数学：11.2《三角形全等的判定》(第4课时)课件(人教新课标八年级上)
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12.2三角形全等的判定第4课时斜边、直角边(HL)教案2021-2022学年人教版数学八年级上册
12.2 三角形全等的判定第4课时斜边、直角边（HL）一、教学目标1.掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”（即“HL”）．2.会运用“HL”解决一些简单的实际问题和推理证明问题.二、教学重难点重点“斜边、直角边”的探究及其运用.难点灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，并注意“HL”与其他判定方法的区别与联系.重难点解读“HL”是直角三角形特有的判定方法，对于一般三角形不适用.“HL”实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不适用，因此在“HL”使用过程中要突出直角三角形这个条件.三、教学过程活动1 旧知回顾1.如图，在Rt△ABC中，直角边是________，________，斜边是________.2.我们学过的判定两个三角形全等的方法有：________，________，________，________.活动2 探究新知1.教材第41页思考.提出问题：（1）判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点.（2）对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？2.教材第42页 探究5.提出问题：（1）你能画出Rt △A ′B ′C ′吗？怎么画？用什么方法？（2）将画好的Rt △A ′B ′C ′剪下，比一比，看一看，它能否与Rt △ABC 重合？（3）根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？ 活动3 知识归纳提出问题：（1）判定两个直角三角形全等的特殊方法是什么？它对一般的三角形是否适用？（2）归纳判定两个直角三角形全等的方法.1． 斜边 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ HL ”.2.判定两个直角三角形全等的方法有 SSS ， SAS ， ASA ， AAS ，HL .HL 只适用于 直角三角形 ，对于一般三角形不适用.活动4 典例赏析及练习例 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD=CB.求证：AD ∥BC.【答案】证明：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD=∠CDB=90°（垂直的定义）.在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，,,AD CB BD DB ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）.∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.练习：1.下列语句中不正确的是（ C ）A.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等B.有两边对应相等的两个直角三角形全等C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等D.有一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF，下列结论错误的是（ D ）A.DF∥AEB.∠C=∠BC.CF=BED.∠A+∠D=90°活动5 课堂小结1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形.2.证明两个直角三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意SSA 和AAA不能判定两个三角形全等.四、作业布置与教学反思。
人教版数学八年级上册 第4课时 “斜边、直角边”
∠DAC＝∠EAB，
AC＝AB ，
A
∴△ACD≌△ABE (AAS). ∴ AD＝AE. 在Rt△AOD 和Rt△AOE 中，
OA＝OA， AD＝AE， Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). ∴ ∠DAO＝∠EAO. ∴ AO 平分∠CAB.
C
B
O
E
D
A
当堂小结 内容
“斜边、 直角边”
前提 条件
C′
典例精析
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D， AC = BD. 求证 BC = AD.
分析： 已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD D 求证 BC = AD. 求证 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). A
C B
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
△ABF≌△ACF
探究新知
知识点：直角三角形全等的判定 (“斜边、直角边”定理)
想一想
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，
还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
A′
B
C B′
C′
想一想
Hale Waihona Puke AA′如图，已知∠ACB = ∠A′C′B′ =
90°，添加下列条件是否使这两个直
角三角形全等？为什么？ 1. 斜边和一个锐角分别相等
分析：连接 AB.
D
HL
Rt△BAC≌Rt△ABD A AC ＝ BD
C P
B
变式2 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. A
分析： HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB＝∠CBD
人教版数学八年级上册第四课时 三角形全等的判定(HL)课件
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
13
能力提升
7 ． 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB ＝ 90° ， E 是 AB 上 一 点 ， 且 BE ＝ BC ， 过 点 E 作
DE⊥AB交AC于点D，如果AC＝5 cm，则AD＋DE等于
(C)
A．3 cm
B．4 cm
△ACD(AAS)，∴AE＝AD．在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中，AAOD＝ ＝AAEO，，∴Rt△ADO ≌Rt△AEO(HL)，∴∠DAO＝∠EAO，即 AO 恰好平分∠BAC．
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
19
思维训练
13．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B、C向过点A 的直线作垂线，垂足分别为点E、F.
15
9．如图，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝40°，则∠EAC＝ ________. 25°
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
16
10．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.若∠ABC＝35°， 求∠CAO的度数．
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
11
5．如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD．求证：∠ABE＝
∠BAE.
证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形．在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，AABC＝ ＝BBAD，， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴∠ABE＝∠BAE.
人教初中数学八上 《三角形全等的判定HL(第4课时)》课件 (高效课堂)获奖 人教数学20222
探索新知
追问3 你能用数学语言概括前面的结论吗？
成轴对称的两个图形的性质：
如果两个图形关于某条
直线对称，那么对称轴是任A
M
何一对对应点所连线段的垂 P
直平分线．即对称点所连线
段被对称轴垂直平分；B对称 轴垂直平分对称点所连线段．
CN
A′
B′ C′
探索新知
问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结
不能直接证AB＝CD.应当思考两次全等.
证明：①∵BE∥DF， ∴∠1＝∠2. ∠1＝∠2
在△BOE和△DOF中， ∠3＝∠4（对顶角相等）, OB＝OD
∴△BOE≌△DOF（AAS）.
∵OE＝OF，又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF， OB＝OD
∴OA＝OC. 在△AOB和△COD中， ∠3＝∠4
证明：∵CE＝BF， ∴CE－EF＝BF－EF， ∴CF＝BE. AB＝CD 在Rt△ABE和Rt△DCF中， BE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， ∴AE=DF.
例2：如图，BE∥DF，OB＝OD， AE＝CF.求证：①AB＝CD；②AB∥CD.
解析：由已知条件可得△BOE≌△DOF，
∴△AOB≌△COD（SAS），
OA＝OC，
∴AB=CD.
例2：如图，BE∥DF，OB＝OD， AE＝CF.求证：①AB＝CD；②AB∥CD.
解析：由已知条件可得△BOE≌△DOF， 不能直接证AB＝CD.应当思考两次全等.
证明：②∵△AOB≌△COD（已证）， ∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD.
C
D 8
他条件不变，上述结论还成
立B吗？
B′
C N C′
探索新知
人教八年级数学上册《三角形全等的判定HL(第4课时)》课件
A
B
C
▪1、teacher affects eternity; he can never tell where his influence stops.教师的影响是永恒的;无法估计他的影响会有多 深远。
▪2、gladly would learn, and gladly teach.勤于学习的人才能乐意施教。 ▪3、is not the filling of a pail but the lighting of a fire. ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、be unboun than untaught, for ignorance is the root of misfortune与其不受教育，不知不生，因为无知是不幸的根源。
12.2 三角形全等的判定
第4课时 直角三角形全等的判定 （四） （HL）
课件说明
▪ 本节课是在学生学习了“SSS、SAS、ASA、AAS” 四种三角形全等判定方法的基础上，探究直角三角 形全等的一种特殊判定方法“HL”．
课件说明
• 学习目标： 1．探索并理解“HL”判定方法． 2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．
6、does not mean teaching people to kow what they do not know ; it means teachng them to behave as they do not behave. 教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。2021年11月2021/11/252021/11/252021/11/2511/25/2021
• 学习重点： 理解并运用“HL”判定方法．
创设情境引出“HL”判定方法
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
B
C
▪1、teacher affects eternity; he can never tell where his influence stops.教师的影响是永恒的;无法估计他的影响会有多 深远。
▪2、gladly would learn, and gladly teach.勤于学习的人才能乐意施教。 ▪3、is not the filling of a pail but the lighting of a fire. ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、be unboun than untaught, for ignorance is the root of misfortune与其不受教育，不知不生，因为无知是不幸的根源。
12.2 三角形全等的判定
第4课时 直角三角形全等的判定 （四） （HL）
课件说明
▪ 本节课是在学生学习了“SSS、SAS、ASA、AAS” 四种三角形全等判定方法的基础上，探究直角三角 形全等的一种特殊判定方法“HL”．
课件说明
• 学习目标： 1．探索并理解“HL”判定方法． 2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．
6、does not mean teaching people to kow what they do not know ; it means teachng them to behave as they do not behave. 教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。2021年11月2021/11/252021/11/252021/11/2511/25/2021
• 学习重点： 理解并运用“HL”判定方法．
创设情境引出“HL”判定方法
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
人教版八年级数学上册12.2《三角形全等的判定》【教学课件】 (共25张PPT)
D
E
B
C
知识点详解
探索“HL”判定方法
任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇
，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的
Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
B
画法： （1） 画∠MC＇N =90°； （2）在射线C＇M上取B＇C＇=BC； （3） 以B＇为圆心，AB为半径画弧，
证明：∵ D 是BC 中点，
A
∴ BD =DC
在△ABD 与△ACD 中，
AB =AC ，
∵
BD =CD ，
B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌△ACD （ SSS ）。
知识点详解
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， ∠A‘=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等），把 画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？ 画法： （1） 画∠DA′E =∠A；
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一 定全等。
知识点详解
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？ ①两边； ②一边一角； ③两角.
知识点详解
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等。
知识点详解
②三角形的一条边为4cm，一个内角为30°时
画法: （1）画线段B′C′=BC ； （2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC 为半径画弧，两
弧交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′Ｃ′。
知识点详解
八年级数学上册三角形全等的判定第4课时利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等课件
B.2
C.3
D.4
关闭
关闭
C
解析 答案
1
2
3
4
5
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,给出下列结论:① △ABD≌△ACD;②D为BC的中点;③AD平分∠BAC,其中正确的 是 .(填序号)
①②③
关闭
答案
1
2
3
4
5
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB于点E,AC=AE. 若∠CDA=60°,则∠BDE= .
学前温故
新课早知
判定三角形全等的方法有:(1)定 义,(2) SSS ,(3) SAS ,(4) ASA ,(5) AAS
.(填字母简写)
学前温故
新课早知
1.直角三角形全等的判定:斜边和一条直角边分别 相等 两个直角三角形全等(可以简写成“ 斜边、直角边 ”或 “ HL ”). 2.下列条件不能判断两个直角三角形全等的是 ( ). A.有两条直角边对应相等 B.有两个锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.斜边和一个锐角对应相等
在 Rt△DAB 和 Rt△DAC 中, ������������ = ������������, ������������ = ������������, ∴Rt△DAB≌Rt△DAC(HL). ∴∠DAB=∠DAC,即 AD 平分∠BAC.
答案
相等的角),又可用“HL”判定,这些条件中至少有一对相等的边.
的
关闭
直角三角形全等既可以用一般三角形全等的判定方法(直角作为一对
关闭
B
解析 答案
利用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等 【例题】 如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于 点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
数学：《11.2三角形全等的判定》课件四(人教版八年级上)
D A C B E
练习
2. 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.
C D
F
E
A
B
小结
1. 学习了HL. 2. 由实践证明HL是真命题.
作业
课本15页习题11.2第6，7题
三角形全等的判定
思考
对于两个直角三角形，除了直角相等 的条件，还要满足几个条件，这两个直角 三角形就全等了？
D
A
B
C
E
Fபைடு நூலகம்
对于两个直角三角形，如果满足，斜 边和一条直角边对应相等，这两个直角三 角形全等吗？
A D
B
C
E
F
探究8
任意画出一个Rt△ABC，
使∠C=900，再画一个Rt△A/B/C/，
使∠C/=900 ，A/B/=AB，B/C/=BC， 把画好的Rt△A/B/C/剪下，放到
Rt△ABC上，它们全等吗？
画法
画一个Rt△A/B/C/，使∠C/=900 ，A/B/=AB， B/C/=BC：
1. 画∠DC/ E= 900 .
2. 在射线C/ D上截取C/B/＝CB.
3. 以B/为圆心，AB为半径画弧，交射线C/ E于点A/.
4. 连结B/A/.
△A/B/C/就是所要画的三角形. 问：通过实验可以发现什么事实？
规律
探究8反映的规律是： 有斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等(简写成 “斜边、直角边”或“HL”）.
例题解析
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
练习
1. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时 出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走， 并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB， D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
练习
2. 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.
C D
F
E
A
B
小结
1. 学习了HL. 2. 由实践证明HL是真命题.
作业
课本15页习题11.2第6，7题
三角形全等的判定
思考
对于两个直角三角形，除了直角相等 的条件，还要满足几个条件，这两个直角 三角形就全等了？
D
A
B
C
E
Fபைடு நூலகம்
对于两个直角三角形，如果满足，斜 边和一条直角边对应相等，这两个直角三 角形全等吗？
A D
B
C
E
F
探究8
任意画出一个Rt△ABC，
使∠C=900，再画一个Rt△A/B/C/，
使∠C/=900 ，A/B/=AB，B/C/=BC， 把画好的Rt△A/B/C/剪下，放到
Rt△ABC上，它们全等吗？
画法
画一个Rt△A/B/C/，使∠C/=900 ，A/B/=AB， B/C/=BC：
1. 画∠DC/ E= 900 .
2. 在射线C/ D上截取C/B/＝CB.
3. 以B/为圆心，AB为半径画弧，交射线C/ E于点A/.
4. 连结B/A/.
△A/B/C/就是所要画的三角形. 问：通过实验可以发现什么事实？
规律
探究8反映的规律是： 有斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等(简写成 “斜边、直角边”或“HL”）.
例题解析
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
练习
1. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时 出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走， 并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB， D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
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因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ 乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨， 运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为 10300吨．
练习 从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调 水，其中甲地需水15万吨，乙地需 水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出 水14万吨．从Ａ地到甲地50千米， 到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60 千米，到乙地45千米．设计一个调 运方案使水的调运量（万吨· 千米） 最少．
11．2．2 一次函数(三)
例1 小芳以200米／分的速度起跑后， 先匀加速跑5分钟，每分提高速度20 米／分，又匀速跑10分钟．试写出 这段时间里她跑步速度y（米／分） 随跑步时间x（分）变化的函数关系 式，并画出图象．
解：y=20 ຫໍສະໝຸດ 200 300(0 x 5) (5 x 15)
例2 Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料 300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、 Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料 费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ 城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每 吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240 吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运 总运费最少？
若设Ａ──Ｃx吨，则： 由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ， 200─x吨． 由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x 吨． 由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ， 260─200+x吨． 那么，各运输费用为： Ａ──Ｃ 20x Ａ──Ｄ 25（200-x） Ｂ──Ｃ 15（240-x） Ｂ──Ｄ 24（60+x）
解答：设总调运量为y万吨· 千米，Ａ水库调往甲地 水x万吨，则调往乙地（14-x）万吨，Ｂ水库调往甲 地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨． 由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的 函数为： y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）． 化简得：y=5x+1275 （1≤x≤14）． 由解析式可知：当x=1时，y值最小，为 y=5×1+1275=1280． 因此从Ａ水库调往甲地1万吨水，调往乙地13万 吨水；从Ｂ水库调往甲地14• 万吨水，调往乙地0万 吨水．此时调运量最小，调运量为1280万吨· 千米．
若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条 件不变，又该怎样调运呢？ Ａ──Ｃ x吨 Ａ──Ｄ 300-x吨 Ｂ──Ｃ 240-x吨 Ｂ──Ｄ x-40吨 函数关系式为： y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24 （x-40）． 化简：y=4x+10140 （40≤x≤300）． 由解析式可知： 当x=40时 y值最小为 y=4×40+10140=10300
．课后作业 习题11．2─7、9、11、1题．
； / 聚星娱乐
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醉方休哇！但憨子说，不能喝醉了，喝醉了就不知道高兴了！”耿老爹说：“等着哇，给娃娃们办喜事的时候，咱哥仨一定喝 他个一醉方休！”董家成说：“好，到时候一定不醉不休！”二壮说：“耿叔，俺爹今儿个实际上已经是半醉了。你看他，都 话长了！”妞儿也说：“是啊耿叔，俺娘已经说了，一回去就给他吃几个凉梨儿醒酒呢！”耿老爹笑着说：“不至于，不至 于！”随即又问董家成：“家成哥再来家里坐坐？咱哥儿俩接着拉呱！”二壮赶快拉住他爹往家里拽，连声说：“不行不行， 俺娘真得说要给俺爹醒酒来着！”那边门里刘氏果真探出头来了，还说：“他叔哇，快叫这醉鬼回家来哇，俺已经给他洗了仨 凉梨儿了。他没有酒量，还想逞强！”郭氏笑了，说：“快让家成哥回去哇，要不二壮又要挨他娘的骂了！”耿老爹这才发现， 被二壮拽着往家里拉的董家成果真有些脚步不稳了，就对二壮说：“快扶你爹回去哇！”妞儿对站在身旁的耿兰说：“兰兰， 你不是要看俺绣的花鞋垫吗？把粉条给婶儿拿回去，你现在就来俺家看哇！”耿兰却说：“明儿个再看哇，俺今儿个想和爹和 哥哥姐姐们拉呱去呢！”妞儿拍打一下自己的嘴巴，说：“看俺这嘴，真是！耿叔，婶儿，你们快回去哇，兰兰好不容易盼回 爹和哥哥姐姐了，还有这个新哥哥！俺也回去了！”话音刚落，人就已经蹿回那边院门儿里去了。耿老爹笑着说：“这妞儿， 还像小时候一样顽皮！”郭氏说：“咱们也回家哇，你们都累了，是应该歇息歇息呢！”尚武一边进院门儿，一边好奇地对耿 兰说：“这妞儿说，我是你的新哥哥！”耿兰歪着头说：“她说得没有错，你就是俺的新哥哥啊！”尚武点点头，说：“也是， 我就是你的新哥哥！”又转头对正在虚掩院门儿的郭氏说：“义母啊，我想叫我义父和您‘爹’和‘娘’呢！这义父、义母的 多不顺口啊。您同意吗？”郭氏说：“怎么会不同意呢，当然同意啦！就和你哥哥姐姐和妹妹一样叫哇！”尚武高兴地说“娘， 太好啦！我就喜欢这样叫呢！”耿老爹拍拍尚武的肩膀对妻子说：“这娃儿老早就叫了俺三年多‘爹’了！他叫顺嘴了，俺也 听顺耳了！唉，说来话长嘞，等俺以后慢慢和你说哇！”郭氏说：“虽然俺今儿个第一次见这娃儿，可俺打心眼儿里喜欢呢！ 俺看出来了，你大概是经历了天大的磨难了。不着急的，咱以后慢慢说哇！看到你们都平安地回来了，俺这悬了快十年的心啊， 就落到肚子里啦！还有啊，俺还多了这么好的一个老儿子，高兴着呢！”尚武也说“娘猜得对，我爹是经历了天大的磨难呢。 不过啊，我爹要是没有经历那些个磨难，娘您就不可能会有我这个老儿子了！”郭氏说：“这大概就是人们常说的‘因祸得福’ 哇，那俺就该好好儿谢谢苍天了！人说苍天有眼，看来还真
若总运输费用为y的话，y与x关系为： y=20x+25（200-x）+ 15（240-x）+24（60+x）． 化简得： y=40x+10040 （0≤x≤200）． 由解析式或图象都可看出，当 x=0时，y值最小，为10040． 因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨， 运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ 乡240吨，• 运往Ｄ乡60吨．此 时总运费最少，为10040元．