2014年高考山东数学文科卷21题的探究
2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案
2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案新东方在线举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了解析，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。
以下是济南新东方高考名师团队老师提供的2014高考山东卷文科数学真题及参考答案，供广大考生参考。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43- （B ）i 43+ （C ）i 34- （D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A（A ）(0,2] （B ） (1,2) （C ） [1,2) （D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(， （B ）]2,0(（C ）),2(+∞（D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。
选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根 （B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根 （C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根 （D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【解析】答案选A ，解析略。
（5）已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成龙的是（A ）33y x >（B ）y x sin sin > （C ）)1ln()1ln(22+>+y x（D ）111122+>+y x 【解析】由)10(<<<a a a y x 得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。
2014年高考(山东卷)数学试题评析
知识与能力完美融合，传统与创新和谐统一——2014年高考（山东卷）数学试题评析纵观2014年高考山东卷数学试题，试卷结构有较大调整，但又保持了传统的试题风格，立意于能力，注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养，符合考试说明的各项要求，兼顾公平和中学教学实际，是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷。
一、回归教材，注重基础，考查考生的基础知识和基本技能2014年数学试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。
试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考查了集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点；解答题的前三个题目，也着眼于常规的基本知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，即使是解答题的后面三道，第一问的入口也都很宽，梯度设计合理。
整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平，保证了考生的“基础得分”，从而保证了考试较高的信度和效度。
二、布局全面，注重综合，考查考生的数学方法和数学思想2014年试卷依旧承袭了山东卷历年的命题风格，在知识的交汇点采用网络式的布题模式，对主干知识进行了重点考查。
文、理两科试卷均对高中数学中的重点内容进行了综合考查，包括三角函数、概率统计、立体几何、数列、导数的应用以及解析几何等六大模块，注重综合和创新，以知识为载体，立意于能力，让数学方法和数学思想贯穿于整个试题的解答过程之中。
每道试题都有机综合了中学数学中的多个知识点，特别注重考查考生的数学思想，文（8）（10）（20）、理（9）（15）（20）着重考查了函数与方程的思想、转化与化归的思想；文（8）（9）（15）、理（6）（8）（9）（15）（17）着重考查了考生数形结合的思想；文（19）（20）（21）、理（18）（19）（20）（21）对分类与整合的思想进行了考查；文（16）、理（18）对或然与必然的思想进行了考查。
2014年高考山东卷数学(文)真题试题试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题卷（文史类）一、选择题1.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若2a i bi +=-，则()2bi a +=（ ）A.i 43-B.i 43+C.i 34-D.i 34+2.设集合{}{},41,022≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （ ）A.(]2,0B.()2,1C.[)2,1D.()4,1 3.函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.),2(+∞D.[2,)+∞4.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程02=++b ax x 没有实根 B.方程02=++b ax x 至多有一个实根 C.方程02=++b ax x 至多有两个实根 D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A.33xy > B.sin sin x y > C.22ln(1)ln(1)x y +>+ D.221111x y >++ 6.已知函数log ()(a y x c a =+，c 为常数，其中0,1)a a >≠ 的图象如右图，则下列结论成立的是（ ） A 1,1ac >> B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<< 7.已知向量(1,3)a =，(3,)b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）A.C.0D.8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa) 的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)， [16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一 组，第二组，…，第五组.右图是根据试验数据制 成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有 疗效的人数为（ ）A.6B.8C.12D.18kPa9.对于函数)(x f ，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f -=，则称)(x f 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ） A.x x f =)( B.2)(x x f = C.x x f tan )(= D.)1cos()(+=x x f10.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A.5B.4D.2 二、填空题11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n12.函数2sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 .13.一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形， 侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .14.圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .15.已知双曲线12222=-by a x （0a b >>）的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c 2，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为__________. 三、解答题16.（本小题满分12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．地区 A B C 数量50150100（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．17.（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =3，A cos =36，2π+=A B ．（1）求b 的值； （2）求△ABC 的面积．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AD BC AB 21==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．19.（本小题满分12分） 在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++-，求n T ．ABCDPFE20.（本小题满分13分） 设函数1()ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数． （1）若0=a ，求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性．21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>y x =被椭圆C 截得的． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； （ii ）求OMN ∆面积的最大值．2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1．A [解析] 因为a ＋i=2－b i ，所以a =2，b =－1，所以(a ＋b i)2=(2－i)2=3－4i. 2．C [解析] 因为集合A ={x |0＜x ＜2}，B ={x |1≤x ≤4}，所以A ∩B ={x |1≤x ＜2}. 3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b =0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b =0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b =0没有实根”．5．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．6．D [解析] ∵该函数是减函数，∴0＜a ＜1．∵x =0，y >0，∴0＜c ＜1． 7．B [解析] 由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝3．8．C [解析] 因为第一组与第二组共有20人，并且第一组与第二组的频率之和是0.4，所以志愿者总人数为50，所以第3组人数为18，所以第三组中有疗效的人数是18－6=12.9．D [解析] 因为f (x )=f (2a －x )，所以函数f (x )的图像关于x =a 对称．A 选项中，函数f (x )=x 没有对称性；B 选项中，函数f (x )=x 2关于y 轴对称，与a ≠0矛盾；C 选项中，函数f (x )=tan x 也没有对称性；D 选项中，函数f (x )=cos(x ＋1)的图像是由函数g (x )=cos x 的图像向左平移一个单位后得到的，又函数g (x )=cos x 的图像关于x =k π(k ∈Z )对称，所以函数f (x )=cos(x ＋1)的图像关于x =k π－1(k ∈Z )对称．10．B [解析] 画出关于x ，y 的不等式组表示的可行域．z =ax ＋by 在A (2，1)点处取得最小值，即25=2a ＋b ，所以a 2＋b 2=a 2＋(25－2a )2=5a 2－85a ＋20，显然当a =455时，a 2＋b 2取最小值4.又解：直线2a ＋b=25上的点到原点的距离为22，a 2＋b 2的最小值为4. 二、填空题11．3 [解析] x ＝1满足不等式，执行循环后x =2，n =1；x =2满足不等式，执行循环后得x =3，n =2；x =3满足不等式，执行循环后得x =4，n =3；x =4不满足不等式，结束循环，输出n =3. 12．π [解析] 因为y =32sin2x ＋1＋cos 2x 2=sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T =2π2=π. 13．12 [解析] 设该六棱锥的高是h ．根据体积公式得，V =13×12×2×3×6×h ，解得h =1，则侧面三角形的高为1＋（3）2=2，所以侧面积S =12×2×2×6=12.14．(x －2)2＋(y －1)2=4 [解析] 因为圆心在直线x －2y =0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b >0，圆的半径是2b ．由勾股定理可得b 2＋(3)2=4b 2，解得b =1，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2=4.15．y =±x [解析]抛物线的焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y =－p2．因为FA c =，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋a 2=c 2，即22()2pb =．联立⎩⎨⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，消去y 得x =±a 2＋a 2p 24b2，即x =±2a ．又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c ，所以22a =2c ，即2a =c ，所以b =a ，双曲线的渐近线方程为y =±x . 三、解答题16．解：（Ⅰ）因为样本容量与总体中的个数的比是615015010050=++，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：150150⨯=，1150350⨯=，1100250⨯=， 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2．（Ⅱ）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；1B ，2B ，3B ；1C ，2C ． 则从这6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：123{,},{,},{,}A B A B A B ,12{,},{,}A C A C ,1213111223{,},{,}{,},{,};{,}B B B B B C B C B B , 2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C ,共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：12132312{,},{,}{,},{,}B B B B B B C C ，共4个，所以4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为415．17．解：（Ⅰ）在ABC∆中，由题意知sin A ==， 又因为2BA π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==由正弦定理，得3sin sin a Bb A=== （Ⅱ）由2B A π=+，得cos cos()sin 2B A A π=+=-=． 由A B C π++=，得()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+13=． 因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． 18．解：（Ⅰ）设ACBE O =，连结OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//AE BC ，AE AB BC ==．因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ． （Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形，因此//BE CD ． 又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥． 又APAC A =，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ．19．解：（Ⅰ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+， 即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =． （Ⅱ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+，所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+．因为12(1)n n b b n +-=+， 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn +=(2)2n n +=；当n 为奇数时，ABCDPFEO1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-． 所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数,，为偶数. 20．解：（Ⅰ）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+． 此时'22()(1)f x x =+．可得'1(1)2f =，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=． （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．2'222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++=+=++． 当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=，2'21(1)2()0(1)x f x x x --=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． ②当12a <-时，0,()0g x ∆<<，'()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． ③当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =，2x =．由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减；12(,)x x x ∈时，'()0,()0g x f x >>，函数()f x 单调递增；2(,)x x ∈+∞时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减．综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a -<<时，()f x在，)+∞上单调递减，在上单调递增．21．解：（Ⅰ）由题意知2a =，可得224a b =． 椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=．将y x =代入可得5x =±55=2a =． 因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）（ⅰ）设1111(,)(0)A x y x y ≠，22(,)D x y ，则11(,)B x y --． 因为直线AB 的斜率11AB y k x =， 又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-． 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(14)8440k x mkx m +++-=． 所以122814mk x x k +=-+，因此121222()214my y k x x m k+=++=+． 由题意知，12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+．所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+， 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x ，可得1212y k x =-． 所以1212k k =-，即12λ=-． 因此存在常数12λ=-使得结论成立．（ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+， 令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -． 由（ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=．因为221111||||14x x y y ≤+=，当且仅当11||||2x y ==时等号成立， 此时S 取得最大值98，所以OMN ∆的面积的最大值为98．。
2014年山东高考试题--文科数学Word版含答案
2014年高考试题（山东卷）文科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D) 221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A) 23(B)3(C) 0(D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
2014年山东省高考文科数学文真题试题(有答案)
2014年山东省高考文科数学真题及答案注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43- （B ）i 43+ （C ）i 34- （D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A（A ）(0,2] （B ） (1,2) （C ） [1,2) （D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(， （B ）]2,0(（C ）),2(+∞ （D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。
选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根 （B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根 （C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根 （D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【解析】答案选A ，解析略。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·山东(文科数学)
2014·山东卷(文科数学)1．[2014·山东卷] 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( )A ．3－4iB ．3＋4iC ．4－3iD ．4＋3i1．A [解析]因为a ＋i ＝2－b i ，所以a ＝2，b ＝－1，所以(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．[2014·山东卷] 设集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2) C ．[1，2) D ．(1，4)2．C [解析]因为集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}，故选C.3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．C [解析]若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2. 4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析]方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋15．A [解析]因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 6．D [解析]由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.7．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23B. 3 C ．0D ．－ 37．B [解析]由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.8．[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，图1-2是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图1-2A ．6B ．8C ．12D ．188．C [解析]因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频率之比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×35＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是0.24∶0.36＝2∶3，所以第三组有12÷23＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.9．[2014·山东卷] 对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)9．D [解析]因为f (x )＝f (2a －x )，所以函数f (x )的图像关于x ＝a 对称．A 选项中，函数f (x )＝x 没有对称性；B 选项中，函数f (x )＝x 2关于y 轴对称，与a ≠0矛盾；C 选项中，函数f (x )＝tan x 也没有对称性；D 选项中，函数f (x )＝cos(x ＋1)的图像是由函数g (x )＝cos x 的图像向左平移一个单位后得到的，又函数g (x )＝cos x 的图像关于x ＝k π(k ∈Z )对称，所以函数f (x )＝cos(x ＋1)的图像关于x ＝k π－1(k ∈Z )对称．故选D.10．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C.5D ．210．B [解析]画出关于x ，y 的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．显然当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最小值，即25＝2a ＋b ，所以25－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20.构造函数m (a )＝5a 2－85a ＋20(0<a <5)，显然当a ＝455时，函数m (a )取得最小值4.故a 2＋b 2的最小值为4.11．[2014·山东卷] 执行如图1-3所示的的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．图1-311．3 [解析]x ＝1满足不等式，执行循环后x ＝2，n ＝1；x ＝2满足不等式，执行循环后得x ＝3，n ＝2；x ＝3满足不等式，执行循环后得x ＝4，n ＝3.x ＝4不满足不等式，结束循环，输出n ＝3.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析]因为y ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.13．[2014·山东卷] 一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．13．12 [解析]设该六棱锥的高是h .根据体积公式得，V ＝13×12×2×3×6×h ，解得h＝1，则侧面三角形的高为1＋（3）2＝2，所以侧面积S ＝12×2×2×6＝12.14．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________． 14．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [解析]因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b >0，圆的半径是2b .由勾股定理可得b 2＋(3)2＝4b 2，解得b ＝±1.又因为b >0，所以b ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4.15．，[2014·山东卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．15．y ＝±x [解析]由题意可知，抛物线的焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2.因为|F A |＝c ，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫p 22＝b 2.联立⎩⎨⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，消去y ，得x ＝±a 2＋a 2p 24b2，即x ＝±2a .又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c ，所以22a ＝2c ，即2a ＝c ，所以b ＝a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x .16．，[2014·山东卷] 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.18．，[2014·山东卷] 如图1-4所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .18．证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC . 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.20．，[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．20．解：(1)由题意知，当a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，所以f ′(1)＝12. 又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．21．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；(ii)求△OMN 面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2， 所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)．令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)． 可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立， 此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题(文科)解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i +(C) 43i -(D) 43i +1.【答案】A【解析】1,2,2-==∴-=+b a bi i a Θ，1,2==∴b a i i i i bi a 4344)2()(222-=+-=-=+∴.(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =I(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)2.【答案】C【解析】.20,022<<∴<-x x x Θ[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A I [1,2) .(3)函数()f x =(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞3.【答案】C【解析】01log 2>-x 故2>x .(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根4.【答案】A【解析】“至少有一个”的对立面应是“没有”,故选A(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 5.【答案】A【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。
2014年全国高考文科数学试题及答案-山东卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =I(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数2()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==r r . 若向量,a b r r 的夹角为6π，则实数m =(A) 23(B) 3(C) 0(D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
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ＳәＡＢＥ＝１
２
ＨＤｙ０－ｙＢ
＝１
２
ｘ０＋１ｘ０＋２ｙ０＋ｙ０＋
８ｙ０
㊀㊀＝
１
２
ｘ０＋１ｘ０＋２２ｙ０＋８ｙ０ȡ１６．㊀㊀
当且仅当ｘ０＝１且ｙ０＝ʃ２时取等号．
（Ⅱ）（ⅱ）（法二）光学原理＋几何性质．
做ＥＧʊｘ轴，交ＡＢ于Ｇ，由抛物线的光学入射及反射原理知：
设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０）㊁Ｄ（ｘＤ，０）（ｘＤ＞０），因为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋２⇒ｋＡＢ＝－
ｙ０２
；
又因为ｙ２
()ᶄ＝４ｘ()ᶄ⇒２ｙｙᶄ＝４所以ｙᶄ＝２
ｙ
⇒ｋＡＢ＝
２ｙＥ＝－ｙ０２，所以ｙＥ＝－４
ｙ０
＝ｙＧ．又因为ｋＡＢ＝ｙ０－ｙＢｘ０－ｘＢ＝ｙ０－ｙＢｙ２０４－ｙ２
Ｂ４
＝４
ｙ０＋ｙＢ
＝－ｙ０２＝２
ｙＧ⇒ｙＧ＝ｙ０＋ｙＢ２⇒Ｇ为ＡＢ中点．所以ＳәＡＢＥ＝２ＳәＡＧＥ＝ＡＥ
ＧＥｓｉｎθ＝ＡＥ２ｓｉｎθ＝
４ｓｉｎ２
θæèçö
ø
÷２
ｓｉｎθ＝１６ｓｉｎ３θȡ１６，㊀㊀等号当且仅当θ＝９０ʎ，即ＡＥ斜率不存在时取
得．其中，焦点弦公式ＡＥ＝２ｐ
ｓｉｎ２θ
，θ为直线ＡＥ的倾斜角．
２０１４年高考山东数学文科卷２１题的探究
山东梁山县第一中学㊀㊀２７２６００㊀㊀王㊀敏
㊀㊀题目㊀在平面直角坐标系中，椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝
１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为３
２
，直线ｙ＝ｘ被椭圆Ｃ截得的线段长为
４１０
５
．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ，
Ｂ不是椭圆Ｃ的顶点），点Ｄ在椭圆Ｃ上，且ＡＤʅＡＢ，直线ＢＤ与ｘ轴㊁ｙ轴分别交于Ｍ，Ｎ两点，（ⅰ）设直线ＢＤ，ＡＭ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，证明存在常数λ使得ｋ１＝λｋ２，并求出λ的值；
（ⅱ）求әＯＭＮ面积最大值．
通过探究，可以将本题的结果推广到更一般情形．
定理㊀椭圆Ｃ：
ｘ２
ａ
２
＋ｙ２ｂ
２
＝１（ａ＞ｂ＞０），过原点
的直线与椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ，Ｂ不是椭圆Ｃ的顶点），点Ｄ在椭圆Ｃ上，且ＡＤʅＡＢ，直线ＢＤ与ｘ轴，ｙ轴分别交于Ｍ，Ｎ两点，（１）设直线ＢＤ，ＡＭ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，则存在常数λ＝１－２ｅ２，使得ｋ１＝
λｋ２；（２）三角形ＯＭＮ面积的最大值是ｃ４
４ａｂ．
证明㊀设Ａ（ｘ１，ｙ１）（ｘ１ｙ１ʂ０），Ｄ（ｘ２，ｙ２），则有
Ｂ（－ｘ１，－ｙ１）．直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１ｘ１
，由ＡＤʅＡＢ，
知直线ＡＤ的斜率ｋ＝－ｘ１ｙ１
．
设直线ＡＤ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，由条件知ｋʂ０，
ｍʂ０．
联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ìî
íïïïï消去ｙ，整理得（ａ２ｋ２＋ｂ２）ｘ２
＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０．
有ｘ１＋ｘ２＝－２ａ２ｋｍ
ａ２ｋ２＋ｂ２
，
ｙ１＋ｙ２＝ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋２ｍ＝２ｍｂ２
ａ２ｋ２＋ｂ２
．
由条件知ｘ１ʂ－ｘ２，ｋ１＝
ｙ１＋ｙ２
ｘ１＋ｘ２＝－ｂ２
ａ２ｋ＝ｂ２ｙ１ａ２ｘ１
，则直线ＢＤ的方程为ｙ＋ｙ１＝
ｂ２ｙ１
ａ２ｘ１（ｘ＋ｘ１），
７
５中学数学杂志㊀２０１４年第７期㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀
令ｙ＝０，得ｘ＝ａ２－ｂ２ｂ２ｘ１，即Ｍ（ａ２－ｂ２
ｂ２ｘ１，０），
ｋ２＝
ｙ１
ｘ１－ａ２－ｂ２
ｂ２
ｘ１
＝ｂ２
２ｂ２－ａ２㊃ｙ１ｘ１
，从而ｋ１＝２ｂ２－ａ２
ａ２ｋ２．
所以存在常数λ＝
２ｂ２－ａ２
ａ２
＝１－２ｅ２
（ｅ为椭圆
的离心率），使得ｋ１＝λｋ２．
（２）由ＢＤ的直线方程ｙ＋ｙ１＝
ｂ２ｙ１
ａ２ｘ１
（ｘ＋ｘ１），分
别令ｘ＝０，ｙ＝０得坐标Ｍａ２－ｂ２ｂ２
ｘ１，０æèçö
ø
÷，Ｎｂ２－ａ２
ａ２
ｙ１，０æèçö
ø
÷，则ＳәＯＭＮ＝１２｜ＯＭ｜㊃｜ＯＮ｜＝（ａ２－ｂ２）２２ａ２ｂ２｜ｘ１ｙ１｜＝ｃ４２ａ２ｂ２
｜ｘ１ｙ１
｜（ｃ２＝ａ２－ｂ２
），由ｘ２１
ａ２
＋
ｙ２１ｂ２
＝１，根据基本不等式得｜ｘ１ｙ１｜ɤ
ａｂ
２
．因而ＳәＯＭＮ
＝ｃ４２ａ２ｂ
２｜ｘ１ｙ１｜ɤｃ４４ａｂ．即三角形
ＯＭＮ面积的最大值是ｃ４４ａｂ
．
２０１４年高考山东理科数学１９题的感想
高密市第一中学㊀㊀２６１５００㊀㊀冯淑丽
㊀㊀
自２００７年山东实施新课标高考以来，对数列的
考查无一例外（当然除２００９年略有不同）的采取了一种固定的考查模式：第一问求数列的通项公式；第二问求数列的前ｎ项和．基本上所有的求和方法都有所涉及：乘公比错位相减法，裂项相消法，分组求和法，根据ｎ的奇偶性分类讨论，并项求和法等．人们猜测２０１４年的高考数列会考哪种求和方法？我想在各种求和方法都训练到位的前提下，今年的数列题目应该不算是个难题．
题目㊀
已知等差数列｛ａｎ｝的公差为２，前ｎ项
和为Ｓｎ，且Ｓ１，Ｓ２，Ｓ４成等比数列．
（Ⅰ）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（Ⅱ）令ｂｎ＝（－１）ｎ－１
４ｎ
ａｎａｎ＋１
，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．
该题目的新颖之处在于第二问，进行了绝妙的创新设计，要求考生准确掌握数列的基本思想，同时也对思维的灵活性提出了较高的要求．当看到通项公式ｂｎ
＝（－
１）ｎ－１
４ｎａｎａｎ＋１
＝（－
１）ｎ－１
４ｎ
（２ｎ－１）（２ｎ＋１）
，大部分同学会一下子想到 裂项
相消法 ，但是用传统的裂项法却很难办；又看到（－１）ｎ－１也会联想到分类讨论或者是 并项求和 等思
想方法．
解法１㊀
裂项求和法．
裂项方法之一：在尝试了 裂差 的失败之后，同学们应该能够想到这样的一种 裂和 的方法：ｂｎ
＝（－１）ｎ－１４ｎ（２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝（－１）ｎ－１（１
２ｎ－１
＋
１２ｎ＋１），然后写出Ｔｎ的表达式Ｔｎ＝（１１＋１３）－（１
３＋１５）＋（１５＋１７）－（１７＋１９
）＋ ＋（－１）ｎ－１（１２ｎ－１＋１
２ｎ＋１
）．
观察前几项的抵消规律：每一项中的第二个数与它后一项的第一个数相抵消，由特殊到一般，归纳出Ｔｎ的一般表达式．显然再由ｎ的奇偶性决定了最后一项是 ＋ 号还是 － 号，因此这个题目很自然地想到根据ｎ的奇偶性去讨论：
①若ｎ为偶数，则Ｔｎ＝（１１＋１３）－（１３＋１
５
）
＋（１５＋１７）－（１７＋１９）＋ －（１２ｎ－１＋１２ｎ＋１
）
＝１－１２ｎ＋１＝２ｎ
２ｎ＋１
．
②当ｎ为奇数，则Ｔｎ＝（１１＋１３）－（１３＋１
５
）
＋（１５＋１７）－（１７＋１９）＋ －（１２ｎ－３＋１２ｎ－１）
＋（１２ｎ－１＋１２ｎ＋１
）８
５㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期。