浙江省杭州学军中学2016届高三5月高考模拟考试数学(文)(word版)

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浙江省杭州市学军中学2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷(文科）一、选择题:(本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集U=｛1，2,3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B)=（）A．｛1，2,5,6｝B．{1｝ C．｛2} D．{1，2,3，4}2．函数y=ax2+a与y=(a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．“a≠1且b≠﹣1”是“a+b≠0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要4．要得到函数y=cos（π﹣2x）的图象，只需要将函数的图象(）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．36．不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1，2］及y∈[1，3］恒成立,则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x)，当x∈(0,1]时，f（x）=1﹣2|x ﹣｜，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（)A．5 B．6 C．7 D．98．定义区间[x1，x2］长度为x2﹣x1,（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是［m，n]，则区间[m，n］取最大长度时a的值为(）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3二、填空题：9．已知函数f（x）=log2（4﹣x2）的定义域为,值域为，单调递增区间为．10．已知函数y=Asin（wx+j)（A＞0,w＞0，|j｜＜)的图象如图所示，则A=,w=，j=．11．设函数f(x)=则f（﹣log32）=；若f（f(t））∈［0,1］，则实数t的取值范围是．12．在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC,cosA=10cosBcosC,则tanA=;sin2A=．13．已知二次函数f（x）=﹣+x，其定义域和值域分别为[m,n]和[3m，3n］(m＜n)，则m﹣n=．14．用C（A）表示非空集合A中的元素，定义A*B=,若A=｛1，2｝，B={x|(x2﹣mx）（x2+mx﹣2)=0｝，且A*B=1,则实数m的所有可能取值为．15．已知函数f(x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3，若对任意的x∈［t,t+2］，不等式f（x+t）≥2f（x)恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：16．已知c＞0，设命题p:函数y=c x为减函数．命题q：函数f（x）=cx2﹣x+c在区间上恒大于零．若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．17．已知点是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx﹣图象的一个对称中心．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间;(3)求f（x）在闭区间上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．18．函数f(x）=2ax2﹣2bx﹣a+b(a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b(1）若时,求f（sinθ）的最大值;（2）设a＞0时，若对任意θ∈R,都有|f(sinθ）｜≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f(x)的表达式．19．已知函数f t（x）=cos2x+2tsinxcosx﹣sin2x（1)若，试求sin2α的值．（2）定义在上的函数g（x）的图象关于x=对称,且当x≤时,g（x）的图象与（x）的图象重合．记Mα={x|g（x）=α｝且Mα≠∅，试求Mα中所有元素之和．20．已知a，b是实数，函数f（x）=x｜x﹣a|+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间;（2)若存在a∈[﹣3，5］，使得函数f（x）在［﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．2015—2016学年浙江省杭州市学军中学高三(上）第二次月考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集U={1，2，3，4,5，6｝A=｛1，2},B={2，3，4｝，则A∩(∁U B）=（）A．｛1,2，5，6｝B．{1} C．｛2｝ D．{1，2，3，4｝【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B=｛1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1,5，6}={1｝．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2．函数y=ax2+a与y=(a≠0）在同一坐标系中的图象可能是(）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】计算题．【分析】由二次函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于Y轴对称，然后分当a＞0时和a＜0时两种情况，讨论函数y=ax2+a的图象与函数y=（a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【解答】解：由函数y=ax2+a中一次项系数为0,我们易得函数y=ax2+a的图象关于Y轴对称，可排除A；当a＞0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0,a)点在X轴上方，可排除C;当a＜0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝下,顶点（0,a）点在X轴下方，函数y=（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B；故选D【点评】本题考查的知识点是函数的表示方法3﹣图象法,熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键．3．“a≠1且b≠﹣1"是“a+b≠0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想;简易逻辑．【分析】由于“a≠1且b≠﹣1"与“a+b≠0”相互推不出,即可判断出关系．【解答】解：“a≠1且b≠﹣1”与“a+b≠0”相互推不出，因此“a≠1且b≠﹣1”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．要得到函数y=cos(π﹣2x）的图象，只需要将函数的图象(）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题;转化思想;数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】把式子x的系数提取出来,原函数的图象向右平移就是在x上减去,得到要求函数的图象．【解答】解:y=cos［2(x﹣）﹣］=cos（2x﹣π）=cos（π﹣2x）的图象，故向右平移可得函数y=cos（π﹣2x）的图象．故选:B．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,图象的平移，是左加右减,若x 的系数不为1，则一定要提取出来,y=Acos(ωx+φ）的图象向右平移θ个单位，得到图象的解析式为y=Acos[ω(x﹣θ)+φ］,本题属于中档题．5．已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．3【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再根据tan（α﹣β）=﹣，利用两角差的正切公式求得tanβ的值．【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣,∴tanβ=3，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用,属于基础题．6．不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈［1，2］及y∈［1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式等价变化为，则求出函数的最大值即可．【解答】解：不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为，设t=，∵x∈［1，2］及y∈[1,3]，∴，即，∴，则,∵,当且仅当t=，即t=时取等号．但此时基本不等式不成立．又y=t在[]上单调递减，在[，3]上单调递增，∵当t=时，，当t=3时，t．∴的最大值为．∴a．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f(x）=x+图象的单调性以及应用．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f(x+2）=f（x)，当x∈(0，1]时,f(x)=1﹣2|x﹣｜，则函数g（x）=f［f(x）]﹣x在区间[﹣2,2]内不同的零点个数是（）A．5 B．6 C．7 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想;数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，为周期为2的函数，求得一个周期的解析式和图象,由图象平移可得[﹣2，2]的图象，得到y=f（f（x）)的图象，作出y=x的图象，由图象观察即可得到零点个数．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数,且f（x+2）=f（x）,即有函数f(x）关于原点对称，周期为2，当x∈（0，1］时，f（x)=1﹣2｜x﹣｜，即有当x∈［﹣1，0)时，f（x）=﹣1+2｜x+｜，由图象的平移可得在区间［﹣2，2］内的函数f(x）的图象,进而得到y=f(f（x））的图象,作出y=x的图象，由图象观察，可得它们有5个交点,故零点个数为5．故选：A．【点评】本题考查函数和方程的关系，考查函数的性质和运用,主要考查奇偶性和周期性、对称性的运用，属于中档题．8．定义区间［x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1）,已知函数f（x）=(a∈R，a≠0）的定义域与值域都是［m，n],则区间［m，n］取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a)x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2(a+3）（a﹣1)＞0,a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解:设［m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0,［m，n］⊆（﹣∞，0)或［m，n]⊆(0，+∞），故函数f（x）=﹣在［m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m,n同号，只需△=a2（a+3)(a﹣1)＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==,n﹣m取最大值为．此时a=3，故选:D【点评】本题考查了函数性质的方程的运用，属于中档题，分类讨论思想的运用,增加了本题的难度，解题时注意．二、填空题：9．已知函数f（x)=log2（4﹣x2）的定义域为（﹣2,2），值域为(﹣∞，2]，单调递增区间为(﹣2,0）．【考点】复合函数的单调性;函数的定义域及其求法;函数的值域．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；再由二次函数的值域,结合对数函数的单调性，可得值域；再由复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求增区间．【解答】解：由4﹣x2＞0，解得﹣2＜x＜2，即定义域为(﹣2，2）；又0＜4﹣x2≤4，即有f（x)=log2（4﹣x2）≤log24=2,则值域为（﹣∞,2];令t=4﹣x2，y=log2t，由t在（﹣2,0）递增,y=log2t在t＞0递增,即有f（x）的增区间为（﹣2，0)．故答案为：（﹣2，2），（﹣∞,2］，(﹣2，0)．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的定义域和值域，以及单调区间的求法，注意运用复合函数的单调性：同增异减，属于中档题．10．已知函数y=Asin（wx+j）(A＞0，w＞0，|j|＜)的图象如图所示,则A=，w= 2,j=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；定义法;三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的最值求出A，根据函数的周期求出w，利用特殊点的坐标求出j，即可．【解答】解:由图象知A=，函数的周期T=2×()=2×=π，即=π，∴w=2，则y=sin(2x+j），当x=时，y=sin(2×+j）=0，则sin（+j）=0,即+j=kπ,即j=kπ﹣，∵|j｜＜，∴当k=1时,j=π﹣=﹣，故答案为:【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象进行求解是解决本题的关键．11．设函数f（x)=则f(﹣log32）=；若f（f（t））∈［0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由﹣1≤﹣log32≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（﹣log32）；通过t的范围，求出f(t）的表达式,判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解:由﹣1≤﹣log32≤1,则f(﹣log32)===，当t∈［﹣1，1］，所以f（t）=3t∈[，3]，又函数f(x)=则f(f(t)）=3(不成立）或f（f(t）=﹣•3t，因为f（f（t））∈［0,1],所以0≤﹣•3t≤1，即≤3t≤3,解得：log3≤t≤1，又t∈[﹣1,1]，由于t=1,f（1）=3，f（f（1））不成立，则实数t的取值范围[log3，1）；当1＜t＜3时，f(t）=﹣•t∈(0，3），由于f（f(t））∈［0，1]，即有0≤≤1或0≤﹣•（﹣t）≤1,解得t∈∅或1≤t≤．即有t的取值范围为（1，]．综上可得t的范围是．故答案为：，．【点评】本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．12．在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC，则tanA=11；sin2A=．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想;分析法；三角函数的求值．【分析】由已知，将两式相减，利用两角和与差的三角函数公式，同角三角函数基本关系式即可化简．【解答】解:因为在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC,两式相减得sinA﹣cosA=﹣10cos（B+C）=10cosA，所以sinA=11cosA，所以tanA=11；所以sin2A====．故答案为：11，．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用，考查了计算能力,属于基础题．13．已知二次函数f(x)=﹣+x，其定义域和值域分别为[m,n］和[3m，3n]（m＜n）,则m﹣n=﹣4．【考点】二次函数的性质．【专题】方程思想；转化思想;函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的定义域和值域分别为［m，n］和[3m，3n],我们易判断出函数在［m，n］的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．【解答】解:f(x）=﹣x2+x=﹣（x﹣1)2+≤．如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤，∴n≤．从而m＜n≤＜1,而x≤1，f（x）单调递增，∴，可解得m=﹣4,n=0满足要求．∴m﹣n=﹣4，故答案为：﹣4【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．14．用C(A）表示非空集合A中的元素，定义A＊B=，若A=｛1，2｝，B={x|（x2﹣mx)（x2+mx﹣2）=0｝,且A＊B=1,则实数m的所有可能取值为0，﹣1,1．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】根据A=｛1，2｝,B={x｜（x2﹣mx）（x2+mx﹣2）=0}，且A*B=1，可知集合B是三元素集合,然后对方程｜x2+mx﹣2|=0的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值【解答】解：由于（x2﹣mx）（x2+mx﹣2）=0等价于x2﹣mx=0①或x2+mx﹣2=0②，又由A=｛1，2｝，且A*B=1，∵方程②的判别式为m2+8＞0恒成立，∴②有两个不等实根,∴集合B是三元素集合，则方程①有两相等实根，②有两个不相等且异于①的实数根，或者方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，所以m=0；或者重根是x=m,代入方程（2)的x1+x2=﹣m中可得其中一个根为﹣2m，又因为x1•x2=﹣2∴﹣2m．m=﹣2，则m2=1，m=±1综上m可能取值为0，﹣1，1．故答案为：0，﹣1，1．【点评】此题考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．15．已知函数f（x）满足f(x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时,f(x）=x3,若对任意的x∈[t，t+2］，不等式f（x+t）≥2f(x）恒成立，则实数t的取值范围是［，+∞）．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件确定函数是奇函数,求出函数f（x)的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．【解答】解：由f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1）,得f（x0）=﹣f（﹣x﹣1+1)=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，若x＞0,则﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x)，即f（x）=x3，（x＞0），综上f（x）=x3，则不等式f（x+t）≥2f(x）等价为不等式f（x+t）≥f（x），∵f（x)=x3，为增函数，∴不等式等价为x+t≥x在x∈［t，t+2]恒成立,即：t≥(﹣1)x，在x∈［t，t+2］恒成立，即t≥（﹣1）（t+2），即（2﹣）t≥2（﹣1），则t≥=，故实数t的取值范围[，+∞)，故答案为：［，+∞）【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性求出函数的表达式以及判断函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：16．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数．命题q：函数f（x）=cx2﹣x+c在区间上恒大于零．若命题“p∨q"为真命题，命题“p∧q”为假命题,求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法;简易逻辑．【分析】分别求出p,q为真时的c的范围，根据p,q一真一假得到关于c的不等式组，解出即可．【解答】解:由命题p为真可知，0＜c＜1，由命题q为真可知，或或△=1﹣4c2＞0,∴，由题意得，p，q一真一假,∴或，∴．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数、指数函数的性质，是一道基础题．17．已知点是函数f（x)=(asinx+cosx)cosx﹣图象的一个对称中心．(1)求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间;（3）求f(x）在闭区间上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．【考点】三角函数的最值．【专题】函数思想;整体思想；数形结合法；三角函数的求值．【分析】（1)由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x+cos2x,由对称性可得a值；(2）由（1）化简解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得；（3)由x∈可得2x+∈[﹣，］，易得函数的最值．【解答】解：（1)由三角函数公式化简可得：f（x）=asinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x∵f（x）关于点对称，∴解得；（2）由(1）化简可得，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得，∴函数f（x)的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（3)∵x∈,∴2x+∈［﹣，]，∴当2x+=﹣即x=﹣时，函数取最小值当2x+=即x=时，函数取最大值．【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的对称性和单调性以及最值，属中档题．18．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0)，g（x）=2ax﹣2b（1）若时,求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有｜f(sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2,求f （x)的表达式．【考点】复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】(1）令sinθ=t∈［0，1]，问题等价于求f（t)=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1］的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈［﹣1，1］，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．【解答】解:(1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t)=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈［0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上,二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则｜f（t）｜≤1可推得｜f(0)｜≤1，｜f(1）｜≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1］时，｜f（t）｜≤1，即﹣1≤f(t）≤1,结合f(0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0,﹣1)∴b=0,a=1，∴f（x)=2x2﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．19．已知函数f t(x）=cos2x+2tsinxcosx﹣sin2x（1)若，试求sin2α的值．（2）定义在上的函数g(x）的图象关于x=对称，且当x≤时,g（x）的图象与（x）的图象重合．记Mα={x|g(x）=α}且Mα≠∅，试求Mα中所有元素之和．【考点】二倍角的正弦;函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由倍角公式，降幂公式化简已知等式可得sinα+cosα=，两边平方，由倍角公式即可得解．（2)依题意得，,由,可求g(x）∈［﹣，2],记Mα中所有的元素之和为S，由图象及对称性分类讨论即可得解．【解答】(本题满分为15分）解：（1）∵由题意可得：，又∵,∴．（6分）(2）依题意得，，∵,∴,可得:g（x）∈［﹣，2］．记Mα中所有的元素之和为S，由图象及对称性得:当时，,当时,，当时，，当a=2时，．（15分）【点评】本题主要考查了倍角公式,降幂公式的应用,考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．已知a,b是实数，函数f(x）=x|x﹣a｜+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在a∈[﹣3，5]，使得函数f（x）在［﹣4,5］上恒有三个零点，求b的取值范围．【考点】函数零点的判定定理;分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论;函数的性质及应用．【分析】(1）化简可得,从而结合二次函数的单调性判断分段函数的单调性即可；（2）原命题可化为存在a∈[﹣3，5],使得b=﹣x|x﹣a｜有三个不同的实根；再令，从而分类讨论以确定g（x）的单调性,从而确定函数的极值及端点的函数值，从而比较求b的取值范围．【解答】解:（1）由题意得，，由二次函数的单调性知，f（x）在（﹣∞,1］上单调递增，在（1，2）上单调递减,在［2，+∞）上单调递增．（2）若存在a∈[﹣3，5］,使得函数f（x）在［﹣4，5］上恒有三个零点，则存在a∈［﹣3，5]，使得b=﹣x｜x﹣a｜有三个不同的实根；令，(ⅰ)当a=0时，g（x）在[﹣4，5]上单调递减，故b无解；（ⅱ）当﹣3≤a＜0时，g（x）在(﹣∞，a)上单调递减,在上单调递增，在上单调递减，∵g(﹣4）=4|4+a｜=16+4a,g（a）=0，，g（5）=5a﹣25,∴，g（a）﹣g（5）=25﹣5a＞0，∴，∴；（ⅲ）当0＜a≤5时，g（x)在上单调递减，在上单调递增，在［a，+∞）上单调递减,∵g(﹣4）=4|4+a｜=16+4a，,g(a）=0，g（5）=5a﹣25∴g（﹣4）﹣g（a)=16+4a ＞0，令g（)﹣g（5）==0,解得，a=10﹣10；①当时,，∴；②当时，5a﹣25≤b＜0，∴；综上可得,b的取值范围为50﹣75≤b＜且b≠0．【点评】本题考查了分段函数的应用及二次函数的单调性的应用,同时考查了分类讨论的思想应用．。

浙江省2016届高三数学考前模拟试卷(文科)(5月份) 含解析

2016年浙江省高考数学考前模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共8小题，每小题5分,满分40分）1．已知全集U=R,集合P={x｜x2﹣2x≤0}，Q={y｜y=x2﹣2x}，则P∩Q为（）A．［﹣1，2]B．[0，2］C．[0，+∞）D．[﹣1，+∞)2．设x＞0，则“a=1”是“x+≥2恒成立"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．为了得到函数的图象y=sin（3x+1）,只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是(）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若a∥α，α⊥β,则a⊥β5．设{a n}是等比数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3D．若a1＜0,则（a2﹣a1)(a2﹣a3）＞06．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M为BC边的中点,点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是(）A．两段圆弧B．两段椭圆弧C．两段双曲线弧D．两段抛物线弧7．如图，焦点在x轴上的椭圆+=1(a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若｜F1Q｜=4，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．设函数f（x)与g（x）的定义域为R,且f（x)单调递增，F（x）=f（x）+g(x)，G（x）=f(x)﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2)，不等式［f（x1）﹣f（x2)］2＞[g（x1）﹣g（x2）］2恒成立．则（)A．F（x),G（x）都是增函数B．F（x），G(x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x)是减函数D．F（x）是减函数，G(x）是增函数二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．函数f（x）=sin2x﹣cos（2x+)的值域为，最小正周期为,单调递减区间是．10．双曲线9x2﹣16y2=﹣144的实轴长等于，其渐近线与圆x2+y2﹣2x+m=0相切,则m=．11．已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm）,则此几何体的体积为,表面积为．12．已知函数f（x)=，若f(log2)+f[f（9)]=;若f（f（a）)≤1,则实数a的取值范围是．13．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则｜x+2y﹣2|+|6﹣2x﹣3y｜的最大值是．14．在△ABC中，CA=2，CB=6,∠ACB=60°．若点O在∠ACB的角平分线上，满足=m+n,m,n∈R，且﹣≤n≤﹣，则||的取值范围是．15．已知实数a，b满足:a≥，b∈R，且a+｜b｜≤1，则+b的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b，c,tan．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．(Ⅰ)求证：A1B⊥AD；(Ⅱ）若AD=AB=2BC,∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．18．对于任意的n∈N＊，数列{a n｝满足++…+=n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列｛a n}的前n项和为S n,求S n；（Ⅲ) 求证：对于n≥2,++…+＜1﹣．19．已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点,过点F的直线交抛物线于A，B 两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．(Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．20．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1](Ⅰ）当a=1时，函数f(x)在定义域内有两个不同的零点,求b的取值范围；（Ⅱ）记f(x)的最大值为M，证明：f（x)+M＞0．2016年浙江省高考数学考前模拟试卷（文科）（5月份)参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分,满分40分）1．已知全集U=R，集合P=｛x|x2﹣2x≤0｝，Q={y｜y=x2﹣2x｝，则P∩Q为（）A．［﹣1，2］B．[0，2］C．［0，+∞) D．［﹣1,+∞)【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合P，Q,根据交集的运算即可求出．【解答】解：x2﹣2x≤0，即x（x﹣2）≤0，解得0≤x≤2，∴P=［0，2］，y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴y≥﹣1，∴Q=［﹣1，+∞)，∴P∩Q=[0，2]，故选:B．2．设x＞0,则“a=1”是“x+≥2恒成立"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求命题“对任意的正数x，不等式x+≥2成立”的充要条件,再利用集合法判断两命题间的充分必要关系【解答】解：∵x＞0,若a≥1，则x+≥2≥2恒成立,若“x+≥2恒成立，即x2﹣2x+a≥0恒成立，设f(x）=x2﹣2x+a,则△=（﹣2)2﹣4a≤0，或，解得：a≥1，故“a=1”是“x+≥2“恒成立的充分不必要条件，故选：A．3．为了得到函数的图象y=sin（3x+1），只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】y=sin（3x+1)=sin3(x+)，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,得出结论．【解答】解：y=sin(3x+1）=sin3（x+）故把函数y=sin3x的图象上所有的点向左平移个单位长度,即可得到y=sin(3x+1），故答案为：C．4．设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是(）A．若a⊥b，a⊥α,b⊄α，则b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若a∥α，α⊥β,则a⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；若a⊥b,a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；若a⊥β，α⊥β,则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊊α,故C正确；若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选:D．5．设{a n｝是等比数列,下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0,则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2,则2a2＜a1+a3D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3)＞0【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列｛a n}的公比为q．A．由a1+a2＞0，可得a1（1+q)＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q），即可判断出正误；B．由a1+a3＜0，可得a1(1+q2）＜0，由a1＜0．则a1+a2=a1(1+q），即可判断出正误；C．由0＜a1＜a2，可得0＜a1＜a1q，因此a1＞0,q＞1．作差2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2，即可判断出正误；D．由a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3)=q（1﹣q）2，即可判断出正误．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q．A．∵a1+a2＞0，∴a1（1+q）＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q)＜0，因此不正确；B．∵a1+a3＜0,∴a1(1+q2）＜0，∴a1＜0．则a1+a2=a1(1+q）可能大于等于0或小于0，因此不正确；C．∵0＜a1＜a2，∴0＜a1＜a1q,∴a1＞0，q＞1．则2a2﹣(a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2＜0，因此正确；D．∵a1＜0，则（a2﹣a1)（a2﹣a3)=q（1﹣q）2可能相应等于0或大于0，因此不正确．故选：C．6．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,M为BC边的中点,点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（)A．两段圆弧B．两段椭圆弧C．两段双曲线弧D．两段抛物线弧【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；点、线、面间的距离计算．【分析】以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′,M等点的坐标,从而可求得cos∠MAC′，设设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ,继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线，即可得到答案．【解答】解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线;这个正圆锥面的中心轴即为AC′,顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′；以A点为坐标原点建立空间直角坐标系,则A（0，0，1），C′（1，1，0),M（，1，1),∴=（1，1,﹣1)，=(,1,0），∵cos∠MAC′====，设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，则cosθ====＞，∴θ＜∠MAC′，∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧；同理可知，P点在平面CDD′C′的交线是双曲线弧，故选C．7．如图，焦点在x轴上的椭圆+=1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若｜F1Q｜=4，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,根据切线长定理，可得｜PQ｜=｜F1M|﹣｜PF2｜，再结合|F1Q|=4，求得｜PF1|+|PF2|=8,即a=4,再由隐含条件求得c,则椭圆的离心率可求．【解答】解：如图，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得｜AM|=|AN|，|F1M|=|F1Q|，｜PN｜=|PQ|，∵|AF1|=｜AF2|，∴|AM｜+|F1M|=|AN｜+|PN|+|PF2|,∴｜F1M|=｜PN|+|PF2｜=|PQ|+|PF2|，∴｜PQ｜=|F1M｜﹣｜PF2｜,则｜PF1｜+|PF2|=｜F1Q｜+|PQ｜+|PF2｜=|F1Q｜+|F1M｜﹣|PF2｜+|PF2｜=2|F1Q｜=8，即2a=8,a=4，又b2=3,∴c2=a2﹣b2=13，则，∴椭圆的离心率e=．故选：D．8．设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增,F(x)=f（x）+g（x),G（x）=f （x）﹣g(x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2)，不等式［f（x1)﹣f（x2）]2＞［g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F(x），G（x)都是增函数B．F（x），G（x)都是减函数C．F（x)是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数,G（x）是增函数【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，可得出f(x1)﹣f（x2）＞g（x1）﹣g （x2)，且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g(x1）+g（x2），根据单调性的定义证明即可．【解答】解:对任意x1,x2∈R(x1≠x2）,不等式［f（x1）﹣f(x2）］2＞[g（x1)﹣g（x2）］2恒成立, 不妨设x1＞x2，f(x）单调递增，∴f（x1)﹣f(x2）＞g（x1）﹣g（x2）,且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），∴F(x1）=f（x1）+g（x1），F（x2）=f（x2）+g（x2），∴F(x1)﹣F（x2）=f（x1）+g（x1）﹣f（x2）﹣g(x2)=f（x1）﹣f（x2）﹣（g（x2）﹣g（x1）＞0，∴F（x）为增函数；同理可证G（x）为增函数,故选A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．函数f（x)=sin2x﹣cos（2x+）的值域为［]，最小正周期为π,单调递减区间是［］,k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象．【分析】展开两角和的余弦，再利用辅助角公式化积，从而求得函数的值域和周期，再由相位在正弦函数的减区间内求得x的范围得函数的单调减区间．【解答】解：∵f（x)=sin2x﹣cos（2x+）=sin2x﹣cos2xcos+sin2xsin=sin2x﹣+==．∴f（x）∈［];T=；由,得．∴f（x）的单调递减区间是[]，k∈Z．故答案为：［］，π，［]，k∈Z．10．双曲线9x2﹣16y2=﹣144的实轴长等于6，其渐近线与圆x2+y2﹣2x+m=0相切，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得实轴长2a，渐近线方程，求得圆的圆心和半径,运用直线和圆相切的条件:d=r，解方程可得m的值．【解答】解:双曲线9x2﹣16y2=﹣144即为﹣=1,可得a=3，b=4，c==5，实轴长为2a=6；渐近线方程为y=±x，即为3x±4y=0,圆x2+y2﹣2x+m=0的圆心为（1，0），半径为，由直线和圆相切可得=，解得m=．故答案为：6,．11．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积为，表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何体的体积,由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解:根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2,其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，∴几何体的体积V==，在△PEB中,PB==，同理可得PC=，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E,∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC,在△PCD中,PD===3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中,PF===，∴此几何体的表面积S=2×2+++=故答案为：；．12．已知函数f（x）=,若f(log2）+f［f（9）]=；若f(f（a）)≤1，则实数a的取值范围是,或a≥1．【考点】分段函数的应用；函数的概念及其构成要素．【分析】根据已知中函数f(x)=,代和计算可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log2）+f[f（9）］=f（﹣）+f(﹣2）=，若f（f（a)）≤1，则f（a）≤0,或f（a），∴，或a≥1，故答案为：，,或a≥1．13．已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|x+2y﹣2|+｜6﹣2x﹣3y|的最大值是3．【考点】绝对值三角不等式．【分析】根据题意，可得6﹣2x﹣3y＞0，直线x+2y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，由此去掉绝对值|x+2y﹣2｜+｜6﹣2x﹣3y|，求出对应解析式的最大值即可．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣2x﹣3y＞0，即｜6﹣2x﹣3y｜=6﹣2x﹣3y，如图所示,直线x+2y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方(含直线)，即有x+2y﹣2≥0，即｜x+2y﹣2|=x+2y﹣2,此时｜x+2y﹣2｜+｜6﹣2x﹣3y|=（x+2y﹣2)+（6﹣2x﹣3y）=﹣x﹣y+4，利用线性规划可得在A(0,1）处取得最大值3;在直线的下方(含直线)，即有x+2y﹣2≤0，即|x+2y﹣2｜=﹣(x+2y﹣2)，此时|x+2y﹣2｜+｜6﹣2x﹣3y｜=﹣（x+2y﹣2）+(6﹣2x﹣3y）=8﹣3x﹣5y，利用线性规划可得在A(0，1）处取得最大值3．综上可得，当x=0，y=1时,｜x+2y﹣2|+｜6﹣2x﹣3y|的最大值为3．故答案为：3．14．在△ABC中，CA=2，CB=6，∠ACB=60°．若点O在∠ACB的角平分线上，满足=m+n,m，n∈R，且﹣≤n≤﹣，则｜｜的取值范围是[,]．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可以点C为坐标原点，以边BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出A，B，C三点的坐标，并设，从而得出，进而便可得出向量的坐标，带入即可得到，这样消去m便可求出n=，从而由n的范围即可求出k的范围，即得出的取值范围．【解答】解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系,则：C（0，0)，；设，则；∴,；∴由得,；∴；①②联立消去m得:；∴；∵；∴;解得;∴的取值范围为．故答案为：．15．已知实数a，b满足：a≥，b∈R，且a+|b｜≤1，则+b的取值范围是[﹣1,］．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，结合图象可知,关键求当a+b=1时和当a﹣b=1时的最值，从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a+b=1时，+b才有可能取到最大值，即+1﹣a≤+1﹣=，当a﹣b=1时,+b才有可能取到最小值，即+a﹣1≥2﹣1=﹣1，（当且仅当=a，即a=时，等号成立），结合图象可知，+b的取值范围是［﹣1，]．三、解答题:本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中,内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ)已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin(B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】(Ⅰ)利用已知等式，化简可得sinC=，结合C是三角形的内角,得出C；(Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为:sinBcosA=2sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a，b，c,tan，得到，所以，所以sinC=，又C∈（0，π），所以C=或者；(Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin(B﹣A）=2sinBcosA，而2sin2A=4sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A,得sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==2，可得三角△ABC的面积S=bc=；当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a…①，∵c=2，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=12…②，联解①②得a=2，b=4；∴△ABC的面积S=absinC=×2×4×sin60°=2．17．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；(Ⅱ)若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz,平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值,计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解:设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B,故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz,如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知｜0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B(a，0，0)，B1（0，a，0），D（0,0，a),所以==（﹣a，a，0)．由可得C（a，a，a)，所以=（a，a,﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=,所以=(，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===,故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．18．对于任意的n∈N＊，数列｛a n}满足++…+=n+1（Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列｛a n｝的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）求证：对于n≥2，++…+＜1﹣．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】(I）通过++…+=n+1与++…+=n（n≥2）作差可知a n=1+n+2n（n≥2），进而验证当n=1是否满足即可；（II）通过（I）可知,当n=1时S1=a1=7，当n≥2时利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论；（III）通过（I）放缩可知，当n≥2时＜,进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（I）解：∵++…+=n+1，∴++…+=n(n≥2），两式相减得：=1，即a n=1+n+2n(n≥2），又∵=2,即a1=7不满足上式，∴a n=；（II）解:由(I）可知,当n=1时,S1=a1=7，当n≥2时,S n=7+(n﹣1）++=2n+1+n2+2n+1;综上得，S n=;(III）证明:由（I)可知,当n≥2时，=＜=,∴对于n≥2,++…+＜++…+==1﹣．19．已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点,弦AB的中点为M,△OAB的重心为G．(Ⅰ)求动点G的轨迹方程;（Ⅱ)设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ)求得焦点F(0,1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=kx+1,代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标,运用代入法消去k，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）求得D,E和G的坐标，|DG|和｜ME|的长，以及D点到直线AB的距离，运用四边形的面积公式,结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在,设AB:y=kx+1,联立x2=4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2)，G（x，y），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，所以，所以，消去k，得重心G的轨迹方程为；(Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到）,，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小,所求的直线AB的方程为．20．已知a＞0，b∈R，函数f(x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0,1]（Ⅰ）当a=1时,函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围;（Ⅱ）记f(x）的最大值为M，证明：f（x)+M＞0．【考点】二次函数的性质．【分析】(Ⅰ）令f(x）=0，则x=，或x=，结合题意可得b的取值范围；(Ⅱ）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1］的关系,可得最值，即可证明f(x）+M＞0 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时,函数f（x）=4x2﹣2bx﹣1+b，令f（x)=0,则x=，或x=，若函数f（x)在定义域[0，1]内有两个不同的零点，则∈［0，1］，且，解得：b∈[1，2)∪（2，3]证明：（Ⅱ）要证明:f(x)+M＞0，即证明：f（x）max+f（x）min＞0∵函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，①＜0，或＞1时，f（x)max+f（x）min=f（0）+f（1）=﹣a+b+3a﹣b=2a＞0；②0≤＜，即0≤b＜2a时，f(x）max+f（x）min=f(）+f（1）=﹣a+b﹣+3a﹣b=2a ﹣=＞=a＞0;③≤≤1，即2a≤b≤4a时，f(x)max+f（x）min=f(）+f（0）=﹣a+b﹣﹣a+b=2b﹣2a ﹣==≥=a＞0；综上可得：f(x）max+f（x）min＞0恒成立，即f(x)+M＞02016年7月8日。

浙江省杭州市学军中学高三数学上学期第二次月考试卷文(含解析)

2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}2．函数y=ax2+a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．“a≠1且b≠﹣1”是“a+b≠0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要4．要得到函数y=cos（π﹣2x）的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．36．不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（）A．5 B．6 C．7 D．98．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3二、填空题：9．已知函数f（x）=log2（4﹣x2）的定义域为，值域为，单调递增区间为．10．已知函数y=Asin（wx+j）（A＞0，w＞0，|j|＜）的图象如图所示，则A= ，w= ，j= ．11．设函数f（x）=则f（﹣log32）= ；若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．12．在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC，则tanA= ；sin2A= ．13．已知二次函数f（x）=﹣+x，其定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]（m＜n），则m﹣n= ．14．用C（A）表示非空集合A中的元素，定义A*B=，若A={1，2}，B={x|（x2﹣mx）（x2+mx﹣2）=0}，且A*B=1，则实数m的所有可能取值为．15．已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：16．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数．命题q：函数f（x）=cx2﹣x+c在区间上恒大于零．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．17．已知点是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx﹣图象的一个对称中心．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．18．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．19．已知函数f t（x）=cos2x+2tsinxcosx﹣sin2x（1）若，试求sin2α的值．（2）定义在上的函数g（x）的图象关于x=对称，且当x≤时，g （x）的图象与（x）的图象重合．记Mα={x|g（x）=α}且Mα≠∅，试求Mα中所有元素之和．20．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在a∈[﹣3，5]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2．函数y=ax2+a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】计算题．【分析】由二次函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于Y轴对称，然后分当a＞0时和a＜0时两种情况，讨论函数y=ax2+a的图象与函数y=（a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【解答】解：由函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于Y轴对称，可排除A；当a＞0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0，a）点在X轴上方，可排除C；当a＜0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝下，顶点（0，a）点在X轴下方，函数y=（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B；故选D【点评】本题考查的知识点是函数的表示方法3﹣图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键．3．“a≠1且b≠﹣1”是“a+b≠0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】由于“a≠1且b≠﹣1”与“a+b≠0”相互推不出，即可判断出关系．【解答】解：“a≠1且b≠﹣1”与“a+b≠0”相互推不出，因此“a≠1且b≠﹣1”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．要得到函数y=cos（π﹣2x）的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】把式子x的系数提取出来，原函数的图象向右平移就是在x上减去，得到要求函数的图象．【解答】解：y=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣π）=cos（π﹣2x）的图象，故向右平移可得函数y=cos（π﹣2x）的图象．故选：B．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，图象的平移，是左加右减，若x的系数不为1，则一定要提取出来，y=Acos（ωx+φ）的图象向右平移θ个单位，得到图象的解析式为y=Acos[ω（x﹣θ）+φ]，本题属于中档题．5．已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．3【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα 的值，再根据tan（α﹣β）=﹣，利用两角差的正切公式求得tanβ的值．【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用，属于基础题．6．不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式等价变化为，则求出函数的最大值即可．【解答】解：不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴，即，∴，则，∵，当且仅当t=，即t=时取等号．但此时基本不等式不成立．又y=t在[]上单调递减，在[，3]上单调递增，∵当t=时，，当t=3时，t．∴的最大值为．∴a．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+图象的单调性以及应用．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）=f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，则函数g（x）=f[f（x）]﹣x在区间[﹣2，2]内不同的零点个数是（）A．5 B．6 C．7 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于原点对称，为周期为2的函数，求得一个周期的解析式和图象，由图象平移可得[﹣2，2]的图象，得到y=f（f（x））的图象，作出y=x的图象，由图象观察即可得到零点个数．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x），即有函数f（x）关于原点对称，周期为2，当x∈（0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣|，即有当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣1+2|x+|，由图象的平移可得在区间[﹣2，2]内的函数f（x）的图象，进而得到y=f（f（x））的图象，作出y=x的图象，由图象观察，可得它们有5个交点，故零点个数为5．故选：A．【点评】本题考查函数和方程的关系，考查函数的性质和运用，主要考查奇偶性和周期性、对称性的运用，属于中档题．8．定义区间[x1，x2]长度为x2﹣x1，（x2＞x1），已知函数f（x）=（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最大长度时a的值为（）A．B．a＞1或a＜﹣3 C．a＞1 D．3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】得出，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，a＞1或a＜﹣3，利用函数求解n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，【解答】解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数f（x）=﹣在[m，n]上单调递增，则，故m，n是方程）=﹣=x的同号的相异实数根，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根∵mn=∴m，n同号，只需△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜﹣3，n﹣m==，n﹣m取最大值为．此时a=3，故选：D【点评】本题考查了函数性质的方程的运用，属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．二、填空题：9．已知函数f（x）=log2（4﹣x2）的定义域为（﹣2，2），值域为（﹣∞，2] ，单调递增区间为（﹣2，0）．【考点】复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；再由二次函数的值域，结合对数函数的单调性，可得值域；再由复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求增区间．【解答】解：由4﹣x2＞0，解得﹣2＜x＜2，即定义域为（﹣2，2）；又0＜4﹣x2≤4，即有f（x）=log2（4﹣x2）≤log24=2，则值域为（﹣∞，2]；令t=4﹣x2，y=log2t，由t在（﹣2，0）递增，y=log2t在t＞0递增，即有f（x）的增区间为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，2），（﹣∞，2]，（﹣2，0）．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的定义域和值域，以及单调区间的求法，注意运用复合函数的单调性：同增异减，属于中档题．10．已知函数y=Asin（wx+j）（A＞0，w＞0，|j|＜）的图象如图所示，则A= ，w= 2 ，j= ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的最值求出A，根据函数的周期求出w，利用特殊点的坐标求出j，即可．【解答】解：由图象知A=，函数的周期T=2×（）=2×=π，即=π，∴w=2，则y=sin（2x+j），当x=时，y=sin（2×+j）=0，则sin（+j）=0，即+j=kπ，即j=kπ﹣，∵|j|＜，∴当k=1时，j=π﹣=﹣，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象进行求解是解决本题的关键．11．设函数f（x）=则f（﹣log32）= ；若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由﹣1≤﹣log32≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（﹣log32）；通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：由﹣1≤﹣log32≤1，则f（﹣log32）===，当t∈[﹣1，1]，所以f（t）=3t∈[，3]，又函数f（x）=则f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=﹣•3t，因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤﹣•3t≤1，即≤3t≤3，解得：log3≤t≤1，又t∈[﹣1，1]，由于t=1，f（1）=3，f（f（1））不成立，则实数t的取值范围[log3，1）；当1＜t＜3时，f（t）=﹣•t∈（0，3），由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1或0≤﹣•（﹣t）≤1，解得t∈∅或1≤t≤．即有t的取值范围为（1，]．综上可得t的范围是．故答案为：，．【点评】本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．12．在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC，则tanA= 11 ；sin2A= ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知，将两式相减，利用两角和与差的三角函数公式，同角三角函数基本关系式即可化简．【解答】解：因为在△ABC中，已知sinA=10sinBsinC，cosA=10cosBcosC，两式相减得sinA﹣cosA=﹣10cos（B+C）=10cosA，所以sinA=11cosA，所以tanA=11；所以sin2A====．故答案为：11，．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用，考查了计算能力，属于基础题．13．已知二次函数f（x）=﹣+x，其定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]（m＜n），则m﹣n= ﹣4 ．【考点】二次函数的性质．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+≤．如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤，∴n≤．从而m＜n≤＜1，而x≤1，f（x）单调递增，∴，可解得m=﹣4，n=0满足要求．∴m﹣n=﹣4，故答案为：﹣4【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．14．用C（A）表示非空集合A中的元素，定义A*B=，若A={1，2}，B={x|（x2﹣mx）（x2+mx﹣2）=0}，且A*B=1，则实数m的所有可能取值为0，﹣1，1 ．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】根据A={1，2}，B={x|（x2﹣mx）（x2+mx﹣2）=0}，且A*B=1，可知集合B是三元素集合，然后对方程|x2+mx﹣2|=0的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值【解答】解：由于（x2﹣mx）（x2+mx﹣2）=0等价于x2﹣mx=0①或x2+mx﹣2=0②，又由A={1，2}，且A*B=1，∵方程②的判别式为m2+8＞0恒成立，∴②有两个不等实根，∴集合B是三元素集合，则方程①有两相等实根，②有两个不相等且异于①的实数根，或者方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，所以m=0；或者重根是x=m，代入方程（2）的x1+x2=﹣m中可得其中一个根为﹣2m，又因为x1•x2=﹣2∴﹣2m．m=﹣2，则m2=1，m=±1综上m可能取值为0，﹣1，1．故答案为：0，﹣1，1．【点评】此题考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．15．已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是[，+∞）．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件确定函数是奇函数，求出函数f（x）的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．【解答】解：由f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），得f（x0）=﹣f（﹣x﹣1+1）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），即f（x）=x3，（x＞0），综上f（x）=x3，则不等式f（x+t）≥2f（x）等价为不等式f（x+t）≥f（x），∵f（x）=x3，为增函数，∴不等式等价为x+t≥x在x∈[t，t+2]恒成立，即：t≥（﹣1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，即t≥（﹣1）（t+2），即（2﹣）t≥2（﹣1），则t≥=，故实数t的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性求出函数的表达式以及判断函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：16．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数．命题q：函数f（x）=cx2﹣x+c在区间上恒大于零．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q为真时的c的范围，根据p，q一真一假得到关于c的不等式组，解出即可．【解答】解：由命题p为真可知，0＜c＜1，由命题q为真可知，或或△=1﹣4c2＞0，∴，由题意得，p，q一真一假，∴或，∴．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数、指数函数的性质，是一道基础题．17．已知点是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx﹣图象的一个对称中心．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．【考点】三角函数的最值．【专题】函数思想；整体思想；数形结合法；三角函数的求值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x+cos2x，由对称性可得a值；（2）由（1）化简解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得；（3）由x∈可得2x+∈[﹣，]，易得函数的最值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=asinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x∵f（x）关于点对称，∴解得；（2）由（1）化简可得，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得，∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（3）∵x∈，∴2x+∈[﹣，]，∴当2x+=﹣即x=﹣时，函数取最小值当2x+=即x=时，函数取最大值．【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的对称性和单调性以及最值，属中档题．18．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．【考点】复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．【解答】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．19．已知函数f t（x）=cos2x+2tsinxcosx﹣sin2x（1）若，试求sin2α的值．（2）定义在上的函数g（x）的图象关于x=对称，且当x≤时，g （x）的图象与（x）的图象重合．记M α={x|g（x）=α}且Mα≠∅，试求Mα中所有元素之和．【考点】二倍角的正弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由倍角公式，降幂公式化简已知等式可得sinα+cosα=，两边平方，由倍角公式即可得解．（2）依题意得，，由，可求g（x）∈[﹣，2]，记Mα中所有的元素之和为S，由图象及对称性分类讨论即可得解．【解答】（本题满分为15分）解：（1）∵由题意可得：，又∵，∴．（6分）（2）依题意得，，∵，∴，可得：g（x）∈[﹣，2]．记Mα中所有的元素之和为S，由图象及对称性得：当时，，当时，，当时，，当a=2时，．（15分）【点评】本题主要考查了倍角公式，降幂公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在a∈[﹣3，5]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得，从而结合二次函数的单调性判断分段函数的单调性即可；（2）原命题可化为存在a∈[﹣3，5]，使得b=﹣x|x﹣a|有三个不同的实根；再令，从而分类讨论以确定g（x）的单调性，从而确定函数的极值及端点的函数值，从而比较求b的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，，由二次函数的单调性知，f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．（2）若存在a∈[﹣3，5]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，则存在a∈[﹣3，5]，使得b=﹣x|x﹣a|有三个不同的实根；令，（ⅰ）当a=0时，g（x）在[﹣4，5]上单调递减，故b无解；（ⅱ）当﹣3≤a＜0时，g（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，∵g（﹣4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，，g（5）=5a﹣25，∴，g（a）﹣g（5）=25﹣5a＞0，∴，∴；（ⅲ）当0＜a≤5时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，在[a，+∞）上单调递减，∵g（﹣4）=4|4+a|=16+4a，，g（a）=0，g（5）=5a﹣25∴g（﹣4）﹣g（a）=16+4a＞0，令g（）﹣g（5）==0，解得，a=10﹣10；①当时，，∴；②当时，5a﹣25≤b＜0，∴；综上可得，b的取值范围为50﹣75≤b＜且b≠0．【点评】本题考查了分段函数的应用及二次函数的单调性的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．。

浙江省杭州学军中学高考模拟考试数学试卷(文科).5

2008年浙江省杭州学军中学高考模拟考试数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在答题卡上． 1.已知集合A={1,log |2>=x x y y }, B={1|02y y <<},则A ∩B=( ) A. {210|<<y y } B. {10|<<y y } C. {121|<<y y } D. φ2．函数)1(322-≤++=x x x y 的反函数为（）A ．)2(21≥--=x x yB ． )2(21≥-+-=x x yC ．)2(21≥-+=x x yD ．)2(21≥---=x x y3．如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（）A ．10B ．6C ．5D ．34.设l m ，均为直线，α为平面，其中,l m αα⊄⊂，则“//l α”是“//l m ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知函数()s i n 4x f x π=，如果存在实数1x 、2x ，使得对任意的实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π6．曲线214y x =+-与直线:(2)4l y k x =-+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A. （512，3]4 B. （512，+∞） C.（0，512） D.（13，3]47．已知f (x)=a x －2,g(x)=log a |x|(a>0,a≠1),若f (4)g(-4)<0，则y=f (x)，y=g(x)在同一坐标系内的图象大致是（）8.异面直线a ，b 成80o角，点P 是a ，b 外的一个定点，则过P 点与a ，b 所成的角都等于45o 的直线共有（）条A ．4 B. 3 C. 2 D.12tan2tan 3tan 2tan C A C A ++9.设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则O A O B ⋅取得最小值时，点B 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．无数个10．双曲线222x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点(),n n n P x y （1,2,3n =）在其右支上，且满足121n n P F P F +=，1212PF F F ⊥，则2008x 的值是（） A ． B. C. 4015 D. 4016 二．填空题：(本大题共7小题，每小题4分，满分28分)11.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则的值为________. 12.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为 .13．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，． 14．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为． 15.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2,AD DB CD CA CB λμ==+，则λμ的值为____ _ .16．从8座城市(包括北京)中选6座参加2008年奥运会火炬接力的传递活动,规定从举办城市北京出发最后回到北京,中间必须按先后顺序经过杭州,上海两座城市,则不同的传递路线条数为 . 17．有以下几个命题①在,0,ABC AB CA A ∆⋅>∠中若则为锐角;②曲线22(1)1x y ++=按(1,2)a =-平移可得曲线22(1)(3)1x y +++=；③已知椭圆2214x y n +=与双曲线2218x y m-=有相同的准线，则动点(,)P n m 的轨迹为直线； ④设A （2，0）、B （-2，0）为平面上两个定点，P 为动点，若| PA || PB | =2 ，则动点P 的轨迹为圆；⑤().y f x x a ==函数的图象与直线至多只有一个交点其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三：解答题（本题共72分）18. （本题满分14分）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为23． (1)求选手甲在初赛中所答题数为3的概率；（2）求选手甲进入决赛时所答题数所有情况的概率。

浙江省杭州市2016年5月高考模拟考试数学文试题 Word版含答案

2016年5月杭州高级中学高考模拟数学（文科）试题卷第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集R U =,集合}1|{},12|{22>=<=-x x B x A xx, 则集合B C A U ⋂等于（）A 、}10|{<<x xB 、}10|{≤<x xC 、}20|{<<x xD 、}1|{≤x x2.已知实数y x ,满足,0330101⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-y x y x y x 则目标函数y x z +=2的取值范围是（）A 、]5,1[B 、]5,2[-C 、]7,1[D 、]7,2[- 3.把函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向右平移23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最小值时，()f x 的单调递减区间是（）A 、5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B 、7[,]()1212k k k Z ππππ--∈C 、225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈D 、272[,]()318318k k k Z ππππ--∈ 4.设,a b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.已知二面角l αβ--的大小为120︒，AB 垂直于平面β交l 于点B ，动点C 满足AC 与AB 的夹角为30︒，则点C 在平面α和平面β上的轨迹分别是（）A 、双曲线、圆B 、双曲线、椭圆C 、抛物线、圆D 、椭圆、圆 6.一个茶叶盒的三视图如图所示（单位：分米），盒盖与盒底为合金材料制成，其余部分为铁皮材料制成，若合金材料每平方分米造价10元，铁皮材料每平方分米造价5元，则该茶叶盒的造价为（） A 、100元 B、(60+元 C 、130元 D 、200元7.如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AD 上一动点（端点除外），现将ABE ∆沿BE 所在直线翻折成A BE '∆，并连接,A C 'A D '，记二面角A BE C '--的大小为,(0180)αα︒<<︒，则（） A 、存在α，使得BA '⊥平面A DE 'B 、存在α，使得BA '⊥平面A CD 'C 、存在α，使得EA '⊥平面A CD ' D 、存在α，使得EA '⊥平面A BC '8. 若函数)(x f 在给定区间M 上存在正数t ，使得对于任意的M x ∈,有M t x ∈+, 且)()(x f t x f ≥+,则称)(x f 为M 上t 级类增函数，则下列命题中正确的是（）A 、函数x xx f +=4)(是),1+∞（上的1级类增函数 B 、函数|)1(log |)(2-=x x f 是),1+∞（上的1级类增函数 C 、若函数ax x x f +=sin )(为),2[+∞π上的3π级类增函数，则实数a 的最小值为π3D 、若函数x x x f 3)(2-=为),1[+∞上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为),2[+∞第II 卷非选择题部分 (共110分)二、填空题：（本大题共7小题, , 多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分） 9.已知直线1:2l y ax a =+与直线a x a ay l -+=)12(:2若12//l l ，则a = ；若12l l ⊥，则a = . 10.已知函数()()(2)f x x a x =-+为偶函数，若log (1),1(),1a xx x g x a x +>-⎧=⎨≤-⎩，则a =3[()]4g g -= .11.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，)(,,1,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，则7a = ；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和是（用m 表示）12.在平面直角坐标系xOy 中，设钝角α的终边与圆22:4O x y +=交于点),(11y x P ，点P 沿圆顺时针移动23π个单位弧长后到达点Q 22(,)x y ，则21y y +的取值范围是 ; 若212x =，则1x = . 13.已知F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，P 是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q （第一象限内），使得3=，则双曲线离心率的取值范围为 . 14.在边长为1的正三角形ABC 中，)0,0(,,>>==y x y x 且341x y+=，则⋅的最小值等于 .15.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的右焦点为F ，直线043:=-y x l 交椭圆E 于B A ,两点，若14||||=+BF AF ，点F 关于l 对称点M 在椭圆E 上，则F 坐标为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,（1）D 是BC 上的点，AD 平分ABD BAC ∆∠,是ADC ∆面积的2倍，22,1==CD AD ，求b 边的值；（2）若8=++c b a ，若A CB BC s i n 22c o s s i n 2c o s s i n22=+，ABC ∆的面积A S sin 29=，求边c 的值.17. （本题满分15分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 为公比大于零的等比数列，若3332211,5,1a S b a b a b -=-=== （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式（2）定义na a a a E nn +++=21)(是数列}{n a 的前n 项的数学期望，若)(1)(n n a E t b E -≥对任意的+∈N n 恒成立，求实数t 的取值范围。

2016届浙江省杭州学军中学高三5月高考模拟考试数学(理)试题(解析版)

2016届浙江省杭州学军中学高三5月高考模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|2A x x =<-或1}x >，{|2B x x =>或0}x <，则()R C A B = （） A.(2,0)- B.[2,0)- C.∅ D.(2,1)- 【答案】B【解析】试题分析：{}{}21,()20R R C A x x C A B x x =-≤≤∴=-≤< ，故选B. 【考点】集合的运算.2．已知直线,l m 和平面α，则下列结论正确的是（）A ．若//l m α⊂，则//l αB ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥D ．若//,l m αα⊂，则//l m 【答案】B【解析】试题分析：A ．若//l m α⊂，则//l α或l α⊂，故本命题错误；B ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥，考查直线与平面垂直的定义，正确；C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥ 或m α⊂或//m α，故本命题错误；D ．若//,l m αα⊂，则//l m ，或,l m 异面，本命题错误；故本题选B.【考点】直线与平面垂直的定义、直线与平面平行的判定定理.3．若“:p x a >”是“:13q x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤- 【答案】A【解析】试题分析：由题意知{}x x a >是{1x x >或}3x <-的真子集，故选A ．【考点】充分条件；必要条件.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.16B.32C.63D.20【答案】B【解析】试题分析：其几何体如图其表面积为324521452143214321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=S ，故选B. 4152.45434【考点】空间几何体的表面积. 5．已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意得2ππω=，2ω∴=，由()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭得到x x g ωcos )(=，原图象各点向若平移8π个单位长度.故选D ．【考点】函数图象的变换. 【易错点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换．在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由x A y ωcos = 的图象得到)cos(ϕω+=x A y 的图象时，需平移的单位数应为ωϕ． 6．设关于x, y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-0001m y m x y x 表示的平面区域内存在点P ),(00y x 满足3200>-y x 则实数m 的取值范围是（）A. ),(01-B. ),(10C. ),(+∞-1D.),(1--∞ 【答案】D【解析】试题分析：如图，只需点),(m m -满足3200>-y x ，得1-<m ，故选D.【考点】线性规划.7．如图，在三棱锥P ABD -中，已知⊥PA 面ABD ，AD BD ⊥，点C 在BD 上，1===AD CD BC ，设P D x =，θ=∠BPC ，用x 表示tan θ，记函数tan θ=()f x ，则下列表述正确的是（）A ．()f x 是关于x 的增函数B ．()f x 是关于x 的减函数C ．()f x 关于x 先递增后递减D ．()f x 关于x 先递减后递增【答案】C【解析】试题分析：首先证明PD BD ⊥：⊥PA 面ABD ，推出PA BD ⊥，又因为BD AD ⊥，能够推出⊥BD 面PAD ，因此，PD BD ⊥．在BPD ∆中，θθθt a n t a n 1t a n t a n )t a n (2t a n C P D C P D C P D x PD BD BPD ∠-+∠=+===∠，而x PD CD CPD 1tan ==∠，化简可得，xx x x 212tan 2+=+=θ，对勾函数x x y 2+=关于x 先递减后递增，因此)(x f 关于x 先递增后递减．选C ．【考点】基本不等式. 【易错点睛】本题主要考查了勾股定理，考查了基本不等式，考查了余弦定理等知识．本题的解题关键在于用x 表示tan θ即如何建立x 与θ的等量关系，也就是应该放在BPC ∆去研究，即找到各个边与x 的关系．本题的难点是将三角形的问题与基本不等式产生联系，本题难度中档．8．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且2||||BC CF =，则双曲线的离心率为（）A. 3B.【答案】C【解析】试题分析：过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点C B ,，且2CF BC =，a BF 21=，设切点为T ，),(y x B ，则利用三角形的相似可得c a b x c a y 2=+=，c c ab x 22-=∴，c a y 22=，)2,2(22ca c c ab B -∴，代入双曲线方程，整理可得a b )13(+=，则a b ac 32522+=+=，即有325+==ace .所以C 选项是正确的. 【考点】双曲线的性质.【易错点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查了学生的计算能力．本题难点在于如何用c b a ,,来表示点B 的坐标，即如何利用三角形相似建立c b a ,,与y x ,的等式关系．而后代入双曲线方程即可．本题也考查了学生的分析能力，本题难度中等．二、填空题9．若2sin cos αα-，则sin α= ，tan()4πα-= .【答案】552 3 【解析】试题分析：由同角三角函数基本定理得1)5sin 2(sin 22=-+αα解得552sin =α，cos α=，tan 2α∴=-，tan tan4tan()341tan tan 4παπαπα-∴-==+．【考点】同角三角函数基本关系式；两角差的正切公式.10．已知直线l ：1mx y -=,若直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，则m 的值为______动直线l ： 1mx y -=被圆C ：22280x x y -+-=截得的最短弦长为 . 【答案】0=m 或2=m ；72【解析】试题分析：由两直线垂直的充要条件得1(1)(1)0m m m ⨯+-⨯-=，0m ∴=或2=m ；圆的半径为3，当圆心)0,1(到直线的距离最长即2)]1(0[)01(22=--+-=d 时弦长最短，此时弦长为72)2(3222=-．【考点】两直线垂直；直线与圆的位置关系.11．已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ．若3542,,3a a a 成等差数列，24664a a a =，则q =_______，n S =_______．【答案】2)12(21-n【解析】试题分析：等比数列{}n a 的公比0>q ,前n 项和为n S .若1533,,2a a a 成等差数列,24664a a a =，⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅⋅+=∴06432251311312141q q a q a q a q a q a q a ,计算得出2,211==q a .)12(2121)21(21-=--=∴n n n S .【考点】等差中项；等比数列的通项公式；等比数列的求和公式.12．设函数()f x 2221log 11x x x x ⎧-+⎪=⎨<⎪⎩≥(1)(-)()，则((4))f f ＝ .若()f a 1=-,则a = .【答案】5；1=a 或21=a 【解析】试题分析：5)]31(1([log ))4((,31142)4(22=--=∴-=+⨯-=f f f ；当1≥a 时，2211a -+=-，1a ∴=；当1<a 时，2log (1)1a -=-，12a ∴=，故1=a 或21=a ．【考点】分段函数. 13．如图，在二面角A-CD-B 中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A 在直线AD 上运动，满足AD⊥CD， AB=3.现将平面ADC 沿着CD 进行翻折，在翻折的过程中，线段AD 长的取值范围是_________.【答案】]25,25[+-【解析】试题分析：添加如图辅助线，取BC DE BC DE =,//,连结AE BE ,,则⊥BE 平面A D ,AE BE ⊥,设xAD =，则22222,c o s 224BE AE AB ADE x x AE +=∠⨯⨯-+=即ADE x x ∠-++=cos 44492,1411]1,1[41cos 22≤-≤-∴-∈-=∠xx x x ADE 解得2525+≤≤-x ．E【考点】直线与平面垂直；余弦定理.14．已知实数,a b R ∈，若223,a ab b -+=则222(1)1ab a b +++的值域为．【答案】[0,16]7【解析】试题分析：由223a ab b -+=得222213()2ab a b a b =+-≤+，226a b ∴+≤，令22117t a b ≤=++≤可得2222222(1)(13)(3)961ab a b t t a b t t t+++--===+-++，当3t =有最小值0；当7t =时有最大值为167；所以所求整式的值域为[0,16]7．【考点】基本不等式.【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取ACDB等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．在OAB ∆中，已知1OB AB ==，45AOB ∠=︒，若OB OA OP μλ+=，且22=+μλ，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 .【答案】]1,22(-【解析】试题分析：由μλ+=得22=+μλ，则⋅=⋅OA OP OA ]21([λλ-+OB OA OA ⋅-+=)21(2λλ，由1OB AB == ，45AOB ∠=︒，余弦定理可得1OA =，(1)11222OA OP λλλ∴⋅=+-⨯=+ 2+=，故在42222++⋅=λλOP OP OA ， 2-<λ时，上式]0,22(44122-∈++⋅-=λλ；2-≥λ时上式4)2(2222++⋅-=λλ； 0=λ，上式22=； 20-≥>λ，上式)22,0[44122∈++⋅=λλ；0>λ，上式]1,22(44122∈++⋅=λλ．综合以上情况，OA 在OP 上的投影的取值范围是]1,22(-．【考点】平面向量的数量积的运算.【易错点睛】本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题的难点在于对λ的分类讨论思想，根据不等式的性质讨论λ的不同范围对投影的影响．本题综合性强，本题是中档题.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．【答案】（I ）3π=A ；（II ）221<<p ．【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得)cos(3)sin(3C B C B +=+-，从而可求得3)tan(-=+C B ，即可解得A 的大小；（Ⅱ）由已知得21tan 23sin )120sin(sin sin +=-︒==C C C C B p ，由ABC ∆是锐角三角形，3π=A ，可求得C tan 的取取值范围，即可解得实数p 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题意得C B C B C B C B C B cos cos 4sin cos 3cos sin 3cos cos sin sin 3=--+⇒)cos(3)sin(3C B C B +=+-323)tan(π=+⇒-=+⇒C B C B 3π=∴A（Ⅱ） 21tan 23sin )120sin(sin sin +=-︒==C C C C B p ABC ∆ 为锐角三角形，且3π=A33tan 26>⇒<<∴C C ππ221<<∴p ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，,//A B P A A B C D⊥，且,22,120P B B C D C A B P A D ===∠=.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）510．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平面与平面垂直的判定定理可知，要在其中一个面内找一直线与另一平面垂直，即证明⊥AB 平面PAD ；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值.试题解析：（1）∵BC=BD ，E 为CD 中点，∴BE ⊥CD ， ∵AB∥CD，∴CD=2AB，∴AB∥DE，且AB=DE ，∴四边形ABED 是矩形， ∴BE∥AD，BE=AD ，AB⊥AD，∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD，且CD⊥AD，又∵在平面PCD 中，EF∥PD，∴CD⊥EF， ∵EF∩BE=E，∴EF ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF⊥平面PCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立空间直角坐标角系，，=，，则P （0，﹣1D （0，2，0），B ），C （2，0），D P =（0，3BP=1-C B =），设平面PBC 的法向量n=（x ，y ，z ），则C 200n y n y ⎧⋅B =+=⎪⎨⋅BP =-=⎪⎩ ，取n=1-，），设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，sin θ=|cos ＜D,n P＞|=|D D n nP ⋅P ⋅|= ∴直线PD 与平面PBC【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题要认真审题，注意和法的合理运用．利用向量求线面角的方法（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）．（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 18．已知函数2()1,()1f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（Ⅱ）若2a >-，设函数()()()h x f x g x =+在]2,0[上的最大值为()t a ，求()t a 的最小值. 【答案】（Ⅰ）2-≤a ；（Ⅱ）0．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，然后取交集求得实数a 的取值范围；（Ⅱ）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段函数上的最值得到函数的最大值.试题解析：（Ⅰ）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--+=<≤++--=21,11,010,1)(22x a ax x x x a ax x x h 0,02a a x ≤∴=-≥ 对称轴① 当012a ≤-≤时，即20a -≤≤，14)2()1(2max 2++=-=++--a a a h a ax x3)2()1(max 2+==--+a h a ax x2281(3)044a a a a -++-+=<∴3)(max +=a x h ②当221≤-<a 时，即24-<≤-a ，0)1()1(max 2==++--h a ax x ⎩⎨⎧-<≤-+-<≤-=+==--+23,334,0}3,0max{)}2(),1(max{)1(max 2a a a a h h a ax x此时⎩⎨⎧-<≤-+-<≤-=23,334,0)(max a a a x h ③ 当22>-a 时，即4-<a ，0)1()1(max 2==++--h a ax x 0)1()1(max 2==--+h a ax x此时0)(max =x h综上：max ()()h x t a =3,300,3a a a +-≤≤⎧=⎨<-⎩ min ()t a ∴=0【考点】利用导数求闭敬意上函数的最值．【易错点睛】本题考察函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是根据所给的条件及相关的知识对问题进行正确转化，本题比较抽象，对问题的转化尤其显得重要，本题在求解问题时用到了分类讨论的思想，转化化归的思想，数学综合题的求解过程中，常用到这两个思想，繁杂的分类使该题难度较大．19．已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，过直线:2l x =上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x 轴上时，切线PA的斜率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．【答案】（Ⅰ） 1222=+y x ；（Ⅱ）22 ．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知点P 的坐标，PA 的斜率，得到直线PA 的方程，联立椭圆与直线方程，利用方程有唯一解可得到22=a ，可得椭圆方程；（Ⅱ）可先设直线PA 的方程，利用条件得出PA 及点O 到直线PA 的距离d ，由此可表示三角形面积，利用已知条件可求得面积的最小值.试题解析：（I ）当P 点在x 轴上时，P （2，0），PA ：)2(22-±=x y 012)211(1)2(2222222=+-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-±=x x a y a x x y 202=⇒=∆a ，椭圆方程为1222=+y x （II ）设切线为m kx y +=，设),2(0y P ，),(11y x A ，则⎩⎨⎧=-++=02222y x m kx y 0224)21(222=-+++⇒m kmx x k 12022+=⇒=∆⇒k m ，且212121,212km y k km x +=+-=，m k y +=20 则4||20+=y PA ，PA 直线为⇒=x y y 20，A 到直线PO 距离4|2|20110+-=y y x y d ，则|212212)2(|21|2|21||2122110km k km m k y x y d PA S POA +-+-+-=⋅=∆＝ |21||||2121|222k k m k m kkm k ++=+=+++=-01221)(2222=+-+⇒+=-S Sk k k k S220482≥⇒≥-=∆S S ，此时22±=k 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系.20．已知数列{}n a 满足：11=a ，221)1(++=+n a a a n n n （*N n ∈）．（Ⅰ）证明：21)1(11++≥+n a a n n ；（Ⅱ）求证：13)1(21+<<+++n a n n n ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）2120(1)n n n a a a n +-=>+⇒111≥>>+a a a n n ，可得：221)1(11)1(1++≥++=+n n a a a n n n ；（Ⅱ）由题意可知111)1(1)1(1)1(1112121+-=+<+<+=-++n n n n n a a n a a n n n n ，累加得1111111+-<-+n a a n ，得11+<+n a n ，得2111111+-+>-+n n a a n n ，累加得11211111+->-+n a a n 得3)1(21++>+n n a n ．试题解析：（I ）0)1(221>+=-+n a a a n n n ⇒111≥>>+a a a n n ，可得：221)1(11)1(1++≥++=+n n a a a n n n （II ）1211)1(1++++=-n n n n n n a a n a a a a ，所以：101<<+n n a a 111)1(1)1(1)1(1112121+-=+<+<+=-⇒++n n n n n a a n a a n n n n ，累加得：111111111+<⇒+-<-++n a n a a n n （该不等式右边也可以用数学归纳法证明）另一方面由n a n ≤可得：原式变形为2112111)1(1)1(11221++>⇒++=++<++≤++=++n n a a n n n n n n a a a n n n n n 所以：2111)2)(1(121)1(1)1(1112121+-+=++=+++>+=-++n n n n n n n a a n a a n n n n 累加得3)1(2112111111++>⇒+->-++n n a n a a n n【考点】不等式的性质．。

浙江省杭州学军中学高三数学5月模拟考试试题理

5442.45342016届学军中学高考模拟考试理科数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．所有答案必须写在答题卷和机读卡上，写在试题卷上无效； 3．考试结束后，上交答题卷和机读卡。

浙江省杭州市学军中学高三数学5月模拟考试试题文(含解析)

浙江省杭州市学军中学2016届高三数学5月模拟考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或1}x >，{|2B x x =>或0}x <，则()u C A B =（） A.(2,0)- B.[2,0)-C.∅D.(2,1)- 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}21,()20R R C A x x C A B x x =-≤≤∴=-≤<，故选B.考点：集合的运算.2．已知直线,l m 和平面α，则下列结论正确的是（）A ．若//l m ，m α⊂，则//l αB ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥D ．若//,l m αα⊂，则//l m 【答案】B考点：直线与平面垂直的定义、直线与平面平行的判定定理.3.若“x a >”是“13x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知{}x x a >是{1x x >或}3x <-的真子集，故选A ．考点：充分条件；必要条件.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.16B.26C.32D.20【答案】B 【解析】试题分析：其几何体如图其表面积为324521452143214321=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=S ，故选B.4152.45434考点：空间几何体的表面积. 5.已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度【答案】D考点：函数图象的变换.【易错点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换．在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由x A y ωcos = 的图象得到)cos(ϕω+=x A y 的图象时，需平移的单位数应为ωϕ． 6. 设关于x, y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-0001m y m x y x 表示的平面区域内存在点P ),(00y x 满足3200>-y x ，则实数m 的取值范围是（） A. ),(01- B. ),(10C. ),(+∞-1D.),(1--∞【答案】D 【解析】试题分析：如图，只需点),(m m -满足3200>-y x ，得1-<m ，故选D.考点：线性规划.7.设21,F F 为椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形.若双曲线2C 的离心率3,42e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 的离心率取值范围是（）A.45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：在椭圆中c a MF a MF c MF 222,2212-=-==，双曲线的离心率为1212F F e MF MF =-2242c c a c a c ==--，324224c a c∴≤≤-，解得3489c a ≤≤，3489e ∴≤≤，故选C.考点：圆锥曲线的简单性质.【易错点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆的性质的灵活运用，本题的难点是如何利用椭圆中的c b a ,,的关系来表示双曲线的离心率，再根据双曲线2C 的离心率3,42e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求得c a ,的不等式关系，转化成比值形式，即是椭圆的离心率,是中档题.8.定义在R 上()x f 满足()()x f x f 22=+2-，当(0.2]x ∈时，[]2(0,1)()11,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩，若 (0,4]x ∈时，t x f tt -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是（） A.[]2,1 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1D.[)+∞,2 【答案】A考点：分段函数的应用；函数恒成立问题.【易错点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最大值和最小值，运用不等式的恒成立思想转化成求函数的最值是解题的关键.本题的难点是求分段函数的最大值和最小值，采用分类讨论的方式，利用函数的单调性研究每一段的最值即可．本题综合性强，难度中等.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．） 9.已知,2sin cos 5R ααα∈-=sin α= ，tan()4πα-= .【答案】552 3 【解析】试题分析：由同角三角函数基本定理得1)5sin 2(sin 22=-+αα解得552sin =α，5cos 5α=-，tan 2α∴=-，tan tan4tan()341tan tan4παπαπα-∴-==+．考点：同角三角函数基本关系式；两角差的正切公式.10．已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ．若3542,,3a a a 成等差数列，24664a a a =，则q =_______，n S =_______．【答案】2 )12(21-n【解析】试题分析：等比数列{}n a 的公比0>q ,前n 项和为n S .若1533,,2a a a 成等差数列,24664a a a =，⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅⋅+=∴06432251311312141q q a q a q a q a q a q a ,计算得出2,211==q a .)12(2121)21(21-=--=∴n n n S .考点：等差中项；等比数列的通项公式；等比数列的求和公式.11.已知直线l ：1mx y -=,若直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，则m 的值为______动直线l ：1mx y -=被圆C ：22280x x y -+-=截得的最短弦长为 .【答案】0=m 或2=m 72考点：两直线垂直；直线与圆的位置关系. 12.已知0,0x y >>，且121x y+=，若m y x ≥+2恒成立，则实数m 的取值范围是，当m 取到最大值时x = . 【答案】8≤m 2x = 【解析】试题分析：()8442122≥++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+x yy x y x y x y x ，由m y x ≥+2恒成立得8≤m ；当m 取到最大值时满足121x y +=，1214x y x yyx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2x ∴=.考点：基本不等式.13．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为 .【答案】π5考点：正弦定理；球的表面积.14．若存在实数y x ,同时满足122≤+y x ，1|1|||≤-+-y a x ，则实数a 取值范围是．【答案】]2,2[- 【解析】试题分析：由存在实数y x ,同时满足122≤+y x ，1|1|||≤-+-y a x ，则11≤≤-y ，则1|1|||≤-+-y a x 等价于y a x ≤-||，作出122≤+y x 与y a x ≤-||对应的平面区域如图，当0a <，x a >，直线方程为a x y -=，当此直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d ==，a ∴=，a ∴=，点)0,2(-B ；当a x a <>,0，直线方程为)(a x y --=，当此直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d ==，a ∴=a ∴=点)0,2(B ．由存在实数y x ,同时满足122≤+y x ，1|1|||≤-+-y a x ，则22≤≤-a ，所以实数a 取值范围是]2,2[-.考点：简单线性规划.【易错点睛】本题主要考查了简单的线性规划，化简不等式组，作出对应的图象，结合直线和圆相切的条件求出对应的a 的值即可得到结论。

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2016届学军中学高考模拟考试文科数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写姓名、准考证号。

3．所有答案必须写在答题卷和机读卡上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷和机读卡。

参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或1}x >，{|2B x x =>或0}x <，则()u C A B = ( )A.(2,0)-B.[2,0)-C.∅D.(2,1)-2．已知直线,l m 和平面α，则下列结论正确的是( )A ．若α⊂m m l ,//，则α//lB ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥C ．若,l m l α⊥⊥，则m α⊥D ．若αα⊂m l ,//，则m l //3. 若”“a x >是”或“31-<>x x 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.16 B. 26 C. 32 D.252034+ 5. 已知函数)0,)(4cos()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将()y f x =的图象 ( ) A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移8π个单位长度 D. 向右平移8π个单位长度 1a ≥1a ≤3a ≥-3a ≤-6. 设关于x, y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-0001m y m x y x 表示的平面区域内存在点P ),(00y x 满足3200>-y x , 则实数m 的取值范围是( )A. ),(01-B. ),(10C. ),(+∞-1D. ),(1--∞7．设21,F F 为椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形.若双曲线2C 的离心率3,42e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 的离心率取值范围是（） A.45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.34,89⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.5,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭8. 定义在R 上()x f 满足()()x f x f 22=+2-，当(0.2]x ∈时，[]2(0,1)()11,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩ 若(0,4]x ∈时，t x f tt -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是（） A.[]2,1 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1 D.[)+∞,2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9.已知,2sin cos R ααα∈-=sin α= ，tan()4πα-= . 10.已知等比数列的公比，前项和为．若成等差数列，，则_______，_______．11.已知直线l ：1mx y -=,若直线l 与直线:(1)2n x m m y +-=垂直，则m 的值为______.动直线l ：1mx y -=被圆C ：22280x x y -+-=截得的最短弦长为 . 12.已知0,0x y >>，且121x y+=，若m y x ≥+2恒成立，则实数m 的取值范围是，当m 取到最大值时x = .13.已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为 . 14.若存在实数y x ,同时满足122≤+y x ，1|1|||≤-+-y a x ，则实数a 取值范围是．15．设||1,||2OA OB == ，0OA OB ⋅= ，OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP3542,,3a a a 24664a a a =S ABC -O SC ⊥ABC 1SC AB AC ===0120BAC ∠=O上的投影的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--． (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．17.（15分）如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，EF AB //，2=AB ，，060=∠BAF ,P O ,分别为CB AB ,的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CEF 所成角的正弦值.18.(15分)已知数列{}n a 的前n 项和112(N*)2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足n n n a b 2=．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设nn a n c 2log =，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+22n n c c 的前n 项和为n T ，求满足25(N*)21n T n <∈的n 的最大值．1AD AF ==19.（15分）已知抛物线C ：24x y =，过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于B A ,两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,. （Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q 在直线y m =-上；（Ⅲ）判断是否存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ．（Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．2016年杭州学军中学高考模拟考试文科数学参考答案1—8 BBAC DDCA 9.3,552 10.)12(21,2-n 11. 0或2 7212. 2],8,(=-∞x 13.π5 14. ]2,2[- 15..]1,55-(16. 【答案】（1）3π=A ;（2）221<<p 解(Ⅰ) 由题意得C B C B C B C B C B c o s c o s 4s i n c o s 3c o s s i n 3c o s c o s s i n s i n 3=--+ ⇒)c o s (3)s i n (3C B C B +=+-……………………………………（4分）323)t a n (π=+⇒-=+⇒C B C B3π=∴A ……………………………………（7分）(Ⅱ) 21tan 23sin )120sin(sin sin +=-︒==C C C C B p ……………………………（10分） ABC ∆ 为锐角三角形，且3π=A33t a n 26>⇒<<∴C C ππ……………………………………（13分） 221<<∴p ．……………………………………（14分）17.解:（Ⅰ）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，∴∥，又∵平面，∴∥平面 (3)分连结，则∥，平面，∴∥平面∴平面∥平面，平面……………………7分（Ⅱ）作AQ ⊥EF 交EF 延长线于Q,作AH ⊥DQ 交DQ 于H ，则AH ⊥面EQDC ……………9分 ∴∠ACH 就是直线AC 与平面CEF 所成角 ……………11分在Rt ∆ADQ 中，AH=7327231=⨯在Rt ∆ACH 中，sin ∠A CH=35105=AC AH 直线AC 与平面CEF 所成角正弦值为35105……………15分18.解：（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令1n =，可得11112a S a ==--+，112a =．当2n ≥时，2111()22n n n S a ---=--+，所以 1111()2n n n n n n a S S a a ---=-=-++．即111112+(),2212n n n n n n n a a a a ----==+．而 2n nn b a =，∴11n n b b -=+．即当2n ≥，11n n b b --=，又1121b a ==，所以，数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列． ……………………………5分于是1(1)1n b n n =+-⨯=，所以2n nna =． ……………………………7分（Ⅱ）因为22log log 2n n nnc n a ===，所以22211(2)2n n c c n n n n +==-⋅++． ……………………………9分 111111111111(1)()()()()132435112212n T n n n n n n =-+-+-++-+-=+---++++ ．……………………………11分由2521n T <，得11125121221n n +--<++，即11131242n n +>++．又11()12f n n n =+++单调递减，1113(4),(5)3042f f ==， ∴n 的最大值为4． …………………………15分19.（Ⅰ）解：焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-. ………………2分（Ⅱ）证明：由题意，知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为m kx y +=. 由方程组2,4,y kx m x y =+=⎧⎨⎩ 得2440x kx m --=，由题意，得216160k m ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-， ……………4分所以抛物线在点A 处的切线方程为)(21411121x x x x y -=-，化简，得2114121x x x y -=， ○1 同理，抛物线在点B 处的切线方程为2224121x x x y -=. ○2 ……………6分联立方程○1○2，得22221141214121x x x x x x -=-，即))((41)(21212121x x x x x x x +-=-，因为21x x ≠，所以)(2121x x x +=，代入○1，得1214y x x m ==-，所以点12(,)2x x Q m +-，即(2,)Q k m -.所以点Q 在直线y m =-上. ………………8分（Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形，由四边形PEQF 为矩形，得EQ FQ ⊥，即AQ BQ ⊥，所以1-=⋅BQ AQ k k ，即1212121-=⋅x x . 由（Ⅱ），得1)4(414121-=-=m x x ，解得1m =. 所以(0,1)P . ………10分以下只要验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可. 在○1中，令0=y ，得)0,21(1x E . 同理得)0,21(2x F .所以直线EP 的斜率为11221001x x k EP -=--=，直线FQ 的斜率12122221)1(0x x x x k FQ -=+---=， ………………13分所以FQ EP k k = ，即FQ EP //. 同理EQ PF //.所以四边形PEQF 为平行四边形.综上所述，存在点)1,0(P ，使得四边形PEQF 为矩形. ………………15分20.【解析】（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增，又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ；…6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立令)(|)(|)(x g x f x F +=，∴)(x F 在]4,2[上递增。