高三数学 专项精析精炼 考点42 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系考点解读
基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度讲，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点 (2)从代数角度讲，可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)②若a ≠0，设Δ＝b 2－4aca ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)．一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教B 版教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A 2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C 4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 24－y25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B 5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )．A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析 由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二 弦长及中点弦问题 【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值． [审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1. 当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ② 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化．(1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2. 由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2. 所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝⎛⎭⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号，∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·OQ →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. 由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1.又E ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1，|OD |＝ (－3)2＋⎝⎛⎭⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝ ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A (t ，a ba 2－t 2)，B ⎝⎛⎭⎫t ，b a a 2－t 2.(4分) 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分)所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．。
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
高中数学考点-直线与圆锥曲线的位置关系
9．9 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，||AB ＝__________________________． (2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算． 3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系． 无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠1．无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离 (2)平行或重合 平行或重合 2．(1)－b a ca1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k 2b 2－4ac||a直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．故选A. 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线y ＝1，以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线y ＝x ＋1.故选C.抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1，1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．y 2＝－2x解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .故选B.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为____________．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.故填x 24＋y 22＝1.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该渐近线与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4相交所得的弦长为________．解：因为bx －ay ＝0过点(1，2)，故b －2a ＝0，渐近线方程为2x －y ＝0，圆心到该直线的距离d ＝45，故弦长为24－165＝455.故填455.类型一 弦的中点问题(1)已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A ，B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1，1)，则直线AB 的方程为_____________________________．解法一：根据题意，易知直线AB 的斜率存在，设通过点M (1，1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝－9k （1－k ）9k 2＋4＝1，解之得k ＝－49.故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0.解法二：设A (x 1，y 1)．因为AB 中点为M (1，1)，所以B 点坐标是(2－x 1，2－y 1)． 将A ，B 点的坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①－②，得16x 1＋36y 1－52＝0，化简为4x 1＋9y 1－13＝0. 同理可推出4(2－x 1)＋9(2－y 1)－13＝0.因为A (x 1，y 1)与B (2－x 1，2－y 1)都满足方程4x ＋9y －13＝0， 所以4x ＋9y －13＝0即为所求．解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36， ② ①－②，得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为M (1，1)为弦的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.所以4(x 1－x 2)＋9(y 1－y 2)＝0.所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49.故AB 方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.故填4x ＋9y －13＝0.(2)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab＝( ) A.32 B.233 C.932 D.2327解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·23＝－1，所以a b ＝32.故选A.【点拨】题(1)的三种解法很经典，各有特色，解法一思路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美观，对称性强”，但消去x 1，x 2，y 1，y 2时，要求灵活性高，整体意识强．弦中点问题常用“点差法”(步骤详见“考点梳理”栏目)．(1)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于____________． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，变形得－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝y 1－y 2x 1－x 2，即－2b 22a 2＝－12，a 2＝2b 2，e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝22.故填22.(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解：因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，故选D.类型二 定点问题(2015·大庆检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y－1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)圆M 的圆心为(3，1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0，1)，F (c ，0)，直线AF 的方程为xc＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0.由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1＝3，解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)证法一：由AP →·AQ →＝0，知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1kx ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－6k1＋3k 2，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋3k 2，1－3k 21＋3k 2， 同理，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3，所以直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 21＋3k 26kk 2＋3－－6k 1＋3k 2＝k 2－14k ，所以直线l 的方程为y ＝k 2－14k ⎝⎛⎭⎫x －6k k 2＋3＋k 2－3k 2＋3， 即y ＝k 2－14k x －12.所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－12. 证法二：由AP →·AQ →＝0，知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2，x 1x 2＝3（t 2－1）1＋3k 2.(*)由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得3k 2>t 2－1.由AP →·AQ →＝0，得AP →·AQ →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝0. 将(*)代入，得t ＝－12，所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－12. 【点拨】(1)根据已知条件建立方程；(2)通过假设相关点的坐标，利用函数与方程思想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则计算或化简．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 202＋y 20＝1，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：易知F (－1，0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .类型三 定值问题如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．证明：(1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，BD 的方程为x ＝x 2，解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2.因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上． (2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得16a 2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫－2a ＋a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.【点拨】求解此类问题的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4. 当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值．类型四 与弦有关的范围与最值问题(2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.①将AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2bm 2＋2的坐标代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得3m 4＋4m 2－42m 4>0，即3m 4＋4m 2－4>0也即(3m 2－2)(m 2＋2)>0，解得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，则 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 【点拨】(1)圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．(2)解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；③利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4， 所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.类型五 对称问题已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，则a 的取值范围是____________． 解：设A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)为抛物线y ＝ax 2－1上的关于直线x ＋y ＝0对称的两相异点，则y 1＝ax 21－1，y 2＝ax 22－1.两式相减，得y 1－y 2＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)．再由x 1≠x 2，得y 1－y 2x 1－x 2＝a (x 1＋x 2)＝1.设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝12a .由M 点在直线x ＋y ＝0上，得y 0＝－12a .所以直线AB 的方程为y ＋12a ＝x －12a .联立直线AB 与抛物线的方程并消去y ，得ax 2－x ＋1a －1＝0.依题意，上面的方程有两个相异实根，所以Δ＝1－4a ⎝⎛⎭⎫1a －1＞0，解得a ＞34.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，＋∞.故填⎝⎛⎭⎫34，＋∞. 【点拨】应用判别式法解决此类对称问题，要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点，故Δ＞0.一般通过“设而不求”“点差法”得到对称点连线的方程，再与曲线方程联立，由判别式不等式求出参数范围．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围是____________．解：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， 因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12＜x G ＜0，即点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.故填⎝⎛⎭⎫－12，0.1．对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转换”等方法．2．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程或动弦中点M (x ，y )轨迹时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 两点在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m (或2x )，y 1＋y 2＝2n (或2y )，从而求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x ，y 之间的关系，整体消去x 1，x 2，y 1，y 2，得到点M (x ，y )的轨迹方程．3．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组．为简化运算，应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决. 以“求直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1(k 为参数)是否过定点”为例，有以下常用方法：①待定系数法：假设直线l 过点(c 1，c 2)，则y －c 2＝k (x －c 1)，即y ＝kx －c 1k ＋c 2，通过与已知直线方程比较得c 1＝－2，c 2＝1.所以直线l 过定点(－2，1)．②赋值法：令k ＝0，得l 1：y ＝1；令k ＝1，得l 2：y ＝x ＋3，求出l 1与l 2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k ＋2k ＋1恒成立，所以直线l 过定点(－2，1)．赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程． ③参数集项法：对直线l 的方程中的参数集项得y －1＝k (x ＋2)，由直线的点斜式方程，易知直线l 过定点(－2，1)．若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．4．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．5．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l (或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l 上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，并且满足OA ⊥OB ，则y 1y 2等于( ) A ．－4p 2 B ．－3p 2 C ．－2p 2 D ．－p 2 解：因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.①因为A 、B 都在抛物线上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，代入①得y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝－4p 2.3．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．23 解：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝⎛⎭⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，所以16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.故选B.4．抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1，2)，设抛物线的焦点为F ，则|F A |＋|FB |的值等于( )A ．7B ．3 5C ．6D ．5解：点A (1，2)在抛物线y 2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，可得p ＝2，a ＝－4，令A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0，即x A ＋x B ＝5，故|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7.故选A.5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94D ．4 解：易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0，所以|AB |为焦点弦． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.所以x 1＋x 22＝74. 所以AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94.故选C.6．(2016·贵州模拟)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.455B.4105C.9510D.91010解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5，则弦长|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝42×5－t 25≤4105.故选B.7．已知过定点(1，0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________． 解：由题知直线的斜率存在，设过定点(1，0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 可得x 2－kx ＋所以x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝k ，所以(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 故填1.8．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．解：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又因为P 是A ，B 的中点，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.所以直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －13＝0.故填3x ＋4y －13＝0.9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解：(1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，故有⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，c a ＝22，所以a ＝22，b ＝2.则所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得到椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)， |F 2C |＝（2－2）2＋（0＋2）2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝6，解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.10．已知过点M ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A 、B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点．(1)求p 的值；(2)当|AM |＋4|BM |最小时，求直线l 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.因为OA →·OB →＝－3，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，所以p 24－p 2＝－3p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2.(2)显然M 是抛物线的焦点，由抛物线定义，|AM |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BM |＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以|AM |＋4|BM |＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号．将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1，得x 2＝12(负值舍去)．将x 2＝12代入y 2＝4x ，得y 2＝±2，即点B ⎝⎛⎭⎫12，±2. 将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. 所以直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0. (2015·河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，其中O 为原点． (1)求抛物线E 的方程；(2)点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2为定值．解：(1)将y ＝kx ＋2代入x 2＝2py ，得x 2－2pkx －4p ＝0， 其中Δ＝4p 2k 2＋16p ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－4p ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 212p ·x 222p ＝－4p ＋4＝2，得p ＝12，所以抛物线E 的方程为x 2＝y .(2)证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2.k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1，所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2＝－8x 1x 2＝16，即k 21＋k 22－2k 2为定值．1．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解：由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选A.2．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的13，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 解：bc a ＝13×2b ，解得c a ＝23，即e ＝23.故选C.3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．8解：因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以AK ＝AF ＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.4．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解：联立得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a ，x 3＝－bk，代入各项验证即可得B 正确，故选B.5．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时，点P到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125C ．4D ．5 解：由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，所以所求的距离d ＝125，故选B.6．(2016·湖北模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D.6解：设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0.由题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1，解得x 20＝1，所以b a＝2，则e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.故选C.7．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为________．解：依题意知F (2，0)，直线l 的方程为y ＝x －2，与抛物线方程联立得x 2－12x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.故填8 2.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为________．解：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3)， 依题意得左焦点F (－1，0)， 所以OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，所以OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19x 2＋x ＋8，因为－3≤x ≤3，所以 6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.故填6.9．(2016·厦门模拟)已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线l ：y ＝kx ＋m (k ∈R )，使得OA →·OB →＝0成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .依题意有e ＝c a ＝12，a －c ＝1，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3.则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在直线l ，使得OA →·OB →＝0成立．理由如下： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)>0， 化简得3＋4k 2>m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.若OA →·OB →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，则(1＋k 2)·4m 2－123＋4k 2－km ·8km3＋4k2＋m 2＝0， 化简得7m 2＝12＋12k 2，将k 2＝712m 2－1代入3＋4k 2>m 2中，则3＋4⎝⎛⎭⎫712m 2－1>m 2，解得m 2>34，又由7m 2＝12＋12k 2≥12，得m 2≥127，从而m 2≥127，即m ≥2721或m ≤－2721.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－2721∪⎣⎡⎭⎫2721，＋∞. 10．(2016·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点(－1，0)交椭圆于M ，N 两点，求△AMN 面积的最大值． 解：(1)由题意可知a ＝2b ， 且2a ＝4，所以a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知A 点坐标为(－2，0)，直线MN 过定点D (－1，0)，即可令直线MN 的方程为x ＝my －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 2＝1消去x 得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2mm 2＋4， y 1y 2＝－3m 2＋4，所以S △AMN ＝12|AD ||y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝124m 2（m 2＋4）2＋12m 2＋4＝2m 2＋3（m 2＋4）2，令t ＝m 2＋3，则t ≥3， 所以S △AMN ＝2t（t ＋1）2＝21t ＋1t＋2 ≤213＋13＋2＝32， 所以当且仅当t ＝m 2＋3＝3，即m ＝0时，△AMN 的面积取最大值，最大值为32. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫1，22，直线PF 1交y 轴于点Q ，且PF 2→＝2QO →，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆C 的上顶点， 过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点， 设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点． 解：(1)因为椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1，①.又PF 2→＝2QO →，即PF 2⊥F 1F 2，则c ＝1，所以a 2－b 2＝1，②，由①②得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由(1)可知M (0，1)，当直线AB 的斜率不存在时， 设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由k 1＋k 2＝2得y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝2，则x 0＝－1，即直线AB 为x ＝－1.当直线AB 的斜率存在时， 设AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，由k 1＋k 2＝2得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2，即（kx 2＋m －1）x 1＋（kx 1＋m －1）x 2x 2x 1＝2，化简得(2－2k )x 2x 1＝(m －1)(x 2＋x 1)， 则(1－k )(m 2－1)＝－km (m －1)，由m ≠1，(1－k )(m ＋1)＝－km 得k ＝m ＋1， 所以y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ，即(x ＋1)m ＝y －x ， 故直线AB 过定点(－1，－1)．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.故选D. 2．(2016·锦州月考)过点(－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0解：设与直线x －2y ＋3＝0平行的直线方程为x －2y ＋C ＝0(C ≠3)，过点(－1，3)，则－1－6＋C ＝0，得C ＝7，故所求直线方程为x －2y ＋7＝0. 另解：利用点斜式．故选A.3．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2解：因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，所以n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．所以m ＋n ＝0.故选A.4．圆心在y 轴上且通过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0解：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，故圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3，1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.5．(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.6．(2017·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解：由题意得a ＝b ，4c ＝1⇒c ＝4，a ＝b ＝22x 28－y 28＝1.故选B.7．(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 解：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．故选B.8．(2016·泉州模拟)若抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解：由2p ＝1得p 2＝14，且|AF |＝x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.9．(2016·济南模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.10．(2016·南阳模拟)设F 1，F 2是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以PF 1为直径的圆经过F 2，若tan ∠PF 1F 2＝2515，则椭圆E 的离心率为( )A.56 B.55 C.54 D.53解：由题意可知∠PF 2F 1＝90°，且F 1F 2＝2c ，因为tan ∠PF 1F 2＝2515，所以PF 2＝2515×2c ，由勾股定理可得PF 1＝⎝⎛⎭⎫2515×2c 2＋（2c ）2＝2c ×7515，依据椭圆的定义可得PF 1＋PF 2＝2a ，即2a ＝9515×2c ，即a ＝355c ，故离心率e ＝53.或由tan ∠PF 1F 2＝b 2a 2c求解．故选D.11．(2016·甘肃模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B. 3 C.233D ．2解：易知抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，则c ＝2，令P (m ，n )在第一象限，由抛物线的定义知|PF |＝m ＋p2＝m ＋2＝5，所以m ＝3，则点P 的坐标为(3，26)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，解得a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选D.12．已知A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( ) A ．3－ 2 B ．4 C ．3＋ 2 D ．6解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝⎛⎭⎫－k2，0位于直线x －y －1＝0上， 于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是－x 2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2016·重庆模拟)双曲线y 22－x 24＝1的离心率为__________．解：由双曲线的标准方程知a 2＝2，b 2＝4，则c 2＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62＝ 3.故填 3.14．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是________．解：由题知直线PQ 的斜率是－12，故直线PQ 的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.故填x ＋2y －5＝0.15．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．解：设N (0，a )，F (2，0)，那么M ⎝⎛⎭⎫1，a 2，点M 在抛物线上，所以a 24＝8a 2＝32a ＝±42，所以N (0，±42)，那么|FN |＝（2－0）2＋（0±42）2＝6.故填6.16．(2016·北京)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．解：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，如图所示．因为四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，所以c ＝2 2.因为直线OA 是双曲线的一条渐近线，∠AOB ＝π4，所以b a ＝tan π4＝1，即a ＝b ，又a 2＋b 2＝c 2＝8，所以a ＝2.故填2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2015·陕西校级期末)分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式．(1)经过点P (1，－2)，且斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同；(2)经过两点A (0，4)和B (4，0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0垂直．解：(1)过点P (1，－2)，斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同的直线方程是y ＋2＝2(x －1)，化为一般式方程为2x －y －4＝0.(2)过两点A (0，4)和B (4，0)的直线方程是x 4＋y 4＝1，化为一般式方程为x ＋y －4＝0. (3)设与直线3x －4y ＋5＝0垂直的直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，且该直线过点(2，－4)，则有4×2＋3×(－4)＋m ＝0，解得m ＝4，所以所求的直线方程为4x ＋3y ＋4＝0.也可直接由点斜式求解．18．(12分)(2016·集美模拟)已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线，求双曲线方程． 解：由椭圆x 249＋y 224＝1⇒c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 由渐近线为y ＝±43x ，得b a ＝43，且a 2＋b 2＝25， 则a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为x 29－y 216＝1. 19．(12分)(2016·深圳模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．(1)当|PF |＝2时，求点P 的坐标；(2)求点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值．解：(1)依题意可设P ⎝⎛⎭⎫a ，a 24(a >0)，易知F (0，1)，因为|PF |＝2，结合抛物线的定义得a 24＋1＝2， 即a ＝2，所以点P 的坐标为(2，1)．(2)设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，a 24(a >0)， 则点P 到直线y ＝x －10的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －a 24－102＝⎪⎪⎪⎪a 24－a ＋102.因为a 24－a ＋10＝14(a －2)2＋9， 所以当a ＝2时，a 24－a ＋10取得最小值9， 故点P 到直线y ＝x －10的距离的最小值d min ＝92＝922. 20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆O 内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由x 2＝4，即得A (－2，0)，B (2，0)．设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1. 所以P A →·PB →的取值范围是[－2，0)．21．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线与圆M 的方程．解：(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2得y 2－2my －4＝0， Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－4(m 2＋1)＋4m 2＋4＝0，所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
例题3、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
题型三：动弦过定点的问题例题4、（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =PQ的斜率。
练习：（2009辽宁）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆C 的方程；（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
高三数学 专项精析精炼 考点42 直线与圆锥曲线的位置关系
考点42 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T8)设a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线 22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2D.3【解题提示】求出过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线为y=-sin cos θθx,结合双曲线的渐近线方程,可得结论.【解析】选A.由于a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根, 所以a+b=-sin cos θθ,ab=0, 过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线为y-a 2=22b a b a-- (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-sin cos θθx, 因为双曲线 22cos x θ-22sin y θ=1的一条渐近线方程为y=-sin cos θθx, 所以过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线 22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为0. 2.（2014·辽宁高考文科·Ｔ8）已知点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为431()()1()()342A B C D ----【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；利用直线的斜率公式求出直线AF 的斜率 【解析】选Ｃ.根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F从而直线AF 的斜率为303.224-=--- 二、填空题3.（2014·安徽高考文科·Ｔ15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 【解题提示】根据各选项分别判断。
高三数学直线与圆锥曲线的位置(201912)
【例5】已知椭圆的一个焦点F1（0，-2 2 ）， 对应的准线方程为y= 9 2 , 且离心率e满足：
4
2/3，e，4/3成等比数列.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点M、
直线与圆锥曲线的位置关系
高三备课组
一、基本知识概要：
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的 弦。 焦点弦：若弦过圆锥= 曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：
【例3】已知抛物线 y 2 x与直线 y k(x 1)
相交于A、B两点
(1)求证：OA OB
(2)当 OAB的面积等于 10 时，求 k 的值。
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三 角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问 题、解决问题的能力。
【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3 对称，求k的取值范围。 [思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
二、例题：
【例1】直线y=x+3与曲线 y 2 x | x | 1 （ ）
94
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
[思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线 l : y tan(x 2 2) 交椭圆
x2 9 y 2 9 于A、B两点，若 为 l 的倾斜角，且 AB 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
l 1 k 2 x1 x2
(1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
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考点42 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T8)设a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线 22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2D.3【解题提示】求出过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线为y=-sin cos θθx,结合双曲线的渐近线方程,可得结论.【解析】选A.由于a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根, 所以a+b=-sin cos θθ,ab=0, 过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线为y-a 2=22b a b a-- (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-sin cos θθx, 因为双曲线 22cos x θ-22sin y θ=1的一条渐近线方程为y=-sin cos θθx, 所以过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线 22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为0. 2.（2014·辽宁高考文科·Ｔ8）已知点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为431()()1()()342A B C D ----【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；利用直线的斜率公式求出直线AF 的斜率 【解析】选Ｃ.根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F从而直线AF的斜率为303. 224-=---二、填空题3.（2014·安徽高考文科·Ｔ15）若直线l与曲线C满足下列两个条件：)(i直线l在点()0,yxP处与曲线C相切；)(ii曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=yl在点()0,0P处“切过”曲线C：2xy=②直线1:-=xl在点()0,1-P处“切过”曲线C：2)1(+=xy③直线xyl=:在点()0,0P处“切过”曲线C：xy sin=④直线xyl=:在点()0,0P处“切过”曲线C：xy tan=⑤直线1:-=xyl在点()0,1P处“切过”曲线C：xy ln=【解题提示】根据各选项分别判断。
【解析】根据题意满足条件的有（1）（3）（4），剩余选项（2）（5）都在切线的一边。
答案： ④4.（2014·安徽高考理科·Ｔ14））设21,FF分别是椭圆2221(01)yx bb+=<<)10(1:222<<=+bbyxE的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E于BA,两点，若xAFBFAF⊥=211,3轴，则椭圆E的方程为__________【解题提示】构造直角三角形，利用线段平行、垂直关系及点A,B在椭圆上求得参数b.【解析】如图所示，设122(,),B(x,)A c y y，作12F//F BC,则1122331y y y y =? ①2223543c x c c x =?-- ② 又点A,B 在椭圆上，所以22122222222111y c b y x b c bìï+=ïïï+=íïï=-ïïî与①②联立解得223b =。
所以椭圆方程为22312y x +=。
5. （2014·湖南高考文科·Ｔ14）平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是【解题提示】根据抛物线的定义和直线与圆锥曲线的关系求解。
【解析】把机器人看做一个动点，则根据抛物线定义知道它的轨迹为抛物线，其方程为x y 42=，过点()01，-P 且斜率为k 的直线方程为()1+=x k y ，两个方程联立()⎩⎨⎧+==142x k y x y ，消去y 得()0422222=+-+k x k x k ，由题意()0442422<--=∆k k ， ,12>k 所以∈k ），（），（∞+⋃∞11--。
答案：），（），（∞+⋃∞11-- 三、解答题6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T20)(本小题满分12分)设F 1,F 2分别是椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率. (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且MN =51F N ,求a,b.【解题提示】(1)利用直线MN 的斜率为34再结合a 2=b 2+c 2表示出关于离心率e 的方程,解方程求得离心率.(2)结合图形,利用椭圆的性质和焦半径公式求得a,b.【解析】(1)因为由题知, 112MF F F =34,所以2b a ·12c =34,且a 2=b 2+c 2.联立整理得:2e 2+3e-2=0,解得e=12.所以C 的离心率为12. (2)由三角形中位线知识可知,MF 2=2×2,即2b a=4.设F 1N=m,由题可知MF 1=4m.由两直角三角形相似,可得M,N 两点横坐标分别为c,- 32c.由焦半径公式可得: MF 1=a+ec,NF 1=a+e 32c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且MF 1∶NF 1=4∶1,e=,a 2=b 2+c 2.联立解得a=7,b=27. 所以,a=7,b=27.7. （2014·湖南高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r？证明你的结论.【解题提示】利用椭圆的定义和直线与圆锥曲线位置关系，联立方程组，求解。
【解析】（1）设2C 的焦距为22c ，由题意知，,22,2212==a c 从而.1,121==c a 因为点），（1332P ，在双曲线12122=-b y x 上，所以11-332212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，故321=b 由椭圆的定义知()()321133211332222222=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 于是2,32222222=-==c a b a ，故21,C C 的方程分别为123,132222=+=-x y y x（2）不存在符合题设条件的直线 （i ）若直线l 垂直于x 轴，因为l 与2C 只有一个公共点，所以直线l 的方程为2=x 或2-=x当2=x 时，易知)3,2()32(-B A ，，,所以3222==+→→→AB OB OA ，，此时， →→+OB OA ≠→AB当2-=x ，同理可知→→+OB OA ≠→AB(ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为m kx y +=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=132y x mkx y 得032-3222=---m kmx x k ）（ 当l 与1C 相交于A,B 两点时，设)(,2,21,1y x B y x A ）（，则21,x x 是上述方程的两个实根，从而33,322221221-+=-=+k m x x k km x x ， 于是333)(22222121221--=+++=k m k m x x km x x k y y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322x y m kx y 得062432222=-+++m kmx x k ）（ 因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以上述方程的判别式0)3)(32(816222=-+-=∆m k m k化简，得3222-=m k 。
因此0333333322222222121≠---=--+-+=+=⋅→→k k k m k k m y y x x OB OA于是OB OA OB OA OB OA OB OA ⋅-+≠⋅++222222 即22-→→→→≠+OB OA OBOA ，故→→→≠+AB OB OA综合（i ）（ii ）可知，不存在符合题设条件的直线8.(2014·广东高考文科·T20)(14分)已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【解题提示】(1)由c,e,求出b 得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论. 【解析】(1)因为c=5,离心率e=53, 所以a=3,b=2,椭圆C 的标准方程为29x +24y =1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为0, 此时点P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切线方程为y-y 0=k(x-x 0),代入29x +24y =1中,整理可得(9k 2+4)x 2+18k(y 0-kx 0)x+9[(y 0-kx 0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y 0-kx 0)2-36(9k 2+4)[(y 0-kx 0)2-4]=0, 进一步化简得(20x -9)k 2-2x 0y 0k+20y -4=0.因为两条切线相互垂直,所以k 1k 2=-1,也就是202049y x --=-1,则20x +20y =13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程20x +20y =13, 所以点P 的轨迹方程为20x +20y =13.方法二:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为0,此时点P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则219x +214y =1且229x +224y =1.两条切线方程分别为19x x +14y y =1和29x x +24y y=1, 因为两条切线都过点P(x 0,y 0), 所以109x x +104y y =1且209x x +204y y=1, 因为两条切线相互垂直, 所以k 1=0101y y x x --,k 2=0202y y x x --且k 1k 2=-1,也就是202049y x --=-1,整理得20x +20y =13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程20x +20y =13, 所以点P 的轨迹方程为20x +20y =13.9.(2014·广东高考理科)(14分) 已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的一个焦点为离(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【解题提示】(1)由c,e,求出b 得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论.【解析】(1)因为离心率, 所以a=3,b=2,椭圆C 的标准方程为29x +24y =1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0, 此时点P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y 0=k(x-x 0),代入29x +24y =1中,整理可得(9k 2+4)x 2+18k(y 0-kx 0)x+9[(y 0-kx 0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y 0-kx 0)2-36(9k 2+4)[(y 0-kx 0)2-4]=0, 进一步化简得(20x -9)k 2-2x 0y 0k+20y -4=0.因为两条切线相互垂直,所以k 1k 2=-1,也就是202049y x --=-1,则20x +20y =13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程20x +20y =13, 所以点P 的轨迹方程为20x +20y =13.方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则219x +214y =1且229x +224y =1.两条切线方程分别为19x x +14y y =1和29x x +24y y=1, 因为两条切线都过点P(x 0,y 0),所以109x x +104y y =1且209x x +204y y=1,因为两条切线相互垂直,所以k 1=0101y y x x --,k 2=0202y y x x --且k 1k 2=-1,也就是202049y x --=-1,整理得20x +20y =13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程20x +20y =13,所以点P 的轨迹方程为20x +20y =13.10.（2014·福建高考理科·Ｔ19）（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。