18年高考真题——理科数学(天津卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（天津卷）一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，则()RAB =（ ）（A ）{}|01x x <≤ （B ）{}|01x x << （C ）{}|12x x ≤< （D ）{}|02x x <<2．变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，则目标函数35z x y =+的最大值是（ ） （A ）6 （B ）19 （C ）21 （D ）453．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3a =，则,,abc 的大小关系为（ ） （A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>6．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） （A ）在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （B ）在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （C ）在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （D ）在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点。

设,A B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为12,d d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ） （A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）22139x y -= （D ）22193x y -=8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==。

若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅=（ ）（A ）2116 （B ）32 （C ）2516（D ）3二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，复数6712ii+=+ 。

10．在52x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为____________。

11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________。

12．已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线212232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为___________。

13．已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________。

14．已知0a >，函数()()()2220220x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩。

若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________。

三．解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 。

已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

⑴求角B 的大小；⑵设2a =，3c =，求b 和()sin 2A B -的值。

16．（本小题13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。

⑴应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人⑵若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。

①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率。

17．（本小题13分）如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===。

⑴若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；⑵求二面角E BC F --的正弦值；⑶若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为060，求线段DP 的长。

18．（本小题13分）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列。

已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+。

⑴求{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵设数列{}n S 的前n 项和为n T ，①求n T ；②证明：()()()22122122n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑。

19．（本小题14分）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B。

已知椭圆的离心率为A 的坐标为(),0b，且||||FB AB ⋅=。

⑴求椭圆的方程；⑵设直线l ：()0y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q。

若||sin ||4AQ AOQ PQ = (O 为原点)，求k 的值。

20．（本小题14分）已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >。

⑴求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；⑵若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明：()122ln ln ln ax g x a+=-；⑶证明：当1e a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()y g x =的切线。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）解答一．选择题 BCBAD ACA 二．填空题 9．4i -；10．52；11．112；12．12；13．14；14．()4,8 15．解：⑴由正弦定理sin sin a b A B =可得sin sin a B b A =，故由题可得sin cos 6a B a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得tan 3B =。

又因为()0,B π∈，所以3B π=；⑵由余弦定理可得2222cos 7b a c ac B =+-=，故7b =。

又sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故3sin 7A =。

因a c <，故cos 7A =，从而43sin 22sin cos A A A ==，21cos 22cos 17A A =-=，所以()33sin 2sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=。

16．解：⑴由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人；⑵①X 的可能取值为0,1,2,3，()()343370,1,2,3k kC C P X k k C -===，所以，随机变量X 的分布列如右表所示，随机变量X 的数学期望112184120123353535357EX =⋅+⋅+⋅+⋅=； ②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A B C =，且B 与C 互斥，由①知，()()2P B P X ==，()()1P C P X ==，故所求概率()()()()67P A P B C P B P C ==+=。

17．解：依题意，可以建立以D 为原点，分别以,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0D ，()2,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,2E ，()0,1,2F ，()0,0,2G ，()0,32,1M ，()1,0,2N 。

⑴由题()0,2,0DC =，()2,0,2DE =。

设(),,n x y z =是平面CDE 的法向量，则00n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z =⎧⎨+=⎩，取1z =-得()1,0,1n =-。

又()1,32,1MN =-，故0MN n ⋅=。

又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以//MN 平面CDE ；X 01 2 3P135 **** **** 435⑵由题()1,0,0BC =-，()1,2,2BE =-，()0,1,2CF =-。

设()1111,,n x y z =是平面BCE 的法向量，则1100n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，取11z =得()10,1,1n =。

设()2222,,n x y z =是平面BCF 的法向量，则220n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222020x y z -=⎧⎨-+=⎩，取21z =得()20,2,1n =。

故121212310cos ,||||n n n n n n ⋅==，从而1210sin ,n n =E BCF --； ⑶设线段DP 的长为()02h h ≤≤，则()0,0,P h ，故()1,2,BP h =--。

易知，()0,2,0DC =为平面ADGE 的一个法向量，故|||cos ,|||||BP DCBP DC BP DC h ⋅==0sin60==，解得h =。

所以线段DP 。

18．解：⑴设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d 。

则由13212a a a =⎧⎨=+⎩得220q q --=，因0q >，故2q =，从而12n n a -=。

由4355462a b b a b b =+⎧⎨=+⎩得113431316b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，故n b n =。