2020年黄浦区高三数学一模

2020年黄埔区一模一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B ⋃=(1,3)-．2．已知(i)(1i)(z a a =-+∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数，则a =1-．3．抛物线28x y =的焦点到准线的距离为 4 ．4．281()x x-的展开式中4x 的系数为 70 ．（用数字作答）70 5．设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan 2θ的值为247-． 6．母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为2π3． 7．若无穷等比数列{}n a 满足：234a a a =，5116a =，且()n a n *∈∈R N ，则数列21{}n a -的所有项的和为43． 8．四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是144．（结果用数字作答）9．已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的两条渐近线的夹角为π2． 10．已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，若2()log (22)x f x x =++，则满足2()log 3()f x g x >>的x 的取值范围是2(0,log 15)．11．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()f x f x ⋅1=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：①函数3y x x =-具有性质M ；②函数35x xy =+具有性质M ；③若函数8log (2),[0,]y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin 4x a y +=具有性质M ，则5a =． 其中正确结论的序号是 ②③ ．12．已知正六边形123456A A A A A A 的边长为2，点P 是该正六边形边上的动点，记1223A P A P A P A P σ=⋅+⋅+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 34455661A P A P A P A P A P A P A P A P ⋅+⋅+⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，则σ的取值范围是[30,36]． 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．方程2153x x =的解集是（ B ）A ．{2}B ．{2 2}-，C ．{1 1}-，D ．{i i}-，14．将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π3个单位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为（ A ）A ．π12x =-B ．π16x =C ．π4x =D ．π2x = 15．若函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是偶函数”是“(||)()f x f x =对一切R x ∈恒成立”的（ C ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设曲线E 的方程为22491x y+=，动点(,),(,),(,),(,)A m n B m n C m n D m n ----在E 上．对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π．下面说法正确的是（ D ）A ．①错，②对B ．①对，②错C ．①②都错D ．①②都对三. 解答题（本大题共5题，共76分）17．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分在三棱锥P ABC -中，已知,,PA PB PC 两两垂直，3PB =，4PC =，且三棱锥P ABC -的体积为10．（1）求点A 到直线BC 的距离；（2）若D 是棱BC 的中点，求异面直线,PB AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）因为PA PB PA PC ⊥⊥，，PB PC P ⋂=，所以AP ⊥平面PBC ， ……1分 由11(34)1032P ABC V AP -=⋅⋅⋅=，可得5AP =． ……………………3分 过P 作PE BC ⊥于E ，连AE ，由AP ⊥平面PBC ，可得,AP PE AP BC ⊥⊥， 由BC PE ⊥，BC AP ⊥，可知BC ⊥平面APE ，故BC AE ⊥，………………………4分又125PE =，所以AE ==，所以点A 到直线BC 6分 （2）设F 为棱PC 的中点，连,DF AF ，由,D F分别是棱,BC PC 的中点，可得DF ∥PB ，所以AD 与DF 的夹角即为异面直线PB 与AD 所成的角．………8分因为AP ⊥平面PBC ，所以AP PD ⊥，又1322FD PB ==，AF =AD ==所以222cos 2AD DF AF ADF AD DF -∠==⋅+，…………………12分故异面直线,PB AD 所成的角为14分18．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分在△ABC 中，,,a b c 分别是角A , B , C 的对边，且cos (2)cos a C b c A =-． （1）若3AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积； （2）若B C ∠<∠，求222cos cos B C +的取值范围．解：（1）由cos (2)cos a C b c A =-，可得sin cos (2sin sin )cos A C B C A =-，……1分即sin()2sin cos A C B A +=，故sin 2sin cos B B A =，又sin 0B ≠，故1cos 2A =，因(0,π)A ∈，故π3A =．………………4分 因为3AB AC ⋅=u u u r u u u r ，所以πcos 33cb =，得6bc =，…………………6分△ABC 的面积为1sin 2bc A 8分 （2）由π3A =，可得2π3B C +=， 所以221cos22cos cos 1cos2C B C B ++=++ …………………9分34π13cos(2)cos 222322C C C =+-+=，……………………11分又B C ∠<∠，故π2π(,)3C ∠∈，即2π4π2(,)33C ∈，所以sin 2(C ∈，所以22cos cos B C +=3392(,)244C ∈． 即222cos cos B C +的取值范围是39(,)44．……………………14分 19．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克／毫升）与给药时间x （小时）之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数240(0.6 0.6)x x y =-(x ∈[0,12])，其简图如图所示．试根据此拟合函数解决下列问题：（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；（2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）．解：（1）令0.6x t =，则2240(0.60.6)40()x x y t t =-=--，………………2分240(0.5)1010y t =--+≤， 当且仅当0.5t =，即0.6log 0.5[0,12]x =∈时，10y =，故y 的最大值为10，此时0.6log 0.5 1.36x =≈，所以药峰浓度为10(微克/毫升)，药峰时间为1.36小时．…………………6分由函数简图知，当0.6[0,log 0.5]x ∈时，血药浓度随时间增大而增大； 当0.6[log 0.5,12]x ∈时，血药浓度随时间增大而减小．……8分（2）令240()5y t t =--=， 可得210t t -+=，…………………………………10分解得t或t =，由t =可得0.6log x =，12分 故血药浓度的半衰期为0.60.6log log 0.5 2.40-≈（小时）．…14分 20．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分，已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上一点1)A -到两焦点距离之和为8．若点B 是椭圆C 的上顶点，点,P Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若BP BQ ⊥，且满足32PD DQ =u u u r u u u r的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；（3）若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数(0)λλ<，试判断直线PQ 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 由题意知28a =，且221211a b+=，可得4,2a b ==， 故椭圆C 的方程为221164x y +=．…………………4分 （2）设,BP BQ 的斜率分别为k k ',，则由BP BQ ⊥，可得1k k'=-，……5分 由222,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2(41)160k x kx ++=，所以21641P k x k -=+， 同理可得221616414Q k k x k k '-=='++，……………7分 由32PD DQ =u u u r u u u r ，可知32P Q x x -=，即2216163244k k k k --⋅=⋅++， 又0k ≠，可得k =，所以BP 的方程为2y =+．………10分（3）设直线PQ 的方程为y mx b =+，代入椭圆C 的方程，可得222(41)84160m x mbx b +++-=， 设,P Q 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，故12221228,4141641mb x x m b x x m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……12分 由1212121222(2)(2)BP BQ y y mx b mx b k k x x x x λ--+-+-=⋅=⋅= 可得221212()(2)()(2)0m x x m b x x b λ-+-++-=，………14分所以222224168()(2)(2)04141b mb m m b b m m λ---+-+-=++，又2b ≠， 故222()4(2)8(2)(41)0m b m b b m λ-+-+-+=， 可得2814b λλ+=-为定值，故直线PQ 过定点28(0,)14λλ+-．………16分21．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．（1）若{}n a 的前n 项和32n n S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由；（2）设数列12310,,,,a a a a L 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{},{}n n b c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为12,T T ，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”．解：（1）由32n n S =+，可知1123n n n n a S S ++=-=⨯，…………2分故1320n n n a S +-=->对一切正整数n 都成立，故{}n a 是P 数列．…4分（2）由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+，6分 由数列1210,,,a a a L 是P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >，213(1)1022n n d S a n d n +-=-++<对满足19n ≤≤中的每一个正整数n 都成立． ⇔23(1)1022d n d n -++<对于1,9n =都成立． 由2399(1)1022d d ⋅-++<，可得827d <， 故d 的取值范围是8(0,)27． ………………10分 （3）若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，若0a >，则1q >，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立， 可知11n nq aq a q ->-，即12()n q q -<对一切正整数n 都成立， 由1()0n q >，且1lim()0n n q→∞=，故20q -≤，可得2q ≥．…12分 若0a <，则1q <，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立， 可知11n nq aq a q ->-，即(2)1n q q -<对一切正整数n 都成立， 又当(,1]q ∈-∞-时，(2)1n q q -<当2n =时不成立，故有(0,1),(2)1q q q ∈⎧⎨-<⎩或2(1,0),(2)1q q q ∈-⎧⎨-<⎩，解得(0,1)q ∈⋃． 所以{}n a 是P 数列时，a 与q 所满足的条件为02a q >⎧⎨≥⎩或0(0,1)a q <⎧⎪⎨∈⋃⎪⎩…14分 下面用反证法证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”． 假设{}n a 是P 数列，由0a >，可知2q ≥且{}n a 中每一项均为正数， 若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <， 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T >．……15分 若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中， 设{},{}n n b c ''是将{},{}n n b c 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为12,T T ''，不妨设{},{}n n b c ''中的最大项在{}n b '中，设为m a ，则2m ≥，则21211m m T a a a a T -''≤+++<≤L ，故21T T ''<，所以21T T <， 故总有12T T ≠，与12T T =矛盾．故{}n a 不是P 数列．…18分。