9.6椭圆

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
3 （1）长轴长等于 20 ,离心率等于 ． 5 x2 y 2 x2 y2
2 6 ( ,1) 2 3 x
2
10 2 10
提示：先利用椭圆的第一定义进行转化， 再利用绝对值不等式的性质。
四.焦半径及焦半径公式
椭圆上的一点到焦点的距离叫做椭圆上 这个点的焦半径。 2 2
x y 1.已知椭圆 2 2 1(a b 0)上一点P的横坐标是x0 , a b F1、F2分别是椭圆的左、右焦 点，且e为离心率，则
0
变式2：F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直 线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ且 |PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率。 6 3
x 2 y2 例4：设椭圆 2 1( a b 0) 的两焦点为F1， a2 b F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆的
离心率的取值范围。
PF1 a ex0 , PF2 a ex0 y 2 x2 2.已知椭圆 2 2 1(a b 0)上一点P的纵坐标是y0 , a b
F1、F2分别是椭圆的下、上焦点，且e为离心率，则
PF1
a ey0 , PF2

a ey0
x2 y2 1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的 例 1: 椭圆 9 4 动点， F1 PF2 为钝角时， 当 求点 P 的横坐标的取值范围.
100 64 1或 64 100 1
（2）长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0）， 求椭圆的方程。 x 2 x2 y 2 y 2 1或 1 9 9 81
x2 y2 1 例2.若椭圆 1的离心率e , 则k的值是 ______ k 4 9 2 11 8或 4

的轨迹有两个不同交点M ,N,就一定有OM ON 0? 若存在， 求出该圆的方程；若不存在，请说明理由。
x y (1) 1 ( y 0) 3 27 27 2 2 (2)存在圆x +y 10
2
2
x2 y 2 例6.已知椭圆 2 + 2 =1(a b 0)的离心率 a b 2 e , 短轴长是2. 2 (1)求椭圆的方程. (2)若椭圆与x轴正半轴及y轴的正半轴的交点为 A、B,经过(0, 2 )的直线L与椭圆交于P,Q两点， 设直线L的斜率为k,是否存在实数k,使得向量 OP OQ与 AB共线 ? 如果存在，求出k的值，若 不存在，请说明理由.
5 5 (1) m 2 2 (2) y x
（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
例3.已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆 x 2 3 y 2 4上，对角线BD所在直线的斜率为1. （）当直线BD过点（0,1）时，求直线AC的方程。 1
0
（2）当∠ABC 60 时，求菱形ABCD面积的最大值。 4 3 x y20 例4.已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆
x y (1) 1 8 4 (2) x 2 y 2 0或x+ 2 y 2 0
2
2
变式：在ABC中，顶点A(1, 0) , B (1, 0) , 动点D、E满足： ①DA+DB+DC=0；② EC = 3 EA = 3 EB ；③DE与AB共线. (1)求ABC顶点C的轨迹方程. (2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C
x y 直线y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0)的位置关系： a b y kx m 2 (1)判断方法：联立 x y 2 消去y得一个一元二次方程 2 2 1 a b 相离（直线与椭圆没有公共点） <0 相切（直线与椭圆有且只有一个公共点） =0 相交（直线与椭圆有两个不同的公共点） >0 1 (2)弦长公式： 1 k x1 x2 1 2 y1 y2 AB k
9 m ①表示一个圆； 2 9 ②表示一个椭圆； 16 m 25且m 2
9 ③表示焦点在x轴上的椭圆。16 m 2
二.椭圆的简单几何性质
标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
F1
F2
一.椭圆的标准方程
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a | F1F2 |)
y
M
y
F 2 M
图 形
2
F1
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点
a,b,c之间 的关系
x y 2 1 a b 0 2 a b
2
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
提示：设M ( x0 , y0 )( 2 x0 2)
2 7 2 7 （- ， ）或（- ，） 3 3 3 3
五.点与椭圆的位置关系
x2 y2 点P ( x0 , y0 )与椭圆 2 2 1(a b 0)的位置关系： a b x0 2 y0 2 点P在椭圆外部 2 2 >1 a b x0 2 y0 2 点P在椭圆上 2 2 1 a b 2 2 x0 y0 点P在椭圆内部 2 2 <1 a b
2 2
内切的动圆圆心C的轨迹方程。x
2 2
y 1 5 9
2
2
例4.一动圆C与圆A : ( x 3) y 1外切， 与圆B : ( x 3) 2 y 2 81内切，试求动圆 圆心C的轨迹方程。
x y 1 25 16
2
2
x y 例5.p是椭圆 + =1上的一点，F1、F2分别是焦点. 100 64 ①如果F1 PF2 =600 ,求F1 PF2的周长及面积. ②求|PF1||PF2 |的最大值. ③求F1PF2的最大值.
的两准线间的距离为2 3，若椭圆被直线 2 x y 1 0截得的弦的中点的横坐标是 , 3 2 2 4 2 求椭圆的方程。 x y 1
3 3
例5.设点M ( x, y )到直线x 4的距离与到定点(2, 0)的 距离之比为 2 ,并记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)过点(2,0)作直线L与曲线相交于A、B两点,问C上 是否存在点P,使得OP OA OB成立 ? 若存在,求出直线L 的方程；若不存在,说明理由.
2 2
1 m<0或0<m< 2
x2 y2 1 内有一点P(-1,1), 例4已知椭圆 4 3 F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，
求|MP|+2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标。
5
y 例5.已知A(4, 0), B(2, 2)是椭圆 1 25 9 内的点，M 是椭圆上的动点，求 MA MB 的最大值和最小值。 10 2 10
2
例1.已知椭圆
2
x2 y2 1 25 9
2
上的一点P到右焦点的距
离是4，求它到左焦点、左准线、右准线的距离。
x y 例2.方程 2 1表示准线平行于 2 m (m 1) x轴的椭圆，求实数m的取值范围。 x y 例3.椭圆 1上有一点p，它到左准线 25 9 的距离等于2.5，求p到右焦点的距离 8
x 2 (1) y 1 2
2
(2)没有符合题意的常数k.
x2 y2 例7.设椭圆E: 2 + 2 =1(a b 0)的左右焦点分别为 a b F1、F2，A是椭圆E上一点,AF1 F1 F2 ,原点到直线AF2 1 的距离是 |OF1|,AF1 F2的面积是e(e为椭圆E的离心率) 2 3 x 2 (1)求椭圆E的方程. (1) 2 y 1 (2)若直线l:y =x +m与椭圆E交于B、C两点，问：是否 存在实数m,使BF2C为钝角？如果存在，求出m的值， 若不存在，请说明理由. -2- 7 -2+ 7 (2) m ( ,-1) (-1, ) 3 3
例3.如图所示，椭圆的中心在原点， 焦点F1 , F2在x轴上，A, B是椭圆的 顶点，P是椭圆上一点，且 PF1 x轴，PF2∥AB, 求椭圆的离心率。
5 5
P
F1
y A o
B
F2
x
3 变式1.在ABC中，∠A 90 , tan B , 若以A、B 4 1 为焦点的椭圆经过点C, 求该椭圆的离心率。 2
5 5 设 P(x,y),则 | PF1 | a ex 3 x，PF2 | a ex 3 | x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cosF1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角 1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 3 5 3 5 解之得 x . 5 5
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5
y2 25 x2 16 1
(2)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 x2 y2 P(2,3)点； 1
x 2 y2 (3)经过点P 6， 和Q 3， 2） 9 + 3 =1 （ 1 ） （
2
六.直线与椭圆的位置关系 2 2
x y 例1.若直线y=kx+1(k R)与椭圆 1 5 m 恒有公共点，求实数m的取值范围。