,1,,3}2a∈-，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．2．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为______________．①y＝x2②12y x=③13y x=④53y x=⑤23y x=3．图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，12±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．4．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)x n＋1，若在其定义域上为单调增函数，则f(x)在区间1 [,4] 4上的最小值为________．5．已知函数f(x)＝xα＋m的图象经过点(1,3)，又其反函数图象经过点(10,2)，则f(f(1))＝________.6．(2010安徽高考，文7改编)设253()5a=，352()5a=，252()5a=，则a，b，c的大小关系是________．7．已知幂函数y＝f(x)过点，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．8．已知幂函数y＝(m2＋2m－2)x m＋2在(0，＋∞)上是单调增函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的实数a 的取值范围．参考答案1．1,3 解析：当α＝－1或12时，所得幂函数定义域不是R ；当α＝1或α＝3时满足题中条件．2．3 解析：①⑤中函数定义域为R ，值域为[0，＋∞)，②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞)，③④中两函数的定义域与值域都是R ，∴②③④符合．3．2，12，12-，－2 解析：由题图，知C 1、C 2表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调增函数，对应n 值为正；C 3、C 4表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调减函数，对应的n 值为负，又当x ＝4时，x 2＝16，122x =，1212x-=，2116x -=，∴对应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为2，12，12-，－2. 4.12 解析：∵f (x )为幂函数，∴2n 2－n ＝1，解得12n =-或n ＝1，当12n =-时，()f x =n ＝1时，f (x )＝x 2在定义域上不具有单调性，舍去，∴12n =-，()f x =.f (x )在[0，＋∞)上是单调增函数，∴在1[,4]4上也为单调增函数．∴()min 1142f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭5．29 解析：由互为反函数的两个函数图象之间的关系知，反函数过点(10,2)，则(2,10)必在原函数f (x )的图象上，∴2α＋m ＝10，①又f (x )过点(1,3)，∴1α＋m ＝3，②由②得m ＝2，代入①得α＝3，∴f (x )＝x 3＋2. ∴f (1)＝3，f (f (1))＝f (3)＝33＋2＝29.6．a ＞c ＞b 解析：构造幂函数25y x =，∵该函数在(0，＋∞)上是单调增函数．∴22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a ＞c ；构造指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵该函数在R 上是单调减函数，∴22552255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b ＜c ，∴a ＞c ＞b .7．解：设幂函数为y ＝x α，又过点⎛⎝⎭，得22α=，∴12α=-.∴函数解析式为12y x -=，定义域为(0，＋∞)．∴f (x )是非奇非偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上为单调减函数，图象为8．解：由幂函数的定义知，m 2＋2m －2＝1，即m 2＋2m －3＝0.解得m ＝1或m ＝－3，当m ＝1时，y ＝x 3在(0，＋∞)上单调增函数．符合题意，当m ＝－3时，y ＝x －1在(0，＋∞)上是单调减函数，不合题意(舍)．∴m ＝1. ∵13y x -=在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调减函数．∴由()()1133132a a --+<-，可得a ＋1＞3－2a ＞0，或3－2a ＜a ＋1＜0，或a ＋1＜0＜3－2a ， ∴a ＜－1或2332a <<. ∴a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．。
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.4.1 函数的零点课堂精练 苏教版必修11．函数y ＝2x 2－4x －3的零点个数是________．2．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是________．3．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．4．已知方程x 2＋(a －1)x ＋(a －2)＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则a 的取值范围是________．5．函数223,0,()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为________．6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的端点为整数的区间是______．7．求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上． 8．已知函数y ＝2x 2＋bx ＋c 在3(,)2-∞-上是单调减函数，在3(,)2-+∞上是单调增函数，且两个零点是x 1、x 2，满足|x 1－x 2|＝2，求这个二次函数的解析式．9 若函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．参考答案1．2 解析：∵Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40＞0，∴方程2x 2－4x －3＝0有两个不相等的实数根，即函数y ＝2x 2－4x －3有两个零点．2．(1，＋∞) 解析：令f (x )＝2ax 2－x －1，∵方程在(0,1)内恰有一个解，∴f (x )与x 轴在(0,1)内恰有一个交点，∴f (0)·f (1)＜0，即－1·(2a －2)＜0，∴a ＞1.3．12-，13- 解析：由题意可知，2,3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，由根与系数的关系知，a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1＝－(2x ＋1)(3x ＋1)，令g (x )＝0，得12x =-，或13x =-，∴函数g (x )的零点为12-，13-. 4．(－∞，1)解析：方程一根比1大，一根比1小，即函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的零点一个在(1,0)点的右侧，一个在(1,0)点的左侧，画出f (x )的大致图象如图所示，由题意，得f (1)＜0，即1＋(a －1)·1＋(a －2)＜0，解得a ＜1.5．2 解析：由f (x )＝0，得20,230x x x ≤⎧⎨+-=⎩或0,2ln 0,x x >⎧⎨-+=⎩解之可得x ＝－3或x ＝e 2， 故零点个数为2.6．(1,2) 解析：法一：设()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()02100402f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，()13111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，()03122702f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()13113326022f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，由f (1)·f (2)＜0.知f (x )在(1,2)上有零点(f (x )图象在(1,2)上连续)．∴x 0∈(1,2)．法二(图象法)在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知x 0∈(1,2)．7．解：设f (x )＝5x 2－7x －1，则f (－1)·f (0)＝11×(－1)＝－11＜0，f (1)·f (2)＝(－3)×5＝－15＜0.而二次函数f (x )＝5x 2－7x －1是连续的，所以f (x )在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．8．解：由题意3222b x =-=-⨯，∴b ＝6.故y ＝2x 2＋6x ＋c . 又由韦达定理，得x 1＋x 2＝－3，122cx x =，∴122x x -===.∴52c =. 经检验2564202∆=-⨯⨯>，符合题意． ∴所求二次函数为25262y x x =++.9．解：∵f (0)＝1，∴(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1＝0的根为103x =>，适合题意； (2)当m ＜0时，f (x )的图象开口向下，且f (0)＝1＞0，∴f (x )的图象必与x 轴正半轴有交点，满足题意；(3)当m ＞0时，要使f (x )图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，必须满足()2340,0,30,2m mmmm⎧⎪∆=--≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩∴91,0,0 3.m mmm≥≤⎧⎪>⎨⎪<<⎩或∴0＜m≤1.综上，可得m∈(－∞，1]．。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦课堂精练 苏教版必修4
江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦课堂精练 苏教版必修41．若M ＝ sin 12° cos 57°－ cos 12° sin 57°，N ＝ cos 10° cos 55°＋ sin 10° sin 55°，则M ＋N ＝__________.2．在△ABC 中，已知 sin (A －B ) cos B ＋ cos (A －B ) sin B ≥1，则△ABC 的形状一定为__________．3．已知α，β均为锐角，且 cos (α＋β)＝ sin (α－β)，则tan α＝__________.4．设a ＝2 sin 24°，sin853cos85b =-，c ＝2( sin 47° sin 66°－ sin 24° sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是__________．5．若 1sin 2α=， 1sin 3β=，则 sin (α＋β) sin (α－β)＝__________.6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量,sin )A B =m ，(cos )B A =n ，若m ·n ＝1＋ cos (A ＋B )，则C ＝__________.7．若锐角α，β满足4cos 5α=， 3cos()5αβ+=，求 sin β的值． 8．已知 tan (α＋β)＝m tan (α－β)，且m ≠1，求证：sin 21sin 21m m αβ+=-. 9.已知向量a ＝( sin θ，－2)与b ＝(1, cos θ)互相垂直，其中π(0,)2θ∈.(1)求 sin θ和 cos θ的值；(2)若 sin()θϕ-=π02ϕ<<，求 cos φ的值．参考答案1.答案：0解析：M＋N＝sin (12°－57°)＋cos (10°－55°)＝sin (－45°)＋cos (－45°)＝－sin45°＋cos 45°＝022-+=.2.答案：直角三角形解析：∵ sin (A－B) cos B＋cos (A－B) sin B＝sin ＝sin A≥1，即sin A＝1，A∈(0，π)，∴π2A=，即△ABC为直角三角形．3.答案：1解析：∵ cos (α＋β)＝sin (α－β)，∴ cos α cos β－sin α sin β＝sin α cos β－cos α sin β.∴ cos α( cos β＋sin β)＝sin α( cos β＋sin β)．又α，β均为锐角，∴ cos β＋sin β≠0.∴ cos α＝sin α.∴ tan α＝1.4.答案：b＞a＞c解析：13sin853cos852(sin85cos85)2sin(8560)22b=-=-=-＝2 sin 25°，c＝2( sin 47° sin 66°－sin 24° sin 43°)＝2( sin 47° cos 24°－cos 47° sin 24°)＝2 sin (47°－24°)＝2 sin 23°，因为函数y＝sin x在π(0,)2上是增函数，所以b＞a＞c.5.答案：536解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝(sinαcos β)2－(cos αsin β)2＝sin 2αcos 2β－cos 2α sin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α) sin 2β11115(1)(1)494936=⨯---⨯=. 6. 答案：2π3解析：∵m ·n ＝1＋ cos (A ＋B )A cos Bcos A sin B ，sin (A ＋B )＝1＋ cos (A ＋B )．又A ＋B ＝π－C ，∴整理得 π1sin()62C +=. ∵0<C <π，∴ππ7π666C <+<.∴π5π66C +=. 7. 解：∵锐角α满足4cos 5α=，∴3sin 5α===. 又∵锐角α、β满足 3cos()5αβ+=， 则π02αβ<+<，∴4sin()5αβ+===. []sin sin ()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+44337555525=⋅-⋅=. 8. 证明：∵sin()sin()cos()cos()m αβαβαβαβ-+=-+， ∴sin()cos()cos()sin()m αβαβαβαβ+-=+-. ∴sin()cos()11cos()sin()sin()cos()11cos()sin()m m αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+++-=+--++-sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβαβαβαβαβ+-++-=+--+- [][]sin ()()sin 2sin ()()sin 2αβαβααβαββ++-==+--. ∴等式成立．9. 解：(1)∵a ⊥b ，∴ sin θ×1＋(－2)× cos θ＝0⇒ sin θ＝2 cos θ.∵ sin 2 θ＋cos 2 θ＝1， ∴22214cos cos 1cos 5θθθ+=⇒=.∵π(0,)2θ∈，∴cos sin 55θθ=⇒=.(2)解法一：由 sin()θϕ-=有 sin cos cos sin sin 2cos 102θϕθϕϕϕ-=⇒=-，∴2221sin cos 5cos 12ϕϕϕϕ+=-+=⇒215cos 02ϕϕ--=.解得 cos 2ϕ=或 cos 10ϕ=-.∵π02ϕ<<，∴cos 2ϕ=. 解法二：∵0<θ，π2ϕ<，∴ππ22θϕ-<-<.∴cos()θϕ-==. 故[]cos cos ()cos cos()sin sin()ϕθθϕθθϕθθϕ=--=-+-==。
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江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2.2 对数
函数课堂精练 苏教版必修1
1
．函数y =的定义域为________． 2．已知a ＞0且a ≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的大致
图象的序号是________．
3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2
，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系是________．
4．(1)若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________. (2)已知函数21(),0,()2log (2),0,
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩若f (a )≥2，则a 的取值范围是________．
5．对任意不等于1的正数a ，函数f (x )＝log a (x ＋3)的反函数的图象都过点P ，则点P 的坐标是________．
6．(1)已知log 0.7(2m )＜log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是________．
(2)函数2
12log (4)y x x =-的值域是________．
(3)方程111222
log (31)log (1)log (3)x x x -=-++的解是________．
7．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，如果对于任意x ∈∪时，f (x )m ax ＝f (a )＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a 2a .
根据题意，3log a 2a ＝1，即1log 23a a =，所以1log 13a a +=，即2log 23a =-. 故由2
32a -=
得3
22a -==. (2)当a ≤0时，()122a f a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭
，∴－a ≥1，∴a ≤－1；当a ＞0时，f (a )＝log 2(a ＋2)≥2＝log 24. ∴a ＋2≥4. ∴a ≥2. ∴a 的取值范围是a ≤－1或a ≥2.
5．(0，－2) 解析：法一：函数f (x )＝log a (x ＋3)的反函数为g (x )＝a x
－3，而g (0)＝a 0－3＝－2.
∴g (x )的图象都过点(0，－2)．
法二：∵f (－2)＝log a 1＝0，∴函数f (x )的图象都过点(－2,0)，
又∵原函数与其反函数的图象关于直线y ＝x 对称，
∴其反函数的图象经过点(0，－2)．
6．(1)(1，＋∞) (2)上为单调减函数，
∴当t ＝4时，y 有最小值min 12
log 42y ==-，∴y ≥－2，即值域为[－2，＋∞)(也可认
为当x ＝2时，t 有最大值4，而1
2l o g y t =为单调减函数，∴y 有最小值且min 12
log 42y ==-)． (3)原方程可化为()()3113,310,10,30,x x x x x x -=-+⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪+>⎩
即220,1,x x x ⎧--=⎨>⎩ ∴x ＝2. 7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞)上：当a ＞1时，|f (x )|≥1f (x )≥1log a 3≥1，∴1＜a ≤3.
当0＜a ＜1时，|f (x )|≥1f (x )≤－1log a 3≤－1，∴113
a ≤≤. 综上可知，a 的取值范围是1
[,1)(1,3]3
． 8．解：∵f (x )的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移1个单位长度得到的，()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是由12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y ＝log 2x 与
1 2x
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的图象，再经平移即得f(x)与g(x)的图象，如图所示．。