[套卷]浙江省温州中学2012-2013学年高一下学期期末数学(理)试题

浙江省温州中学2012-2013学年高一下学期期末数学（理）试题一．选择题(每小题4分，共40分)1．直线20x +-=的倾斜角是（ ） A ．6πB.3πC.23π D.56π 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则58a a +=（ ）A. 7B.72C. 2D. ４ 3．下列命题中，错误．．的是（ ） A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B.如果平面α垂直平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C. 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D. 若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 4．若221,xyx y +=+则的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[2,)-+∞D ．(,2]-∞- 5．某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．2406．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a （ ）A ．31 B ．31- C ．91D ．91-7．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1AA 、AB 上的点，若190NMC ∠=︒，那么1NMB ∠=（ ）A ．大于90︒B ．等于90︒C ．小于90︒D ．不能确定8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=，则C ＝（ ） A ．30° B ．45° C ．45°或135° D ．60°9．如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,∠ACB =90,AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,若2==AB PA ,∠BPC =θ,则当AEF ∆的面积最大时,θtan 的值为（ ）A ．1B ．21C ．2D ．2210．数列{}n a 满足112a =，2*1(N )n n n a a a n +=+∈，则122013111111m a a a =++++++的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二. 填空题（每小题4分，共20分）11．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是_______． 12. 如数列}{n a 的前n 项和为21n n S a =+，则数列}{n a 的通项公式为 ． 13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围是 __________．14.实数x ，y 满足224455,x y xy +-=设22,S x y =+则S 的最小值为_________． 15．已知点)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割成面积相等的两部分，则b 的取值范围是_________． 三．解答题（共40分）16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.cos cos )2(C b B c a =-（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,b ABC =∆求的面积的最大值．17．已知直线2y x =是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，若A ，B 的坐标分别是(4,2)A -，(3,1)B ，求点C 的坐标．18．如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；1FEPCBA（2）点E 是线段DB 上的一动点，当二面角A EM D --大小为3π时，试求DEDB的值．19．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a +=，*N n ∈， （1）求证：当2n ≥时，有n a ≤（2）设1n b +=*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（3）设1n n n b a b +=，*N n ∈，试问{}n a 可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．温州中学2012学年第二学期期末考试高一数学答题卷三、解答题（共36分）16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.cos cos )2(C b B c a =-（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,b ABC =∆求的面积的最大值．（2）根据余弦定理222222cos ,16b a c ac B a c ac =+-=+-有 ac c a 222≥+ （当且仅当2==c a 时取“=”号） 22162,a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=即16,ac ABC ≤∴∆的面积1sin 2S ac B ==≤且当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为17．已知直线2y x =是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，若A ，B 的坐标分别是(4,2)A -，(3,1)B ，求点C 的坐标．解：设点B 关于直线2y x =的对称点为'(',')B x y ，则有'121'3'1'3222y x y x -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯⎪⎩，解得'(1,3)B -；所以'12(4)3AB l y x -=+：；而点C 为'12(4)3AB l y x -=+：与直线2y x =的交点，解得(2,4)C 。

18．如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . （1）求证：BM AD ⊥；（2）点E 是线段DB 上的一动点，当二面角A EM D --大小为3π时，试求DEDB的值．（1）证明：过点D 做DO ⊥AM 于点O ，因为1,2==AD AB ，M 为DC 的中点，所以AM AD =，所以O 为AM 中点。

因为平面⊥ADM 平面ABCM ，所以DO ⊥平面ABCM ，所以DO ⊥BM，又因为AM BM ==，2AB =，所以ABM ∆为等腰直角三角形，所以AM ⊥BM ，且AM DO=O ，所以BM ⊥平面ADM ，所以BM AD ⊥；（2）因为BM AD ⊥，且AD DM ⊥，所以AD BMD ⊥平面，过点D 做EM 的垂线交EM 于T ，连接AT ，则可知DTA ∠就是所求的平面角，所以=3DTA π∠，所以易得DT ，sin DME ∠。

又sin MBD ∠，所以DEM DMB ∆∆，解得DE ，所以13DE DB =。

BCMD ADMCBEAO19．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a +=*N n ∈，（1）求证：当2n ≥时，有n a ≤（2）设1n b +=*N n ∈，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（3）设1n n n b a b +=，*N n ∈，试问{}n a 可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．（1）证明：因为{}n a 和{}n b 各项均为正数，所以222n n n n a b a b +≤，所以1n a +=≤。

（2）证明：因为1n a +=，所以22211n n n n n a b a a b ++=；又1n b +=所以21n n nb b a +=。

两式相乘可得222212211n n n n n n n n n n ba b b b aa b a a +++=⋅=+，所以数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（3）不可能为等比数列。

证明：反证法：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由{}n a 为正项数列，易得0q >。

接下来我们按下面的情况分类讨论： ① 若1q >，则当1log qn >+11n n a a q -=>，矛盾！② 若1q =，不妨设n a a ≡，（其中a 为正常数），所以1n n b ab +=，所以{}n b 为等比数列。

因为1n a +=，所以有a =化简得230n n ab b a -+=对于*N n ∈成立，因此数列{}n b 的各项只能取一个或两个不同的值，又因为{}n b 为等比数列，所以只能有1a =，而此时方程230n n ab b a -+=变为210n n b b -+=无实根，所以1q ≠。

③ 若01q <<，则由1n a +=可得2n a +===联立12n n a a ++⎛= =⎝可得q =2222()n n n n qa q b a b +=+。

因为01q <<，所以当111log 2qn a >+时，有1112n n a a q -=<，所以当111log 2q n a >+时，有112n n n n b a b b +=<，所以当111log 2qn a >+时，数列{}n b 为减数列。

设11[1log ]12q N a =++，121max{,,}N N M b b b b -=，，易得n b M ≤对于*N n ∈成立，所以1n n n n b a b Ma +=≤。

所以当2n ≥时，有22222211()()n n n n n n n n b M a M q q b a a q a a a q--+=+≤+=+。

则当22116log ()q n a q M >++时，有232231()()n n M q q q b q a q q-<+≤+<，矛盾。

综上所述，{}n a 不可能为等a 比数列。