用三角代换法妙解有理函数积分

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高中三角换元法例题

高中三角换元法例题
三角换元法是微积分中的一个重要概念，通常用于解决一些复杂的三角函数积分问题。

下面我将用更多的字数从多个角度来解释高中三角换元法的例题。

假设我们有一个例题，求积分∫sin^3(x)cos(x)dx。

首先，我们可以利用三角换元法，令u = sin(x)，那么du = cos(x)dx。

然后我们可以将原积分转化为∫u^3du，这个积分就变得更容易求解了。

通过对u^3进行积分，我们得到 (1/4)u^4 + C，其中C为积分常数。

最后再将u用sin(x)代回去，得到最终的结果为 (1/4)sin^4(x) + C。

另外，三角换元法也可以用于解决一些三角函数的恒等式证明问题。

例如，我们要证明恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1。

我们可以利用三角换元法，令u = sin(x)，那么√(1 u^2) = cos(x)，然后将u和√(1 u^2)代入恒等式中进行变形，最终可以得到等式成立的证明。

除此之外，三角换元法还可以用于解决一些三角函数的微分方
程问题和一些三角函数的级数展开问题。

在高中数学中，三角换元
法的应用虽然不太常见，但是了解和掌握这个方法对于理解微积分
和三角函数的关系是非常有帮助的。

综上所述，高中三角换元法是微积分中的一个重要概念，通过
这个方法可以解决一些复杂的三角函数积分问题，恒等式证明问题，微分方程问题和级数展开问题。

掌握三角换元法可以帮助我们更深
入地理解三角函数和微积分的联系，从而更好地应用这些知识解决
实际问题。

浅谈三角函数有理式积分的求法

浅谈三角函数有理式积分的求法
浅谈三角函数有理式积分的求法
摘要：本文主要通过恒等变形法、凑微分法、变量代换法、裂项法等方法对三角函数有理式积分的求法进行了一些探讨。

关键词：三角函数有理式积分
R（sinx，cosx）表示以sinx、cosx为变元的有理式，即对于sinx、cosx及常数施行有理运算即加减乘除四则运算的结果。

如、、等。

它们都是对cosx、sinx 及常数施行有理运算得到的结果。

笔者对形如R（sinx，cosx）dx的积分算法做了一些探讨，下面就对此类方法作一介绍。

1 恒等变形法
由于三角函数有许多特有的性质，如各种三角函数之间有一些公式相互联系，三角函数的导数仍是三角函数，如sin2x+cos2x=1，（sin2x+cos2x）2=1，1+tan2x=sec2x，（sinx）′=cosx等，这使得三角函数有理式的积分可通过三角函数的恒等变形，将其化为分项积分求出。

一般通过适当的三角恒等式及有关的三角函数的微分公式就能把这些积分求出。

例1：求（sin3x+cos2x）dx；
解：原式= sin3xdx +cos2xdx
=（cos2x-1）d cosx + （1+cos2x）dx
=cos3x-cosx+x+sin2x+C
例2：求dx；
解：原式=cot2xcsc4xdx=-cot2x（1+cot2x）dcotx
=-cot3x-cot5x+C
例3：求dx；
解：原式=（1-）dx = x-dx
=x-dx = x-dx
=x-dtanx=x-arctan（tanx）+C。

三角代换公式万能公式

三角代换公式万能公式一、三角代换公式。

（一）基本的三角代换形式。

1. 对于a^2-x^2（a>0）- 可令x = asinθ，θ∈<=ft[-(π)/(2),(π)/(2)]。

- 此时a^2-x^2=a^2-a^2sin^2θ=a^2(1 - sin^2θ)=a^2cos^2θ。

2. 对于a^2+x^2（a>0）- 可令x = atanθ，θ∈<=ft(-(π)/(2),(π)/(2))。

- 那么a^2+x^2=a^2+a^2tan^2θ=a^2(1+tan^2θ)=a^2sec^2θ。

3. 对于x^2-a^2（a>0）- 可令x = asecθ，θ∈<=ft[0,(π)/(2))∪<=ft((π)/(2),π]。

- 于是x^2-a^2=a^2sec^2θ - a^2=a^2(sec^2θ - 1)=a^2tan^2θ。

二、万能公式。

（一）公式内容。

1. sinα=(2tanfrac{α)/(2)}{1 + tan^2(α)/(2)}- 证明：- 由tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)}。

- 根据二倍角公式sinα = 2sin(α)/(2)cos(α)/(2)，cosα=cos^2(α)/(2)-sin^2(α)/(2)。

- 又因为sin^2(α)/(2)+cos^2(α)/(2) = 1，将sinα分子分母同时除以cos^2(α)/(2)，可得sinα=(2tanfrac{α)/(2)}{1+tan^2(α)/(2)}。

2. cosα=frac{1-tan^2(α)/(2)}{1 + tan^2(α)/(2)}- 证明：- 同样由tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)}。

- 根据二倍角公式cosα=cos^2(α)/(2)-sin^2(α)/(2)，将其分子分母同时除以cos^2(α)/(2)，得到cosα=frac{1-tan^2(α)/(2)}{1+tan^2(α)/(2)}。

积分的三角代换法

积分的三角代换法在高中数学中，积分是一个重要的概念。

在积分的学习中，经常会遇到比较复杂的函数，这时就需要运用一些技巧，如三角代换法。

三角代换法是一种通过三角函数来代换变量的技巧，使得被积函数化为更加简单的形式，从而更容易求解积分。

一、什么是三角代换法三角代换法是指通过三角函数来替换变量进行积分。

三角代换法可以将被积函数中的需要用到三角函数的变量用三角函数表示出来，将原本复杂的被积函数转化为三角函数的组合形式。

例如，当我们遇到以下形式的积分时：看到分母中根号内含有x^2,a^2这类项，此时即可使用三角代换法。

假设将x表示成a*sin t，则x^2=a^2*sin^2t，从而得到：代入原式，得到：这样简化后的形式就可以使用代换法进一步求解积分。

二、如何进行三角代换法1、确定代换式当遇到需要用到三角代换法的积分时，首先需要根据被积函数中的变量的形式来确定代换式，通常选择满足以下条件的代换：1）分母中含有平方根的项。

2）被积函数中含有a^2-x^2 这类项，3）被积函数中含有x^2+a^2这类项，但同时还含有平方根的项。

确定代换式后，需要考虑如何将原函数中的变量用代换式表示出来。

2、确定三角函数的形式一般情况下，我们要将被积函数中的变量表示成三角函数的形式，而三角函数一般有sinx,cosx,tanx等形式，因此需要根据代换式中的变量形式选择出最为适合的三角函数。

通常情况下，我们选择最为常见的sinθ,cosθ。

例如，假设代换式为x=a*sinθ,则要将变量x表示成为sinθ的形式，可以利用三角函数的基本公式sin^2θ+cos^2θ=1推导出cosθ，从而得到：cosθ=根号下1-sin^2θ3、将变量用代换式表示通过代换式和三角函数的形式，我们可以将原函数中的变量用代换式替代，得到：4、进行变量代换将原函数中的变量表示成代换式的形式后，需要对积分式进行代换，从而得到：将变量代换后，将t移动到积分式中，进一步求解积分即可。

三角代换公式讲解

三角代换公式讲解三角代换公式是利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法。

其基本思路是观察、分析、变换、证明。

针对有条件等式的证明，一是将条件代入求证式子，把问题转化成恒等式的证明;二是从条件出发，作为求证式为目标的变形，逐步推出求证式。

三角代换公式的策略思想是：根据题目的结构特征，引进三角代换，利用三角知识解题的一种方法。

用这种方法解某些数学题，往往能化繁为简，变难为易，得到简捷合理的解题途径。

常见的三角代换有：1. 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα，cot(2kπ+α)=cotα(公式一)。

2. 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα(公式二)。

3. 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tan α，cot(-α)=-cotα(公式三)。

4. 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα，cot(π-α)=-cotα(公式四)。

5. 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，cot(2π-α)=-cotα(公式五)。

6. π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sin α，tan(π/2+α)=-cotα，cot(π/2+α)=-tanα;sin(π/2-α)=cosα，cos(π/2-α)=sinα，tan(π/2-α)=cotα，cot(π/2-α)=tanα(公式六)。

求积分方法

求积分方法求积分方法一、积分的定义积分是微积分的重要内容之一，其定义为：对于函数f(x)在区间[a,b]上，将其划分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，则在每个小区间上取一个样本点xi，令Δx趋近于0时，n趋近于无穷大，则当n趋近于无穷大时，Riemann和S=limΣf(xi)Δx即为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

二、基本积分公式1. 常数函数的积分：∫kdx=kx+C2. 幂函数的积分：∫xn dx=1/(n+1)x^(n+1)+C3. 指数函数的积分：∫e^xdx=e^x+C4. 三角函数的积分：（1）∫sinxdx=-cosx+C（2）∫cosxdx=sinx+C5. 反三角函数的积分：（1）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a arctan(x/a)+C（2）∫1/(a^2-x^2)dx=1/2a ln|(a+x)/(a-x)|+C三、换元法换元法是求解复杂定积分时常用的方法之一。

其基本思想是将被积函数中出现的某些部分用一个新的变量表示，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。

1. 第一类换元法对于∫f(g(x))g'(x)dx，令u=g(x)，则有dx=du/g'(x)，原积分化为∫f(u)du。

2. 第二类换元法对于∫f(ax+b)dx，令ax+b=t，则有x=(t-b)/a，dx=dt/a，原积分化为∫f(t)dt/a。

四、分部积分法分部积分法是求解复杂定积分时常用的方法之一。

其基本思想是将被积函数中出现的某些部分进行乘法拆解，并利用乘法公式进行变形，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的形式。

对于∫u(x)v'(x)dx，可以利用乘法公式得到∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。

五、特殊函数的积分1. 对数函数ln x的积分：（1）∫ln x dx=xln x-x+C（2）∫ln(ax+b) dx=(ax+b)(ln(ax+b)-1)/a+C2. 反双曲函数arcsinh x和arccosh x的积分：（1）∫arcsinh x dx=xarcsinh x+sqrt(x^2+1)+C（2）∫arccosh x dx=xarccosh x-sqrt(x^2-1)+C六、常用积分技巧1. 分式分解法对于有理函数f(x)/g(x)，可以将其分解为若干个部分，每个部分都是一个简单的有理函数或三角函数的积分。

有理函数及三角函数有理式的积分

有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。

有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。

1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。

2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。

三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。

由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。

1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。

2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。

3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。

总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。

有理函数和三角函数有理式的积分法

§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ，解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数）然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。

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2010 年第 19 期
用三角代换法妙解有理函数积分
刘玉娟王法有 (河南理工大学数学与信息科学学院河南焦作 454000)
【摘要】对于有理函数求不定积分，我们常使用拼凑法或待定系数法把有理函数化成若干个部分式来求解积分，但是在求解过程中对有些有理数积分比较麻烦，有时也可根据所得到的一些递推公式来求解有理函数积分问题。本文主要通过三角代换法解决有理函数的积分问题，会发现有时是非常简便的。
● 【参考文献】
［1］于宏敏.浅谈文献传播[J].东方艺术，2005 年 14 期. ［2］谭宝全 . 从新闻眼看报纸读书版 [J]. 新闻记者 .2003. ［3］李琦 ,秦慧英 . 中国电视读书节目现状与前瞻 [J]. 传媒观察，2009. ［4］第 24 次中国互联网络发展状况调查统计报告 [N/OL].[2009-07-16]. http:// /html/1247710466d1051.html. ［5］IFLA/FAIFE 关于图书馆和知识自由权的声明 [N/OL]. [2006-11-06].http:// /s/blog_56e48379010006iv.html .
据所得到的一些递推公式来求解有理函数积分问题。
乙例如：求
1
2
2 dx.
（x ＋1）
乙解：由求 In ＝
1
2
n dx 用分部积分法推导出递推公式：
（x ＋1）
乙乙 In
＝
1 2（n－1）
x
2
n－1 ＋（2n－3）In－1
（x ＋1）
乙乙则 I2 =
1
2
2
（x ＋1）
dx=
1 2
（
x
2
x ＋1
［责任编辑：张慧］
543
函数积分的问题，最好先分析被积函数的特点，灵活选择解法。科
●
【参考文献】
［1］同济大学数学系，编．高等数学．高等教育出版社．
［2］华东师范大学数学系，编．数学分析．高等教育出版社．
［3］陈纪修，於崇华，金路，编．数学分析．高等教育出版社．
［责任编辑：张慧］
●
（上接第 514 页）文献的人际传播指的是文献通过两者或两者以上当面进行的点对点的传播，或凭借简单媒介如电话、书信等非大众传播媒介进行的点对点的传播。文献的人际传播一般分为以下两种： 3.1 赠送
作者将自己的手稿或者刊行的作品赠送给亲朋好友，这是文献的人际传播的一条途径。如唐代大诗人白居易写好诗就读给老妪听，这是当面进行的点对点的文献传播，而他的目的是要看老妪是否能听懂，老妪的懂与不懂是对白居易的传播行为的反馈，这种反馈直接、迅捷，人际传播的优点也在于此。但是只凭作者一人，财力精力有限，这个传播途径的辐射面很窄。此外，第三方购买文献赠送给亲朋好友也是一条传播途径，但通过这条途径进行的文献传播范围更小，一般只针对单个人。 3.2 交换
＋I1
）＝
1 2
（
x
2
x ＋1
＋
1
2
dx）
x ＋1
=
1 2
（
x
2
x ＋1
＋arctanx）＋C
我们发现上面的方法虽然可行，但使用起来比较麻烦。对于不定积分的求解我们知道基本方法：换元积分法和分部积分法。而换元积分法中的第二类换元法常用的三角代换法主要是解决带根式如
姨
22
a ±x
的被积函数的积分问题，我们把三角代换法拿来解决有理函
【关键词】不定积分；待定系数法；三角代换法
乙首先看一个简单的例子求
3
2
dx.
x（x ＋1）
解
：
3
2
x（x ＋1）
=
A x
+
Bx＋C
2
x ＋1
（A、B、C 为待定系数）
2
3
2
=
A（x
＋1）＋（Bx＋C）x
2
x（x ＋1）
x（x ＋1）
2
2
有 3=A（x ＋1）＋（Bx＋C）x=（A＋B）x ＋Cx＋A
数的积分问题，会发现有时是非常简便的。
乙对
3
2
dx.
x（x ＋1）
2
乙乙乙解：
3
2
dxx＝tant
3
2
dtant=3
sec t
2
dt
x（x ＋1）
tant（tant ＋1）
tantsec t
乙 =3
cost dt=3ln sint +C=3ln
x 2 +C.
sint
1＋x
乙乙又如
1
2
2 dxx＝tant
3
2
2 dtant
（x ＋பைடு நூலகம்）
（tant ＋1）
2
乙乙 =
sec t
4
dt＝
2
cos tdt
sec t
乙=
cos2t＋1 2
dt= 1 2
（ sin2t 2
＋t）+C= 1 2
（
x
2
1＋x
＋arctanx）+C.
通过上面例子，不难发现，对有理函数积分，从理论上讲总可以
“积”出来，但过分的墨守成规会造成很大的运算困难，因此，遇到有理
由两边对应系数得，A＝3，B＝－3 ，C＝0.
∴
3
2
x（x ＋1）
=
3 x
+
－3x
2
x ＋1
.
乙乙从而，
3
2
dx=
x（x ＋1）
（3 x
+
－3x
2
x ＋1
）dx
乙 =3ln x
－
3 2
1
2
2
d（x ＋1）
x ＋1
=3ln x
－3
2
ln（x ＋1）＋C.
2
然而，上面所用方法对有些有理数积分是比较麻烦的，有时可根
文献阅读者之间互相交换自己拥有的文献，形成一张小型传播网。这种传播有可能是面对面的，也有可能借助非大众传播媒介进行。
文献的人际传播在生活中很普遍，而且简单易行，成本较低，但人
际传播的辐射面一般情况下是较窄的。文献传播所流经的途径经常不是单一的，而是可以交叉的。要达
到“童子解吟长恨曲，胡儿能唱琵琶篇”的传播效果，除了文献内容本身的魅力，还需要各种传播机构优化组合。科