数学精英解集合题、函数题题

数学精英解“集合题”与“函数题”
1．（07安徽理5）若22
{228}{l og
1}
x
A x
B x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则A ∩(R B )的元
素个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解答】：C 由23{222}x A x -=∈≤<Z ，故{11}A x x =∈-<≤Z ， 解2{log 1}B x x =∈>R 得22{log 1log 1}B x x x =∈><-R 或得
1{2}2B x x x =∈><<
R 或0，
所以R B=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤≤∈0221
x x x 或|
R ，则A ∩(R B )={0，1}，故有两个元素. 2．（07山东理6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-，下列函数中不．
满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x =
B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =
D ．()tan f x x =
【解析】 B ()()()f xy f x f y =+是对数模型，()()()f x y f x f y +=是指数模型，
()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-是正切的两角和公式的模型.故选B
3． (07天津文4)设12
log 3a =，0.213b ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，1
32c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【解答】 解决的关键是选好关键值，如0，1等. A 由12
log 31a =<-，0.2
1013b ⎛⎫
<=< ⎪
⎝⎭，1
321c =>可得a b c <<.
4．（07湖北理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过
程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（a 为常数），如图所示．据
图中提供的信息，回答下列问题：
（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；
（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下
时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生
才能回到教室．
【分析】 本题以应用题的形式考查学生的阅读能力，识图能力，本题的关键是(0.1,1)这点，通过此点求两个函数关系式，即可迎刃而解.
【解答】：通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数，后段是指数函数，所以把(0.1,1)分别代入两个解析式可得：1
10110010111610t t t y t -
⎧⎛
⎫ ⎪⎪
⎝⎭⎪
=⎨⎪⎛⎫⎛
⎫>
⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩，，，≤≤；第二问通过0.25y =代入指数函数解析式可得求得0.6
【说明】：本题的题目简单但是要求审题细致，否则第二问很容易错填
2340
.
5.（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，
()31x
f x =-，则有（ ）
Ａ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解答】 B 由题当1x ≥时()31x f x =-是单调递增函数又它的图像关于直线1x =对称，所以当1x <时，函数()f x 是单调递减函数，且3
11
1
()(1)(1)()2
2
22
f f f f =+
=-
=，因为112
1323<<<，所以112()()()323f f f >>即231
()()()323
f f f << 6．（07重庆理13）
若函数()f x =的定义域为R ，
则α的取值范围为______． 【分析】 解题关键是正确转化题干的含义. 【解答
】()f x =
的定义域为R ，可知x R ∈，2
22
1x
ax a
--≥恒成立，即
2
20x ax a --≥恒成立，即2
440a a ∆=+≥得[]10a ∈-，
. 7.（07上海理4）方程 96370x x -∙-=的解是 ．
【解答】 令3x t =，0t >，则方程变为2
670t t --=，解得1(,7t t =-=舍去）
，故3
37,lo g 7x
x == 8．(07天津理5)
函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ）
Ａ．142(2)x x y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->
Ｄ．242(1)x x y x +=->
【解答】 C 由2log 2)(0)y x =>，解得2
42(0
)y y x x +=->
得2
42
(2)x x y x +=->.
9.（07全国卷1理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．
【解答】 3()x x ∈R 函数3
l o g (0)y x x =>关于直线y x =对称的函数就是
3log (0)y x x =>的反函数，故应填3()x
x ∈R ，请注意定义域.
10.（07四川理2）函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是
【解答】C 通过特殊点来判断图像()f x 过点(1,1)，()g x 过点(0,2)可得选C.。