对称式
对称式得参数方程
对称式参数方程引言对称式参数方程是一种描述曲线或曲面的数学工具。
通过使用参数方程，我们可以更加准确地描述和分析几何图形的形状和属性。
对称式参数方程特别适用于描述对称性的图形，如圆、椭圆、双曲线等。
本文将深入探讨对称式参数方程的概念、性质和应用。
首先，我们将介绍参数方程的基本概念和定义。
接着，我们将讨论对称式参数方程的特点和性质。
最后，我们将通过实例来说明对称式参数方程的具体应用。
一、参数方程的基本概念和定义1.1 参数方程的定义参数方程是一种使用参数表示变量之间关系的数学表达式。
对于平面曲线或曲面，参数方程通常以参数形式表示其坐标。
例如，对于平面曲线，参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
曲线上的每个点都可以通过参数t唯一确定。
1.2 参数方程与直角坐标方程的转换直角坐标方程是描述曲线的另一种常见形式。
与参数方程不同，直角坐标方程使用x和y的关系来表示曲线。
我们可以通过消去参数t来将参数方程转换为直角坐标方程，或者通过引入参数t来将直角坐标方程转换为参数方程。
二、对称式参数方程的特点和性质对称式参数方程是一种特殊的参数方程，它具有对称性。
对称式参数方程的特点和性质有以下几个方面。
2.1 对称方程的定义对称式参数方程是指满足对称性质的参数方程。
对称性质可以是关于x轴、y轴、原点或其他轴线的对称。
对称式参数方程可以通过对参数方程进行变换得到。
2.2 对称方程的性质对称式参数方程具有以下性质： - 对称式参数方程关于x轴对称的形式为： -x=f(t)，y=−g(t) - 对称式参数方程关于y轴对称的形式为： - x=−f(t)，y=g(t) - 对称式参数方程关于原点对称的形式为： - x=−f(t)，y=−g(t) -对称式参数方程关于直线y=kx对称的形式为： - x=u(t)−kv(t)1+k2，y=ku(t)+v(t)1+k2，其中u(t)和v(t)是关于t的函数，k是给定的常数2.3 对称方程的应用对称式参数方程在几何学和物理学中具有广泛的应用。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式在空间解析几何中，直线是一个基本的几何要素。
直线是由两个不同的点所确定的，而其方向则由这两个点所连线的方向所决定。
在空间中，直线的方程有多种形式，本文将介绍其中的几种形式。
一、点向式点向式是指直线上的一点和直线的方向向量所构成的方程形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的点向式方程为：L: r = P + λv其中，r表示直线上的任意一点，λ为实数。
点向式方程的优点在于通过给定的点和方向向量，可以很容易地确定直线的方程。
同时，由于方向向量的存在，点向式方程也可以很方便地求出直线的参数方程和对称式方程。
二、参数式参数式是指直线上的任意一点可以表示为参数的函数形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的参数式方程为：x = x0 + tvxy = y0 + tvyz = z0 + tvz其中，t为参数，(x0,y0,z0)为直线上的一点，(vx,vy,vz)为方向向量。
参数式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以很容易地求出直线的对称式方程和点向式方程。
三、对称式对称式是指直线上的任意一点到直线上某一点的距离等于该点到直线上另一点的距离。
对于一条直线L，其上有两个不同的点P1和P2，则该直线的对称式方程为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为直线上的两个不同的点。
对称式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点到直线上某一点的距离，同时也可以很容易地求出直线的参数式方程和点向式方程。
四、一般式一般式是指直线的方程可以表示为三个平面的交点形式。
对于一条直线L，其方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(A,B,C)为直线的方向向量的分量，D为常数。
一般式方程的优点在于可以很容易地求出直线与其他平面的交点，同时也可以很方便地求出直线的参数式方程和点向式方程。
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
直线一般方程怎么化为对称式方程
直线一般方程怎么化为对称式方程
直线一般方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
这种方程描述的是平面上的一条直线，但是它并不直观，不利于直观理解和计算。
因此，我们需要将它化为对称式方程，以便更好地理解和计算。
对称式方程是指形如(x - x0) / a = (y - y0) / b的方程，其中(x0, y0)为直线上的一点，a、b为常数。
这种方程描述的是以(x0, y0)为中心，a、b为半轴的椭圆的边界，也就是直线的对称轴。
将直线一般方程化为对称式方程，可以更好地描述直线的性质和特点。
下面，我们来介绍一下如何将直线一般方程化为对称式方程。
我们需要确定直线上的一点和直线的斜率。
直线的斜率可以通过一般方程的系数求得，即斜率为-m / n，其中m、n为A、B的系数。
直线上的一点可以通过将x或y设为0，求解另一个变量得到。
接下来，我们需要确定直线的对称轴。
对称轴是直线上的一点关于直线的垂线，因此我们可以通过直线的斜率求得对称轴的斜率，即对称轴的斜率为n / m。
然后，我们可以通过直线上的一点和对称轴的斜率求得对称轴的方程。
我们将直线的一般方程化为对称式方程。
我们可以通过直线上的一点和对称轴的方程求得椭圆的中心坐标(x0, y0)，以及椭圆的半轴长度a、b。
然后，我们就可以将直线的一般方程化为对称式方程了。
将直线一般方程化为对称式方程可以更好地描述直线的性质和特点，有助于我们更好地理解和计算。
通过上述方法，我们可以轻松地将直线一般方程化为对称式方程。
空间中直线表达式
空间中直线表达式在三维空间中，直线是一个基本几何概念。
直线有许多表达方式，有向直线、带方向的直线、两点式、参数方程等，本文将按类别分别介绍空间中直线的不同表示方式。
1. 向量式表示向量式表示直线是为了方便运用向量的性质。
设直线上的任意两点分别为 $A$ 和 $B$，则直线的向量表示可以写成以下形式：$$\vec{r}=\vec{a}+t \vec{u}$$其中 $\vec{a}$ 是一点坐标，$\vec{u}$ 是方向向量，$t$ 为任意实数。
这个表示方式简单明了，易于计算。
2. 对称式表示对称式表示直线是为了方便求直线与平面的交点。
这个表示方式是通过向量面积叉乘的方法得到的。
设直线上的任意一点为 $P$，平面$E$ 中过 $P$ 的垂线交较 $E$ 于 $Q$，则直线的对称式可表示为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上一点的坐标，$l,m,n$ 是平面 $E$ 的法向量的 $x,y,z$ 分量。
这个表示方式方便求出交点坐标，是平面、直线的运用中不可或缺的工具。
3. 参数式表示参数式表示直线是为了方便描述直线上的点。
设直线上的任意一点为$P(t)$，则直线的参数式可表示为：$$\begin{cases}x=x_0+ta\\y=y_0+tb\\z=z_0+tc\end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量，$t$ 为直线上的任意实数。
这个表示方式便于描述过直线上某一点的一条曲线。
4. 对称式、两点式组合表示直线的对称式、两点式组合表示是为了方便求出直线与平面的交点，且同时满足过两点的条件。
设直线上的两点分别为 $A(x_1,y_1,z_1)$ 和$B(x_2,y_2,z_2)$，平面 $E$ 中过 $A$、$B$ 的垂线交 $E$ 于 $C$、$D$ 两点，则直线的组合式可表示为：$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$或者$$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$其中 $a=x_2-x_1$，$b=y_2-y_1$，$c=z_2-z_1$。
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
轮换对称
轮换对称式因式分解的步骤
a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b)
解：设原式= k (a b)(b c)(c a) 比较等号两边 a2b 项的系数，得 k 1 所以，原式= (a b)(b c)(c a)
x2 y y 2 z z 2 x
2. 关于相同字母的对称式或轮换式的和、差、积、商仍是对称式或轮换式 3. 若对称式或轮换式中含有某种形式的式子，则必含有这种形式的同型式。
常见的关于 x、y、z 的齐次轮换对称式 一次 二次 三次
k (a b c)
k1 ( x2 y2 z 2 ) k2 ( xy yz zx)
【例6】
因式分解： x2 y y 2 z z 2 x xy 2 yz 2 zx2 3xyz
奥巴马老师语录：特殊问题特殊对待，并非每道题都需要用一般方法来解决。
【例 7】（2012 某重点高中预录取）因式分解：
( x a)3 (b c) ( x b)3 (c a) ( x c)3 (a b)
3.
k1 ( x y z ) k2 ( x2 y y2 z z 2 x) k3 ( xy 2 yz 2 zx2 ) k4 xyz
利用待定系数法，反求 k 值
4.
【例1】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因式分解： a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b)
【例2】
因式分解： (a b c)4 (a b)4 (b c)4 (c a)4 a4 b4 c4
直线的一般方程化为对称式方程
直线的一般方程化为对称式方程
直线的一般方程化为对称式方程，可以通过将一般式方程经过一定的变形，得到对称式方程。
一般来说，直线的一般方程形式是Ax+By+C=0，其中A、B、C 是常数。
对于一般式方程，我们可以通过将其变形为对称式方程来更方便的表示直线的性质。
对称式方程是直线方程的一种常见形式，其形式为xcosα+ysinα=p，其中α是直线与x轴的夹角，p是直线到原点的距离。
与一般式方程相比，对称式方程更容易表示出直线的斜率和截距等性质，因此在实际应用中更加方便。
要将一般式方程转化为对称式方程，我们可以通过以下步骤进行。
首先，我们可以将一般式方程中的A除以C，得到一个新的常数k=-A/C。
然后，我们将一般式方程中的x和y分别用x'=x-kC和y'=y-kA替换，得到一个新的方程
Ax'+By'+C'=0。
最后，我们可以将这个新的方程表示为对称式方程的形式
xcosα+ysinα=p，其中α=tan(-k)。
总之，将直线的一般方程化为对称式方程可以更方便地表示直线的性质，同时也可以更加方便地进行实际应用。
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2
3.
(a + b + c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 − (a + b − c)3
4.
a 5 − b 5 − ( a − b)5
5.
( y − z )3 + ( z − x )3 + ( x − y )3
6.
x2y+xy2+z2x+zy2+yz2+zx2+3xyz
2、 x 3 ( y 6 − z 6 ) + y 3 ( z 6 − x 6 ) + z 3 ( x 6 − y 6 )
3、 a 2 (a + b)(a + c)(b − c) + b 2 (b + c)(b + a )(c − a ) + c 2 (c + a )(c + b)( a − b)
4、 x 2 y + xy 2 + z 2 x + zy 2 + yz 2 + zx 2 + 2 xyz
判 定 mx + ny + rz 是 否 为 多 项 式 f ( x, y, z ) 的 因 式 的 方 法 是 ： 令 mx + ny + rz = 0 ，计算
f ( x，y，z ) ，如果 f ( x，y，z )=0 ，那么 mx + ny + rz 就是 f ( x，y，z ) 的因式，在实际操作时，
可首先考虑 mx + ny + rz 的如下特殊情形：
x，x + y，x − y，x + y + z，x − y + z
例 1：将下列各式因式分解： 1.
x 2 ( y − z ) + y 2 ( z − x) + z 2 ( x − y )
2.
a 3 (b − c) + b3 (c − a ) + c 3 (a − b)
5、 a (b − c)5 + b(c − a )5 + c对称多项式 一次： a ( x + y + z ) ；二次： a ( x + y + z ) + b( xy + yz + zx)
2 2 2
2 2 2 三次： a ( x 3 + y 3 + z 3 ) + b x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) + cxyz
都是对称式.其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式. 2. 在含有多个变量的代数式 f (x,y,z)中，如果变量 x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个 代数式为轮换对称式，简称轮换式. 例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b), （xy+yz+zx）( 2x2y+2y2z+2z2x,
7.
a 3 (a + 1)(b − c) + b3 (b + 1)(c − a ) + c3 (c + 1)(a − b)
8.
( y 2 − z 2 )(1 + xy )(1 + xz ) + ( z 2 − x 2 )(1 + yz )(1 + yx) + ( x 2 − y 2 )(1 + zx)(1 + zy )
1
x− y 均是交代式。 x+ y
初中主要学习二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。 （一） 下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧 （为什么？） 1.若 f ( x，y，z ) 是对称式，则在解题中可设 x ≤ y ≤ z 。 2.若 f ( x，y，z ) 是对称式，则当 x，y 满足性质 p 时， x，z；y，z 也满足性质 p 。 ，但不能设 x ≤ y ≤ z 。 （为什么？） 3.若 f ( x，y，z ) 是轮换式，则在解题中可设 x 最大（小） 4.若 f ( x，y，z ) 是轮换式，且 x，y 满足性质 p ，则 y，z；z，x 也满足性质 p 。 5.若 f ( x，y，z ) 是交代多项式，则 x − y，y − z，z − x 是 f ( x，y，z ) 的因式，即
因式分解之对称式
一、 概念： 1. 在含有多个变量的代数式 f (x,y,z)中，如果变量 x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则 称这个代数式为绝对对称式，简称对称式. 如： 代数式 x+y， xy， x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy,
1 1 x+ y y+z z+x + ， + + . x y xyz xyz xyz
f ( x，y，z ) = ( x − y )( y − z )( z − x) g ( x，y，z ) 其中 g ( x，y，z ) 是对称式。
（二） 在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式 是常用的。齐次对称多项式的一般形式： 1.二元齐次对称多项式
2 2 3 3 一次： a ( x + y ) ； 二次： a ( x + y ) + bxy ；三次： a ( x + y ) + bxy ( x + y )
1 1 1 1 ， + + − a b c abc
1 1 1 1 1 1 . + 2 + 2 + + )， 2 2 2 2 2 x y z a +b −c b +c −a c + a2 − b2
都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 3．在含有多个变量的代数式 f (x,y,z)中，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么 就称这个代数式为交代式。如， x − y， ( x − y )( y − z )( z − x)， 4. 下面对称多项式称为基本对称多项式。 二元基本对称多项式是指 x + y，xy ， 三元基本对称式是指 x + y + z，xy + yz + zx，xyz 二.性质： 1. 含两个变量 x 和 y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示. 2. 对称式中，如果含有某种形式的代数式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系 数相等. 例如：在含 x, y, z 的齐二次对称多项式中， 如果含有 x2 项，则必同时有 y2, z2 两项；如含有 xy 项，则必同时有 yz, zx 两项，且它们的 系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中 m, n 是常数. 3. 轮换式中，如果含有某种形式的代数式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同 型式，且系数相等. 例如：轮换式 a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式 a－b 一项, 必有同型式 b－c 和 c－a 两项. 4. 两个同字母的对称式的和，差，积，商（除式不为零） ，仍然是对称式. 5. 两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的积、商是对称式； 6. 同字母对称式与交代式的积、商是交代式； 7. 两个同字母的轮换式的和、差、积、商是轮换式； 8. 多变元的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。 三、对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
3
例 2：设 x,y,z 是整数，证明：
x 4 ( y − z ) + y 4 ( z − x) + z 4 ( x − y ) ( y + z ) 2 + ( x + z ) 2 + ( x + y ) 2 是整数。
练习： 1、 ( x + y + z ) 4 − ( x + y ) 4 − ( y + z ) 4 − ( x + z ) 4 + x 4 + y 4 + z 4