2存志中学八年级拓展讲义第二讲—一元二次方程根的判别式(学生版)
初二数学一元二次方程根的判别式
【巩固】已知关于 x 的方程 x2 2(m 1) x m2 5 0 有两个不相等的实数根，化简：
|1 m | m2 4m 4
【例14】 已知关于 x 的方程 k 2 x 2 (2k 1) x 1 0 有两个不相等的实数根 x1 ，x2 ．
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．
中小学个性化教育专家
【巩固】已知一元二次方程 x2 (4k 2) x 4k 2 0 有两个不相等的实数根．则 k 的最大整数值为
【巩固】若方程 x2 2(a 1) x a 2 4a 5 0 有实数根，求：正整数 a ．
【例10】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x 2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
．
【例12】 关于 x 的一元二次方程 (1 2k ) x 2 2 k 1x 1 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．
【巩固】关于 x 的方程 x2 2 k x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为________．
【例13】 当 a 在什么范围内取值，方程 x 2 5 x a 有且只有两相异实根？
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三、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数； ⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．
① 0 方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个不相等的实数根 x1,2
一元二次方程根的判别式课件沪科版数学八年级下册
解：因式分解，得[x-(k+1)](x-2)=0 有x-(k+1)=0或x-2=0 解得x1=k+1,x2=2 根据题意有k+1<1 解得k<0
四、典型例题
例2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0有两个不等实根，求m的
最大整数值. 解：a＝m-1，b＝-2，c＝3
b2 2a
4ac (b2
4ac
0)
三、概念剖析
想一想：
根据求根公式x b
b2 4ac 可不可以快速写出方程
2a
ax2+bx+c=0(a≠0)的根？
可以，当b2-4ac<0时，求根公式不存在，即方程无根
当b2-4ac≥0时，x1 b
b2 2a
4ac
, x2
b
b2 4ac 2a
特别地，b2-4ac=0时，计算发现：x1
(1)2x2+4x+4=x-3
(2)x2-kx-1=0
提示：先写出判别式△，再根据△的正负写出结论
解：(1)化成一般式：2x2+3x+7=0 a=2，b=3,c=7 ∴△=b2-4ac=32-4×2×7=-47<0 ∴方程无实数根
(2)a=1，b=-k,c=-1 ∴△=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4>0 ∴方程有两个不相等的实数根
x2
b 2a
三、概念剖析
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2-4ac.
一元二次方程根的情况： 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根.
一元二次方程根的判别式(新授课)
公式法解一元二次方程（3）一、教材分析：首先是教材的地位与作用：公式法解一元二次方程是鲁教版八年级数学下册第七章第三节的内容，共分5个课时，本节学习第三课时。
内容是一元二次方程根的判别式的理解和应用，是在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上对一元二次方程求根公式的进一步的深入研究和理解。
通过本节课的学习，使学生理解一元二次方程的根的判别式，并能用根的判别式判断方程根的情况，更有利于学生顺利的解一元二次方程，同时为以后学习不等式的解法和函数的有关内容奠定基础。
再是教学重、难点：教学重点：一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。
教学难点：对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解。
由于本节课的内容主要是使学生在以后的学习过程中能合理准确的运用根的判别式的定理及逆定理，所以，我确定一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用为教学重点，而学生能做到灵活运用根的判别式的定理及逆定理的关键就是对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解，所以我确定它为教学难点。
二、教学目标：根据新课标的要求及对教材的分析，结合学生已有的知识基础，确定本节课的教学目标为：1、知识与技能方面：①感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
②能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证。
③会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值。
2、数学思考方面：经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
3、解决问题方面：通过对一元二次方程定理及逆定理的运用，体会数学的互逆思想，提高学生的计算能力及解决实际问题的能力。
4、情感态度方面：通过对一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的治学态度。
三、学情分析及教法学法：1、学情分析：学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac的作用，它是前面知识的深化和总结。
试讲学案
一元二次方程的根的判别式讲课人：袁辉一、学习目标1、能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关推理论证。
2、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围。
学习重点：使学生能用系数的值判定一元二次方程的根的情况。
学习难点：从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的⊿=b 2-4ac 的情况与根的情况的关系。
二、预习与交流用公式法解下列方程，观察方程根的情况与b 2-4ac 的关系。
⑴2x 2-3x =0 ⑵3x 2-23x +1=0 ⑶4x 2+x +1=0三、课堂学习与探究探究1.根据问题填写下表：请观察上表，结合b 2-4ac 的符号，归纳出一元二次方程的根的情况 合作证明你的猜想 ：在b 2-4ac >0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x当b 2-4ac >0时，一次方程的x 1=2b a -≠x 2=2b a--，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac =0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac <0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．结论：⑴当⊿=b 2-4ac >0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）•有两个不相等实数根。
⑵当⊿= b 2-4ac =0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个相等实数根。
⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），没有实数根。
（4）当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根。
反过来，有：(1)当方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根时，⊿>0。
（2）当方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根时，⊿=0。
（3）当方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根时，⊿<0。
《一元二次方程的根的判别式》课件2(16张PPT)(沪科版八年级下)
九年义务教育三年制初级中学教科书
代数
DAISHU
的根的判别式
第三册
人民教育出版社中学数学室 编著
目的要求
• 使学生知道什么是一元二次方程的根的判 别式。
• 使学生会用判别式判定根的情况。
（1）写出一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
（2）用配方法将一元二次方程变形为
a 2a
a 2a
即
(x
Hale Waihona Puke b )2 2ab2 4ac 4a2
新课教学
现在我们来研究方程
ax2 bx c 0(a 0)
变形得到的
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
首先应说明，对上述方程的左边，是个平方 数，开平方后成两个数和，移项即得 x 。因此可 以不用考虑。我们主要研究方程的右边。
x1
2a
,
x2 b
b2 4ac 2a
这就是说，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 b2 4ac 0 时，方程根的情况如何呢？
当 b2 4ac 0 时，方程右边是0，因此，方程有
x1
x2
b 2a
这就是说，方程有两个相等的实数根。
（3）当 b2 4ac 0 时，方程根的情况如何呢？
原方程变形为 16y 2 24 y 9 0
(24)2 416 9 576 576 0
原方程有两个相等的实数根.
事实上, 方程的两个根是 :
24 3
x1 x2
32
4
(3) 5(x 2 1) 7x 0
沪科版八年级数学下册说课材料：17.3 一元二次方程根的判别式
17.3 一元二次方程的根的判别式
各位评委老师你们好！今天我说课的题目是八年级下册第17章第三节的《一元二次方程的根的判别式》。
3.变式练习：
（1）小题是基础题，目的是为了巩固判别式的运用。
（2）是先求出Δ的值，进一步对绝对值、二次根式进行化简，也是对本节知识的引申。
（3）是思维拓展，本题的思路是：代数、几何的有机结合，运用一元二次方程的关系得到ΔABC三条边的关系，再根据几何知识得出结论。
通过变式练习，培养学生探究知识的能力，自主学生的能力，分析问题和解决问题的能力。
使他们在愉快、轻松的学习氛围中体验成功。
4.课堂小结：
让不同层次的学生各抒己见参与小结，师生共同完善利用一元二次方程的根的判别式解题的思路和注意点。
5.布置作业：
设计意图：通过布置分层练习，使不同层次的学生都能得到切合自己的练习，真正体现了以学生为本的教学思想。
总之，在教学过程中始终面对全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，通过“观察--分析--讨论--解答”的思想，让每个学生都能够达到课标规定的基本要求。
以上就是我关于“一元二次方程根判别式”的设计说明。
数学：19.3《一元二次方程的根的判别式》课件(沪科版八年级下)
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
作业：
课本第53面第1，2 ，3，5题
激酶(kinase)是一类生物化学里的分子，从高能供体分子（如ATP）转移磷酸基团到特定靶分子（底物）的酶，这一过程谓之磷酸化。最大的激酶 族群是蛋白激酶。 激酶筛选 /jimei/ 激酶筛选 lgh79neh 蛋白激酶作用于特定的蛋白质，并改变其活性。这些激酶在细胞的信号传导及其复杂的生命活动中起到了广泛的作用。其他不同的激酶作用于小 分子物质（脂质、糖、氨基酸、核苷等等），或者为了发出信号，或者使它们为代谢中各种生化反应作好准备。
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
1 a 4 1 (2b c) 0 4 a 2b c 0
b 3a 2c a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c
又 b 3a 2c c a b c
的吃饭。吟雪和月影这两个丫环初来乍到，人生地不熟，望着这壹屋子的人不停地在出出进进，既没有人答理她们丫鬟，也没有人吩咐她们两个 人需要做什么，两个丫环就算是浑身有劲儿也不知道往哪儿使。冰凝壹如既往地端坐在喜床上，她知道，她还要坚持等待，等待她的夫君。第壹 卷 第五十七章 乱套雅思琦当时眼看着爷三箭射出之后，径自进了王府，当场被惊得目瞪口呆！爷怎么壹个人就走了？爷又不是第壹次当新郎， 所有的程序早就烂熟于心，这么大喜的日子，而且还是四贝勒府荣升为王府以后的第壹桩喜事，爷怎么能由着性子掉头就走？当众给她扔下这么 壹个烂摊子！对新娘子不满？这不是爷自己舍着脸巴巴地跟万岁爷亲请赐婚的侧福晋吗？这可是德妃娘娘亲口告诉她的呢！给新娘子来壹个下马 威？爷可不是这种人！就算是再不招爷喜欢的诸人，只要是进了这王府，爷最多不怎么理会罢了，从来不曾这么不给面子，这不是在打新娘子的 脸吗？眼见着连宫里的喜嬷嬷都傻愣愣地站在那里不知所措，雅思琦虽然也是惊诧不已，但片刻的慌神之后，还是迅速地醒过味来，吩咐众人先 赶快扶着新娘子进府再说，这可是王府的头桩喜事，千万不能被人看了笑话过去。这个院子也是早早就收拾妥当的。自从德妃娘娘那里听说了这 年侧福晋可是爷亲自向万岁爷请赐来的之后，壹切准备工作都是万分精心，生怕爷哪里不满意。可是也奇怪了，每次跟爷壹提起来有关大婚的各 项准备事情，爷永远都是壹句话：“全凭福晋做主”，把她弄得更是忐忑不安，爷这是借此考验她是否对新娶进门来的年妹妹心存不满，还是真 的放心大胆地由着她操持这些事情？但是爷在没有接到赐婚的圣旨之前，可是壹直在派人修整这个府中花园最大的院子，而且是亲自监工，随时 提出要求，院门上的门匾爷可是早早就写好了，当时她以为王府里又要迎接壹位新格格呢。壹直没有搞明白状况的雅思琦最后决定，既然爷在确 定院子的时候选择了这么个气派院子，她在调派人手的时候也不能寒酸了，于是府里三十个丫环、三十个太监，日夜不停地布置、准备，虽然壹 切物品用度全按着规制配备，但配备的又全都是规制范围内的最高级别。待这年侧福晋壹行进了新房，她也紧随着到了，屋里屋外地张罗着，生 怕再出壹丝纰露。正忙得团团转呢，雅思琦的大丫环红莲寻到了这里，悄悄附在她的耳边：“福晋，爷在前边宴席上喝多了„„”“啊？喝多了？ 那身子怎么样了？醒酒汤喝了没了？”“现在秦公公正陪着在书院醒酒呢，奴婢问了，应该没有大碍。”“噢，那其它爷们都还在席上吗？太子 殿下现在哪里？谁负责照顾的？”“太子殿下有事情，早早就撤了。爷是后来才醉的。十三爷见爷醉了，赶快张罗着送走
一元二次方程根式判别
b² -4ac≥0
4)利用求根公式 计算方程的根
b b 4ac x 2a
2
b b 2 - 4ac a 0 x 2 2a 4a
2
• ∵a≠0∴4a² >0 当b² -4ac>0时，方程的右边是一个正数，方程有两 个不相等的实数根：
当b² -4ac=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的 实数根：x1 x 2 b 2a 当b² -4ac<0时，方程的右边是一个负数，实数范围 内负数不能开平方，方程 没有 实数根：
1. 化为一般式，确定a、b、c的值。 2. 计算△的值，确定△的符号 3. 判断根的情况，得出结论
一元二次方程的根的判别式
主讲人：刘丹
温故知新
• 一元二次方程ax² +bx+c=0(a≠0，b² -4ac≥0）的求 根公式是 •
b b 4ac x 2a
2
用公式法求以下方程的根
• （1）2X² -X-2=0 • (2) ¼X² +X+1=0
用公式法解一 元二次方程的 一般步骤：
1)把方程化为一般形式 2）确定a、b、c的值 3）计算b² -4ac,并判断其值与0的关系
-4ac 思考：究竟是谁决定了一元二次方程的根的情况 b²
反过来，对于方程ax² +bx+c=0（a≠0）
• 如果方程有两个不相等的实数根， 那么b² -4ac>0 ; • 如果方程有两个相等的实数根，那 么b² -4ac=0 ; • 如果方程没有实数根，那么 b² -4ac<0
我们把b²-4ac叫做一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0）的根的判别式，用 “△”来表示。
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第二讲—一元二次方程根的判别式
【知识要点】
对于一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax ，判别式△=ac b 42-。
△>0 方程有两个不相等的实数根
△=0 方程有两个相等的实数根
△<0 方程无实数根
【典型例题】
例1、已知关于x 的一元二次方程0122=+-+m x x 无实数根，求证：一元二次方程
1122=++m mx x 一定有两个不相等的实数根。
例2、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，关于x 的一元二次方程
()()()04
322=---+
+c a x c a x c b 有两个不相等的实数根，判断△ABC 的形状.
例3、已知a 、b 为整数，一元二次方程032
=-+-b ax x 有两个不相等的实数根，一元二次方程07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根，一元二次方程 05)4(2=-+-+b x a x 无实数根，求a 、b 的值。
例4、已知a >0，b >a +c 时，求证：一元二次方程02
=++c bx ax 必有两个不相等的实数根。
【课后作业】
1、求证：无论a 为任何实数，方程()012122=+--ax x a 总有实数根.
2、已知关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程
()()02252=++--m x m x m 的实数根有几个？
3、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，求证：关于x 的一元二次方程()
0222222=+-++c x a c b x b 无实根.。